˘ˇ - ab-rafiee.comab-rafiee.com/pdf/jozvenazariyezabanha.pdf · 8 0 3 h n l a n n = ≥ ≠ { :...
TRANSCRIPT
2
�������������������������������������������������������� ������������������
���������������������
������������� ��������������������������������������������
��� � ��!��"#�$����%������&��'(�)���) ��*+���
��������A���� ��������������������� ���!�����"#�$� �%&���!�����"#A������������'A�'����������
��& �*+���������������A������������� ���!�����"#�$� �%���� ��������������
�+ ,-String�.��%��������()*� ������+������,��-�%.���������������������
�% �/a,b,z01�$�2� �����a��3�aaba�3�abz����&&&������������*���������4����
�+/�5��
������6%����7��� ����������8)���9������������ ��������������������� ��:#������� ���λ)��$�����������9��;���:������0�1'λ'�
%�&�!��&��'(���������������A���B��������������<���<)��,�����,��%=�#�% ��>?6���% ��()*� ����(������&()����������������������������(����%���
()9�@�%"#�%2�������������������������<�������7��������A���,�����,���"��#&��
�,�' ��&��'(��5��
�9��;������������������������")�B����������������������CN�D�������(���
�+/����������@�%"#�E��F�����������G��#�������������3�*
Σ�� ��&��H�I�5 �% ��/a,b0�1Σ�(�����$�2� �����/�&&&3 ba 3 b 3 aa 3 ab 3a 3�λ01*
Σ
�+/�����*
�;��J�����E��F������������������������
���5��
���������������%�����*�����������������,������������ ��&���������� ������������"#��9������K��L�<���%)M����������3���
������������������������������������������������������������������������������������H�I��3�;��������%)M������},,{1 abaabaL =��������������,...},,{2 aaaaaaL =��
3
��
���*/��������������������������������������������������5����������������������������������������������������������������}{*
λ−Σ=Σ+��
��0�1����2�'&���
����EL�.�%2�����������3��������<���N)9%#�����9���������()�����)A�%2��������H�������������������$� �%�������������<���OF������3���$��P�Q���(�&
����@�%"#��R|||||.|.,**
WUWUWUWU +=→�Σ∈Σ∈��������*�S����S��)L�T�P�Q���%2U��UWWU .. ≠��
�;���%�VA��9%���)L�T�������P�Q���%2U��VWUWWU )..()..( =���P�Q���E����IT��!�λ�;��UUUU ==→Σ∈ λλ ..
*��� R
w=������W�7"�w
cbawabcwR
=→=
3�/4���2�'&� +56���7��4#� �
��8�� �zyxzyxxzyxzyxyzzxyxyzxyzW
RRRRRR======→= λλ .)..().().().()(
�+/�5��nnn
wwwww ..11
==−+����������������������������
www .22
=− ww
RR=− )(3
nRRnww )()(4 =−
��8�5��
babababawbababaabababwabwRRR
==↔==→=333
)()()..()(
��2�'&∗����% ��Σ∈a�$�2� �3n
a�����9��;����������n�-%.��#�a�������;��$��E)7�#*a�-%.������%7#�XY�������"#��"�����a���Z�[���9
��#�%�L�<)������%�n����S�������#����∗�(�������)���λ=0
a��aaaa ..
3=
,...},,,,{*
aaaaaaaaaaa λ=
�����9+:�� 1�;�#������������%,���,%)��},,{1 abbabal =
�����1l�������������;��������},{ ba=���"#��9�����������9�������!��������a�������\�%��&��
)(,0|| λλ ==→=RR
www
RRuawauauww .,,.0||
*=→Σ∈Σ∈=→≠
→Σ∈*
w
4
}0|{2 ≥= nbalnn��
�����2l�������������;��������},{ ba=���"#���������<�������;��$��$����������������U�S�K��L�����9�n��#�aC�����%�L
%��)��D-%.���"#�<)������� �H����������b��������$���������&��#�������},,,{2 �aabbabl λ=��}0,|{3 ≥= mnbal
mn
�����3l�������������;��������},{ ba=���"#���������<�������;��$��$����������������U�S�K��L�����9�n��#�aC�����%�L
%��)��D�� �H��������� m�"#�-%.��b�C%��)�����%�LD��������$���������&��#�������},,,,,,,{3 �bbbbaabaaabbabbbl λ=��
},{),{**
4 babal =Σ=����������U�F����������������<���&%2���E7������:��C(]��K����D��
����"#������<��ab�C%��)�����%�L�D�#��������9������%7#�(��%;���A���},,,,{5 �ababababababl λ=��
},|.){(*
6 Σ∈= baaabl��,���U�F�����������������:��������9�K��?#�<�������;���U�F����������������<��a�#��������9�����6�R���},,,{6 �ababaabaal =��
�2�'&�����'�5��
�()4���������F�)|( BA��9�A�B������^�Y�����"��4���L�T�������������*��������A��B���_����:� �����%�����&��
},,,,,,{},|)|({ 7
***
7 �abaabbbaaalbabbaal λ=�Σ∈=��},,,,,,{},|)|{( 8
*
8 �aabbbbbaabaabalbabal λ=�Σ∈= *
)|( ba�%2U����%7#������%�����������#���a����b9�^�Y��������&����%��)��#�E��F��������������#�OF������a���b�<���������#��������)��#����T�;&��
Σ∈= baabl ,|){(*
5
34
��������������� �� ����������������LBA��
������ ������������ ����������������� ��� ��!�"#�$ ��%��������& %��'() ��!* $ ��%������+%&����, ��� ���-%.��
!/�&0� 1� 2���3��4�5& ���6'+������ %&78���9!* ���:��&7�.��) ��$ ��%�LBA!* ���:�7�.��) �
�;*%�����(<��)3��-�'+ !����:�����!* =���LBA�&%�������>?$ ��%�;*%���!* ��(<��)) �����:�9�&%�������>?�
������������� ������:��&��
���%@��������A��+ %�4�'�<B����,�� ���*)|()|( VTVT →
+C��%���D��&�� �������7�.�������:�E�( "��%�'&-�'+ !* ��FG
�/��#&3�+��FG7�.�A � 1H������
�%&,���:��&�� ���=&B, ��< %������(<��)�����:��&,�(<��)!����D��&�� �%��
�!* $ ��%������9���:��&,�(<��)3�&��>?�
�;*%������I�/J,�(<��)LBA�&%�������>?�
��A&���%�;*%���� �/(��(<��))% (K�9���>?� ��(<��)) ,���)���/�3���/�$ ��%������� G�(�� ��E�( "�9�&%�'&�����>?C($
�%�'& ��?�=&B, �����:��&�J9@���
�(��<�L& ��(<��),� �C�/D���)2A��
��&%��C�/D���*������&%�������>?$ ��%������;*%�����(<��)�
MK ��L�)��
N�&��'����L�)��
��,�(<��)������9������=&!"�O�9!"�O�<B�� 9�%��M�%��!"�O�P���!��=&��$ ��%������<��)) �����(, ) ���L�)�
�%�'&�����>?����9������=&��Q!"�O�<B�� K��%�������>?������� ����%����J �@$ ��%������9�(<��)�� ���R�����#+��
�%L&M�%��!��E�($ ��%������!* �A'�&��'����L�)��,�(<��)��K��&��!/(<��)%�+������ ������������� ��! "��
�� �/�&��/�2O����,���C'���S ��� ��!#/&K�� �/(��/�, 3���*���/�9I%A"�9T�:K 9U�'�H 2'+!:����) 2D�/�,�(<��)�
��� 1l����) 2D�/�&��)2l3�R&B����CV �&��)2121 , llll �−!* ���) 2D�/�C(�
�%&��4��U%&,�(<��)3� ����) 2D�/��!:��%'(41���%��W��'(�!* ��/������� ������������� ��� � �#$�%���&�
CK- ��������)X ?��M��J;*%�9��7�.) ��W�& ������������� ��!* CV �,�(<��), ��Y��1�CK� &��Y��1�zyxvu ....�%��C�/D�
��.����1.
1..
≥
−≤
yv
myxv�����2A���D��1�����!��=&���zxyuvii ���������P�, )i!/�&<��)%�+������ C� �!��Z����3 %WK��
CV �
"[����) 2D�/� ���) 2D�/� �����I�/J
�L�)�� &��'����L�)��
35
-�\��<��)���� �!��Znnn cba!/�&���) 2D�/��
2J�, ) ��mM��J7�.) ��W�& 9mmm cbaC� ��N�W�& ���!* =���9!* <��)) ,%�+����%@M��J7�.) ��15���,%:&�(��
<%G����yxv ..) ��'�0K%.m�*�(�& %�'&!* abc ,,;D��& %��!��=&���9�(�0�%? �a;D�9�(b��9�(;D�c�(� ���(�0�%?
���� ab ,���(�0�%?C(�� �bc ,9C(�� �2������� , ���Jac ,!/�&��>?<�A� �����(�
<%G]?yxv ..�& %�'&�*�(cba ,,) D��1��(��C��/(�^'[��9�(�0�%? �i%�+�6@�J���� "�9����( %�2��D���& ��(��� ���� �"�
!* !��ZCAJ��%��( %W&<��)�
-�\��<��)���� �!��Z)}()()(|)||({*
wnwnwncbawl cba ==∈=!/�&���) 2D�/��
�M6�<�(��C� �_��l<��)��<��)�� S ��� �������) 2D�/�***cba�� ��!* C[ �&��)��nnn
cba) 2D�/���Q!* &��)�������
������!��Z6#�-�\���:�� ��K��%�!��Z����<��C�& �����9���) 2D�/�&��)�'�J���) 2D�/�<��)P���CV �<��)P�S ���
�3�%�!*���&��_��]?!* l����'&���) 2D�/�&��)�
-�\��<��)}200|{ ≤= nbalnn!* &��)
��CV �� �`CV ��&����) 2D�/�
�`/� ����) 2D�/��&���������`�����I�/J�&�!����:�<���
��A&����:�,�(<��)��&� ���� ������:�� �"�����(<��)�� ����CV ��
-�\��!* ���) 2D�/���),�(<��)) P�4 ����`kkjikji
dcccbba�`kkjiji
dcccba��`kkjikjt
dcccbba�`a�N
-�\��!* �� ��<��)�%�����),�(<��)) P�4 �����/���`}03mod||02mod||,},{|{
*==∈= wORwbawwl
�`|}|||,},{|{*
yzxxyzwbawwl ==∈=�
�`},,},{|{*
yzxxyzwbawwl ==∈=�`},,},{|{
* Ryxxywbawwl ==∈=
'�( �)�*$�+��
�`<��)���� �bWL�}{ *},{,0: bawnawwaL nRn
∈≥=c�&����������) 2D�/�
C�(��!#/&<B�� ���)�� ��!* ���) 2D�/�
�`<��)�� �!��Z}0:{!
≥= naL n����'&���) 2D�/��
<B����mtttvxyttvy ≤++=≥+= 43242 ||,1||�����
, ��<%Gmk ≤C�� �!!)!1( mkmm <−<−
λ
λ
||
||
bAbaAaA
bAbaSaS
→
→
)(!
!!
432143121 .).(.).()3
||,)2
)1
ttttmittitti
mm
aaaaaw
maLaw
Nm
+++−=
≥∈=
∈∃
z u v x y
lawittm
i ∉=�=+− )(! 320)4
5
����������
�� ������9l���10l�������� ������������������������
���������������� � ��}},,{,)||{(*
9 cbacbal =Σ=�
}},,{,)|{(*
10 cbabcal =Σ=
���������9l��*������� �������*
9 Σ=l���������10l����� �� ���a���bc������� ������������
���������������� ���
�! "��Σ���#$� �������� %&�'����(��) �Σ�*+��,%���-���$�./���! � "�α������,%���-���$�*α*+��,%���,��
�! � "�α���β������,%���(���-���$αβ*+��,%���,������0��1�2 ���3$����*�0&�,%���-����$��&��
�! � "�α���β�������,%���(���-���$)|( βα*+��,%���,��
�! � "�l�4�5&6������3%��������l������,3����7/�l�*+��,%���,���
������-���$��������������������������������������������������������������8�&��/�*+��,%���� �},{,))|((***
babaar =Σ=
9�:�����a���������;������*+��,%���<=�*+��>��) ���#$���*
a������������*+��,%���,�����)|( ba����<=�*+��,%���,*)|( ba�,��
��*+��,%��*)|( ba ?6����*
a-���$�<=�*+��4���@2A��**)|( baa�-���$���3����,���6�4���+����0��<=�*+��,%���r�
*+��,%���*+����
�������� �(� �������� "����/�"�,%������&����' ����=�3%���-���$��6���
�� �&��,%��� /��(��������������*��B�,%���-����$��' ����=�������
�����,%���-���$)10(*������4������ ���1l*+����������������������������������������������}1,0{},,0001,001.01,1{1 =Σ= �l
},{},0,2)(|{*
2 bakkwlengthwl =Σ≥=Σ∈=
��������)A�C��(���D� ����'���������������� ������ E����F�������� �����aabbabba ,,,� ��,�&����������7/�����0�����'����������#$�����l�G�H����������������������,����/IE��4�����)"�(������������������������-���$�,�&������G*
)|||( aabbbaab������J�K�����������,%���-���$�L/����*+��M/�����,�0/����*+��,%���-���$�./�������,%���-���$�L��N3� �*
)))((( baba ++�I�&�������� �����������L�3�����
����*+��,%���A�O�������,3�������*��B���
���,3���������,�0/�&���������ll −Σ= *�������←����},12)(|{* +∈+=Σ∈= zkkwlengthwl�������
�,%���-���$���*+��9:��)|()|||(*
baaabbbaab������l�������� ��������
�������������*��B l ��*+��,%�� �},{,0,3)(|{*
bakkwlengthwl =Σ≥=Σ∈=���������������������
��� ���������������������L/��*�+����� #����P �H���'���������� � �
�����**3*)))()((()()( babababbabbbbabbaaabbabaaabaaa +++=Σ=+++++++��
6
������0/���������O�G�Q�������,3�����
9�:�����'��/��� �����./������ ?6��'���/�M&�,����/IE�����������+����������������6����'���������������������������L/��,3����R�������������L/�����S�� ��,%���-���$�,�&������<=��&�������?��T�:�� ���)|()(
2*3 ΣΣΣ��,�0/�����������L/����������������*)"��������U��(��) ��(��������0����������������V�����������7/��&�����J�K���J/ 7��),( ba�
�W #����P �Hn�&��,%���*+�����
�����G�H������������������������,3���A�* ����'�W #�n*+�� /���R�������&��'���� �)||||()(
132* −ΣΣΣΣΣ nn�
��� �����������*��B�l�*+��,%�����������������������������������������������������c}b,{a, },2)(|{ )(
* =Σ=Σ∈= wnwl b
������������������L/�*�X ���'�YZT���YZT���'������������b�������������������������������&��'�***)|()|()|( cabcabca
��� �����������*��B�l�*+��,%������������������������������������������},,{},3)()(|{ )()(
*cbawnwnwl cb =Σ=+Σ∈=���������������������������������������������������������������������
������������������L/�*� R��'��7����'��������������b������c �� ���6��'���$��3E���������������****)()()( acbacbacba +++
��� �����������*��B�l�������������������������������������������*+��,%��}9,2,1,0{},700200|{*
�=Σ≤≤Σ∈= wwl
W��;�)700(|))(65432(2Σ++++���������������������������������������������������������������������������
�� �����(� ��,%���-���$�./�}3,1,1|{ ≥≥≥= nmmnbalmn��0/������
��
******aabbbaaaabbaabbbbal ++=
�� �./������ )K����(����������������0/����3%���-���$���0�&� ����� )K��'���������&�����[� ��./���������0�����
*)101( +���� �(��� /��(��������(� ��,%���-����$},{ ba=��0/������
�������������������������������������������������������������������������}03mod)(|{*
1 =Σ∈= wnwl a
��������������������������������������������������������������}05mod)(|{*
2 >Σ∈= wnwl a
����*****
1 )( abababbl =�����������������������))()()()((***********
2 abbababababababababbl λλλ +++=��
�� ���������4'�+�J�K���./))()()()((****
aabaaaaaabaal +=������������������������������\�3�a��b�./�YZT��������b'��7����a�����]����6��'������ ��$��3E��(� ��,%���-���$�./}�]��=+ mnba
mn|{��0/�������
����****)()()()( bbaabbbaaa +����/���**
))(()( bbabaa λ+���
�!������(� ��,%���-���$�./})|(,3|{+∈≥= bawnwabl
n������++ )(
*baabbbb��
\�'��0A;���/�=��
7
�������� �
��� ����������Dfa��
���������������� ����5���������������������),,,,( 0 FqQM δΣ=�����������Q:����� ����������!�"#��$State�%��δ:�&' �����()����*��+���QQ →Σ×:δ��
0: q���,�-!Q� �����State. �����/ � �0��F:����,���!��"#������Q�����)( QF ⊆. �������12�,����� ��!��"#�����0��
�����Dfa�.����3��������������0}}{,,},1,0{),,,{( 10210 qqqqqM δ=������������������������������������������
10 )1,( qq =δ 00 )0,( qq =δ����:δ
21 )1,( qq =δ 01 )0,( qq =δ &)������������������������������������������4��
12 )1,( qq =δ 22 )0,( qq =δ
����
����56���7.2 ������'���������5.2��89�����!���������State����,��(:2��3�������12����� �����;���<��� �5����/ � �7/ � �
�=�������.�����&�'>�����,���� ��5. ��<�,�;��, ���?@ADFA�=������������ ��B"���!��"#�����7�� ������C��89�DFA������� ������C��89DFA�� ������D6��0�,��� ��EF�01,0001,0101,0111�=����DFA.2� ������C��89���G��0��
�����4DFA���89�����2����A������0��
&)4a*b
���
;F��4DFA���89��������2����A�����0��
&)4****)( bababb
��
0q��
0
1q��
2q��
0 1 1
1 0
0q��
a
1q��
2q��
a,b
b a,b
������������������������2����DFA���7�����>2�����3H����������������&I�.)�3H���������,������DFA����,�������3���6�����#��2�J9�7J'�(�� �������K��DFA������K �3H�����:!�����0��
��������"2���������,������DFA����12�������������� ������.�9DFA���8L�������������������3���0��
0q��
b
1q��
2q��
a
b
3q��
a,b a
b
a
8
�����4���>2��������.�}4,0:{ ≠≥= nnaln����3H���0
�� ������������������$NFA4%��
�����������M����NFA����: ��������F�����DFA�+���M��������� D������������δ�,����NFA�����������������0Q
Q 2)(: →Σ× λδ �������'2�.�A�M�����������3�� �����K��0��
����4
�������,������NFA������������7���89������������������DFA����8L����������"�����N���������.I�3� ����;����0����������������3H���������,������NFA���� �����3��NFA����3H����������5.����.�(������0��
�����4����bbaa*
)|(������NFA.����3����0
��
0q��
1q��
2q��
3q��
4q�� 5q��
a a a a a
a
�,����NDFA4���
�0 ���DFA��������O������������"2�P�)���������� ������State �C��0
�0 ���DFA�3� ���� ����K �N�.������� �������Q:D(��P�)���"��,������0
�0 �.2�����"2�;�����?@A��λ. ���0��
�R �����?@A��NFA����&� �.�2�����λ.� ��3����R ����+����K �NNFA�����,�-!Q
2����,�-!���3�2�����7����Q2������+���B ��P�<�J9������!�"#�����
�������.2���������+���������. ���'�����O���.2���State��P�)����5.>�����������O�����State�� ���0
�R ���AQ2����������'���������7. ��3��1��.2�������+���B ��P�<�7�@�S�2��1���!�"#��&� �State��������
3���.2��K �N�T��7�Q:D(��P �)����.�A��
2q��
0q��
a,b
a b 1q��
9
��'2�.�A�4���
��� ��NFA��!�DFA4���
����� �����K �N�7Q:D(��P �)���"��,������� �5�����U��/ � NFA��M���������K�����73�������VW>����NFA��������������'"�����K �N����� � �5�����#����1������ �����()��������73� ���� �.2��K �N����� �73����������.����P�<��������H2���
����3��������#���,.�.K����� ���()��������7�3� ����� ����K� �N�������O���7Q:D(��P �)�����'�������� ������������'"�
�&� State. ���'"��,��0�����6�NFA������������State�������.�.K����� 7�����2�9����� ���DFA73�������2�9�S�2�������3���6�����H2����0��
�����4NDFA�����������DFA.����&�.:��0
����������
����
&)4
����4��
�,���**ba����DFA.��@��0��
&)�4�����.���NDFA3�������&�.:��JL�� �3�����������
����
��������������������������������������X��K4
��
��
��
0q�� a 1q��
���P�)����5.2��89��
0q�� 1q��
�1������5.2��89
0q�� λ 1q��
0q��
������;���
0q��
�
1q��
2q��
1
0,1� 0,1
0q��
1 0
},{ 10 qq
0,1 },,{ 210 qqq
1q�� 0 1
},{ 21 qq 1 0,1
1,0
2q�� 1
0
��
0q��
a
λ
b
1q��
},{ 10 qq
a
0q��a b
b
1q�� a
��
a,b
0
10
"�#$��%&�3(���������������( �����3H�����U��2������.��������)�������.2������� �����5. ��:Y�����:���2G�&���Z����
.��������,�H2�.2�����"2����������3H��0������������3������Y�3���N���L����,.������)�7M��)�P�<�������)���( ��73�������&"!��C�<� ��,������&F��7����3H�����U�
P�<��(�� ����0003�����,� ��9����M��)�P�<�����"���)���,����������3���[��O�9�����(� ��3��@2�����6����12����0�����3�������Y�����:\�����������3H�����U���3H�����������������"2������������U����7����3H�����U0��
�'�!(�')�!�%* ��+�,�-� ./��/+!�"�#$��%&��/0#L��
�R )�.�2�����:<���.!�����5��W(���.!����M��m.������XW�2��������R ����5��W(��,���� ���L� �, @����6�S��O(�<����3�������XW�2�m����
�R ��"@I��������������W�2���� ��M��)zyx ,,�����<� ���.������3�@]��myxy ≤≥ |.|,1||
�R �����3������Y�3�2������6��,��i�5�����5��W(��∞<≤ i0��� ��7��@)���.!����zxyi�����5. ���Y�7�@�2��H2�������������
����3H�����U�������0
;F��0�����.�����Y}0|{ >= nbalnn����3H�����U�0��
&)�4�^�C��0>m� �mmbaw =���������������������3����mba
mm≥||��
���C�6��H2������;)xyzw =������������3������_`@��=��� ��mmbzayax ===
−,,
1��
lbabaabaazxyimmmmimimi
∉= →=>∀+−=∀− 12121
,0��;F���.������Y�����)}()(|{
*wnwnwl ba <Σ∈=3H�����U�����0
&)�4�^�C��0>m� �1+=
mmbaw���������������������3����mba
mm≥
+||
1�����C�6��H2������;)xyzw =������������3������_`@��=��� ��11
,,+−
===mm
bzayax
lbabaabaazxyimmmmimimi
∉= →=>∀+++−=∀+− 11121211
,0������.������Y}�n����; ���.!�a L={a
n����3H�����U.
���'2�4� �2�������"2��.!� ��X���&�)����������������,�.!�; ���.!����� �^�Cmp ≥���; ���.!���� �����
���→+=+=+=�=+
)1(|||||..||..||..|1
yPyppyzyxzyxpzyxpp
�@�2�; ���.!�J9�5. ��.!� ��X����#��2���A
������������
aaaaa…a
x y z
p
11
��
�C�������"�4��DFA-1���� ��;����.����3���������0
X��K������������������������������������������������������������������4
��
�R.������Y������}|{ kmncbawkmn
<<=��@�2�3H��0��&)�4�^�C��0>m� �21 ++
=mmm
cbaw���������������������3����mcbammm
≥++
||21��
���C�6��H2������;)xyzw =������������3������_`@��=��� ��211,,
++−===
mmmcbzayax
lcbacbaacbaazxyimmmmmmimmimi
∉= →=>∀+++++−=∀++− 21221313211
,0��
�R�R.������Y������}|{ kmncbawkmn
=+=��@�2�3H����
&)�4�^�C��0>m� �121 ++=
mmmcbaw�����������3��������������mcba
mmm≥
++||
121��
���C�6��H2������;)xyzw =������������3������_`@��=��� ��1211,,
++−===
mmmcbzayax
lcbacbaacbaazxyimmmmmmimmimi
∉= →=>∀+++++−=∀++− 2111212121211
,0 ��R�� �����89��������2����A����������0 �
****
)0110(10+ X��K��
��λ−NFA�����������DFA.����&�.:�����
��
��
������������������������������������X��K��
��
��
��
��
b 0
q�
a
2q�
1q�
a
b
a λ
b
b
0q��a
},{ 21 qq
},,{ 210 qqq
a
b
a
},{ 10 qq
a
b
b
0q�
0 1
1q�
0
1
a
0q�
b
1q�
2q�
c a λ
a
b c
0q�b,c a
Θ
a,b,c },,{ 210 qqq
a
b
1q�
},{ 21 qq
a,c
a
b
c
12
������������� ��������DFA������������������������������ ��������!�����"#��$%&��'��
1������������� ��������DFA�� ����������������������������� �� �!��"�#$ ���%��"�%� ���&������ ���'��(��� ���)*�
2q+ ���+,�������
�������������������������������������������������������������������2�����%�'���"iq��jq�������DFA��%�-����.�'����),( ji qq��.�'�+,����$���� �������� /����n
C2$�"���(�����!��$���� /�%��� ���+,��'���.�'�#�0�1��"����������� ��� 2�%�3,������ ���� ����"�45�6���.�'�'���7,���������
� �'����89��,�:��;2��<(� �'�����89�$��"��� ���� ���������=���6>/�?������%�'���"��),( ji qq<���$@������)>A�)�����������?B��9��C>D/������������%�'���"���%��iq��jq��=���� ����������"����
��� ��iq��jq�%��� ����"�E*��C>D/������F,�"�aa qq ,'�%��� �������,�������G H@��E>A�����$���"�aa qq ,
'�;2���������,� =�����I 6��$��,�:�iq��jq$��,�:��;2���J ��(��
�(���5�����89�#�0"��,�:��;2���#�0�1��"�������.�'��, ��������$�����A"�#��������%��"��B�'�K ���� ��������7���$L�!����
$��,�:�;2����$�����0H�<"$�0�����;2���%$���� M9��"��B0��(?������ ���6 M9�+ �N�%����#�0"��,�:��;2����/�������%$���,�%���=����� M9�%�����#�0"��,�:�;2����O"����0���B0��(������ �����P�������� �����$����������;2�������,�:�;2���%�.�'��Q"�2��6,�03/��;����'��$�"(��
!�)*�(DFA�$ ����� "�����,'��
��������(�����
��
���(���,��$����$�������� ����5����+,����<������0B��%� ���&�����/��'����� ���������"������,'(?��
�(���$����"102
5=��
�
����
���$����$���� /��,'��������,����-����.�'
� ),( 40 qq ������ ),( 30 qq ����������),( 20 qq�������������),( 10 qq���),( 41 qq �����������),( 31 qq������������),( 21 qq��
�),( 42 qq ����������),( 32 qq�������������������������������),( 43 qq�����������
0q��
0
1q��
2q��
� �
0q��
1q��
2q��
3q��
4q��
�
� � �
� �
�
� 0,1
13
����6�,"��5����+,�����������+,������� �J"�89��,�:���;2���.�'�;�0�1��"�������� �� �!�%��� ���'���7,�������-����.�'���5������������$��;I��<$������09�F ����E1������ �!?��
�������5����+,��$����A"�%�.�'�� ����������C>D/������������%�'���"����<( �!$�0�����;2���$������0H��F ����E1������?��
),()1,(
)1,(,
)0,(
)0,(21
42
41
12
21qq
qq→
→
→
→
→� �� ),()1,(
)1,(,
)0,(
)0,(10
41
30
21
10qq
qq→
→
→
→
→��
),()1,(
)1,(,
)0,(
)0,(31
43
41
23
21qq
qq→
→
→
→
→ �� ),(
)1,(
)1,(,
)0,(
)0,(20
42
30
12
10qq
qq→
→
→
→
→��
),()1,(
)1,(,
)0,(
)0,(32
43
42
23
12qq
qq→
→
→
→
→� ),(
)1,(
)1,(,
)0,(
)0,(30
43
30
23
10qq
qq→
→
→
→
→
��������5��������7�,���"��B0��"��5����+,������$����$��GH@���,�:�;2���%��� ��<$������0H��F ����E1������ �!�?�� M9��"��"��
�%��� ����������R�����%$��321 ,, qqq�� ���F,��"�),$>����$��,�:�;2����<��=�?$�0����(��Q��DFA����������������� "� (
����*��+�������=G ��S�0M��"���},,,( PSTVG�#!�������� ������T,������
V:$�"������ U6��'����6��%���10�I���S:'��%� U6�V$�"����&������@�����(��T:��Q� ���<#"'�%>D/��'����6��%���10�I�?��P:$1�0A�'����6��%��$���(��
���#,-�V�S�0M��"�$������) 7@���������=��5M����$"������ ��0A�yx →$�0����������#@���(���x��y$������$ /0�����(�,��������*
)|(,)|( VTyVTx ∈∈+��
!�)*�V��=�AbS →�%B��"�� ��0������$�"�;'W����%���5������������+,�����,�S�'��Ab� �����D6���(��
��+ �W�X�J"������"����� U6��W0����$������P,���($�������+ "�'�������=�#"'�'��%���6���$ /0��;3���"���(��� ���6������,$�0����������P,���+ �W�FN0�������"����$�6��#"'�%>D/��#�����$�"��Q� ����'��%���/>���$,"��(��
!�)*�V�����=aaAA
AbSp
PSbaASG
|
:
},,},,{),,{(
→
→
=
$������$ /0�������"'��N����()����������������������������������V�%$ /0��#"'ba+$�"������
��
��Y���S�>1�#"'��������GH@��)7���"��B0��"**)10(10)10( ++$������$ /0����(��
0 �
0q�� 123q
0,1
0,1
4q��
14
���=���5���/������� �0=�����6���#!�%��"�ZL6���F,����#"'�����6���F,�$ /0��%��"��$���[�� ����")(GLw ∈������,'�S�>1��%��"�ZL6���F,w����� �0=�������������������������(wwwwwS n →→→→→ �321��
���� ���/>����"�1w���nw$�6���Q� ������� U6��'��%���/>������$�,0=��5�B��>��(��
!�)*V��
�#"'����$�,0�"�%����=}0|{ ≥= nbaLnn$���$ /0���������()��Vλ|aSbS ←��
�����=λ|abSS →$������$ /0�������"'��N����()��V0|)( ≥nabn��
�#"'����$ �,0�"�%����=0|{2
≥= nbaLnn$���$ /0���������()��Vλ|aSbbS ←��
�#"'����$ �,0�"�%����=0|{1
≥=+
nbaLnn /0�����$���$����()��VbaSbS |←�������;���\��������������������
λ|aAbA
AbS
→
→���
���$,"�$���T M0�����#"'�F,�%����=��=����
�� ���%�'���"�$,"Lww ∈,�0��$ /0������=�8�0��$��06"�(���� �"�#"'�0]1�$,"���0��$ /0������=�8�0�����%���6����$(
!�)*�V�����=��"�^0"���#"'
bSaS
aSbS
S
SSS
→
→
→
→
λ_�� N����
./�V�'���> �����a���b ���$�����a�"�b��$ /0��%�'���"��$������+ �]������=�+,��������"��"�aF,�b�`7�/"����0��$ /0����
�7�,��%��"��� �]��� 6��a'��)>A�b����� ��$�"���
!�)*V��#"'����$ �,0�"�%����=},{},|{*
bawwwLR
=ΣΣ∈=$���$ /0�����(��
)�Vλ→
→
→
s
bSbS
aSaS
�����
0����1234����V��
�����#"'�%��"}0|{ mnbcalmn
≤≤="�����=�F,�$ �,0������()���VccBB
baAcA
ABS
|
|
→
→
→
���
����#"'�%��"})(){(* +
= aacdabl$ �,0�"�����=�F,�����������()�VaaaaBB
abAA
AcdBS
|
|
→
→
→
�
�(#"'�%��"�})01011{(****
=l$ �,0�"�����=�F,��������������()��Vλ
λ
|1
00
|
BB
BBBA
ASS
→
→
→
15 ���
���DFA��,'$ ����� "����(��
������0�����������6� ���K ���,�������6������ ���������"�&������ ���'��#0N��5����+,��(��
��(����$����"152
6=��
�
����
�$����$���� /��,'��������,����-����.�'��
��),( 50 qq ),( 40 qq� ),( 30 qq ���� �),( 20 qq� ),( 10 qq
),( 51 qq�� ),( 41 qq � ),( 31 qq�� ),( 21 qq
� ),( 52 qq �� ��� ),( 42 qq�� ),( 32 qq�� ),( 53 qq���� ),( 43 qq��
� ),( 54 qq������,"��5����+,�����6�0�1��"�������� �� �!�%��� ���'���7,�������-����.�'�#�+,������� �J"�89��,�:���;2���.�'�
��5������������������$��;I��<$������09�F ����E1������ �!<?.�'�����0���A� ),( 42 qq��/������#0N��$@�������� �
$�6�?��
���%�.�'��5����+,����� ����������C>D/������������%�'���"�����$����A"�<($�0�����;2���$������0H��F ����E1������ �!?��%$���� M9��"��B0��"��6>/��'���
���������),(,(
),(,
),(
),(40
44
30
54
10qq
qbq
qbq
qaq
qaq→
→
→
→
→����������������
�),(,(
),(,
),(
),(20
22
30
52
10qq
qbq
qbq
qaq
qaq→
→
→
→
→��
�),(),(
),(,
),(
),(51
55
31
55
21qq
qbq
qbq
qaq
qaq→
→
→
→
→� ),(,(
),(,
),(
),(31
13
31
43
21qq
qbq
qbq
qaq
qaq→
→
→
→
→��
�),(),(
),(,
),(
),(53
55
13
55
43qq
qbq
qbq
qaq
qaq→
→
→
→
→� � � � ),(),(
),(,
),(
),(42
44
22
54
52qq
qbq
qbq
qaq
qaq→
→
→
→
→����
���5��������7�,���"��B0��"��5����+,�������$����$��GH@���,�:�;2���%��� ���<$������0H��F ����E1������ �!��?�� ����������R���1q�"3q��2q"�4q�� ���F,��"�),$>����$��,�:�;2�����<��=�?$�0������(�Q�DFA� ��������������� "��
����
�� ��
a
b
��
a
b
5q��
a ,b
1q��
��a
3q��
b
��
a
bb
a
a,b
a
5q��
13q��
0q��
24q��
b
a,b
b
0q
2q
4q
16
����������
������������ ��������}0,|{ ≥= mncbaLnmn� ����������������������������������������
λ|
|
bAA
AaScS
→
→��
��
����������� ��������}|{ mnkcbaLkmn
+==���������������������������� ������������λ|
|
bAcA
AaScS
ccbaLmnknmmn
→
→
=�+=
��
�������� �����������|}||{ mnkcbaLkmn
−==� ������������
21 LLL �=�kknn
kmmk
cbbaLnkmmnkmn
cbaaLmknmnkmn
=→+=→−−=→<
=→+=→−=→>
2
1
)(����������
λ
λ
|
|
bYcY
aXbX
XYB
→
→
→
��
�� ��������������� ������� ��������������� �!"���#�$��%�&�%��%�%�'&��()��*��+��#�$��%�,�-��.�� ��/0��%����� )0��1�0������2����&��34
��)5��6�7����)7�%��()���34����*��&��%�����%�'&�!"���#�$��%��()����8��������)�%&�9��%�7�! %����
�������:;�λ|ccabAA
AbbbB
aaBcaS
→
→
→
�7�������<=�����
������� ���������,!"���!/"��%�>�7�>%�3)"���()���? ������ ��%&�9���.����������0����� �,�<=�������@��A���%�����������,%�7������B��?)����%�>���/0
%�7����@��A�������87������%�/��C��4�������,%����0��=�!"����<=��������4������
xBA →����xA →�����VBA ∈,�&�*Tx ∈�������:;��
AbBB
aB
aaabBA
|→
→
→
"����<=�!"��!��
����� ��������
������G�C��4�����-����� ���/0�����,!"��+���<=�������*��xA
BxA
→
→�����%�����7����*
,
Tx
VBA
∈
∈��
�����������������7���!"����<=��-��.�� ��/0����&�+���<=��-��.�� ��/0����!"���D �����������
����������� ��%��A����������������������� E/<����&��7����D ���������������/��,�7����)7�%�+���<=����� ��F�%��%��A��&�!"����<=
!"���<=�������*����
������� �����������-����!7����/D �����������������D ��������0���������&�,�����D ����0������>� ��������D ����0���������
����������������aaab*������D ��������*������
�����*����)��DFA ����NDFA������������������-�����'������&�� ������"����
λ|
|
|
aTbT
TaAcA
BAS
→
→
→
17
1q�
0q� 2q�
b
a a a fq�
����
���������������������������������������������������&�������������������)8���"�����'�����DFA���� ������%�A�����������
��
����
���G���0�?��!AH&��;���1fq�>�.� ����λ→fq%�7�����%�A�����
�&��)8���"���������'��������DFA���� ���87��������������������������������%�A��
λ→
→
→
→
→
f
f
q
bqq
bqq
aqq
aqq
2
22
21
10
��
��D ������������babSA
aAS
|→
→�*��DFA� ���"�����
���"�����'��������������������)8DFA� ���"������%�A�������
�D �������������F�%�@��A���%�����B��D ��������*���-���������)�����!"���D ����������
��������� �!"�#�$
�G����������1l&�2l�>�F�-�� 7����D ��2121211
*
1 ,,.,, llllllll �������D ���F/0����G������)��I�8A��&��H�3�����!J���D ����0������>%����=����G�K�����/0�C�L/.����!J���D ����0������>%����=�2�)M����0�6�����)�����N���-�����)M����0�*��&�,�7����D ������������� A�
������0��=��D ���0������4��������,� ����
���������������������������������������%�A�ji aqq →�7��������� iq��jq��a
���������������%�A��ii aqq →�7������� iq��
a
�G>�.� ���'�����aBA →�#�������5�����������������������������������
��
A
B��
a
�G�>�.� ���'����abaBA →��� 8���"�����������������������������������������������������#������ a A
1
T��
2T��
B��
b a
A��
S��
a b fq��
T��
a b
�G��'�����aA →�#����������������� ������"���������������� a A
fq��
18
��%&�������O�K�� �1�&�2�P����� 7���@L)M����J3���&%�*
21)( Σ→Σh� ��������)M����0�P����*�������� A�h��%�#����0����!"���A����
1��%��)7��*��������*
2Σ�����%����87��������:;��pbhpqqqrqahrqpba ===Σ=Σ )(,)(},,,{},,{ 21
�P����� ��%h���������������*
1Σ����87����������D ��%�%��/A��Q��12121 ),()()()( Σ∈= inn aahahahaaah ��
��P�����) &�h�� ���������*����0��)7�����1l�����)7���0�,%��R���N���1l�����'��)7��������2��J3�����2�6� ��������J����.�/S����
��)M����0�,>�7���������'���0��)7�1l�P����!9��h� �������
�������
���%�����;�����2l��)M����0����T��1l�!9��h�7�������
�����!��N�� �},,{},{ cbacbalknkn
=Σ=+!"���D �������
@L=���0����� �����O�Kl�)M����0�U����0�!9��VB�,�7����D �������*����)M����0,�7����D �������h�@��A�����W��C��4�������
�� ����}{}{)(,)(,)(mmknkn
cacaalcchabhaah ==�===+�
��X �YJ$�:J Pumping�!"��>%���ZL[�O�K�VB�,!"���D ��������!"��>�7�!��N�2�C�JN����9)����%Pumping�!"��\�]�Q��6��
������������ ��!��N�}|{ lnballn
≠=!"���D ���������*�����
@L=���0������ �����O�Kl��D ����0������^��=����� ��VB�,!"���D �������*��ll −Σ=*��K�$����,!"���D ���0��**
ba���
������VB�,!"���D ���0nnbalbal == �)(
**�^��=����� ���)�����0�7����D ��,�D ����0������!����$�������2��X �YJ$Pumping�6��
%�7����!��N�O�K�#:=�VB���
�'�(��)��&�*+��
},,{
)(,)(,)(
)(,)(},,,{},,{},,{
2
121
qqpqqqpqpqqql
qqbhpqqqabhpqpqqqaabh
qqbhpqahbabaablqpba
=
�===
�====Σ=Σ
�� �����������
bbBB
bbBA
aAaSS
|
|
||
→
→
→ λ
�� ������$��0� )���7���*����
b 2
F�
a
S B
b
b
1
F�
b
A��
a
19
�����7��NFA���_������������λ
λ
λ
||
|||
|||
bSaBC
bCcSaBB
aBcSbSS
→
→
→
!�����
��������
�������G+���<=�&�!"����<=���0������������������}3,2:{ ≥≥= mnbal
mn��� �����
!"����<=�λ|
|
bBB
bbbBaAA
aaAS
→
→
→
+���<=����������������λ|
|
BaB
BaaAbA
AbbbS
→
→
→
��
���G*��������������D ��������}0,2|{ ≥=+= kkmnbal
mn��� �������������������������������������������������������������������
`��'�
λ
λ
λ
|
||
|
|
|
EaaE
EDbbD
BaaB
BaAbbA
DAbS
→
→
→
→
→
��
��
�G������-������������������ ������}0,|{2
≥=+
mncbalmnmn�7������
`��'�bcbAcA
aAccaSccS
|
|
→
→ ��
G����������_����������}0|{ >= ndcbalnnnn���� ������
`��'�
dddD
cccC
bbbB
BccB
CddC
BddB
abcdaSBCDS
→
→
→
→
→
→
→ |
��
� �&������������
b
a
a
��
b,c
S B
a b
c
20
����������
�� ����������1L��2L����������2
1
L
L������� ��� ���������������������������������������
},|{ 21
2
1 LyLxyxL
L∈∈=���
����� ��},,,{1 baabbaababL = },{2 babL =������2
1
L
L�!����"��#������$��%�&},,,{2
1 abaaaL
Lλ=��
����� ��**
1 baaaL = *
2 abL =������2
1
L
L�!����"��#�������
'!(���&��)� ����!*�+� �2
1
L
L���DFA����,�� �1L������-!����-�)����.����/0���DFA�������*� !1�)2�+�����!( �������
�-!����-����������-!������� �������%��+�����!( �3��3���������4���DFA����,�� �1L5���������!( ����3�� ����� ����
� !6�7������ �-!� ��8�9����!( �����9:���)� ��;����������+���<����=���;2L����-!�������!*���!( �)���>������!( �)2��
����8�9�DFA�.����������!( �����)� ���6���������������+��?���@>�DFA�.�����)����2
1
L
L����������
���������<6��-!6A��B�>��"6��-C��+���)�����>���D���
������ �������� �!����&��
� � �},,,{ PSTVG =�7!���E����� ����������7<����BA<6����P�BF�����xA →���-������������*
)|( TVx
VA
∈
∈���
�����&�)���l����BA<6� � ��)2�+� ��)��<�� �����������7<����BA<6����� ����!*��<���
�7<����BA<6�)����3���������-C��)���� ����!�9G�)������� �������%������4Context Free�5���������)����@H�nn
ba � ��������λ|aSbS →�����7<����BA<6�)����3���������!�������)����������}|{ mnbal
mn ≠=�!���I#�����
0q�
b b
3q�
a,b
1q�
b
a
2q�
a
a
b
0q�1q�
a
2q�
3q�
a,b
b a
b
a
b
a 0
q��
b
3q��
a,b
b
a a
2q��
1q��
DFA,�� ����1l� DFA�.���1l����*���!( �) ���
=2
1
l
l )|(
** += baaba
21
����7<����BA<6�)������������J�K�� � ������%������ �-!6��������)���� � ����
���
�
�
→
→
→
→≠
���
�
�
→
→
→
→≠
<
>
bbDD
aCbC
CDS
mn
aBbB
aaAA
ABS
mn
mn
mn
|
|
|
|
λ
����B!FL�����)�����9�2�M��<%�� �����7<����BA<6� � �� �� ���������'(� �������
�"���#������$%�&'�&��
�����������N�A<�������KO � ����� �������7�PQ��%� !R<�7� ������-!8��������N�A<���B��O�N�A<�������
�#������$%�&'()�&��
������ST�N�A<������B��O�N�A<����-!���7�PQ��%���� !R<�7� ��ST�����N�A<�������KO � ����� �����
�����&7<����BA<6� � ������%�����λ|.3
.2
.1
AB
bBbA
aABS
→
→
→
�<���+� ��abbbb�N�A<���3�� ������N�A<���3������ � ��)�����U>����
�!�����!*�ST���abbbbabbBbbabAbabBbaAaABS →→→→→→ 323231�����N�A<������
abbbbabbbBbabbAabbBabBbBaABS →→→→→→ 323321ST�N�A<������
�����&�������%��)2�+� ��ST�N�A<���3��BE��O� ������N�A<���3��BE��O������� � ��3��)�����U>�+���<��� ����
�����&� ���BH�+���<���+� �W� � ��)�����U>�G� � ���� ����!*�ST�N�A<���3������!����������N�A<���3������!��)��<��G����
������V������-9"� � �����
�����&��� � ��+�� �����)����V��bB
AaaA
aaBABS
→
→
→
|
|
�!���)�L�������
aabaaBAaBABS →→→→�S%����
�������������������aabaaBS →→�ST���������<���+� ��)�Taab-9"� � ��/*���������% �ST�N�A<��� ��4V��5�������
�����&� � ��+�� �����)����V��AABA
ACA
CBAS
011,0
1,0
1,
→→
→→
→→
�!���)�L�����
0110011010 →→→→→ ACBAS��1.
������������0110011 →→→ AAS �2.��
�����)�T=�����!*�ST�N�A<��� ����������N�A<��� ������W��)�����-����<���� !R<�3��=�4=�����E G�X!��5����-9"� � ��.�O� ������������&����V��� !1�)����)2��� ����!*�V��� !1� � ��3��)����3��+� ��)��<�� �������
22
�����&������!:������)�������8��� � ��������������Y� ���-!8���V������Z����)����)2����<6��V�������
�*&���� �����+� �'���',4NPDA�5:���
�J G���},,,,,,{ 0 FZqQM δΣΓ=�����������������Q:�������<�+���>��DState����������Σ:���)����+�"W:�� �������� ����������0: qM ����!( �4����+�U>Q����������������������������5Γ:����������������������<L*�+��"W:�� ��δ: �:�O� !R��[��� ��������������������� �Z:����\K�<�ΓL*�7!��*� ������)�L������<���������������������
F:����+���>���D� ��� Q���4����*��]�O5
�����)��������!���O� ;�+���<L*�+�����2
}0|{ >= nbalnn�� �?0���������������$��%
������������������������������������
�^� ���}100{},110{**
2
*
1 == ll��"6��������2
1
l
l������!*�������
��
BO�&���<��DFA�)�������,�� �1l-!����-���������
��
1
2q�
1q�
0
0q� 1
tq�
0,1 0 0,1
1l ���,�� �� DFA DFA���!( �) ��� �.�������*���
0q
0q
1
tq�
0,1
1
0 0,1
2q�
0
1q�
=2
1
l
l *
10=
0
z 1
z 1 → �→ )01,()1,,( 00 qaqδexamplefor
*)(: Σ×→Γ×Σ× QQ λδ �
-.�/��0�1%��'
),(),,(:
),()1,,(:
),()1,,(:
)11,()1,,(:
)1,(),,(:
1
1,1
1,0
0,0
0,0
zqzq
qbq
qbq
qaq
zqzaq
f→
→
→
→
→
λδ
λδ
λδ
δ
δ
�
0 ,1
�
0
�
1
�
1
1 0,1
0q
q
1q
q
tq
q
2q
q
23
�^����� � ��J�9����
��
�
→
→
→
abS
S
aSbS
G
.3
.2
.1
: λ�!���)�L��������������������������������������$��%abS
abaSbS
→
→→3
21
��<���+� ��)�TabST�N�A<��� ��4��������5 ��/*��������% ����-9"� ����
�^� � ��J�9�����
��
�
→
→
→
λS
bSaSS
aSbSS
G
.3
.2
.1
:����!���)�L�����abababaSbSabSaSbSS
abababSaSbSaSbSS
→→→→
→→→3131
321
��<���+� ��)�Tabab ������-9"� � ��/*��������% �ST�N�A<����
�^� � ��J�9�����
��
�
→
→
→
λ
λ
|.3
|.2
|.1
:
bBB
aAaA
AaSbBS
G��!���)�L�����
aaaabbaaaabBbBaaaaSbBbBaaAaSbBbBaaSbBAaSbBS
aaaabbaaaabbBaaaabBaaaaSbBAaaaSbBAaaSbBAaSbBS
→→→→→→
→→→→→→→312121
3312221
��
+� ��)�T�<���aaaab����-9"��;�� � � ��/*���������% �ST�N�A<��� �����
�^ � ���!������Y�
��
�
��
�
�
→
→
→
+→
baE
EE
EEE
EEE
G
|.4
)(.3
*.2
.1
:����-9"��bbaEEaEaEEE
bbaEEEEEE
+→+→→→
+→+→+→
****
**
4142
421
��K�%�+� ��)�Tbba +*����-9"��;�� � � ��/*���������% �ST�N�A<��� �������^�)���� � �)}()(|)10({ 10
*wNwNwl =+∈=�!6��������������&��$��%������������������������������&
λ→
→
→
→
S
SS
SS
SSS
01
10
��
�^�-C�����">�+� �***cba�!6�����-C�� � ��3�����������$��%������������������������������&
λ
λ
λ
|
||
|||
cBB
cBbAA
cBbAaSS
→
→
→
^�<����BA<6� � ���)����=������!:�������!6�����}0|{ imncbalimn ≤+≤=��������
�����������������������������������������������������������������������������������������������$��%������λ|
|
|
cBB
BbAcA
AaScS
→
→
→
24
�������� ��� ���������������������������������������������� �!�����!" ����
�#}1|{2
>= nbalnn$�%����������������������������������������������������������������������������������������������������
),(),,(:
),()1,,(:
),()1,,(:
)111,()1,,(:
)11,(),,(:
1
11
10
00
00
zqzq
qbq
qbq
qaq
zqzaq
f→
→
→
→
→
λδ
λδ
λδ
δ
δ
��
��
�#�})|(|{*
bawwcwlR
∈=$�%������������������������������������������������������������������������������������
),(),,(:
),()0,,(:
),()1,,(:
)0,()0,,(:
)1,()1,,(:
)00,()0,,(:
)01,()1,,(:
)10,()0,,(:
)11,()1,,(:
)0,(),,(:
)1,(),,(:
1
11
11
10
10
00
00
00
00
00
00
zqzq
qbq
qaq
qcq
qcq
qbq
qbq
qaq
qaq
zqzbq
zqzaq
f→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
λδ
λδ
λδ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
���
�
�#}1,|{ ≥=+
mncbalmnmn������������������������������������������������������������������������$�%�������������
).(),,(:
).()1,,(:
).()1,,(:
)11.()1,,(:
)11.()1,,(:
)11.()1,,(:
)1.(),,(:
2
22
21
11
10
00
00
zqzq
qcq
qcq
qbq
qbq
qaq
zqzaq
f→
→
→
→
→
→
→
λδ
λδ
λδ
δ
δ
δ
δ
��
�
�#}1|{3
≥= ncbalnn$�%�������������������������������������������������������������������������������������������������
),(),,(:
),()1,,(:
),()1,,(:
)11,()1,,(:
)1,(),,(:
),(),,(:
),(),,(:
),(),,(:
4
44
43
33
33
32
21
10
zqzq
qcq
qcq
qbq
zqzbq
zqzaq
zqzaq
zqzaq
f→
→
→
→
→
→
→
→
λδ
λδ
λδ
δ
δ
δ
δ
δ
��
25
�
�#*)|(|)()({ bawwnwnl ba ∈==�������������$�%��������������������������������������������������������������
),(),,(:
),()1,,(:
),()0,,(:
)00,()0,,(:
)11,()1,,(:
)0,(),,(:
)1,(),,(:
0
00
00
00
00
00
00
zqzq
qbq
qaq
qbq
qaq
zqzbq
zqzaq
f→
→
→
→
→
→
→
λδ
λδ
λδ
δ
δ
δ
δ
��
�
�#}3,2,|{ nmnmnmbalmn
====$�%��������������������������������������������������������������������
),(),,(:
),()1,,(:
),()1,,(:
),()1,,(:
),()1,,(:
)1111,()1,,(:
)111,(),,(:
)111,()1,,(:
)11,(),,(:
)11,()1,,(:
)1,(),,(:
4
44
43
42
41
33
30
22
20
11
10
zqzq
qbq
qbq
qbq
qbq
qaq
zqzaq
qaq
zqzaq
qaq
zqzaq
f→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
λδ
λδ
λδ
λδ
λδ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
��
�
�#},{},{ bawwlR
=Σ=����������������������������������������������������������������������������������������������$�%��
),(),,(:
),()0,,(:
),()1,,(:
)0,()0,,(:
)1,()1,,(:
)01,()1,,(:
)00,()0,,(:
)10,()0,,(:
)11,()1,,(:
)0,(),,(:
)1,(),,(:
1
11
11
10
10
00
00
00
00
00
00
zqzq
qbq
qaq
qbq
qbq
qaq
qaq
zqzbq
zqzaq
f→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
λδ
λδ
λδ
λδ
λδ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
���
��
�#�*)||(),()()( cbawnwnwn cba =Σ=+$�%������������������������������������������������������������������
),(),,(:
),()0,,(:
),()0,,(:
)11,()1,,(:
)11,()1,,(:
),()1,,(:
)00,()0,,(:
)0,(),,(:
)1,(),,(:
)1,(),,(:
0
00
00
00
00
00
00
00
00
00
zqzq
qbq
qaq
qbq
qaq
qcq
qcq
zqzcq
zqzbq
zqzaq
f→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
λδ
λδ
λδ
δ
δ
λδ
δ
δ
δ
δ
��
26
�
#�}1,0|{ ≥≥=+
mncbalmmnn$�%�������������������������������������������������������������������������
),(),,(:
),()0,,(:
),()0,,(:
)00,()0,,(:
)0,(),,(:
),()1,,(:
)0,(),,(:
),()1,,(:
)11,()1,,(:
)1,(),,(:
2
22
21
11
11
11
10
10
00
00
zqzq
qcq
qcq
qbq
zqzbq
qbq
zqzbq
qbq
qaq
zqzaq
f→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
λδ
λδ
λδ
δ
δ
λδ
δ
λδ
δ
δ
��
�
�#}0|{21
≥=+
nbalnn������������������������������������������������������������������������������$�%��������������
),(),,(:
),()1,,(:
),()1,,(:
)111,()1,,(:
)11,(),,(:
),(),,(:
2
22
21
11
11
10
zqzq
qbq
qbq
qaq
zqzaq
zqzaq
f→
→
→
→
→
→
λδ
λδ
λδ
δ
δ
δ
��
��
��#}1,|{ ≥= mncbalnmn��������������������������������������������������������������������$�%������������������
),(),,(:
),()1,,(:
),()1,,(:
)1,()1,,(:
)1,()1,,(:
)11,()1,,(:
)1,(),,(:
2
22
21
11
10
00
00
zqzq
qcq
qcq
qbq
qbq
qaq
zqzaq
f→
→
→
→
→
→
→
λδ
λδ
λδ
δ
δ
δ
δ
���
��
������������ �
27
����������
����λ ���������
���������� ������������λ���������������������������������� �!�������"#�$�����������%�λ��&��'�(�G���&�������(�λ−L����
��������%)���*�+�,�-������.�/λ|0 SS →0���(��1�����%�0s-2%�&��3�4%�����5��λ�&�����6���.�/�)��'��
7�8���λ����(������λ|asbs →����������'�9��:abaSbS
SS
|
|0
→
→ λ��
��
!��)+��:���������7�8�babbAB
abbCababbACaaAaA
|
|||
→
→�
babbAB
abBCaaAaA
|
||
→
→��
����������������������3�4%����;��������<�-��=�������������&����.�/���>���;����?%��-�&��*�����!�����/�!��������@���A5�%��
�&�B��! �� ��"���2%�&�'���&�!���/�*�� �����(�C�����������������.���%��0������@������'��
7�8��'����(���aAA
AaSbS
→
→ || λ����������S��C��A%�����������*��D� ��aAA →�E������B��%�����!�3���&�����F����.�/�����&���G��A�%�
H��C����������������������,��������%������������%�����<�/�E���'��
7�8�'����(���bAB
aAA
AS
→
→
→
λ|���G����2%�&��3�4%�������$��E��B���%�������<�/�E���H��C�������������B��%�������.�-��������:%����
������������,����/�!��%������'
�������������I���%J���
";&��!��������VBA
BA
∈
→
,���������0��������� ��;��������@��K ������!���$�.���(��:����;����L�%�;��0�������!+�$�%����(������
���� �!������*�&����M����%��5���������!/?���!��N/ �-�-�������:%����,�0�����$���������!���$�.����!O���,���G����D:����������K
�&���&������:%����,����;��0����������$����!��!.��3����������������+��:����������*��D� �� ��K �����*�&���>������:�0������K �-��$��0PNQ��%���$����!���.%��;����L�0������*��N�������;����������R%�D/�0������ ���.%������(���N��-*�&���>������:�����(����'��
7�8��'����(�;��0�����BbcaA
bbAB
BAaS
||
|
|
→
→
→
��������������������������������������������������'��
�;����L�0��������������(��:����;��%�������!���$�.�������
�!+�$�%����(����������G������M����%��5���������!O����*�&����������!��� �����(��:�/��������������������������������
bcaBAB
bbABA
bcaSAS
bbSBS
|
|
→�→
→�→
→�→
→�→
����
���%,�!��� �'�
�� �
���)(�S���/���1�%2�������6�"�#��";&��!O����9��:��'&����������T�������G����2%�&��.��B%��������������/�!��%����������<�/��,���B��%����-�������! �� ��H��C����0�������' ��
�1�����������(���� �*��
S�� B��
A��
��
��
�
→
×→
→
→
bbbcaA
bcabbB
bcabbAaS
||
||
|||2,1
bcaA
bbB
aAS
|→
→
→
���%���L�0�����
BA
AB
BS
→
→
→
���%�0�����������
28
����������������
�";&��!��������AaA →����(�UT�!�=(��������������'��,�����TaVA ∈∈ ,��
";&��?�N3����UT�!�=(�����������������bAaA |→�����!��*��D� ������*���������&�!��*����������R��B5��:�/��abaaaAaaaAaaAaA ���→→→����(�����&�!��1�V��bAaA |→@��������!����.�/����!O����&��b�
=.%�WF=�������3/���,�7�B����%��$����a����&����N������������X������(���� ��!����KX��$������UT�!�=(���%�������.�/�
�&�B�'������(aTT
bTA
→
→����!���������9�AQ��>����'��
Y.� ���!���"�!#��$#������ ��Z���0�����������(N��R��[�%�����!;����,��5����),,( VCBABCA ∈→����),( TaVAaA ∈∈→�&�I%��������!B���/���J�
9 �"�!#��$#�%�&�#������ ��Z���0�����������(��";&���,��5����N��*aVA →�&�'��
7�8�'����(�AcB
aaBA
ABaS
→
→
→
�!;$��T�7�����Z����������B�'9��:���
→
→�→
��
��
�
→
→
→
�→
��
��
�
→
→
→
�→cT
ATBAcB
bT
TTT
TTA
aabA
aT
BTT
ATS
ABaA5
5
4
423
32
2
21
1
��
�
7�8��'����(λ
λ
||
|
ABAaB
bABA
abABS
→
→
→
���B�!;$��T�7�����Z��������'9��:�*�5������������!���������;��*�5���%'��
�������#����IA%B�J��=��)��S�����!��"N5�'��
7�8��'����(aaabSbS |→�����B�\�B��(�7�����Z������'�"��
�1�������������������9�6�7�8��@����@�NFA������������ ��}12)(,2)(,)|(|{
*+==∈= kwNkwNbawwL ba���� ����'�AP$��0���"��������
������NFA�]���}2)(|)|(|{
*1 kwNbawwL a =∈=�����!��� �������
��
K NFA]����}12)(|)|(|{*
2 +=∈= kwNbawwL b�����!��� ����� �������������������������������������
"�!#��'��#!�#�
{ 3136
61
35
51
4
3
432
1
21
TTSabSATT
TTSabAS
BTT
TTSabBS
ABT
bT
TTT
aT
TTS
abABS →�→
���
→
→�→
���
→
→�→
���
�
���
�
�
→
=
→
→
→
�→
���
→
→�→
��
��
�
→
→
→
�→aT
aTSaaS
bT
bSTT
aTS
abSbS3
3
2
21
1
bbAbBbABB
aAaBaBAaB
bbAbBbABA
ababAabBabABS
|||
|||
|||
|||
→
→
→
→
1q
q
b
0q��
b a
a
0p
q
a
1p��
a b
b
29
�*�(���DFA�]����1L%�2L@�������F�%���&���&������DFA5�N>��%����� ��������%��0���^���&������=;}{ 0 nqq �4%��3�����1L�
%� -��&�}{ 0 npp ����� �3�4%� 5�N>��2L��&�� '@�DFA��3�4%� 5�N>�� !/����� 9�4� "[��� �,� ���� �3�4%� �� ����� !�� � �� ���:�
���12 , LL ������%�-� �)},(,),({)),,(( aqaqapq jiji δδδ =������DFA�3�4%� -"[���),( ji qq�%������(��_#��%��(��� ��!O�����3�4%iq�%jq���DFA6���&��!O�����3�4%���&��� '�!���(����� ��6
�������3�4%����!;���(��!O�����3�4%�9�F�������!.%��&�!��Z�>�������0�N�����%,�� ���������%��2�N�:�DFA�-���!O�����3�4%�H��6�
�!��!O�������H�M������3�4%������'�������6�����";&��9��:�[V6��'
���
�(��)�*�#+,����
10 pq��
00 pq
��
01 pq��
11 pq��
b
b
b
b
a a a a
������G�����������(��������������'��
��
��
�
→
→
→
λ
λ
|
|
|
:
bBB
aAA
ABABbS
G��
"��������G���A%B��G�����#�$����C��λ��G���%���&��!�S��G�����#�$����L���C��λ�&��!��'�!;��"�������!O���AN:�B&�Z�N/
��G���`):��,���a5����λ�&����B$�������G���0�����!O����=+��:�Z�N/�%������!�������7%�:�"6������-λ�!��� ������������
�����!����.�/�����=+��:�0���0���(��1���������0������%����%,�'��
����
ABbS
BbS
AbS
bS
ABb
S
→−−−
→−−
→−−
→−
λ
λ
λλ
ABS
BS
AS
S
AB
S
→−−
→−
→−
→
λ
λ
λλλ
aAA
aA
aA
A
→−−
→− λ
bBB
bB
bB
B
→−−
→− λ
����Z�N/�)����6,����%������!��0�)+��:����0������!��N/�����X���λ�����L�������!�����������λ→S��T���λ��&�!����.�/�����_ �/�'��
��
��
��
�
→
→
→
=′
bbBB
aaAA
ABABbAbBbABbS
G
|
|
||||||| λ
��
��������(�����
��
�
→
→
→
bBAaSB
BbaAA
BAbabAS
G
||
||
|||
:;���5����I���%J�����������'��
�����������(��:����;��%�;����L�0���������!���$�.�'����
�!+�$�%����(���������G�������M����%��5���������!O�����!��� ������*�&����'���
��
��
��
��
bBAaB
baAA
babAS
|
|
|
→
→
→
���%���L�0�����
SB
BA
BS
AS
→
→
→
→
���%�0�������������
S�� B��
A��
30
����R��<���,�!��� ���!+�$�%����(������:���������$���%��������%��5���'���%���L��5����*��N����5����0������ �!��������:�����( �
��
��������6�%�%��";&�����:�����(�������������������������������'����������������������������������������aAbabAbBAaB
bBAaabAbaAA
bBAaaAbabAS
||||
||||
||||
→
→
→
��������������������������������������������������������������������������������
��
�������(���������D����L�������G��G����������%�*�������X���'������������������������������������������������
����
�
����
�
�
→
→
→
→
→
→
→
EFeM
dD
FF
eeEE
bbBB
baBA
DbbaBS
G
D
ff |
|
|
|
||
:��
9��:�������&�������G�D� ��!N��`�BD.���I�����!������J`):�������G����#��%A�������! �� ��2%�&��.������'��
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
→
→=′
bbBB
baBSG
|
| ��
�b�Z�������(�\�B��(�7�����λ|| bSbaSaS →��$�������'��
�7%��Z�(�!�=(���0���L,���N�����������������λ→
→
→′
S
bSbaSaS
SS
|����
�Z%��Z�(�������������������������bbaabSbaSaS
SS
|||
|
→
→′ λ����
�Z� �Z�(�Z����0�&����\�B��(�!O����bB
aA
bBaAbSBaSAS
→
→
→ |||
����
����Z������(�!;$��T�7�����G��$��������'�����������������������������������������������������������������������
→
→
λ||
||:
bDbaDaD
aDbaSbSG��
�Z�(7%��������������������������bbaabDbaDaD
abaDbaSbS
|||
||
→
→����
��
�Z%��Z�(����������������������������
bB
aA
BBAABDBADAD
ABADBASbS
→
→
→
→
|||
||
����
��
�Z� �Z�(���!;$��T�7�����!O����Z�����
aA
DBT
DAZ
BBAABTAZD
DBY
SBX
ABAYAXS
→
→
→
→
→
→
→
|||
||
��
babABSB
baABAB
bBAaABA
babAASA
bBAaSBS
baASAS
|
|
|
|
|
|
→�→
→�→
→�→
→�→
→�→
→�→
31
���������
�� ���������������������� ������������������������������������������������ !�����"#$����%��������������
&�'�(� ���)#�*+���*��������,��-�� ��������� ���'�(�#&�.��) ��/�01���2��3������4 ��*� &�-���������������.
� &����.���5��%� 6����57��� 0������8�9�'�(�4���������� ��:����'�(�4�� ��������#�;�����#<��������%��=�(�#&�����#� �����#��>9�������"#$�������*�-�� ��������(�#��#&�����3���������4 ��*�?��
��
Q��������@A������5B���
��4��%���CD=��
��������CD=��
��6�7��#�E��F�����
0q����������=���=����
���������CD=��G�H����4�#���� !����,�I��
fq���2�J��@A������5B�H���5B��#�%%���QI��
�������6�7��#��E��F���},{: RLQQ ×Γ×→Γ×δ���,����� ������},{ RL &�����4�K��������������������#���JL����?��
��/�0��������3<��,M�),,(),( 10 Rxqaq →δ���������4���������6�7�����#;�0q�����#�;��#<�����%��=�(�����#���3������4 ��*� &�
��,�a�6�7����� ���� ���) &�K���1q�E���'�(�4�5&�%��� &���=���#a�4����L������)�#��"N���x�������*�-���� 0��������5���
�����#����?��
'�M��?������������{{��
��
�
=
=
=
),,(),(
),,(),(
),,(),(
:
1
11
10
Lqq
Rbqbq
Raqaq
M
f ��δ
δ
δ
��#�NO����������%��9�?H������#<������ 3������3������4 ��*� &�������P# ���I��
Q�L?�6�7���������� 3�����0q������#<��3������*���=������3������4 ��*� &���/�30&��6�7������0q/��������R1 �a�SO�./���C����
����T5&��#�NO�����������������2�&��3���������J� �a��=��4 ���U!������=�� �������V�#��a���1q�6�7��#��E�������/�&�����1q�
)�:=��� 6��������/�&��4���O���*����������) ���F�#��/�����������/&b4��%������������6��/���C��*ab�#�NO������?��
'�M��?4��%���� ������#$��T�����������1000*���#�NW��?��
Q�L?
���
�
���
�
�
=
=
=
=
=
),,(),(
),0,()0,(
),1,()1,(
),0,()0,(
),0,()0,(
:
3
32
21
11
10
Lqq
Rqq
Rqq
Rqq
Rqq
M
f ��δ
δ
δ
δ
δ
����
'�M�?4��%���� ������#$��T������������}1,{ ≥= nbaLnn�#�NW����?�����������������Q�L?��
��
��
�� �&��3�������
FC
head
Writead /Re
-�����������M������������������)���4�K���2����D&�-����������������������������������������������������},,,,,,{ 0 fqqQM �δΓΣ=
�������
�
�������
�
�
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
),,(),
),,(),(
),,(),(
),,(),(
),,(),(
),,(),(
),,(),(
),,(),(
),,(),(
),,(),(
:
3
33
30
22
11
02
22
21
11
10
lqq
Ryqyq
Ryqyq
lyqyq
Ryqyq
Rxqxq
laqaq
lyqbq
Raqaq
Rxqaq
M
f ��
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
32
�� �����3����#�����8����7����@�C�!���#�� ��������������������#����#$������������������������ �9�4�������3��.��7����@�C�!�����
�����;�Q�L���) �X�O?
'�M��?� ����xy,�C�!���#���T������������ ��) ��)���yx + ������#$�?��
Y�!Z�� ��#&��%���������@��Z�����������[��n.n� �����1����. ����F5L�������� �&�*��������� �����#&�./�������)#�*+����������
�\�B��%� 6��/�&�*����]/�������)#�*+�#DZ���,��-��� ����������� ���� L�/&�%�� ������������#���� �������)#�*+��������) ���3D;����
��F5L��Z���������R���F5L��5�����) ����������) ���3D;�@��Z���?�-�������� ���������#DZ�� ����������/�&��\�B�� �������������J��
������2�J3��-��P������.��Q�(^��F5L��Z���%�#3K��� ���-���Z�����&�-��� 6������������/������ C���/��������� C�?��
�����������������������������������������������������Q�L?
),,()1,(
),,(),(
),1,()0,(
),1,()1,(
1
10
00
00
Lqq
Lqq
Rqq
Rqq
f �
��
=
=
=
=
δ
δ
δ
δ
��
���������������������HCS�I��
���;��3�����_�0����&�#�#;� ����#�%��������4�� ��<�\�5������2�&�#�#;����������?��
�����������������������������������������������������������������������������������������������������
||||
)|(
)|(
*
BA
VTB
VTA
BA
≤
∈
∈
→
+
� ���;��3�����_�0��4��%�.������3�����_�0����&�#�#;�.��J����#��4�3������2�&�4��%���? �
����3�����_�0����&�4��%λ`#��#�%� �����5�� �=�����|||| BA ≤�������U1��?
��������L�����4� ���3��%��130����&�4��%�������J� ���3�����_�0�����3��%��130����&�#�#;�a���6��&�4��%�%�������5B��#�%�
����3�����_�0�?�
������ ���!�� �
�b�������R�������%��9}}{,,,},,,{},,{},,,,{{ 303210 qqbabaqqqqM �� δ�=���#��E��F�������
),,(),(
),,(),(
),,(),(
),,(),(
),,(),(
),,(),(
32
22
31
11
20
10
Raqaq
Rbqbq
Rqq
Rbqbq
Rbqbq
Raqaq
=
=
=
=
=
=
δ
δ
δ
δ
δ
δ
����������3 #�NO��?��
Q�L�?4��%}1,{}0:{ ≥≥= nabnabLnn
��#�NO������?��
���4��%�����6�7����#M�� ������������������-�*)(( baaL + ������#$� ������'�C<����? ����P# },{ ba=�����������������\�B������ ����
��#�NO�4����/&��36�7����?��
���������������������������������������������������������Q�L?
),,(),(
),,(),(
),,(),(
),,(),(
1
11
11
10
Lqq
Rbqbq
Raqaq
Raqaq
f �� =
=
=
=
δ
δ
δ
δ
��
�/���3����3C=����@��Z�������/�����%��)���O��6�7����������4��fq4����L������)�#��"N����1q/�#�NW���2�J���6�7��4���������?��������
33
�b4��%���� ������#$��T������������)(*babal�#�NW����?� ����P# },{ ba=��
Q�L�����������������������������������������������������������������������������������������?������
�b�4��%���� ������#$��T�����������}1,2|:|)|({* ≥=∈= kkwbawL�#�NW����?� ����P# },{ ba=Σ��
Q�L���������������������������������������������������������������������������������������?
),,(),(
),,(),(
),,(),(
),,(),(
),,(),(
),,(),(
),,(),(
2
12
12
21
21
10
10
lqq
Rbqbq
Raqaq
Rbqbq
Raqaq
Rbqbq
Raqaq
f �� =
=
=
=
=
=
=
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
��
��
),,(),(
),,(),(
),,(),(
),,(),(
),,(),(
3
32
22
21
10
lqq
Rbqbq
Raqaq
Rbqbq
Raqaq
f �� =
=
=
=
=
δ
δ
δ
δ
δ