«Управление техническими системами». «Теория автоматического управления»

Управление техническими системами или Теория овтоматического управления. 1 Связь с другими курсами: 1 Задачи курса: 2 Темы лекционных занятий: 3 Практические занятия: 3

Литература: 4 Учебная: 4 Дополнительная: 4 Учебно-методическое обеспечение дисциплины: 4

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ 4

Введение 4

Контур управления: определения и основные понятия. 7

Законы управления 10

Методы описания технических систем. 17 1. Дифференциальные уравнения систем. 17 2. Передаточные функции систем управления. 19 3. Свойства преобразования Лапласа 20 4. Преобразование структурных схем 22 5. Характеристики управляемых технических систем. 24

Элементарные звенья САУ и их характеристики. 41 ОПД.12 – Теория автоматического управления – зачет.

Объем и структура дисциплины: лекции - 45 часов(±10%) практические занятия - 18 часов(±10%) самостоятельная работа - 41 часа(±10%) всего часов - 104 часов(±10%)

Связь с другими курсами: 1. ОПД.10 - Электротехника, электроника и электропривод; 2. ОПД.11 – Гидравлика, гидро- и пневмопривод; 3. ОПД.14 - Элементы автоматики и автоматизации машиностроительного оборудования; 4. ЕН.01 – Высшая математика; 5. ОПД.08 – Теория механизмов и машин; 6. ЕН.09 – Математическое моделирование; Данный курс входит в цикл обще профессиональных дисциплин подготовки бакалавров по

направлениям 551800 и 552900 в машиностроению Содержание рабочей программы соответствует требованиям государственного

образовательного стандарта высшего, профессионального образования, указывает пути и средства, обеспечивающие достижение главного результата изучения дисциплины:

- создание теоретической базы знаний и получение практических навыков по анализу и расчету систем управления техническими объектами и технологическим оборудованием,

- расширению кругозора в области управления для последующего восприятия и изучения специальных дисциплин.

В теоретическом разделе рабочей программы в логической последовательности рассматривается контур управления техническим объектом, основные, функциональные блоки, входящие в контур управления, основные законы управления, методы описания систем управления и изучения из свойств. Излагаются основные методы теоретического и экспериментального определения характеристик систем управления. Особое внимание обращается на современные подходы создания систем управления, в контур которых вводится микропроцессор. Изучаются основные методы оценки качества систем управления.

В практическом разделе определяется структура практических занятий, позволяющая в процессе решения учебных задач освоить методы описания систем управления (СУ), анализа и расчета характеристик отдельных элементов СУ и систем управления в целом, включая использования компьютерных программ, а также подготовиться к выполнению индивидуального задания.

Расширению кругозора способствует программа самостоятельной познавательной деятельности, предусматривающая выполнение комплексного, индивидуального задания по основным разделам курса. Последовательность выполнения отдельных разделов и их промежуточный контроль определен в соответствии с планом проведения практических занятий и согласован с объемом самостоятельной работы в часах и графиком консультаций в компьютерном классе.

Учебно-методическое обеспечение дисциплины представлено списком основной и дополнительной литературы, комплектом индивидуальных комплексных заданий и компьютерными программами с примерами выполнения разделов индивидуального задания.

Кафедра АРМ, обеспечивающая данную дисциплину, располагает компьютерным классом - 18 ПЭВМ и имеет необходимое материальное демонстрационное обеспечение, используемое на практических занятиях.

Задачи курса: 1. Знакомство с современными принципами и тенденциями развития автоматических систем

промышленного оборудования и автоматизированных технологий. 2. Изучения основных методов построения систем управления, их анализа и описания, расчета

статических и динамических характеристик, определения устойчивости и оценки качества. 3. Освоения методов расчета построения и анализа переходных и частотных характеристик;

областей устойчивости, а также качества с использованием ЭВМ. 4. Усвоения современного состояния теории и практики автоматического управления при

создании автоматического оборудования и создании автоматизированных технологий для ГПС. Необходимые темы предшествующих занятий по курсам: • Разделы курсов ОПД.10, ОПД.11 и ОПД.14 – для достоверного определения

передаточных функций приводов и отдельных элементов технологических объектов, с использованием изученных ранее характеристик

• Разделы курсов ОПД.08, ЕН.09 и ЕН.01 – как основа для математического описания отдельных элементов контура управления.

Темы лекционных занятий: 1. Введение. Содержание и задачи курса. Роль науки об управлении при решении задач развития

народно-хозяйственного комплекса. Связь курса с общетеоретическими и специальными дисциплинами – 1 занятие.

2. Основные понятия и определения. Принципы действия систем автоматического управления. Основные определения: объект, устройство управления, обратная связь, контур управления. Понятия: управляемая величина, возмущающее воздействие, управляющее воздействие; понятия о рабочем процессе, рабочих операциях и управляющих процессах и операциях. Законы управления и принципы управления. Энергетические и информационные потоки в системах управления. Примеры технических систем управления в ГПС и ГАП. Мировоззренческий аспект управления. Управление и компьютерная техника – 2 занятия.

3. Классификация систем автоматического управления по характеру входного воздействия и по характеру внутренних динамических процессов –1 занятие.

4. Математическое описание линейных систем. Методы описания элементов контура управления. Статические характеристики линеаризация характеристик. Динамические характеристики: временные, частотные и спектральные. Дифференциальные уравнения элементов и систем автоматического управления. Понятия о преобразовании Лапласа: основные свойства. Передаточные функции систем автоматического управления (САУ) и отдельных элементов звеньев. Структурные схемы САУ: правила преобразования. Типовые звенья САУ и их характеристики. Примеры звеньев в технологических системах и в технологическом оборудовании. Примеры САУ технологических автоматизированных производственных систем, построенных на базе типовых звеньев. Построение результирующих частотных характеристик по известным передаточным функциям отдельных звеньев и структурной схеме. Размыкание системы. Связь между частотными характеристиками разомкнутой и замкнутой системами. 5 занятий.

5. Устойчивость линейных систем. Понятие устойчивость. Необходимое и достаточное условие устойчивости. Критерии устойчивости: Рауса - Гурвица, Михайлова и Найквиста. Определение запаса устойчивости по частотным характеристикам. Построения областей устойчивости в пространстве параметров. Применение ЭВМ для анализа устойчивости САУ. – 10 занятий.

6. Качество САУ. Основные показатели качества САУ. Оценка качества систем по распределению корней характеристического уравнения, по вещественной частотной характеристике замкнутой системы. Применение ЭВМ для построения переходных процессов и моделировании САУ – 3 занятия.

7. Синтез САУ. Задачи синтеза. Коррекция САУ. Синтез корректирующих звеньев по частотным характеристикам. Использование ЭВМ для расчета корректирующих звеньев. Микропроцессорное управление в контуре САУ. Адаптация микропроцессорных систем к требованиям технологической среды. – 2 занятия.

8. Использование методов ТАУ для управления точностью обработки в технологических операциях обработки на станках. Системы управления отклонением фактического размера от настроенного, системы стабилизации сил обработки, адаптивные системы управления точностью для станков с ЧПУ, системы управления точностью обработки в ГПС и ГАП – 3 занятия.

Практические занятия: 1. Составление блок-схем системы управления и их математическое описание на основе

принципиальных схем системы (электрической, кинематической, гидравлической, пневматической и др.) с использованием примеров из широко распространенного промышленного оборудования: металлорежущие станки с ЧПУ, промышленные роботы, автоматическое оборудование сварочных производств, транспортно-накопительные системы и т.п.

2. Составление структурной схемы на основе проведенного математического описания. Преобразование структурной схемы и построение частотных характеристик отдельных звеньев

3. Составление программ для расчета характеристик несложного контура управления на ЭВМ и определение устойчивости систем автоматического управления с использованием критериев: Гурвица, Михайлова, Найквиста. Построение областей устойчивости в пространстве параметров системы.

4. Построение переходного процесса простой системы управления и определение показателей качества системы управления. Предусмотрено индивидуальное комплексное домашнее задание, включающее все разделы курса.

Литература:

Учебная: 1. Егоров К.В. Основы теории автоматического управления. М.: Энергия, 1974. 453с. 2. Теория автоматического управления./Под ред. А.А. Воронова, часть 1 - М: Высшая школа,

1992. 380с 3. Теория автоматического управления/ Под ред. Б.Б. Яковлева М.:Высшая школа, 2003. 566с. 4. Теория автоматического управления./Под ред. В.П. Нетушила, М: Высшая школа, 1978.- часть

1, 423с 5. Соломенцев Ю.М., Митрофанов В.Г., Протопопов С.П. и др. Адаптивное управление

технологическими процессами. М: Машиностроение, 1980. 413с. 6. Сборник задач по теории автоматического управления и регулирования./Под ред.

В.А.Бессекерского, М: Наука, 1978. 587с. 7. Теория автоматического управления./ Под редакцией Ю М Соломенцева, М: Высшая школа,

2003. 267с.

Дополнительная: 8. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования

систем управления. - М.: Высшая школа, 1998. - 573с. 9. Основы автоматизации управления производством./Под ред. И.М. Макарова, М: Высшая

школа, 1983. 367с. 10. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи: Управление при

неопределенности. - М.: Наука. Физматлит, 1997.-352с.

Учебно-методическое обеспечение дисциплины: 11. Комплект индивидуальных домашних заданий и краткие методические рекомендации по

выполнению индивидуального задания (около 110 заданий). 12. Пакет программ для построения частотных характеристик систем построенных с

использованием элементарных звеньев (со встроенными пояснениями и методическими указаниями).

13. Пакет программ - заготовок для моделирования с пояснительным текстом об их использовании - (для самостоятельной работы в компьютерном классе).

Конспект лекций

Введение Двадцатый век истории Человечества характеризуется бурным комплексным развитием

техники, технической науки и исследований, которые оказывают решающее влияние на дальнейшую стратегию технического прогресса. Среди этих технических достижений

Человечества отметим создание летательных аппаратов, включая освоение космоса, бурное развитие энергетики: тепловой, гидроэнергетики и атомной энергетики; революционные достижения в сфере обработки информации и вычислений, в машиностроительном производстве и многое другое.

Конечно весь опыт развития техники, механики, математики, естественных наук прошедших веков благотворно отразился на прогрессе двадцатого столетия. Однако только в двадцатом веке была в полной мере осознана и развита наука об управлении объектами и процессами различной природы.

Азы и основы науки об управлении в технической истории земной цивилизации можно найти в древних фолиантах и преданиях народов арабского мира, Китая, древней Индии и во многом загадочной истории народа Майя. В XVI..XIX веках центр технического прогресса переместился в Европу. Именно в эти века с развитием фабричного производства начали возникать простейшие регуляторы и, одновременно, математические предпосылки теории управления рабочими машинами. Так, например, в начале XVIII века появился, широко применяемый и в настоящее время, регулятор Уатта. Применение этого простого по устройству и, одновременно, сложного функционального элемента в контуре управления скоростью выходного вала турбины или паровой машины показало, что влияние его параметров на точность и устойчивость поддержания выходной скорости машины была в теории изучена и осознана только в конце XIX в начале ХХ столетия.

Отметим, что только к середине XX столетия наука об управлении различными объектами и процессами производства и человеческой деятельности окончательно сформировались в «Теорию автоматического управления».

Область применения «Теории управления...» в технике весьма обширна, как и обширны различные связанные или самостоятельные разделы науки об управлении. Характерно, что к настоящему моменту все различные разделы науки об управлении применяют один и тот же методологический подход - системный анализ. Используя язык и понятия системного анализа можно обнаружить общность поведения биологической системы с окружающей средой или обнаружить одинаковые закономерности поведения социальных систем в сравнении с некоторой технологической системой или процессом. В тоже время системный подход позволяет определить существенную разницу между простыми одноконтурными системами управления, и иерархическими многоуровневыми системами, например, машиностроительное предприятие, в которых каналы межуровневых обратных связей либо отсутствуют, либо имеют значительную временную задержку.

Чисто технические системы, с многоуровневым управлением, в которых в самой структуре системы человеческий фактор не присутствует в качестве элемента системы, в этом отношении организованы проще. Такие системы в большинстве случаев могут быть рассмотрены в рамках самостоятельного раздела «Теории управления...» - в «Теории технических систем.

Эта часть общей «Теории управления...» сформировалась в прикладную науку в связи со стремительным внедрением в производственную сферу деятельности различных «умных» машин, например, в машиностроении это: многооперационные станки с программным управлением, роботы, автоматические устройства складирования и межоперационной транспортировки деталей устройств автоматической смены инструмента, измерительных машин и многое другое. В большинстве из этих устройств, с одной стороны присутствуют несколько одиночных контуров управления по различным управляемым координатам, а также, одновременно, вхождение этого устройства в целом в другую, управляемую систему следующего иерархического уровня, со своим замкнутым контуром.

Характерной особенностью развития современных управляемых технических систем, применяемых, в частности, в машиностроении является широкое применение комплектных унифицированных приводов, датчиков усилительно преобразующих блоков и др. унифицированных устройств автоматики. Другой важной и, возможно, революционной

особенностью современных технических систем является широкое применение в замкнутом контуре управления микропроцессорных устройств. Это позволило заменить в управляющих устройствах физическую реализацию требуемого закона управления на требуемый программируемый алгоритм управления, что придает такой технической системе универсальность и гибкость, недостигаемую при традиционной физической реализации управляющего устройства.

Рыночная экономика, к реализации которой Россия в девяностые годы прошлого столетия, требует постоянного обновления машиностроительной продукции, а также средств их производства. При этом в конкурентной борьбе за соответствующий сектор рынка выживает тот, кто умеет делать быстро с минимальной себестоимостью и качественней чем другие. Причем последнее должно соответствовать международным стандартам качества. Поэтому в последние годы наблюдается резкое повышение точности и быстродействия всех устройств современных управляемых станочных комплексов. Так смена инструмента в многоцелевых станках от «стружки» до «стружки» составляет менее одной секунды, позиционирование в заданной точке пространства - 0,5 секунды. В связи с освоением прогрессивных режимов чистовой обработки резко возросли скорости рабочих и холостых перемещений рабочих органов промышленного оборудования. Наблюдается тенденция перехода к новой парадигме управления - интеллектуальному управлению с самообучением.

Специалист машиностроительного профиля в своей практической работе может найти применение своих знаний в различных видах инженерной деятельности: в исследовании и разработке технических систем (ТС), в сфере применения и эксплуатации или ремонта современных ТС. Как правило, рабочая группа инженерного обеспечения разработки или эксплуатации включает также специалистов по электронике, вычислительной технике, силовому электрическому, гидравлическому или пневматическому приводу, а также специалистов по микропроцессорной технике. С учетом этого объем инженерных знаний в области теории управления ТС для инженеров различного профиля дифференцирован.

Управление техническими системами (УТС), как дисциплина общеинженерного цикла, для инженеров - механиков базируется на разделах высшей математики, теоретической механики, общей физики, теории машин и механизмов, электротехники, гидравлики. В свою очередь, знания, полученные при изучении курса УТС, используются в дисциплинах как: технологическое оборудование, приводы технологических машин, диагностика технологического оборудования, математическое моделирование ТС и технологических процессов и др.

В завершении вводной части приведем некоторую выборочную историческую справку об ученых и их работах, на которых во многом базируется сегодняшнее представление об управление техническими системами. Как известно XIIIV век характерен в технике тем, что появилась паровая машина. Но, как оказалось для ее работы с заданными параметрами, постоянно требовалось регулирование подачи пара при изменении внешней нагрузки. В 1788 Дж. Уатт впервые применил для этих целей свой знаменитый центробежный регулятор скорости (регулятор Уатта). Одновременно с применением этого регулятора ему по праву приписывается создание принципа регулирования по отрицательной обратной связи: возникла ошибка - «измеряй и пропорционально ошибке воздействуй на регулятор подачи пара таким образом, чтобы ошибка уменьшалась». Это новшество видимо распространилось достаточно быстро и, одновременно, поставила перед учеными XIX века сложный вопрос об устойчивости системы: паровая машина - регулятор. Здесь можно назвать множество ученных, занимавшихся проблемой выбора предельного коэффициента передачи от муфты регулятора до заслонки: англичанина Дж. Максвелла, сформулировавшего проблему устойчивости в общем виде, немецкого математика А. Гурвица, который по поручению чешского инженера А. Стодолы предложил алгебраически критерий устойчивости. В последствии выяснилось, что аналогичный критерий устойчивости линейных систем разработан математиком Е. Рауссом, поэтому часто алгебраический критерий называют критерием Раусса-Гурвица. В это же время многие ученные исследовали различные альтернативные способы воздействия на заслонку, которые бы приводили к улучшению

показателей работы паровой машины. Так француз Л. Молини предложил ввести управление по интегралу от ошибки, а два брата Вернер и Уильям Сименсы предложили ввести управление по производной от ошибки. В последствии Ч. Портер ввел дополнительно управление по возмущению, однако проблема устойчивости систем оставалась актуальной. В начале XX столетия русским математиком И.А. Вышнеградским критерий Раусса-Гурвица был усовершенствован, им, для замкнутых систем третьего порядка, была предложена знаменитая диаграмма Вышнеградского, которая широко применяется в инженерной практике. Общий подход к оценке устойчивости систем, широко применяемый в современной теории нелинейных систем был исследован и сформулирован в работах А.М. Ляпунова. Затрагивая только один аспект управления - устойчивость систем, следует отметить еще трех ученых, результаты исследований которых также широко используются в инженерной практике. Так в тридцатые годы А.В. Михайловым был предложен частотный метод исследования устойчивости линейных систем с использованием характеристического полинома замкнутой системы, что существенно упростило процедуру определения параметров системы, обеспечивающих гарантированную устойчивость. В это же время американцем Г. Найквистом был предложен также частотный критерий устойчивости, в котором устойчивость оценивается по частотным характеристикам разомкнутой системы. В это же время другой американский исследователь, Г. Боде, предложил известные диаграммы, которые мы называем логарифмическими амплитудно-фазовыми частотными характеристиками.

Естественно здесь в кратком конспекте невозможно привести имена всех исследователей, ученых и инженеров , внесших огромный вклад в развитие теории управления. В современном мире Е - библиотек Internetа и web - страниц можно найти множество различного материала, посвященного истории науки об управлении.

Контур управления: определения и основные понятия. В теории управления различают технические системы, в контуре управления которого

присутствует человек, и системы, в контуре управления которых нет этого фактора. Первые из них принято называть системами автоматизированного управления, и в последующем в данном курсе не рассматриваются. Технические системы, в контуре управления которых нет человеческого фактора принято называть системами с автоматического управления.

Различают два типа управляемых технических систем: системы с разомкнутым контуром управления и системы с замкнутым контуром управления. Разомкнутые системы, как правило, рассматриваются с применением особого раздела теории управления: теории конечных автоматов. Предметом изучения в таких системах является перевод системы из одного состояния в другое, при этом сам процесс перехода является неконтролируемым и определятся внутренними свойствами системы. Примером таких систем может служить автомат для продажи напитков, выключатель питания в калькуляторе, номеронабиратель телефона или переключатель скоростей в коробке скоростей металлорежущего станка и другие аналогичные устройства. Это примеры разомкнутых систем с дискретным входным воздействием. К непрерывным разомкнутым контурам управления можно отнести процесс обработки заданного размера на универсальном металлорежущем оборудовании с настроенной размерной цепью и многие другие системы с неконтролируемым в процессе управления выходом.

Предметом изучения в нашем курсе будут такие технические системы, в которых существует в процессе управление непрерывная информационная связь между входным воздействием и выходной величиной. В контуре управления, представленном на рис.1 различают следующие укрупненные блоки (элементы или звенья): элемент сравнения 1, управляющее устройство 2, объект управления 3 и звено обратной связи 4. Все элементы этого контура связаны друг с другом посредством определенных величин непрерывно изменяющихся во времени в процессе управления. Некоторые из этих величин являются информационными связями, а некоторые наряду с передачей информации передают также другому и энергетическое воздействие. Входное

вофосебврФимо

пртопоупбуинкосоВыпос пбупозавврдлвоупуп

топрнеисэн

элвелпрвелсосрвхобещуп

уснавоКатакфи

оздействие ормируетсябе информремени доизическая пожет не соо

Для пррограммнымлько однаостоянная прощения рудет непрнформация оординаты держащий ыходной сиодачей. Препостояннойудет действодачи и глувисеть какремени. Оболя нее новоздействуетправляемая правляемый

Обычнолько посрриходится уе всегда обсточник энергетическ

Отметиементе срличины x1 рироду с вхличине x2.ответствиеавнения в ходного сибъект, создаще не достправление (

Формиртройстве уа выходе, оздействие ак уже отмек и внутренизическую

x1 (входная вне контумацию о толжна бытприрода выответствоваримера вом управла из коордподача.

рассмотримрерывно

об измво временинформац

игнал x2 - едположимй подачей. вовать переубины резак от текущозначим в овое понятит непосредкоордина

й двигательо предполаредством вучитывать беспечиваеэнергии нкого возмущим и уточравнения (и сигналаходным сиг Результае между вхбольшинсгнала. Этиаваемых устигла зада(управляющрование теуправленияв результаu(t), воздейечалось, финних, можеприроду, в

ая величинаура управлтом каким ть выходныходной веать входномозьмем толением, кдинат, а Входным

м только осчитываемменении ни. Понятцию о закэто фактичм что припуТогда, в кеменная наания и др.щих значенобобщенноие – внешндственно ната станкаь, а также рагается, чтвходной веналичие вет стабильнестабиленщения в дачним функ(ЭС) 1 пра x2

’ от датгналом x1 иат этого срходным возстве системим обеспечстройствоманного значщее воздейекущего уп (УУ) 2. Наате преобрйствующееизическая пет быть разв остальных

а; входнойление и содв данный ная величеличины x2му воздейсокарный скогда упрпо другой сигналоодну из коомая с н геометртно, что пконе изменческий проуск, снимаекаждой текагрузка. Из Поэтому ний управлом контуренее возмущна объект уа, включаюряд параметто указаннеличины xв составе уный, неизмн, то этанном конткции всех роисходит тчика обрати одновремравнения нздействиемм управленчивается см управленчения, и тйствие) u(t),правляющеа вход упраразования е на объектприрода казличной. Тох блоках и

й сигнал) держит в момент

чина x2. конечно ствию x1. танок с авляется й задана ом (для ординат) носителя рической по природенения геомофиль, полемый с деткущей точкзвестно, чти реальнаяляемой кое эту времещение (возуправленияющая суптров из проный на рисx1(t) и возуправляющменный воо приводуре. внутренниалгебраичтной связименно соденосит назвм и выходнния сигналоответствиния; если оштребуется , которое бего воздейсавляющегопо опреде

т 4. ак внешнихолько в элеих физическ

е это элекметрии по ученный нтали при обке по управто силы резя нагрузкаоординаты нную состазмущающея (ОУ) 3, ппорт, пероцесса обрас.1 контур,змущения его устройо времени дит к во

их перемеческое сум. Сигнал xержит в себание ошибной величил от датчикие ошибкишибка полвыработат

бы свело этуствия (упро устройствеленному

х сигналов, ементе сравкая природ

ктрическийданной ко

на детали вбработке нвляемой козания могуа на привод

x2 и ее авляющуюее воздейст

(в нашем редачу винаботки в си, связан с f(t). Одна

йства источподвод эозникновен

енных в кммированиеx2

’ имеет одбе всю инфбка Δ(t) и иной. Подчка обратнои и необхоожительнать такое ту ошибку кавления) нва поступаезакону по

поступающвнения 1 онда может б

й маломощоординате вдоль оси се равномероординате xут зависетьде будет впроизводн

ю нагрузки -твие). Это примере

нт-гайка иистеме СПИвнешним

ако на прачника энернергии. Еснию допо

контуре упе (сравнендинаковуюформацию характериз

черкнем, чтой связи водимых воза, то выходекущее пок минимумна объект пет сигнал ооявляется у

щих на данни имеют обыть не оди

щный сигнво временс постояннрен вдоль оx1, на привь от скоросв этом случых, так и - f(t) и введвозмущенобъект - эи приводнИД). окружениеактике часгии, которсли внешнолнительно

правления. ние) входню физическоб выходнзует текущто в элеменычитается здействий дная величиоложительнму. происходитошибки Δ(t)управляющ

нный контуодинаковуюинаковой.

нал, ни. ной оси вод сти чае от

дем ние это ной

ем, сто рый ний ого

В ной кую ной щее нте из на ина ное

т в ), а щее

ур, ю

Вновь обратимся к рис.1. Управляющее устройство 2, предназначенное для формирования управления u(t) из энергетически маломощного сигнала ошибки Δ(t) должно сформировать такой сигнал управления, который бы смог обеспечить появление на выходе объекта фактической величины x2. В свою очередь в самом объекте управления его входной сигнал u(t) , возмущающее воздействие f(t) и выходная величина (выходной сигнал) x2, также имеют разную физическую природу и различный энергетический уровень.

Особенностью всех этих указанных внешних и внутренних сигналов заключается в том, что наряду с энергетическими и физическими параметрами они содержат в себе информацию, которая и «обрабатывается» в указанных укрупненных блоках этого контура управления.

С этих позиций любой контур автоматического управления содержит в себе следующие внешние и внутренние информационные сигналы:

• входной информационный сигнал x1 , • выходной информационный сигнал x2 , • информацию о внешнем возмущении f(t), • информацию об ошибке Δ(t) , • информацию о текущем управляющем воздействии u(t) . Соответственно, укрупненные блоки, с этих же позиций, рассматриваются как блоки или

устройства внутри этого контура, которые принимают, преобразовывают по определенным функциональным зависимостям и передают на вход последующего блока информацию.

Таким образом, наряду с реальным физическим процессом, происходящим в некоторой управляемой технической системе, в ней одновременно существует замкнутый информационный контур. Именно это объективное свойство любых систем лежит в основе науки об управлении, включая и технические системы. Именно, изучая информационные входы и выходы объекта можно создать контур автоматического управления технической системой, если при этом объект пассивен (т.е. не имеет в своем составе источников энергии), то такой источник включают в состав устройства управления. На рис.1 наличие такого источника изображено контурной стрелкой E0, а энергетическое управляющее воздействие на объект обозначено Eu.

Теперь обратимся к другим свойствам контура управления. Рассматривая входную, выходную величину и возмущающее воздействие, мы не определили математически и информационно их свойства. Как известно, действительные переменные могут быть скалярными или векторными.

Если входная и выходная величины являются скалярными, то, очевидно, и результат их сравнения Δ(t) будет скалярной величиной. Выход управляющего устройства u(t) также может быть в реальных системах, как скалярной, так и векторной величиной. В случае, когда управляющее воздействие на объект – скалярная величина, то в контуре будет только одно управляющее устройство с одним входом и одним выходом. Естественно, в этом случае объект имеет один управляющий вход, одно внешнее возмущающее воздействие и один выход. Такая система, в целом, называется одноконтурной системой.

Если входные и внутренние переменные контура управления являются векторными величинами, то такая система является многоконтурной. Как правило, в таких системах автоматического управления отдельные компоненты векторов ошибки и управляющего устройства взаимосвязаны друг с другом и, соответственно, в этом случае такая система управления называется многоконтурной, взаимосвязанной системой. Если компоненты векторов внутренних и внешних сигналов не влияют в контурах управления друг на друга, то такая многоконтурная система может быть рассмотрена как ансамбль одноконтурных систем.

Каждый из укрупненных блоков контура управления может быть представлен некоторой математической, функциональной зависимостью, связывающей между собой входные и выходные величины данного блока. В большинстве случаев, эту связь между входными и выходными величинами конкретного блока в контуре управления удается определить явно, в виде дифференциального или алгебраического уравнения. Обычно в этих уравнениях в левой части

уравнения располагаются искомая выходная величина и ее производные по времени, а в правой - входная величина и ее производные для данного блока. В некоторых случаях отдельные блоки контура управления в сложных технических системах могут быть представлены другими типами уравнений: в неявной форме, интегро-дифференциальными уравнениями, или уравнениями в частных производных.

В целом, контур любой системы описывается системой уравнений, включающей уравнения всех блоков данного контура управления. Так рассматриваемый контур, представленный на рис.1, в общем, может быть описан следующей формальной системой уравнений:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )24

'2

32

2

'21

,,,

xftx

tfuftxtftu

txtxt

=

=Δ=−=Δ

(1)

Первое уравнение данной системы описывает действие элемента сравнения 1 в

рассматриваемом обобщенном контуре технической системы. Следующее уравнение описывает работу управляющего устройства. В теории управления эту зависимость чаще всего называют законом управления, так как именно устройство управления формирует требуемый для данного объекта управляющий сигнал. Третье уравнение данной системы описывает поведение объекта управления. Свойства объекта и требуемые выходные параметры объекта определяют необходимые параметры и свойства элемента сравнения, управляющего устройства и обратной связи. Иногда в технической литературе для простых одноконтурных систем указанные три блока называют автоматическим регулятором или автоматическим управляющим устройством.

Если рассматриваемая система относится к простой одноконтурной системе, то в системе уравнений (1) каждая из переменных может входить дополнительно только со своими временными производными. В случае, когда система управления относится к классу многоконтурных, то возможно возникновение в отдельных уравнениях системы (1) дополнительных связей от других векторных переменных или их компонент данного контура.

Как уже отмечено, основная цель управления объектом сводится к точному повторению (в смысле информации) на выходе x2 заданного входа x1. Эта идея реализуется посредством вычитания из входной величины – выходной, причем последняя путем преобразования в обратной связи приводится в одинаковую с входом форму физического представления. Отсюда основной принцип управления с обратной связью сводится к простой формуле: если возникает ошибка, то для ее уменьшения необходимо подать на объект такой сигнал (информационный, и, соответственно, энергетический), чтобы свести ошибку к минимальной.

Законы управления

Вновь обратимся к контуру управления, представленному на рис.1 и формально описанному системой уравнений (1). Как уже отмечено, каждый из элементов данного контура имеет четкое название и выполняет в этом контуре определенные функции. Так при создании системы управления объект считается заданной неизменной частью системы. Конечно, в практике проектирования имеется множество случаев, когда свойства объекта также «подгоняют» под требования других элементов контура. В дальнейшем будем считать, что свойства объекта заданы и неизменны. Функции обратной связи и элемента сравнения в контуре управления также определены. Таким образом, оставшийся элемент данного контура, устройство управления,

является тем блоком, который на основе текущей ошибки Δ вырабатывает требуемое текущее управление u. В теории управления принято данный блок характеризовать законом управления.

Различают линейные и нелинейные законы управления. Как и системы управления в целом, так и законы управления бывают непрерывные и дискретные.

Рассмотрим линейные непрерывные законы управления. Отметим, что выбор того или другого закона управления для данного объекта и является одной из основных задач решаемых

при разработке системы управления объектом, поэтому здесь приводится только их основные свойства, а не их подбор.

Наиболее простым законом управления является закон пропорционального управления, который описывается следующей зависимостью:

Δ⋅= ku ; (2) Теперь рассмотрим, что будет происходить в замкнутом контуре, представленном на рис. 1

при пропорциональном управлении. Так как в системах управления главная связь, как правило, отрицательная, то с учетом первого уравнения в системе (1) можно заключить, что при пропорциональном управлении сигнал управление u будет равен нулю только при отсутствии ошибки. Когда на систему будет действовать внешнее возмущение, то при неизменном входном сигнале x1, сигнал на выходе x2 неизбежно изменится из-за влияния нагрузки f. Следовательно, при пропорциональном управлении наличие внешнего возмущения будет автоматически приводить к возникновению даже в установившемся режиме к ошибке Δ. Единственным способом, уменьшить возникающую ошибку при наличии возмущения f, является увеличение коэффициента усиления k. Это одно из основных свойств систем с пропорциональным управлением. Часто устройство управления, реализующее пропорциональный закон управления называют P – регулятором.

Следующим, распространенным законом управления является закон интегрального управления. Управляющий сигнал u в этом случае равен интегралу по времени от текущей ошибки Δ:

∫ ⋅Δ⋅=t

dtku0 (3)

Пусть в текущий момент времени в рассматриваемом контуре с интегральным законом управления и равной нулю текущей ошибкой возникла нагрузка f. Тогда в последующий момент времени выходная величина x2, при неизменном входном сигнале x1, изменится и возникнет ошибка Δ. Приняв за начало отсчета, момент возникновения ошибки констатируем, что управляющее воздействие u пока остается неизменным. С течением времени интеграл в выражении (3), даже при неизменной ошибке начинает увеличиваться, что приводит к увеличению самого сигнала управления u. Заметим, что физическая реализация управляющего устройства с интегральным законом управления по (3), как бы априори «предполагает» его блочное исполнение: сначала маломощный информационный блок интегрирования ошибки и только потом усиление этой промежуточной величины по мощности, и окончательное формирование управления u. Так как сигнал управления возрос, и он производит на объект в данный момент времени такое воздействие, что ошибка должна уменьшаться, то, соответственно, уменьшается темп изменения управляющего сигнала u. С течением времени под действием управляющего сигнала ошибка становится равной нулю. На объект по-прежнему действует ранее возникшее возмущение f, но теперь на вход объекта поступает некоторое управляющее воздействие u, компенсирующее данное возмущение и сохранять на выходе сигнал x2, равный заданному входному сигналу x1. Таким образом, интегральный закон управление в отличие от пропорционального управления позволяет уменьшить ошибку, возникающую между входной величиной и выходом при наличии постоянно меняющейся нагрузке. Управляющее устройство, реализующее этот закон, в технической литературе по управлению часто называют I – регулятором. Если пропорциональное управления действует по принципу: большая ошибка – большее управление для уменьшения ошибки, то интегральный закон работает по принципу: тем

больше «накопилось» ошибки с течением времени, таково и будет текущее воздействие, уменьшающее текущую ошибку. Интегральное управление «помнит» предысторию процесса, и слабо реагирует на текущие изменения возмущения f или входного воздействия x1.

В отличие от пропорционального и интегрального законов управления дифференциальный закон управления характеризуется тем, что управление на объект пропорционально не самой величине ошибки, а – производной от ошибки. В этом случае, как и для интегрального закона, управляющее устройство априори предполагается состоящим из двух последовательно соединенных блоков: блока дифференцирования по времени текущей ошибки Δ, и блока усиления вычисленной производной по мощности и формирования управления u. Функциональную связь между ошибкой Δ и управлением u для дифференциального закона управления можно записать:

dtdku Δ⋅= (4)

Проведем анализ поведения замкнутого контура управления (рис.1) при применении данного закона управления. Пусть в некоторый момент времени текущая ошибка в данном контуре равна нулю и на входе системы сигнал x1 скачкообразно, с крутым фронтом изменился на незначительную величину. При этом, если нагрузка f не изменилась, то в случае интегрального управления объект отреагировал на данное незначительное изменение ошибки только через некоторый промежуток времени, пока не «накопился» определенный уровень управляющего сигнала т.е. по прошествию определенного промежутка времени. А в случае такого же малого мгновенного изменения входного сигнала в системе с пропорциональным законом управления объект бы также получил малое управляющее воздействие. Заметим, что при пропорциональном законе управления всегда управления пропорционально ошибке, а, следовательно, если для рассматриваемого случая входной сигнал бы медленно изменялся на эту малую величину, то сигнал управления не был бы большим, чем при быстром изменении входного сигнала на эту малую величину. Для дифференциального закона управляющее воздействие при быстром изменении входного сигнала на малую величину и при медленном будут существенно отличаться, управляющий сигнал при данном способе его формирования пропорционален скорости изменения ошибки, что позволяет сформировать упреждающее управление на объект. В этом основное отличие дифференциального закона от выше перечисленных законов. Конечно, в дальнейшем мы подчеркнем основные недостатки чисто дифференциального закона, связанного с тем, что управление зависит от скорости изменения ошибки. Но уже сейчас можно подчеркнуть, что если сам входной сигнал меняется по времени медленно и одновременно в нем присутствует некоторая малая быстро меняющаяся помеха, то управление объектом с использованием дифференциального закона проблематично. Управляющее устройство, реализующее управление по производной часто называют D – регулятором.

Эти три основных линейных закона управления можно с помощью линейных математических операций комбинировать различным образом. Часто в практике регулирования встречаются следующие комбинации из названных линейных законов:

• PI – регуляторы - ∫ ⋅Δ+Δ⋅=t

dtu kk 021 ;

• PD – регуляторы - dtdu kk Δ

+Δ⋅=21 ;

• ID – регуляторы - dtddtu kk

t Δ+⋅Δ⋅= ∫ 201 ;

• PID – регуляторы - dtddtu

t

kkk Δ⋅+⋅Δ+Δ⋅= ∫0 321 ;

Это основные комбинированные линейные законы управления. Как отмечено выше, кроме линейных управляющих устройств или регуляторов могут быть

созданы и различные нелинейные законы управления. Предположим, что все обобщенные зависимости (1), описывающие поведение замкнутого контура управления некоторой технической системой, относятся к линейным математическим выражениям. Предположим также, что устройство управления в такой системе реализовано с использованием одной из перечисленных линейных комбинаций, например – PID. Теперь представим себе такую ситуацию, что для улучшения эксплуатационных свойств системы (уменьшения текущей ошибки, увеличения быстродействия и др.) разработчик предусмотрел в данном регуляторе автоматическое отключение одного любого блока в указанной комбинации, в зависимости от уровня входного сигнала, или ошибки, или возмущения. В этом случае мы имеем дело с нелинейным законом управления с переключением.

В отличие от линейных законов управления, семейство нелинейных законов управления чрезвычайно многообразно. Обширную группу устройств управления составляют системы с переключением. Причем переключения в таких управляющих устройствах могут быть разнообразными. Приведенный пример с PID – регулятором можно отнести к системам с переключаемой структурой. Управляющее устройство в этом случае в зависимости от внешних или внутренних воздействий в некоторые моменты времени становятся не PID – регулятором, а переключается на другие комбинации. Такие системы относятся к классу нелинейных систем с перестраиваемой структурой. Но можно создать устройство управления, например P – регулятор, в котором коэффициент k1 в зависимости от величины ошибки переключается с одного постоянного значения на другое. В этом случае система имеет переключение параметров, а не структуры устройства управления.

Обширный класс систем с нелинейным законом управления составляют релейные системы. Различают следующие основные релейные законы управления:

• идеальное реле - ⎩⎨⎧

<Δ⎯→⎯−≥Δ⎯→⎯

=0;

0;

0

0

uu

u (5),

• реле с запаздыванием - ⎪⎩

⎪⎨

⎧

Δ−<Δ⎯→⎯−Δ<Δ<Δ−⎯→⎯

Δ>Δ⎯→⎯=

00

00

00

;;0

;

u

uu (6),

• реле с гистерезисом -

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Δ−<Δ→−

<Δ

Δ<Δ<Δ−→−

>Δ

Δ<Δ<Δ−→

Δ>Δ→

=

00

000

000

00

0;

0;

udtdudtdu

u

u (7)

На рис.2 приведены графики зависимости управляющего воздействия u от ошибки Δ для

рассмотренных релейных законов управления. Комбинируя приведенные релейные законы в различных сочетаниях и, вводя определенные зоны Δ0 по текущей ошибке Δ, в которых происходит переключение на новый уровень сигнала управления ui0, можно получить новые комбинации релейного управления. Заметим, что алгоритмическая и физическая реализация релейных законов управления достаточно проста. Достаточно иметь определенный набор

«эошошопсово

уппрупимпрмознпрНа(врэкре

им(«вамтакэкпо

мопрвхсипепопоЭкуппруподуп

обвыдлтопопоАмсипо

талонов», сшибка, и пшибки впределенноответствуюоздействия

Кромеправления рименяютсяправляющеммпульсный равило, соодулятор, ачение текреобразованаиболее раременной) вивалентныализующег

В слмпульсов, свысотой») мплитуда икой, что вивалентноостоянным

Для одуляции ропорционаходным сигигналом еременностоследователостоянной квивалентнправляющегропорционаправления динаковостьправления н

Систебъект со ысокочастотлительностьчности раоложительнолупериодамплитуда иигнал ошиболожительн

с которым при попадв соотвое устрющее знu0. е релейногтехническя импульснм устрзакон уп

одержится который пкущей ошиния непрераспространи «широтые сигналго пропорцучае амплследующихимпульса

импульса двоздействого управлкоэффициеимпульс

(смальность мгналом ошуправлени

тью шагльности

амплитность такго устройальным неппо-прежн

ью воздейсна объект ремы с ширстороны тный сигнь половиныавна амплная ошибка и, сооти частота этбки отсутный и отр

непрерывндании текуветствующиройство начение

го воздейсткими систные законыройстве, правления определе

преобразуеибки в текрывного синенными итной» модуы для укациональныйлитудной х друг за да. Эквивалдля текущевие на обляющего уентом усилсной врм. между непршибки и выия опрега форм

импульстудой икого импйства сиспрерывнымнему опрествия обоирегулироваротно-импууправляю

нал прямоуы положитеитуде и ка, то пртветственнотого высокствует, тоицательны

но сравнивущего значий диап

«подключуправляю

твия в пракемами шиы управлен

реализуюобъектом,

енный блоет непрерыкущее импуигнала в сиз них явуляцией сазанных вй импульснмодуляции

другом с полентность его малого бъект упрустройства,ления k. ременной рис.3-б)

рерывным ыходным еделяется ирования сов с импульса, пульсного стеме с м законом еделяется их систем ния. ульсной моющего усугольной фельного педлительносропорционо уменьшкочастотного на объекый полупер

ается чения пазон чает» ющего

ктике ироко ния. В ющем , как ок –ывное ульсное упсоответствувляются мигнала ошариантов мный закон уи (рис.3-аостоянной амплитудинтервала

равления о, с непрер

одуляцией тройства формы, в ериода с пости отрицнально увешается длго сигнала кт воздейсриоды оди

правление.ующий импмодуляторышибки. На модуляцииуправленияа), выходнпериодичнной модула времени,оказываетсывным, пр

(см. рис.3непрерывнкотором п

остоянным цательного еличиваетсительностьпрямоуголствует симнаковы (си

Различаюпульсный ы с амплрис.3 пред

и для упрая. ной сигналностью и пляции зак всегда выся одинакропорциона

3-в) характно воздейпри отсутсзначениемполупери

ся положиь отрицатльной форммметричныигнал нул

ют несколькэквивалентлитудной, дставлены авляющего

л предстапеременнойключается ыбирается овым с вальным уп

теризуютсяйствует уствии входм амплитудиода. Еслиительная тельного мы не изменый сигнал,евой скваж

ко варианттный сигнс частотнимпульсн

о устройст

авляет набй амплитудв том, чмодуляторвоздействиправлением

я тем, что управляющдной ошибы импульси появляетдлительносполуперионяется. Ког, у которожности). Д

тов нал. ной ные тва,

бор дой что ром ием м и

на щий бки са в тся сть ода. гда ого Для

положительной максимальной ошибки модулированный по этому принципу сигнал будет состоять из «длинного» положительного полупериода и отрицательного полупериода нулевой длительности. В этом случае скважность равна единице. В случае отрицательной максимальной ошибки скважность, соответственно, будет равна –1.

Следующую распространенную группу законов управления представляет законы оптимального управления. Характерным для оптимальных законов управления является, с одной стороны, наличие ограничений и, одновременно, необходимость обеспечения определенного выхода, например, минимизация времени переходного процесса при наличии ограничений по питанию, минимизация интеграла от абсолютного значения ошибки и множество других комбинаций ограничений и требований. Для оптимальных систем характерно появление в составе устройства управления дополнительного блока, который производит автоматическую настройку параметров или структуру устройства управления. Физическая реализация этих дополнительных блоков автоматической настройки управляющего устройства является сложной проблемой.

В практике управления техническими объектами, например, в радиотехнических устройствах широко известны экстремальные регуляторы. Так при работе передающей вещательной станции ее несущая частота на входе приемной антенны имеет некоторую незначительную девиационную составляющую. Для того чтобы качество приема полезного сигнала не ухудшалось, требуется непрерывно производить подстройку резонанса входного приемного контура. Одновременно с этим изменяется резонансное усиление этого входного контура, поэтому наряду с подстройкой резонансной частоты, для сохранения неизменности выходного уровня сигнала, требуется одновременно менять коэффициент усиления. Только в этом случае можно обеспечить стабильный уровень выходного сигнала и его малые частотные искажения при наличии девиации частоты на входе. Другой пример системы, в котором имеется экстремальный регулятор, это человеческий глаз. Так находясь в помещении со слабым освящением, входное отверстие (зрачок) имеет максимальный диаметр, что обеспечивает попадание достаточного количества отраженного света на хрусталик. Когда освещенность предметов высока, то входное отверстие (зрачок) уменьшается и на сетчатку вновь поступает только необходимое количество света. Это первая часть экстремального регулятора глаза. Вторая часть связана с системой фокусировки - управлением фокусным расстоянием хрусталика, осуществляющей необходимую глубину резкости. Обе эти системы позволяют глазу автоматически настраиваться на требуемую глубину резкости с минимальными затратами времени и энергии. Конечно, область мозга, отвечающая за настройку обоих частей этого регулятора, содержит сложный алгоритмический закон, который в технических системах с помощью физических устройств реализовать чрезвычайно трудно. Однако с появлением надежной микропроцессорной техники создание таких оптимальных управляющих устройств существенно упростилось.

Рассмотрим кратко основные особенности применения микропроцессорных устройств, для формирования необходимого закона управления заданной технической системой. Не останавливаясь на структуре и устройстве микропроцессорного устройства подробно, заметим, что в его составе, кроме процессора, имеются устройства ввода и хранения программы (алгоритма), регистры ввода данных от различных датчиков и значительная память для хранения этих данных. Все перечисленное придает устройствам управления, в структуру которых входит составной частью микропроцессорное устройство, принципиально новое свойство - возможность адаптации устройства управления к текущим воздействиям с учетом накопленных данных, обработанных по заданным алгоритмам, хранящимся в памяти. Причем, сам закон управления, реализуемый микропроцессором по исходной программе, может быть сформирован не только с учетом текущей ошибки, ее предыстории и производных, но также включать преобразованную информацию о текущих энергетических ресурсах системы, косвенную информацию о воздействии возмущений и внешнего управляющего сигнала. В законе управления, сформированном

микропроцессором, может быть учтена информация об изменении параметров объекта управления или его отдельных элементов.

Отметим, что возможности систем с микропроцессорным управлением в теоретическом плане изучены слабо. Как уже отмечено, теория линейных систем управления базируется на анализе поведении решений систем линейных, неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Путем применения преобразования Лапласа этот анализ можно свести к исследованию поведения алгебраических систем уравнений либо передаточных функций. Дальнейший переход к частотным передаточным функциям позволяет достаточно просто определить свойства рассматриваемой технической системы или произвести коррекцию ее параметров.

Когда для управления объектом требуется применение нелинейных законов управления или сам объект обладает нелинейными свойствами, то исследование с использованием передаточных функций или частотных характеристик часто невозможно из-за отсутствия теории. Поэтому, если допустима линеаризация, то после соответствующей линеаризации производится изучение технической системы методами теории линейных систем. Но если такая линеаризация невозможна, то дальнейший анализ возможен либо точными аналитическими методами, либо приближенными методами с поиском особенностей поведения таких систем: появление автоколебательных режимов, «скользящие» режимы, потеря устойчивости в «большом», переход в режим «динамического хаоса» и др.

Так как технические системы с микропроцессором в цепи управления, реализует некоторое оптимальное управление на данном временном интервале, и производит изменение закона управления или параметров этого закона, то данная система, существенно, нелинейная. В этом причина слабости теоретического обобщения свойств микропроцессорных систем.

С появлением современных персональных компьютеров стало возможным, во многих случаях, применения математического моделирования для оценки поведения таких, сложных систем управления. Методы математического моделирования за последние годы становится одним из мощных инструментов исследования систем, как на этапе создания, так и в процессе эксплуатации созданных систем. Необходимо отметить, что понятия и возможности методов математического моделирования намного шире, чем простая проверка точности, быстродействия или устойчивости замкнутого контура системы управления сложным объектом. Увлекательный виртуальный мир математических моделей порою позволяет открыть в системах новые неизвестные свойства, найти новые способы управления, и, одновременно, содержит в себе опасность отрыва от реального мира технических систем и возможностей физической реализации результатов моделирования.

Подводя итог обзору существующих законов управления, следует отметить, что в современном производстве чрезвычайно бурно внедряются различные автоматические системы и комплексы. Быстро внедряются гибкие производственные системы, в состав которых входят различные автоматические системы от простейших стабилизаторов до сложных многоконтурных и многоуровневых систем с микропроцессорным управлением. Причем, как в отечественной, так и в зарубежной промышленности, уровень разработки стандартных комплектующих средств и устройств таков, что при создании системы управления новым объектом автоматизации все комплектующие (датчики, преобразователи, микропроцессорные устройства, электрогидравлические усилители мощности и др.) можно приобрести, а не создавать их для данного объекта заново. Поэтому, в настоящее время коренным образом, во многих случаях, меняется подход к созданию автоматизированных систем. Усиливается роль математических моделей, производственных исследований с целью идентификации объекта, работы связанные с отладкой автоматической системы. Это требует от специалистов, четких знаний о том, как функционирует данный контур управления, какой закон управления реализует устройство управления, имеется ли возможность его настойки или изменения, и многое другое,

Методы описания технических систем.

1. Дифференциальные уравнения систем. Вновь вернемся к формальной системе уравнений (1) и к контуру управления,

приведенному на рис.1. Каждый из элементов этого контура описывается некоторым уравнением, связывающим выход и вход данного элемента. Рассматривая различные законы управления, можно заметить, что, в действительности, связь между управлением u(t) и ошибкой Δ(t) описывается с помощью как алгебраических, так и дифференциальных уравнений. Управляемый объект является наиболее сложным и в большинстве случаев описывается дифференциальным уравнением выше первого. Аналогично обратная связь также может в некоторых случаях описываться дифференциальным уравнением. Конечно, во многих случаях эти уравнения содержат нелинейности, которые требуют других подходов для дальнейшего анализа данной технической системы. Такие управляемые системы в данном разделе не рассматриваются. Предполагается, что имеющиеся нелинейности могут быть, в определенном диапазоне, заменены линейным приближением и, с достаточной для практики точностью, изучены с применением линейной теории.

Не останавливаясь на процедуре вывода, составления и линеаризации дифференциальных уравнений отдельных элементов контура управления, рассмотрим возможные варианты представления этих уравнений.

Можно выделить три схемы преобразования системы дифференциальных уравнений: • преобразование системы уравнений к одному общему уравнению n - ого порядка, в

правой части которого располагаются члены, содержащие входную величину и ее производные, и члены, содержащие внешнее, независимое возмущение и его производные. Левая часть уравнения содержит члены, включающие выходную величину и ее производные;

• путем ввода, при необходимости, дополнительных переменных уравнения преобразуются в систему n уравнений первого порядка разрешенных относительно производной. В левой части уравнений такой системы находятся первые производные неизвестных величин, а в правой части соответствующие функциональные зависимости, которые определяют эти производные. Такая форма записи называется канонической, и широко применяемся в теории дифференциальных уравнений;

• преобразование и запись системы уравнений, в виде уравнений отдельных функциональных элементов контура. Эти уравнения по схеме записи напоминают систему (1).

Первая схема записи и преобразования, когда в процессе последовательного исключения отдельных внутренних переменных, первоначальная система уравнений сводится к одному уравнению, может быть записана в следующем виде:

flcldt

fldcldt

fldcxmbmdt

xmdbmdt

xmdbxna

dt

dxnandt

xndandt

xnda ++−

−++++−

−+=+−++−

−+ ...1

1

101...11

1

11

022

1...12

1

12

0

(8) Коэффициенты ai, i=0…n, bi, i=0…m, и ci, i=0…l, получены в процессе преобразования из

параметров отдельных элементов как некоторые постоянные величины. Конечно, во многих случаях, прежде чем получить эти коэффициенты, требуется провести линеаризацию и другие допустимые упрощения или эквивалентные замены. Как известно, решение данного уравнения включает две составляющие:

''2

'22 xxx += (9)

Первое слагаемое из них - x2’, собственное решение, определяется решением однородного

уравнения с заданными начальными условиями, вторая компонента x2’’ является вынужденной

частью решения и определяется правой частью уравнения (8). Для управляемых технических

систем можно сформулировать некоторые общие требования к поведению собственного решения. Это решение должно с течением времени стремится к нулю, а при наличии вынужденной компоненты, когда на систему воздействует входное воздействие и возмущение, оно должно быть малой составляющей. Известными методами исследования корней характеристического уравнения, получаемого из (8), можно получить ряд ограничений и требований к коэффициентам ai, bi и ci, обеспечивающим выполнение указанных требований по величине собственного решения. Конечно такой подход, когда исследуется поведение решения уравнения (8) в практике эксплуатации технических систем применяется редко. В дальнейшем будет рассмотрены другие методы изучения характеристического многочлена, получаемого из уравнения (8).

Следующая схема преобразования дифференциальных уравнений, применяемая при описании контура управления может быть представлена следующей системой уравнений:

( )

( )

( )tffxxxxxxxFdt

dx

tffxxxxxxxFdt

dx

tffxxxxxxxFdt

dx

lmnnn

lmn

lmn

,,,,,,,,,

,,,,,,,,,

,,,,,,,,,

11121122322212

1112112232221222

1112112232221121

KKK

KK

KKK

KKK

=

=

=

(10)

В правой части данной системы уравнений, как и в уравнении (8), входят известные параметры замкнутого контура, известные компоненты входной величины и компоненты возмущающего воздействия, а также неизвестные внутренние переменные контура управления, причем сами Fi - функции известны. Уравнения разрешены относительно первых производных этих внутренних переменных. Такая запись уравнений позволяет разработать простой алгоритм для численного интегрирования данной системы уравнений, причем при численном решении правая часть может содержать также сложные нелинейные зависимости, при этом сам алгоритм решения сохраняется.

В том случае, когда общее уравнение системы имеет вид (8) и коэффициенты ai, bi и ci постоянны, то система уравнений (10) в правой части, будет содержать некоторые линейные комбинации из указанных переменных. Коэффициенты при этих переменных будут в этом случае постоянными. Тогда эту систему уравнений можно заменить в стандартной векторной форме:

__

1

_

2

_

2 fCxBxAdtxd

++= (11)

Система уравнений (10) часто используется для построения решения в фазовом пространстве. Используя соответствующие построения можно найти фазовые траектории и оценить свойства замкнутого контура, не проводя численного интегрирования и нахождения решения во временной области.

Последняя схема представления дифференциальных уравнений замкнутого контура управления технической системой сводится к тому, что в системе уравнений используются только реальные переменные и их производные. Причем, в соответствии с блок - схемой (см. рис.1.) отдельно в систему уравнений включаются уравнения объекта, уравнения управляющего устройства, обратной связи и устройства сравнения. Как отмечено, полученная система уравнений близка по структуре к формальной системе уравнений (1). Такое описание позволяет проводить анализ поведения каждого блока замкнутого контура отдельно от других, при этом могут быть выявлены особенности его поведения и проведена коррекция параметров. Такая система записи уравнений позволяет построить модель для исследования, адекватную реальной замкнутой технической системе.

2. Передаточные функции систем управления. Наряду с дифференциальными уравнениями, в теории автоматического управления для

описания контура управления широко используются передаточные функции. Как известно из курса математики кроме класса действительных переменных и функций существует широкий класс комплексных переменных и функций.

В теории функций действительных переменных часто для упрощения расчетов используются различные преобразования. Так, путем преобразования системы координат из декартовой в цилиндрическую, или сферическую можно, в некоторых случаях, существенно упростить расчеты.

При анализе технических систем, контур которых описывается линейным дифференциальным уравнением, наиболее часто применяют преобразование Лапласа. Это интегральное преобразование позволяет заменить анализ поведения решений данного уравнения во временной области, анализом некоторой комплексной функции.

Само преобразование Лапласа, позволяющее произвести установить соответствие между некоторой временной функцией, называемую оригиналом, и новой комплексной функцией, называемой изображением является интегральным и имеет следующий вид:

( ) ( ) dtetxsx st−∞

⋅= ∫0

(12)

здесь s, ste− ,- соответственно, комплексная переменная и ядро преобразования. В теории функций комплексной переменной доказано, что данное преобразование

существует, если оригинал x(t) удовлетворяет следующим требованиям: − функция x(t) непрерывна на всей положительной временной оси; − временная функция x(t) имеет n непрерывных производных; − функция x(t), при ∞→t , имеет ограниченную скорость роста.

Последнее требование для переменных, являющимися входными, выходными, возмущающими, или управляющими величинами реальных технических систем всегда выполняются. Первые два требования, также, в основном, выполняются, и если некоторая из переменных изменяется «скачкообразно», то такое скачкообразное изменение должно происходить так, чтобы непрерывность и существование производных не нарушалось. В дальнейшем при использовании преобразования Лапласа будем предполагать, что указанные требования выполняются.

Преобразование Лапласа не единственное преобразование, которое используется в теории управления. Так если комплексная переменная s=j ω, то это преобразование называется преобразованием Фурье.

Для того, чтобы воспользоваться данным преобразованием необходимо установить его свойства. Как уже отмечалось выше, инженерный анализ управляемой технической системы отличается от чисто математического подхода к решению дифференциального уравнения, описывающего данную систему. Это отличие заключается в том, что переменные в правой части общего уравнения системы (8) всегда неизвестны. Поэтому, несмотря на то, что собственное решение (первое слагаемое в (9)) может быть найдено из решения однородного уравнения, его практическое использование невозможно, из-за непрерывного изменения правой части уравнения (8). Затруднительно также определить постоянные интегрирования собственного решения, из-за непрерывно меняющихся по той же причине начальных условий. Инженерный подход заключается в поиске таких параметров замкнутого контура технической системы - коэффициентов уравнения (8), чтобы выполнялись заданные требования по точности, быстродействию и устойчивости системы. Применительно к линейным системам, с использованием ряда свойств преобразования Лапласа, удается без особых затруднений заменить дифференциальные уравнения новой алгебраической комплексной функцией с переменной s.

3. Свойства преобразования Лапласа Напомним основные свойства преобразования Лапласа, наиболее часто используемые в

теории управления. Действия над оригиналом x(t) Действия над изображением x(s)

( ) ;; constktxk =⋅ L ( );sxk ⋅

( ) ( );21 txtx + ( ) ( );21 sxsx +

( ) ;00; =xdtdx

L ( ) ( ) ( ) ;00;0 =+⋅ xxsxs L

япроизводнааяndt

xdn

n

LL −; ( ) степеньаяnsxsn LL −⋅ ;

( ) ( ) ( ) ( ) ;00;0 =+⋅= ∫ XXdttxtX L

( ) ( ) ( ) ( ) ;00;01

=+⋅= XXsxs

sX L

( ) ( ) ( )0XdttxtXn

+⋅= ∫∫∫ ( ) ( ) ( )01 Xsxs

sX n +⋅=

( ) ( )dttxtxt

20 1 ⋅−∫ τ ( ) ( )sxsx 21 ⋅

Первые два свойства показывают, что линейные операции над оригиналом после преобразования сохраняются и у изображения. Следующие два свойства показывают, что линейные операции дифференцирования и интегрирования, выполняемые над оригиналом однократно, после преобразования самого оригинала сводятся к простому умножению (для производной) или делению изображения на комплексную переменную s. Обычно начальные значения оригинала и постоянные интегрирования можно при описании технических систем выбирать равными нулю. Поэтому в дальнейшем, если это не будет оговорено специально, принимаем их значения равными нулю и опускаем. Последнее свойство является важным и часто применяется для вычисления реакции системы на произвольные входные воздействия.

Обратное преобразование Лапласа позволяет вычислить оригинал по известному изображению:

( ) ( )dssxej

txjc

jc

st∫∞+

∞−⋅=

π21

(13)

здесь: c - показатель роста или абсцисса сходимости, причем интеграл вычисляется в смысле главных значений в области, где Re s>c.

В инженерных расчетах практически не приходится вычислять изображения оригиналов с использованием соотношения (12) или определения оригинала по его изображению с использованием выражения (13). При необходимости можно воспользоваться соответствующей справочной литературой по операционному исчислению. В них приведены оригиналы и изображения различных типов функций, а также другая информация, необходимая для вычислений изображений или оригиналов с использованием табличных значений.

Вновь обратимся к уравнению (8) и применим к нему указанные свойства преобразования Лапласа. Предположим, что входная величина x1(t), возмущений f(t) и выходная величина x2(t) удовлетворяют указанным выше ограничениям по непрерывности, дифференцируемости и скорости роста, и они могут быть преобразованы по Лапласу и представлены своими изображениями. Тогда на основании приведенных свойств уравнения (8) можно записать в изображениях следующим образом:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sfcscscsxbsbsbsxasasasa lll

mmm

nnnn +++++++=++++ −−

−− ......)...( 1

1011

10211

10 (14)

Допустим, что возмущающее воздействие в системе отсутствует. С учетом этого уравнение (14) можно преобразовать в следующий вид:

( )( ) ( )

nnn

mmm

asasabsbsbsG

sxsx

++++++

== −

−

...

...1

10

110

1

2 (15)

G(s) - носит название передаточная функция замкнутой системы и определяется отношением двух комплексных функций:

( ) nnn asasasD +++= − ...1

10 и mmm bsbsbsB +++= − ...)( 1

10 (16) Так как эти функции упорядочены по степеням комплексной переменной s, то их часто

называют полиномами. Полином D(s) называют характеристическим полиномом замкнутой системы. Его исследование, как будет показано в дальнейшем, позволяет определять многие свойства замкнутой технической системы.

Теперь предположим, что на вход замкнутой системы не подается входной сигнал x1(t), а воздействует только возмущающее воздействие f(t). Тогда в выражении (14) также не будут присутствовать полином B(s). Найдем отношение изображения выходной величины к изображению возмущающего воздействия:

( ) ( )( ) n

nnl

ll

asasacscsc

sfsxs

K

K

+++++

==Φ −

−

110

1102 (17)

здесь: Φ(s) - передаточная функция замкнутой системы относительно ошибки. Как видно, знаменатели передаточных функций замкнутой системы по входному

воздействию и по возмущению одинаковы. Следовательно, если система линейна, то можно найти такую комбинацию некоторого нового входного воздействия, при отсутствии возмущения, которое бы оказывало на систему такое же эквивалентное воздействие, как суммарный сигнал от входного и возмущающего воздействия в правой части (14). Этот принцип суперпозиции часто применяется на практике при анализе сложного воздействия, которое путем преобразования разлагают на простые слагаемые, а потом полученные составляющие выходного сигнала x2 просто суммируют.

Знаменатель передаточной функции замкнутой системы по возмущению Gf(s) не изменился и равен по прежнему характеристическому полиному замкнутой системы D(s).

Введенные понятия передаточных функций замкнутой системы G(s) и Gf(s) были получены из общего дифференциального уравнения замкнутой системы уравнений. Однако при анализе технических систем отдельные функциональные блоки контура управления: объект управления, устройство управления и обратная связь описываются первоначально отдельными уравнениями, и только после соответствующего преобразования этих уравнений получаем общее уравнение замкнутой системы. Конечно, к каждому из этих уравнений отдельных функциональных блоков могут быть применено преобразование Лапласа и получены их изображения или передаточные функции отдельных функциональных блоков. В свою очередь, отдельный функциональный блок замкнутого контура может быть описан не одним общим дифференциальным уравнением, а некоторой системой более простых уравнений, которые также могут быть представлены в изображениях передаточными функциями.

Как отмечено ранее, каждый из функциональных блоков контура управления может иметь ряд локальных местных обратных связей и включать ряд дополнительных, взаимосвязанных блоков. Причем каждый из них может быть описан собственной передаточной функцией. По определению передаточной функцией системы или отдельного функционального блока (звена) называется отношение изображения выходной величины данного звена к изображению входной величины. Представим, что нам известна передаточная функция звена W(s). Тогда обозначив изображение входной величины x1(s), а выходной x2(s) можно записать:

( ) ( ) ( )sxsWsx 12 ⋅= (18)

Данное выражение является простым по своей структуре, но весьма емким по своему содержанию:

− определяет выход системы при известном входном сигнале − позволяет построить простую графическую схему связи между отдельными звеньями

контура управления. Такая графическая схема контура управления, представленная в виде отдельных

прямоугольников - звеньев, с вписанными в них передаточными функциями и связанными друг с другом линиями со стрелками, называется структурной схемой. На рис.4 представлены различные варианты связи между звеньями системы.

4. Преобразование структурных схем Теперь ознакомимся с основными правилами преобразования структурной схемы с целью

получения передаточной функции замкнутой системы или упрощения существующей структуры связей в замкнутом контуре управления. Причем следует помнить, что преобразование исходной, структурной схемы проводится именно с целью упрощения, а как результат этого преобразования - определение характеристического полинома D(s) или перечисленных выше передаточных функций замкнутой системы. Наиболее распространены следующие правила.

1. Последовательное соединение звеньев (звенья W1(s) и W2(s) на рис.4a):

21 WWW ⋅=Σ (19) 2. Параллельное соединение звеньев (звенья W3(s) и W4(s) на рис.4b):

43 WWW +=Σ (20) 3. Звено с обратной связью (звенья W5(s) и W6(s) на рис.4c):

65

5

1 WWWW

⋅±=Σ (21)

Знак (+) в знаменателе выражения (21) относится к случаю, когда обратная связь отрицательна, а (-) - когда обратная связь положительна. Заметим, что если связь отрицательна то, как правило, сектор на сумматоре в структурной схеме закрашивают

Как при последовательном, так и параллельном соединении звеньев нет ограничений на количество звеньев. Если при преобразовании звеньев с обратной связью в прямой или обратной цепи имеются параллельное или последовательное соединение нескольких звеньев, то сначала проводят их преобразование по правилам 1 или 2, а после этого применяют правило 3.

Необходимо отметить еще два правила, которые часто применяются для упрощения структурных схем и представлены на рис.4d и e: 1. Перенос точки ветвления через звено справа налево и наоборот - при переносе влево в цепь

переноса добавляется звено через которое переносится точка ветвления, а при переносе вправо в цепь добавляется звено с передаточной функцией обратной передаточной функции через которую переносится точка ветвления.

2. Правило сумматоров (элементов сравнения) - если имеется сумматор, к которому подходят со своими знаками несколько сигналов, то вместо одного сумматора на структурной схеме можно вставить несколько сумматоров и распределить эти сигналы по вновь введенным сумматорам. Это позволяет при преобразовании участков структурной схемы с локальной обратной связью установить последовательность таких действий.

Таковы основные правила преобразования структурных схем. При проведении преобразования исходной структурной схемы замкнутого контура управления необходимо четко определить цель преобразования структурной схемы и конечный результат преобразования.

Обычно предполагается, что цель преобразования заключается в получении передаточной функции замкнутой системы в целом вида (15). Действительно анализ передаточной функции замкнутой системы позволяет, как это будет рассмотрено в дальнейшем, получить сведения о

поведении заданного контура и определить его важнейшие показатели: точность системы при реализации заданного входного сигнала, быстродействие системы и устойчивость. Однако нетрудно представить себе, что при преобразовании прямой цепи, в которую входят звенья устройства управления и объекта эти звенья между собой могут быть соединены параллельно, либо последовательно, либо иметь локальные обратные связи. В некоторых случаях могут в прямой цепи возникать различные перекрестные связи. Аналогично и в обратной связи может присутствовать аналогичная ситуация. Очевидно, что после такого преобразования общая передаточная функция системы будет сложной.

Поэтому передаточную функцию замкнутой системы на этапе преобразования структурной схемы определяют только в исключительных случаях. Обычно целью преобразования является получение передаточной функции разомкнутого контура. Точку размыкания обратной связи (a) выбирают в цепи непосредственно перед элементом сравнения (см. рис.1).

Применяя правила преобразования структурной схемы можно получить общую передаточную функцию разомкнутого контура WΣ(s). Проводя в разомкнутом контуре последовательные действия по преобразованию отдельных участков структурной схемы необходимо стремится к тому, чтобы общая передаточная функция была, после преобразования, представлена в наиболее простом виде. В практике анализа и расчета систем управления, для линейных систем введены ряд стандартных передаточных функций (элементарных звеньев). В последующих разделах курса эти элементарные звенья будут подробно изучены и определены их свойства.

Здесь отметим, что для дальнейшего анализа свойств разомкнутого контура необходимо стремится к такому преобразованию исходного разомкнутого контура, которое можно было бы записать в следующем виде:

)()(1

sWsWn

i∏=Σ (22)

После преобразования указанного разомкнутого контура замкнем разомкнутый контур в точке размыкания (a) и представим структурную схему замкнутой системы для двух случаев:

⋅ когда в качестве выходной величины системы принимается сигнал )('2 tx ,

сформированный обратной связью Δ(t); ⋅ и случай, когда за выходной сигнал принимается текущая ошибка системы. Оба этих случая представлены на рис.4 Полученная передаточная функция разомкнутой системы WΣ естественно проще, чем

передаточная функция замкнутой системы относительно выходной величины )('2 sx :

( ) ( )( )sW

sWsGΣ

Σ

+=

1 (23)

Если произвести дальнейшие преобразования разомкнутой передаточной функции (22), то ее можно представить в следующем виде:

)()()(

sBsAsW =Σ (24)

Подставим (24) в выражение (23) и после преобразования получим:

)()()()(

sBsAsAsG+

= (25)

Знаменатель замкнутой передаточной функции, как отмечено ранее, является одновременно характеристическим полиномом системы в целом и как следует из (25), он равен:

)()()( sBsAsD += (26)

Теперь определим, как изменится передаточная функция замкнутой системы если выходной величиной будем считать не изображение выходной величины )('

2 sx , а изображение ошибки Δ(s):

)()()(

)(11)(

sBsAsB

sWs

+=

+=Φ

Σ (27)

Как видно из (27) знаменатель замкнутой передаточной системы относительно ошибки совпадает со знаменателем замкнутой системы, когда в качестве выходной величины принимается

)('2 sx . Можно показать, что если в качестве выходной величины выбрать любую текущую

переменную замкнутого контура, например, управляющее воздействие u(t), то и в этом случае знаменатель замкнутой системы не измениться. В теории управления это свойство, передаточной функции замкнутой системы широко используется. На самом деле, как видно из выражений (23), (25) и (27) при замыкании системы никаких новых слагаемых, кроме A(s) и B(s)не появляется, поэтому во многих случаях, свойства замкнутого контура можно достаточно быстро определить путем изучения свойств разомкнутого контура.

Таким образом, наряду с описанием системы с помощью дифференциальных уравнений, ее также можно описать с использованием передаточных функций. И структурных схем. Путем преобразования структурной схемы системы можно получить общую передаточную функцию разомкнутого контура системы, а также, при необходимости - передаточную функцию замкнутой системы.

5. Характеристики управляемых технических систем. Как уже отмечалось при анализе систем автоматического управления, замкнутый контур

которых представлен на рис.1, необходимо, выбрать такое устройство управления, которое бы обеспечивало необходимое быстродействие, минимальную текущую и накопленную ошибку и гарантировало бы устойчивость системы и нечувствительность к внешним возмущениям. Используя физические закономерности, характеризующие объект управления, выбирая определенные законы управления можно составить либо дифференциальные уравнения системы или ее передаточные функции. Обычно в технических задачах, не связанных с управлением, после получения дифференциальных уравнений находят их общее или частное решение. В случае систем автоматического управления такой подход не позволяет определить свойства замкнутого контура управления.

Поэтому арсенал методов изучения систем управления включает, теоретический, качественный анализ самых дифференциальных уравнений или передаточных функций, а также экспериментальные исследования отдельных звеньев и системы в целом.

Наряду с передаточными функциями и дифференциальными уравнениями, системы автоматического управления принято оценивать с помощью характеристик.

Различают два типа характеристик: ⋅ статические характеристики системы и ⋅ динамические характеристики системы. Следует отметить, что характеристики системы можно получить двумя различными

путями: 1. С использованием дифференциальных уравнений и передаточных функций системы

автоматического управления. 2. Путем целенаправленных экспериментальных исследований этой технической системы. Статической характеристикой системы называется функциональная связь выходной

величины от входной в установившемся режиме, когда выходная и входная величины , а также возмущающее воздействие не изменяются во времени. Если известна передаточная функция

системы, например выражение (15), то статическую характеристику легко записать аналитически, учитывая, что в установившемся режиме производные отсутствуют (s=0):

12 xabx

n

m ⋅= (28)

Аналогично можно получить эту же характеристику из дифференциального уравнения (12) при отсутствии возмущения f, а также всех производных.

При экспериментальном исследовании потребуется создание специальных условий и организация специальных режимов работы, которые бы гарантировали отсутствие (или неизменность) возмущения, а также проведение измерений, когда ни входная, ни выходная величины не изменяются во времени. Причем такие условия необходимо поддерживать для всего диапазона возможного изменения входной величины. Как видно из приведенного описания, в зависимости от вида и сложности системы автоматического управления, экспериментальное определение статической характеристики, может быть достаточно трудоемкой процедурой.

Иногда, при экспериментальном определении характеристик системы, ее предварительно расчленяют на отдельные функциональные блоки (см. рис.1) а в большинстве случаев, эти функциональные блоки расчленяют на более простые звенья, соединенные либо последовательно, либо параллельно. После такого расчленения системы на составные части определяют статические или другие характеристики этих звеньев, и использую правила преобразования структурной схемы, получают необходимые характеристики требуемого функционального блока или системы в целом.

Если коэффициенты an и bm в выражении (28) постоянны, то связь между установившимися значениями выходной и входной величинами будет линейной. Во многих случаях при экспериментальном определении статической характеристики системы или отдельного звена, эта связь оказывается нелинейной. В этом случае, производят ее линеаризацию. Ранее при рассмотрении законов управления, было подчеркнуто, что их можно разделить на линейные, и нелинейные законы, линеаризация которых невозможна путем замены нелинейного закона на первое линейное приближение. Точно также статические характеристики звеньев или системы в целом, можно классифицировать как характеристики, которые можно в ограниченной области изменения входной и выходной величин заменить линейным приближением, и характеристики, которые обычным способом не линеаризуются. На рис.5 приведены основные типы нелинейных статических характеристик, линеаризация которых не может быть произведена разложением в степенной ряд и определением первого приближения или линейной аппроксимацией результатов экспериментальных исследований.

Динамические характеристики системы или ее отдельных звеньев, в свою очередь, делятся на временные характеристики и частотные.

Различают три вида временных характеристик: ⋅ реакцию системы или звена на входной импульс, ⋅ реакцию на ступенчатый входной сигнал, ⋅ и реакцию системы на стационарное, случайное входное воздействие, Рассмотрим подробно первые две характеристики. Как уже отмечалось выше, в теории

управления при изучении и анализе системы предполагается, что предыстория системы не влияет на ее поведение после начала работы, поэтому рассматривается поведение системы от начала отсчета времени в положительном направлении оси.

Реакцией системы на импульс или импульсной переходной характеристикой системы называется временной процесс изменения выходной величины, когда на вход системы подан импульс. В математике под импульсом понимают непрерывную функцию, которая имеет на всей временной оси нулевое значение за исключением единственной точки на временной оси. Это точка начала отсчета времени как в положительном направлении оси времени , так и в отрицательном направлении. В этой точке импульсная функция за бесконечно малый промежуток

времени, оставаясь непрерывной функцией, принимает бесконечно большое значение и за столько же малый промежуток времени непрерывно изменяясь приобретает прежнее нулевое значение. В математической литературе эту функцию называют дельта - функцией или функцией Дикара, и обозначают δ(t). Напишем равенство, определяющее дельта - функцию:

⎩⎨⎧

=∞≠

=000

)(tt

tK

Kδ (29)

Важным свойством дельта - функций является равенство единице интеграла вычисленного по всей временной оси:

( ) 1=∫+∞

∞−

dttδ (30)

Когда такой сигнал поступает на вход некоторой технической системы, то с одной стороны, представляется, что система должна получить бесконечно большое входное воздействие, но одновременно само время воздействия бесконечно мало! Интегральное соотношение (30) показывает, что это воздействие ограничено. Выходом системы, как отмечено, будет импульсная переходная функция или функция веса w(t). Если к этой функции применить преобразование Лапласа, то получим передаточную функцию этой изучаемой системы. Именно это обстоятельство является наиболее привлекательным и часто используемым в практике для «быстрого» нахождения свойств изучаемой системы и определения ее параметров.

Однако определение передаточной функции системы с использованием функции веса, полученной в результате экспериментального исследования системы достаточно трудоемко. Необходимо помнить, что полученная импульсная переходная функция представляет в этом случае не математическое выражение, а экспериментальный график. Если при этом внутренняя структура системы (дифференциальных уравнений или передаточной функции) неизвестна, то при аппроксимации функции веса некоторой математической зависимостью - предполагаемым откликом системы на импульсный входной сигнал, возникает неопределенность из-за отсутствия сведений о порядке системы и его внутренней структуре. Поэтому определение параметров системы по реакции на входное импульсное воздействие возможно только для линейных систем с априори известной внутренней структурой.

Следующим стандартным входным сигналом является единичное, ступенчатое воздействие 1(t). Единичная функция является непрерывной функцией и определяется следующей зависимостью:

00

;1;0

)(1>≤

⎩⎨⎧

=tt

t (31)

Выходной сигнал в этом случае называется переходной функцией системы h(t). С использованием переходной функции h(t) можно также при известной внутренней структуре системы определить неизвестные параметры и свойства изучаемой системы. Конечно, реальное входное, ступенчатое воздействие не обязательно должно иметь единичное значение. Так как рассматриваются линейные системы, то в результате умножения единичного входного воздействия на некоторый постоянный, масштабный коэффициент выходная реакция системы также изменится во столько же раз. Такое же замечание распространяется также на импульсное входное воздействие δ(t) и другие нормированные входные воздействия.

В практике исследования систем автоматического управления иногда применяется метод воздействия на вход системы определенным временным случайным воздействием. Такое воздействие позволяет определить влияние случайных помех, поступающих на вход системы вместе с полезным сигналом. Для анализа поведения системы в этом случае широко применяется методы теории случайных процессов. В качестве тестовых входных сигналов чаще всего

используются гауссовские, случайные процессы. Совместный анализ выходного и входного тестового сигналов путем вычисления взаимно корреляционных функций либо спектральных характеристик позволяет уточнить свойства изучаемой системы, особенно в том случае, когда отсутствует априорная информация о внутренней структуре системы.

При изучении системы автоматического управления с помощью случайных процессов вычисляют следующие корреляционные функции:

автокорреляционную ( ) ( ) ττ dtxtxTT

RT

Txx +⋅=

∞→= ∫

∞=

−∞=112

1lim (32)

и взаимно корреляционную ( ) ( ) ττ dtxtxTT

RT

Txy +⋅=

∞→= ∫

∞=

−∞=212

1lim. (33)

По поведению этих функций можно определить ряд важных свойств изучаемой динамической системы.

Частотные характеристики системы можно получить двумя способами. Если известна передаточная функция разомкнутой системы WΣ, то с использованием выражения (23) всегда можно получить передаточную функцию замкнутой системы G.

Формально, для определения частотных характеристик системы необходимо произвести

переход от комплексной переменной Лапласа s к переменной Фурье jω. Полученная передаточная функция WΣ(jω) называется частотной передаточной функцией разомкнутой системы. Заметим, что правила преобразования структурных схем от такой замены переменной не изменяются, поэтому с использованием частотной передаточной функции разомкнутой системы можно по (23) также получить частотную передаточную функцию замкнутой системы. Обычно, при проведении анализа технической системы используют не математическое выражение WΣ(jω), а графическое представление этой зависимости в определенных координатах. Любую частотную передаточную функцию можно преобразовать в комплексную функцию, с явно выраженными вещественной и мнимой частями:

( ) ( ) ( )ωωω jVUjW += (34) Эта форма представления частотной передаточной функции используется, когда

необходимо производить сложение нескольких частотных передаточных функций.

( ) ( )ωω ∑∑ +=Σ

n

i

n

i VjUW11

(35)

Другая форма представления частотной передаточной функции в виде вектора с определенным модулем и фазой удобна, когда необходимо производить умножение нескольких частотных передаточных функций:

( ) ( ) ( )( )∑

⋅== ∏∏Σ

n

i

eAjWjWn

i

n

i1

11

ωϕ

ωω (36)

Модуль частотной передаточной функции определяется из выражения (34) при помощи известного выражения:

( ) ( )( ) ( )( )22 ωωω VUA += (37) Фазовая характеристика частотной передаточной функции также может быть определена с

использованием алгебраической формы записи (34) и равна:

( ) ( )( )ωωωϕ

UVarctg= (38)

Частотные характеристики системы автоматического управления при экспериментальном исследовании системы определяют следующим образом:

На вход системы подается синусоидальный входной сигнал постоянной амплитуды A1 и неизменной начальной фазы колебаний φ1. Частота колебаний ω для каждого последующего сеанса эксперимента изменяется на определенную величину. Теоретически частота диапазон изменения частоты колебаний равен бесконечности [ ]∞KKω0 , однако на практике этот диапазон ограничивают [ ]maxmin ωωω KK .

На выходе системы производят измерение A2 и φ2 после установления периодического повторяющегося процесса, частота которого совпадает с заданной

входной частотой , а амплитуда и фаза колебаний постоянны от периода к периоду. Результаты эксперимента заносят в таблицу с следующим заголовком:

Таблица 3

ω A1 φ1 A2 φ2 ( )1

2

AAA =ω ( ) 21 ϕϕωϕ −=

После проведения серии экспериментов во всем выбранном диапазоне частот, полученные амплитудную A(ω) и фазовую φ(ω) характеристики представляют в виде графиков. В зависимости от последующего использования эти две важные характеристики системы могут быть представлены и преобразованы в различную форму.

Одной из распространенных форм графического представления частотной передаточной функции является построение годографа на комплексной плоскости, называемой плоскостью амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ). На рис.ХХ изображен годограф АФЧХ, на котором показана связь между аргументом (фазой) и модулем (амплитудой) амплитудно-фазовой частотной характеристики с ее вещественной и мнимой частями.

Другой распространенной формой графического представления данной характеристики является построение амплитудной и фазовой характеристик на стандартной логарифмической сетке в виде двух отдельных характеристик: логарифмической амплитудной характеристики L(ω) и фазовой характеристики ϕ(ω).

Обычно при анализе отношений двух величин, когда они могут отличаться на несколько порядков, то в технике используется не само отношение этих величин, а логарифм этого отношения Справедливы следующие соотношения, определяющие логарифмические характеристики:

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )ωϕωϕ

ωωωω ωϕ

==

⋅=AL

eAjWL j

lg20lg20

(37)

Для удобства совместного анализа логарифмической амплитудной и фазовой характеристик оси частот располагают так, чтобы по оси логарифма модуля и оси фаз совпали точки, когда фазовая характеристика равна -180°, а логарифмическая амплитудная характеристика равна 0. Заметим, что в технике принято как отношение двух величин измерять в безразмерных единицах называемых децибелами (дб). Так 0дб соответствует отношению величин равной 1, 20дб - 10, -20дб - 0.1 и т.д. Стандартная логарифмическая сетка с нанесенными на ней логарифмической амплитудной и фазовой характеристикой изображена на рис.ХХ1. В западной технической литературе стандартную логарифмическую сетку изображают так, чтобы оси амплитудной и фазовой характеристик были ортогональны, а их точка пересечения происходила в точке (0дб,-180°). В зарубежной оригинальной или в переводах по теории управления эту стандартную сетку называют диаграммой Боде. В отечественной литературе. Такая стандартная сетка называется с представленной на ней логарифмической амплитудной и фазовой характеристикой называют логарифмическими амплитудно-фазовыми характеристиками.

Анализируя расположения характерных точек логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик разомкнутой системы на стандартной логарифмической сетке можно определить или скорректировать параметры рассматриваемой системы. По существу анализ

частотных характеристик линейных систем в разомкнутом контуре является одним из наиболее распространенных инженерных методов анализа свойств систем управления.

Приведенные различные характеристики системы, как ранее отмечено, могут быть получены на основе априори известной передаточной функции системы, либо из дифференциальных уравнений. Однако, при отказе реальной технической системы, зачастую неизвестны ни дифференциальные уравнения системы, ни ее передаточные функции. В таком случае единственным, надежным и сравнительно быстрым способом идентификации системы является эксперимент. Отметим, что под экспериментальным методом исследования систем управления понимается целенаправленное воздействие на систему определенными входными сигналами с регистрацией как входного, так и выходного сигналов, при отсутствии или постоянном (неизменном) значении возмущающего воздействия. Аналогично изучаются, при необходимости, характеристики относительно возмущающего воздействия.

Далее по тексту рассмотрим последовательно схемы проведения эксперимента по определению характеристики системы управления или ее отдельных звеньев. Но прежде чем приступить к изучению отдельных элементов (звеньев) замкнутой управляемой технической системы, рекомендуем ознакомится с цитируемым здесь отрывком из доступного в Internet конспекта лекций Массачусетского технологического института, в которых показано, что от законов, реализуемых управляющим устройством, моно получать разные свойства замкнутой системы. Приводим также доступную в Internet доступных электронных библиотеках (для зарегистрированных пользователей) ссылку на достаточно доступную для студентов машиностроительных специальностей книгу «Schaum's Outline Of Theory And Problems Of Feedback And Control Systems by DiStefano, Joseph J. New York : McGraw-Hill Professional, 1995». Она доступна по адресу электронной библиотеки - http://www.netlibrary.com

6. Немного об управляемых технических системах из лекций MIT http://www-me.mit.edu/

“The purpose of this module is to illustrate the advantages of feedback control. . Quantities such as pressure, temperature, velocity, thickness, torque, and acceleration have to be

maintained at desired levels. Feedback control is a convenient way in which this can be accomplished. Feedback consists of three components:

measure the relevant output compare the actual output with the desired value correct by using the difference in values as the new input to the system

In block diagram, this is represented as

The desired output is referred to as the reference or command input. The following examples are used throughout this module: Steel Rolling Mill

The thickness of the steel billets is maintained by the controller.

Compliant Robot Arm

The position of the end of the robot arm is determined by the controller.

Ship Roll

The roll angle of the ship is minimized by the stabilization fins.

Satellite Launch Vehicle

The trajectory of the satellite launch vehicle is determined by the controller.

Magnetically Levitated Train

The gap in the magnetic bearing is maintained by the controller.

Human Blood Pressure

The blood pressure of a patient under anesthesia is held constant by the controller.

Tank Pressure

The pressure in the tank is held constant by the controller.

In feedback control systems, the goal is to drive to zero the error between the desired output and

the actual output. Find the steady-state error using the Final Value Theorem.

For a feedback system of the form

the steady-state error is thus

Steady-state error is the asymptotic value of the difference between the actual output of a system and the desired output of the system.

r(t): desired output (reference) y(t): actual output of the system e(t): error

Given a transfer function G(s),

G(s) is type 0 when n = 0. Note: When you compute the steady-state error, G(s) must correspond to the transfer function of

the forward loop. One example of a type 0 system is a magnetic bearing and controller for a magnetically levitated

train. The block diagram and transfer function for this system are

Note: The system type remains the same no matter what input is applied.

G(s) is said to be type 0 if the number of poles of G(s) at the origin is equal to zero. Given a transfer function G(s),

G(s) is type 1 when n = 1. Note: When you compute the steady-state error, G(s) must correspond to the transfer function of

the forward loop. One example of a type 1 system is a steel rolling mill and a controller used to maintain a constant

thickness of steel produced by the mill. The block diagram and transfer function for this system are

Note: The system type remains the same no matter what input is applied.

G(s) is said to be type 1 if the number of poles of G(s) at the origin is equal to one. Given a transfer function G(s),

G(s) is type 2 when n = 2. Note: When you compute the steady-state error, G(s) must correspond to the transfer function of

the forward loop. The steady-state error depends on the type of inputs and the type of the foward-loop. It can be

computed easily using error constants. For the magnetically levitated train system with block diagram and transfer function given by

The position constant is

For the robot arm system with block diagram and transfer function given by

The position constant is

Note: For all type 1 and type 2 systems, the position constant equals infinity. For the steel rolling system with block diagram and transfer function given by

The velocity constant is

Note: For all type 2 systems, the velocity constant equals infinity. For all type 0 systems, the

velocity constant equals 0.

position constant kp =

velocity constant kv =

acceleration constant ka = The steady-state error depends on the type of inputs and the type of the foward-loop. It can be

computed easily using error constants. For the magnetically levitated train system with block diagram and transfer function given by

The position constant is

For the robot arm system with block diagram and transfer function given by

The position constant is

Note: For all type 1 and type 2 systems, the position constant equals infinity. For the steel rolling system with block diagram and transfer function given by

The velocity constant is

Note: For all type 2 systems, the velocity constant equals infinity. For all type 0 systems, the

velocity constant equals 0.

position constant kp =

velocity constant kv =

acceleration constant ka = For any system G(s) with feedback control and input r(t),

When the input, r(t), to the system is a unit step

with Laplace transform

then the steady-state error is:

steady-state error =

= kp is the position constant Magnetically Levitated Train Consider the steady-state error for a step input to the magnetically

levitated train system

The position constant, kp, is -0.5 K, so the steady-state error is

Robot Arm Consider the steady-state error for a step input to the robot arm

The position constant, kp, is equal to Kp, so the steady-state error is

Note: For all type 1 and type 2 systems with a step input, the steady-state error is zero. For any system G(s) with feedback control and input r(t),

When the input, r(t), to the system is a unit ramp

with Laplace transform

then the steady-state error is:

steady-state error =

=

= kv is the velocity constant Flow Control Consider the steady-state error for a flow controller on a two tank system

The velocity constant, kv, is 0, so the steady-state error is

Steel Rolling Now consider the steady-state error for a thickness controller on a steel rolling mill

The velocity constant, kv, is 0.01 K, so the steady-state error is

Spacecraft Guidance Finally, consider the steady-state error for a controller on a spacecraft

The velocity constant, kv, is infinite, so the steady-state error is

Note: For all type 2 systems with a ramp input, the steady-state error is zero. For any system G(s) with feedback control and input r(t),

When the input, r(t), to the system is parabolic

with Laplace transform

then the steady-state error is:

steady-state error =

=

= ka is the acceleration constant Feedback control can be used to reduce the effects of disturbances at the output. Ship Roll Dynamics Consider the rolling of a ship at sea. The ship dynamics and roll control

system can be modeled with the following block diagram and transfer function

The transfer function relating wave effects to ship roll is

For a step input Td(t) = 1, the steady-state roll is

By increasing Ka, the amplitude of the roll can be reduced. Arterial Pressure During surgery, the mean arterial pressure of the patient must be maintained as

long as the patient is under anesthesia, despite the variations in pressure induced by the actions of the surgeon. The blood pressure and control system can be modeled as

The transfer function relating surgical disturbances, D(s), to actual pressure, C(s), is

For a step input Td(t) = 1, the steady-state roll is

Feedback control can be used to reduce the sensitivity of a system transfer function to changes in

the system parameters. The sensitivity of a quantity A with respect to a parameter b is defined as

Ship Roll Dynamics consider the rolling of a ship at sea. The ship dynamics and roll control

system can be modeled with the following block diagram and transfer function

The transfer function relating wave effects to ship roll is

The forward loop transfer function is KaK1G(s) The sensitivity of the forward loop transfer function to changes in actuator gain, Ka, is defined as

SKaG.

The sensitivity of the closed loop transfer function to changes in actuator gain, Ka, is defined as

SKaT.

By choosing a large Ka, the sensitivity can be made very small. Feedback control can be used to improve the transient response of a system. Typically this is done

by adding damping. The PD controller is used to add damping to a system in order to improve the transient response of

the system. When properly calibrated, a PD controller will reduce overshoot. A PD controller with block diagram

or has the transfer function

Nnote: Use of a PD controller assumes that the derivative of the output is measurable. If the

output is not measurable, then using a PD controller may introduce more error since the output must be simulated or estimated.

A Proportional-Derivative controller includes both proportional and derivative components.

The phase-lead compensatory is used to add damping to a system, typically when velocity

feedback is not possible. The transfer function of a first order phase compensatory is given by

where zc < pc The gain plot and phase plot are given by

In a feedback control system, if the desired output is a constant, it is referred to as regulation. In a feedback control system, if the desired output varies with time, it is referred to as tracking.

G(s) is said to be type 0 if the number of poles of G(s) at the origin is equal to zero.

G(s) is said to be type 1 if the number of poles of G(s) at the origin is equal to one.

G(s) is said to be type 2 if the number of poles of G(s) at the origin is equal to two.”

Замечания: В зависимости от свойств Объекта (System) и управляющего устройства (Controller) при замыкании системы общей отрицательной обратной связью могут получаться различные типы передаточных функций замкнутой системы G(s). Прочитайте английский текст и подготовьтесь к ответу на вопрос:

Отчего зависит точность и полоса пропускания замкнутой системы, и какие для этого должны быть законы управления? (Ответить на этот вопрос Вы также можете не читая английский текст)

Элементарные звенья САУ и их характеристики. Реальные управляемые технические системы включают в своем составе устройства

различной физической природы. Как отмечено в водной части это могут быть полупроводниковые усилители или преобразователи, электрогидравлические сервозолотники и гидроприводы с различным видом движения рабочего органа, управляемые электроприводы постоянного или переменного тока, датчики локальной и глобальной обратной связи с измерителями различным физическим принципом измерения, микропроцессорные устройства и многое другое. На этапе разработки сложных управляемых технических систем был изучен и идентифицирован объект управления и на основе априори определенных требований по качеству системы был подобран необходимый закон управления и путем расчета и имитационного моделирования подобраны требуемые параметры устройства управления. При проведении этих работ в практике конструирования широко используются некоторые типовые математические модели отдельных элементов.

При эксплуатации технических систем с контуром автоматического управления в производственных условиях, разработчик данной системы отсутствует. Хотя в технической документации приводятся данные о возможных нарушениях в работе системы, однако, в реальных условиях инженер, эксплуатирующий данные технические системы, часто оказывается в условиях, когда свойства данной системы неизвестны. В этом случае возникает задача идентификации и исследования свойств отдельных элементов системы. Большую роль при проведении наладочных или восстановительных работ, как и при конструировании, играют типовые звенья систем автоматического управления. Типовые звенья это, образно говоря, строительные блоки, соединяя которые соответствующим образом, получаем готовое здание.