Урок №3-4. Тема: «Уравнения и неравенства...
TRANSCRIPT
Урок №3-4. Тема: «Уравнения и неравенства»
Ваша задача из темы: «Линейное уравнение с одной
переменной» решить по 5 уравнений из каждого блока, всего 15
уравнений.
Из темы «Пропорции» 5 уравнений.
Квадратные уравнения – по 5 уравнений из каждого блока, всего
10
Неполное квадратное уравнение – всего 5
Теорема Виета – из каждого блока по 5, всего 15
Дробные рациональные уравнения – 5
Решение неравенств с одной переменной – из первого блока 5, из
второго 10, всего 15
Решение систем неравенств с одной переменной – из первого
блока 10
Решение двойных неравенств – 5
Решение неравенств методом интервалов – 10
Целое уравнение и его корни – 5
Решение систем уравнений – из каждого блока по 5, всего 15.
Всего у вас должно быть решено 115 примеров. Ответы жду на
почту до 19 ноября. Всем удачи!
Уравнения
и
неравенства
7-9 классы.
Тема 1. Линейное уравнение с одной переменной.
Определение. Уравнение вида ax = b, где х переменная, а и b некоторые числа называется линейным
уравнением с одной переменной.
a
bх корень уравнения.
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится
уравнение, равносильное данному;
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно Ито же отличное от нуля число, то получится
уравнение, равносильное данному.
Примеры линейных уравнений.
а) 5х = -60. б) .93
2у
Решение. Решение.
х = ;125
60 Умножим обе части на 3.
х = -12. 2у = 27;
Ответ: х = -12. у = .5,132
113
2
27
Ответ: 13,5.
в) 5х +3 = 2х – 9. г) 15а - (а+3) = -2(2а-1).
Решение. Решение.
5х -2х = – 9-3; 15а – а - 3 = -4а + 2;
3х = -12; 14а + 4а = 2 + 3;
х = 3
12 = -4; 18а = 5;
Ответ: х = -4. а = .18
5 Ответ: .
18
5
Решите уравнение.
1) -8х = -24; 2) -2х = -14; 3) 48х = -16; 4) 50х = -5;
5) -18х = 1; 6) -25х = -1; 7) -3х = 8
2; 8) -2х =
7
3;
9) 63
2x ; 10) 15
5
3x ; 11) 12
4
3x ; 12) 30
6
5x ;
13) -х = 5
31 ; 14) -х =
8
52 ; 15)
5
1 = -5х ; 16)
6
1= -6х;
17) -6 = х6
1; 18) -3 = х
3
1; 19)
7
3х =
14
2; 20) х
5
2= 0,3;
21) 3х +7 = 0; 22) 3х + 2= 0; 23) 13 - 100х = 0; 24)3 - 5х = 0;
25) 0,5х +0,15 = 0; 26) 0,6х + 1,8= 0; 27) 8 – 0,8х = 0; 28) 7–0,7х = 0;
29) 11,2 – 4х = 0; 30) 9х + 72,9 = 0; 31) 15,6 – 6х = 0; 32)7х + 43,4 = 0;
33) 3х +9 = 2х – 5; 34) -4х +2 = х – 7; 35) -5х +4 = 5х – 9;
36) -4х -2 = 3х – 9; 37) 5х +3 = 2х – 9; 38) -5х +3 = 6х – 9;
39)13а - (а+2) = -(7а-1) 40) 5а - (а-3) = -(3а-1)
41)15а = (а+8) + (1–2а); 42) 5а-(13+а) = -(3а-1)+1;
43) 15а-(а+3) = -(2а-1)-1; 44) 5а-(а+9)=-(2а-1)+2;
45) 2(1-6а) = -4; 46) 3(2-2а) = -6; 47) 2(3а+4) = 5;
48) 3(4а-3) = 3; 49) 2(3а-4)+1 = -9; 50) 2(3а-4)-2 = 5;
51) -4(2а+1) = 7(а-4); 52) -3(2а + 2) = 5(а-5); 53) -4(8а-2) = 8(а-1);
54) -(3а+2) = 9(а-4); 55) -3(3а+2) = 2(а-3)-3; 56) -6(5а+2) = -3(а-1)-2;
57) 1,6(5х – 1) = 1,8х – 4,7; 58) 2(0,6х + 1,85) – 0,7 = 1,3х;
59) 2,3(4х – 3) = 6х – 8,54 60) 3(0,8х + 1,7) – 3,1 = 2,6х.
2. Составьте уравнение и решите его:
1) При каком значении переменной значение выражения
3 – 2с на 4 меньше значения выражения 5с + 1?
2) При каком значении переменной значение выражения
4а + 8 на 3 больше значения выражения 3 – 2а?
3) При каком значении переменной у значение выражения 3у + 9 на 8 больше значения выражения 7 –
4у?
4) При каком значении переменной b значение выражения
7 – 5b на 3 меньше значения выражения 6b + 4?
3. Решите уравнение.
1) 15
12х; 2) 1
5
41 х; 3) 1
2
83х; 4) 1
2
103х;
5)2
1
4
311 х; 6)
5
1
10
3х; 7)
5
46
5
73 хх; 8)
7
110
7
38 хх;
9) 2
15
6
37 хх; 10)
4
53
5
2 хх; 11)
8
6
6
12 хх;
12) 8
1119
6
7 хх ; 13) 1
3
34
3
32 хх; 14) 1
4
75
4
95 хх;
15) 6
14
6
110 ххх ; 16) 1
3
6
3
322
ххх ;
17) 3
1
15
2
5
хх; 18)
3
1
155
2 хх; 19) 1
5
3
4
хх;
20) 214
13
7
хх; 21) 2
7
13
5
12 хх; 22) 2
5
1
9
32 хх;
23) 210
13
7
38 хх; 24) 1
7
16
5
14 хх;
25) хххх
320
15
4
1
5
32; 26) 4
2
25
6
137
5
2х
ххх; 27)
5,12
53213
22 хх
хх ; 28) .3
1
3
75335
22 хх
хх
Тема 2. Пропорции.
Определение. Верное равенство двух частных называется пропорцией.
a : b = c : d или .d
с
b
а а и d – крайние члены пропорции,
b и c – средние члены пропорции.
Основное свойство пропорции:
a . d = b
. c Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов
пропорции.
Пример 1. Решим уравнение 2
9
7
х.
.5,312
63
2
79;792;
2
9
7хх
х
Пример 2 . Решим уравнение 3
22:
7
22
5
31:x .
;7
22
5
31
3
22x ;
7
16
5
8
3
8х ;
3
8:
7
16
5
8х .
35
131
35
48
8
3
7
16
5
8х Ответ: .
35
131
1. Решите уравнение.
1) 2
9
7
х; 2)
63
5 t; 3)
183
1 x ; 4)
5
9
6
х;
5) 5 : 4 = 25 : у; 6) х : 8 = 1,5 : 2; 7) 2 : а = 2
12 :
4
11 ;
8) m :3
25 =
9
71 :
27
71 ; 9)
5,1
2
3
8
х; 10)
3
1
5
20
х;
11) z3
4=
3
2; 12)
2
1
3
12x; 13)
5
2
23
6
х; 14)
32
10
6
5
x.
Тема 3. Квадратные уравнения.
Определение. Квадратным уравнением называют уравнения вида
aх2 + bx + c = 0 , где коэффициенты a, b, c любые действительные числа, причём .0а
D = b2 – 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.
Если D>0, то уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам х1,2 = a
Db
2 (х1 =
a
Db
2, х2 =
a
Db
2).
Если D=0, то уравнение имеет один корень, который находится по формуле х =a
b
2.
Если D<0, то уравнение не имеет корней.
Решим квадратные уравнения:
а) 3х2 + 8х – 11 = 0.
Решение: а = 3, b = 8, с = -11.
D = b2 – 4ас = 8
2 – 4
.3
.(-11) = 64 + 132 = 196.
х1,2 = a
Db
2 = ;
6
148
32
1968
х1 = ;3
11
6
22
6
148
х2 = .16
6
6
148
Ответ: 1; .3
11
б) 2х2 + 4х + 7 = 0.
Решение: а = 2, b = 4, с = 7.
D = b2 – 4ас = 4
2 – 4
.2
.7 = 8 - 56 = -40 <0.
Так как D<0, данное уравнение не имеет корней.
в) 4х2 - 20х + 25 = 0.
Решение: а = 4, b = -20, с = 25.
D = b2 – 4ас = (-20)
2 – 4
.4
.25 = 400 - 400 = 0.
х1,2 = a
Db
2 = 5,2
2
5
8
20
8
020. Ответ: 2,5.
Решите уравнение:
1) х2 + 6х + 8 = 0; 2) х
2 - 5х + 6 = 0; 3) х
2 - 2х - 15 = 0;
4) x2 + 6x – 40 = 0; 5) x
2 + x – 2 = 0; 6) х
2 - 3х - 18 = 0; 7) х
2 + 4х + 4 = 0; 8) х
2
- 6х + 9 = 0; 9) 2х2 + 3х + 1 = 0;
10) 3х2 - 3х + 4 = 0; 11) 5х
2 - 8х + 3 = 0; 12) 14х
2 - 5х - 1 = 0;
13) 4х2 + 10х - 6 = 0; 14) 14х
2 - 5х - 1 = 0; 15) 3х
2 - 8х + 5 = 0;
16) 4х2 - 12х + 9 = 0; 17) 5х
2 + 8х – 4 = 0; 18) 5х
2 + 14х – 3 = 0;
19) 7х2 – 9х – 10 = 0; 20) 7х
2 – 18х – 9 = 0; 21) х
2 = 2х + 48;
22) 6х2 + 7х = 5; 23) х
2 = 4х + 96; 24) 2х
2 – 2 = 3х;
25) -х2 = 5х - 14; 26) -3х
2 +5 = 2х; 27) 25 = 26х – х
2;
28) -5х2 = 9х - 2; 29) х
2 + 7х + 2 = 0; 30) 2х
2 + 3х – 1 = 0.
2. Найдите корни уравнения:
1) (х + 4)2 + (х + 4) – 12 = 0;. 2) (х – 3)
2 – 2(х – 3) – 15 = 0;
3) (х + 3)2 – 2(х + 3) – 8 = 0; 4) (х – 5)
2 + 3(х – 5) – 10 = 0;
5) ( х – 2)2 = 3х – 8; 6) ( х + 3)
2 = 2х + 6;
7) ( х – 1)2 = 29 – 5х ; 8) ( х + 2)
2 = 43 – 6х;
9) 5( х + 2)2 = -6х – 44; 10) 4( х – 1)
2 = -12х + 3;
11) ( х + 3)2 -16 = (1 - 2х)
2; 12) ( х – 2)
2 + 24 = (2 + 3х)
2;
13) (х – 2)(х + 2) = 7х – 14; 14) (х – 3)(х + 3) = 5х – 13;
15) (-х – 1)(х - 4) = х (4х – 11); 16) (х + 4)(2х - 1) = х (3х + 11);
17) -х (3
1– х) = (х - 1)(х + 1); 18) -х (4х + 1) = (х + 1)(х - 2);
39) 5(х - 2) = (х - 2)(3х + 2); 40) 7(1 - х) = (2х + 3)(1 – х);
41) 5
42
3
2 ххх ; 42)
3
24
5
2 2 ххх ; 43) 56
2
32
хх
;
44) 33
42
хх
; 45) 27
11 22 ххх; 46)
7
24
2
2 22 ххх;
47) 10
173
5
72
4
3 22 хххх; 48)
9
17
6
15
3
4 22 хххх.
Тема 4. Неполное квадратное уравнение.
Неполное квадратное уравнение -это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; т.е.
это уравнение, у которого либо b =0, либо с = 0 или одновременно
b =0, и с = 0 ( 0а ).
Решим неполные квадратные уравнения:
а) 2х2 + 4х = 0.
Решение: 2х(х + 2) = 0;
2х = 0 или х + 2 = 0;
х = 0, х = -2.
Ответ: 0,-2.
б) 2х2 - 32 = 0.
Решение: 2х2 = 32; х
2 = 16
2
32 ; х
2 = 16; х = .416
Ответ: х = -4, х = 4.
в) 5х2 = 0.
Решение: х2 =
5
0; х
2 = 0, х = 0. Ответ: 0.
Решите уравнение:
1) х2 + 5х = 0; 2) 2х
2 - 9х = 0; 3) х
2 - 12х = 0; 4) 3х
2 + 5х = 0;
5) -х2 + 8х = 0; 6) -х
2 + 3х = 0; 7) 7х – х
2 = 0; 8) х
2 - 19х = 0;
9) 6х2 = 18х; 10) 4х
2 = 16х; 11) 5х
2 = 35х; 12) 8х
2 = 72х;
13) х2 - 9 = 0; 14) х
2 – 25 = 0; 15) 64 – х
2 = 0; 16) 100 - х
2 = 0;
17) 25х2 – 4 = 0; 18) 36х
2 – 25 = 0; 19) 49х
2 – 16 = 0; 20) 64х
2 – 9 = 0;
21) -2х2 + 11 = 0; 22) -3х
2 + 4 = 0; 23) 9 – 5х
2 = 0; 24) 13 - 7х
2 = 0;
25) 3х2 + 7 = 0; 26) 4х
2 + 17 = 0; 27) 3х
2 + 9 = 0; 28) 4х
2 + 16 = 0;
29) 3х2 = 0; 30) 4х
2 = 0; 31) -3х
2 = 0; 32) -4х
2 = 0.
Тема 5. Теорема Виета.
Квадратное уравнение x2 + px + q = 0 называют приведенным, если старший коэффициент равен 1.
Теорема Виета: Пусть х1 и х2 корни квадратного уравнения
x2 + px + q = 0. Тогда сумма корней равна –р, а произведение корней равно q.
x1 + x2 = - p
x1 x2 = q
Примеры:
а) Найдём сумму и произведение корней х2 + 6х + 8 = 0.
Решение: x1 + x2 = -6; x1 x2 = 8. Ответ: х= -6, х = 8.
б) Найдём подбором корни уравнения х2 - 3х - 18 = 0.
Решение:
x1 + x2 = 3
x1 x2 = -18 . Значит, x1 = -3 x2 = 6. Ответ: х= -3, х = 6.
1. Найдите сумму корней квадратного уравнения:
1) х2 + 3х + 2 = 0; 2) х
2 – 19х + 18 = 0; 3) х
2 - 15х + 14 = 0;
4) х2 + 8х - 9 = 0; 5) х
2 + 9х + 20 = 0; 6) х
2 - 15х + 36 = 0;
7) 3х2 + 5х + 2 = 0; 8) 2х
2 – 7х + 6 = 0; 9) 2х
2 + 7х = 0;
10) 5х2 – 3х = 0; 11) 5х
2 – 8х + 3 = 0; 12) 7х
2 + 9х +2 = 0.
2. Найдите произведение корней квадратного уравнения:
1) х2 + 8х + 7 = 0; 2) х
2 + 3х - 4 = 0; 3) х
2 - 10х - 11 = 0;
4) х2 + 5х - 14 = 0; 5) х
2 - 7х - 30 = 0; 6) х
2 - 9х - 10 = 0;
7) – х2 + 2х + 15 = 0; 8) – х
2 + 7х +8 = 0; 9) 4х
2 – 14 = 0;
10) 7х2 – 6 = 0; 11) 4х
2 -3х -6 = 0; 12) 5х
2 + 3х - 4 = 0.
3. Найдите подбором корни уравнения:
1) х2 - 5х + 6 = 0; 2) х
2 - 6х + 8 = 0; 3) х
2 – 19х + 18 = 0; 4) х
2 - 15х + 14 = 0; 5) х
2 -
15х + 36 = 0; 6) х2 + 3х + 2 = 0;
7) х2 + 8х + 7 = 0; 8) z
2 + 5z + 6 = 0 9) у
2 +8у + 15 = 0
10) х2 + 9х + 20 = 0; 11) х
2 + 3х - 4 = 0; 12) х
2 + 8х - 9 = 0;
13) х2 + 5х - 14 = 0; 14) y
2 + 7y - 8 = 0 15) х
2 - 10х - 11 = 0;
16) х2 - 7х - 30 = 0; 17) х
2 - 9х - 10 = 0. 18) х
2 - 8х - 9 = 0;
19) х2 - 2х - 15 = 0 20) z
2 – 3z - 10 = 0 21) y
2 – 11y - 80 = 0.
Тема 6. Дробные рациональные уравнения.
Пример 1. Решим уравнение 12
7
4
2
хх.
Используя основное свойство пропорции получим:
2.(2х-1) = 7
.(х+4); 4х – 2 = 7х + 28; 4х – 7 х = 28 + 2;
-3х = 30; х = .103
30 х = -10 подходит под условие .
2
1;4 хх Ответ : -10.
Пример 2. Решим уравнение 42
33
хх.
Имеем: ;42
332
хх
хх
;42
323
хх
хх;4
2
363
хх
хх
;1
4
2
66
хх
х1
.(6х+6) = 4х(х+2); 6х + 6 = 4х
2 + 8х; 4х
2 + 8х – 6х – 6 = 0;
4х2 + 2х – 6 = 0; 2х
2 + х – 6 = 0; D = 1
2 - 4
.2
.(-6) = 1 + 48 = 49.
х 1;2 = .5,12
3
4
6
4
71;
4
71
22
4911х
.24
8
4
712х
х = -2 обращает знаменатель в нуль. Подходит х = 1,5. Ответ: 1,5.
1. Решите уравнение:
1)1
7
3
2
хх; 2)
хх 3
4
5
6; 3)
хх 6
4
1
5; 4)
3
1
6
4
хх; 5)
92
2
6
3
хх;
6)12
7
4
2
хх; 7) 3
53
5
х
х; 8) 5
21
6
х
х;
9) хх
х 4
32; 10)
хх
х 2
62; 11)
хх
х 1
32; 12)
хх
х 1
12;
13) хх
214 ; 14) х
х
103 ; 15) 4
60
хх ; 16) 14
48
хх ;
17) 51
66
хх; 18) 4
2
33
хх; 19) 1
4
33
хх;
20) 34
3
5
хх; 21)
2
611
хх; 22)
хх
1121
2;
23) 010
16 2
х
х; 24) 0
252
2
х
х; 25) 0
1
1522
х
хх;
26) 03
1242
х
хх; 27) 0
3
92 2
х
хх; 28) 0
4
416 2
х
х.
Тема 7. Решение неравенств с одной переменной.
Решением неравенств с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в
верное числовое неравенство.
Пример . Решим неравенство .151316 xх
Перенесём слагаемое 13х с противоположным знаком в левую часть неравенства: ;151316 хх .153х
Разделим обе части неравенства на 3: .5;3
15хх
Множество решений неравенства состоит из всех чисел, больших 5.
Ответ: .;5
1.Решите неравенство:
1) 5х > 35; 2) 6х > 48; 3) 8х < 72; 4) 7х < 42;
а) 6х – 18; а) 5х > – 45; а) 7х – 14; а) 4х < – 36;
б) – 4х > 36; б) – 6х 42; б) – 9х > 54; б) – 7х 63;
5) -9х > -63; 6) -х > -8; 7) -х 10; 8) -12х 24;
9) 3х > 11 10) 6х > 13 11) 6х 1,2 12) 4х 1,6
13) -18х -27; 14) 12х -18; 15) -15х 25; 16) -х 24;
17) 6
1х > 3; 18)
3
1 х > 2; 19) -
8
3х < -12; 20) -
4
1х < 6;
21) 3
2х > 18; 22)
9
2 х > 36; 23) -
6
11 х < 42; 24) -
7
3х < 21;
25) 0,4х > 2; 26) 0,5х > 3; 27) -0,3х < -9; 28) -0,7х < 1,4;
2. Решите неравенство:
1) 12 + х > 18; 2) 17 + х > 37; 3) 6 - х 4; 4) 5 - х 1;
5) 6,2 + х 10; 6) 0,3 + х 1; 7) 0,4 - х < 0; 8) 0,6 - 2х 0;
9) 1 + 3х > 10; 10) 1 + 6х > 7; 11) 6 - 5х 2; 12) 3 - 2х 8;
13) 6 + х > 3 – 2х; 14) 4 + х > 1 – 2х; 15) 19 + 4х 5х – 1;
16) 7 + 4х 6х + 1; 17) 6х 8х + 1; 18) 9х 4х + 2;
19) 3(2 + х) > 4 – х; 20) 4(1 + х) > х – 2;
21) – (4 – х) 2(3 + х); 22) – (1 + 2 х) 3(2 + х);
23) 0,5(х – 2) + 1,5х < х + 1; 24) 1,2(х + 5) + 1,8х > 7 + 2х;
25) 1,5(х – 4) – 3,5х < х + 6; 26) 2,4(5 – х) – 1,6х > 2х – 6;
27) 3(1 – х) + 2(2 – 2х) < 0; 28) 6(2х - 1) - 2(2 + х) < 0;
29) 15
3х ; 30) 1
2
5х; 31) 0
4
х; 32) 0
8
х;
33) 93
2х; 34) 2
3
4х; 35) 0
7
4х; 36) 0
6
5х;
37) 12
35 х; 38) 1
20
2 х; 39) 5
4
1 х; 40) 3
6
3 х;
41) 12
35 х; 42) 1
20
2 х; 43) 0
3
4 х; 44) 3
6
3 х;
45) 35
2х
х; 46) 2
4
3х
х; 47) 2
4
хх ; 48) 7
32
хх ;
49) 2
132
3
1 хх
х; 50)
5
1103
5
12 хх
х.
Тема 8. Решение систем неравенств с одной переменной.
Решением системы неравенств с одной переменной, называется значение переменной, при котором
верно каждое из неравенств системы.
Пример. Решим систему неравенств.732
,915
х
х
Имеем: .93
,105
х
х Отсюда
.3
,2
х
х Ответ: 3;2 .
1. Решите систему неравенств.
1) ;3
,5,1
х
х 2)
;11
,2
х
х 3)
;1
,0
х
х 4)
;6
,4
х
х
5) ;7,2
,5,1
х
х 6)
;3
,6
х
х 7)
;4
,5
х
х 8)
;2
,5,1
х
х
9) ;105
,33
х
х 10)
;5
,124
х
х 11)
;93
,25,0
х
х 12)
;123
,22,0
х
х
13) ;126
,35,1
х
х 14)
;7010
,36,0
х
х 15)
;755
,27
1
х
х
16)
;168
,13
1
х
х 17)
;2459
,2172
x
xx 18)
;35411
,34232
x
xx
19) ;2035
,423
x
xx 20)
;2549
,7335
x
xx 21)
;22,56,0
,135
xх
xх
22) ;2,04,15,0
,43
xх
xх 23)
;113,8
,926
х
xх 24)
;26,1
,1627
х
xх
25) ;224
,15,123
xх
xх 26)
;632
,15,125,6
xх
xх 27)
.12
,5692
x
xx
28) .3,07,03
,5
4
xx
xx
29) .2
3
,4783
x
xx
30) .4,16,06
,6
5
xx
xx
31) ;1)1(36
,4)8()3(2
xх
xх 32)
;)4,0(25,03
,6,26)1(5
xxх
xх
33) ;2)16(3
,34,0)2(6,1
xxx
xх 34)
;5)41(2
,68,0)3(2,1
xxx
xх
35)
;05
2
,52
x
x
36)
;16
,123
x
x
37)
;111
,08
63
x
x
38)
;07
,14
15
x
x
39)
;13
2
2
1
,24
xx
xx
40)
.15
4
,4
1
xx
xx
2. Решите систему неравенств и укажите все целые числа, которые являются её решениями.
1) ;42
,316
xх
хх 2)
;43
,329
xх
хх 3)
;8,06,13
,125,0
x
x
4) ;42,07,0
,25,05,1
x
x 5)
;3,02,02
,046,1
x
x 6)
.01,09,0
,074,1
x
x
Тема 9. Решение двойных неравенств.
Пример 1. Решим двойное неравенство -1 < 3 + 2х < 4.
Имеем: -1 - 3 < 3 + 2х - 3 < 4 – 3;
-1 - 3 < 2х < 4 – 3;
- 4 < 2х < 1;
- 2
4 < х <
2
1; - 2 < х <
2
1. Ответ: .
2
1;2
1. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству:
1) -1 < x <3 2) 0 < x < 5 3) 40 х 4) 42 х
2.Укажите все целые числа, удовлетворяющие двойному неравенству:
5) -8 < x < -5 6) -7,5 < x < 2 7) 05,6 х 8) 5,14 х .
Решите двойное неравенство:
9) 1,5 < 3x < 3 10) 3,5 < 5x < 10 11) 261 х 12) 632 х .
13) 4 < -4x < 8 14) 6 < -6x < 12 15) 310 х 16) 813 х .
17) -4 < 22 + x < -1 18) -3 < 15 + x < 3 19) -4 < 2x +1< 2
20) -6 < 5x - 1 < 5 21) 1351 х 22) 2212 х
23) -2 < 4
х < 2 24) -1 <
6
х < 1 25) 1
30
х 26) 2
40
х
27) 4,05
2,0х
28) 5,42
5,0х
29) 13
122
х
30) 12
253
х 31) 5,1
2
321
х 32) 0
4
261
х
33) 45
22
х 34) 7
4
13
х
Тема 10. Решение неравенств методом интервалов.
Решите неравенство:
1) (х - 2)(х - 5) > 0; 2) (х - 3)(х + 5) < 0; 3) (х - 1 )(х + 2) ≥ 0;
4) (х + 2)(х + 3) > 0; 5) (х + 3)(х – 0,5) < 0; 6) (х - 4
1 )(х + 4) ≥ 0;
7) (х -9
4) (х -
3
1) ≤ 0; 8) х(х -
4
1) (х – 12) ≥ 0; 9) х(х + 8)(1,2 – х) ≤ 0;
10)72
)8()6(
x
xx> 0; 11)
13
)7()5(
x
xx> 0; 12) 0
9
)74()6(
x
xx;
13)x
xx
25
)23()1( ≥ 0; 14) 0
279
59
х
хх 15)
x
xx
2
)3(≥ 0;
16) 83
)8(
x
xx≤ 0; 17) 0
62
3
хх
х ; 18) 0
24
4
хх
х;
19) 0161
6
хх
х; 20 0
3
642
х
х; 21) 0
9
31
х
хх;
22) 1
4 2
x
xx> 0; 23)
4
123 2
x
xx > 0; 24)
x
xx
63
28 2
≥ 0;
25) x
xx
23
94 2
≤ 0; 26) 7
48142
x
xx > 0; 27)
102
84192
x
xx ≥ 0;
28) 4
252 2
x
xx < 0; 29)
63
7164 2
x
xx ≤ 0; 30)
32
23
x
x > 3;
31) 2
3
x
x < 1; 32)
5
75
x
x ≤ 7; 33)
2
47
x
x ≥ 1.
Тема 11. Целое уравнение и его корни. Уравнение вида ах
4 + bх
2 +с = 0 называют биквадратным уравнением.
Пример1. Решим биквадратное уравнение х4 + х
2 – 20 = 0.
Введем новую переменную у = х2. Так как х
4 = (х
2)2 = у
2, то уравнение можно переписать в виде у
2 + у –
20 = 0. у1 = 4; у2 = -5. Но у = х
2, значит, задача свелась к решению двух уравнений:
х2 = 4; х
2 = -5.
х1,2 = 2. Нет решений. Ответ: 2.
Пример2. Решим уравнение 9х3 – 18х
2 – х + 2 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители:
9х2( х – 2) – 1(х – 2) = 0; ( х – 2) (9х
2 – 1) = 0;
( х – 2) (3х – 1)(3х + 1) = 0;
х – 2 = 0, или 3х – 1 = 0, или 3х + 1 = 0.
х1 = 2 , х 2 = 3
1, х 3 = -
3
1 . Ответ: 2 ,
3
1, -
3
1 .
Решите уравнение:
1) х4 - 10х
2 + 9 = 0; 2) х
4 - 5х
2 + 4 = 0; 3) х
4 +6х
2 - 27 = 0;
4) х4 + 15х
2 + 54 = 0; 5) х
4 – 17х
2 + 16 = 0; 6) х
4 – 10х
2 + 25 = 0; 7) х
4 + 5х
2 + 9 = 0; 8)х
4 + 5х
2
- 36 = 0; 9) 4х4 –37х
2 + 9 = 0;
10)9х4 – 40х
2+16=0; 11) 16х
4 - 25х
2 + 9 = 0; 12) 9х
4 - 32х
2 - 16 = 0;
13) х3 – 25х = 0; 14) х
4 – 4х
2 = 0; 15) 2х
4 - 2х = 0;
16) х3 - 81х = 0; 17) х
3 – 4х
2 – 9х + 36 = 0; 18)16х
3–32х
2–х +2=0;
19) х6+4х
4–х
2–4 = 0; 20) х
6-х
4 +5х
2–5 = 0; 21) у
3–2у
2 = у– 2 ;
22) у6 + 4у
4 = у
2 + 4; 23) 3у
2 – 2у = 2у
3 – 3; 24)2х
4 –18х
2 = 5х
3 –45х;
17) 2(х2 - 1)
2 + 6(х
2 - 1) = 0; 18) (х
2 - 4)
2 + 5(х
2 - 4) = 0;
19) (х2 +2х)
2 - 2(х
2 +2х) – 3 = 0; 20) (х
2 +х)
2 - 5(х
2 +х) +6 = 0;
11) 3(х + 4)2 – 9(х + 4) = 0; 12) 5(х - 6)
2 + 11(х - 6) = (х - 6).
Тема 12. Решение систем уравнений.
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных,
обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.
Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.
Рассмотрим алгоритм решения систем уравнений способом подстановки.
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример1.Решим систему уравнений
.92
,3
ух
ху
1) Выразим из первого уравнения у через х.: у = х – 3.
2) Подставим во второе уравнение вместо буквы у выражение х – 3:
2х + (х – 3) = 9.
3) Решим полученное уравнение с переменной х.
2х + х – 3 = 9, 3х – 3 = 9, 3х = 12, х = 4.
4) Подставим в уравнение у = х – 3 вместо х число 4.
у = 4– 3 =1. х = 4, у = 1.
Ответ: (4; 1).
При решении двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения поступают
следующим образом:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из
переменных стали противоположными числами:
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившиеся уравнения с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример2. Решим систему уравнений .7
,5
ух
ух
Так как коэффициенты при переменной у противоположны, сложим почленно левые и правые части.
2х = 12, х = 6.
Подставив значение х в уравнение х + у = 5. 6 + у = 5, у = 5 – 6 = -1.
Ответ: х = 6, у = -1.
1. Решите систему уравнение способом подстановки:
1) ;73
,5
ух
ху2)
;82
,7
ху
ух 3)
;63
,0
ух
ух4)
;42
,2
ух
ух
5);92
,3
ух
ху6)
;92
,3
ух
ху7)
;152
,523
nm
nm8)
;1032
,83
nm
nm
9) ;625
,83
yx
yx 10)
;1137
,52
yx
yx 11)
;743
,92
yx
yx12)
.1725
,83
yx
yx
2. Решите систему уравнение способом сложения:
1) ;7
,5
ух
ух2)
;5
,3
ух
ух 3)
;5
,1
ba
ba4)
;2
,6
ba
ba
5);52
,112
mn
mn6)
;83
,43
tz
tz 7)
;1172
,53
yx
yx 8)
.153
,52
yx
yx
3. Решите систему уравнение:
1);262
,12 ух
ху 2)
;92
,32 ху
ух 3)
;6
,2
ху
ух
4);6
,2
ух
ху 5)
;1
,2
ух
ху 6)
;5
,325 2
ух
ух
7) ;5
,1
ba
ba 8)
;103
,122
ху
хуу 9)
;174
,332 2
ух
хух
10);72
,2422
ху
ух 11)
;12
,1122
ух
ухух12)
;5
,1532
ух
уухух
13);2
,22
ух
уххух14)
;02
,1322
ух
хуух15)
;6
,1222
ух
ух
16);2
,822
ух
ух 17)
;6
,1222
ух
ух 18)
.1
,522
ух
ух
19) ;22)4(2
,204)3(4)2(6
xxy
yyxx 20)
);21(276)4(3
,31)6(2)5(4
xxy
yyx
21) );3(2332
,184)2(3
yxyx
yyx 22)
).23(210208
,1029312
yxx
xyx
