α λ ⋅ ⋅ − ⋅ β ( ) ν č ( ) - fsbtijela okomite na smjer uzgonskih sila. slika 6...

Formule za izračunavanje koeficijenata prijelaza topline I. Boras, S. Švaić 34/71

S VE UČ I L I Š T E U ZAGRE B U FAKUL T E T S T RO J AR S T V A I B RO DO GRA DNJ E

L a b o r a t o r i j z a t o p l i n u i t o p l i n s k e u ređa j e I . L u č i ć a 5 , 1 0 0 0 0 Z a g r e b T e l . : ( 0 1 ) 6 1 6 8 2 2 2 , F a x . : ( 0 1 ) 6 1 5 6 9 4 0

SLOBODNA KONVEKCIJA PREKO VERTIKALNE RAVNE STIJENKE Jednolika temperatura stijenke Koristeći podatke dobivene iz mnogih pokusa McAdams je predložio relaciju sljedećeg oblika: ( )mm

LL PrGrcRacNu ⋅⋅=⋅= (94) u kojoj su konstante c i m u funkciji značajke Ra. Ona se temelji na ukupnoj duljini L. Interesantno je zabilježiti da u laminarnom području 104 < Ra < 109 McAdams preporučuje vrijednost m = 1/4. Međutim u turbulentnom području 109 < Ra predlaže m = 1/3. Ovo je interesantno u tom smislu što Rayleightov broj uključuje L3, a Nusseltov broj jednostavno L. Gornja jednadžba pokazuje da je α neovisan o L u tom području. Takvo je ponašanje prilično neuobičajeno u izrazima drugih autora za slobodnu konvekciju. U gornjoj jednadžbi Gr i NuL su definirani jednadžbama:

λ

α LNu m

m⋅

≡ (95)

( )

2

3

νβ LTTg

Gr sL

⋅−⋅⋅≡ ∞ (96)

pri čemu je:

( )∞

∞

−−

=TT

1/ ρρβ (97)

Vrijednosti konstanti c i m su date u tablici 7. Fizikalna svojstva treba birati za temperaturu

filma ( )∞+= ϑϑϑ sm 21 .

Tablica 7 Vrijednosti konstanti c i n Tip strujanja Područje vrijednosti Pr⋅LGr c n laminarno turbulentno

104 - 109

109 - 10130.59 0.10

1/4 1/3

Churchill i Chu su oblikovali jednu široku relaciju prema podacima iz velikog broja radova i predlažu sljedeći izraz:

9/416/9

4/1 492.01670.068.0−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅⋅+=

PrRaNu LL 0 < Ra < 109 (98)

Formule za iI. Boras, S. Š



227/816/96/1 492.01387.0825.0

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅⋅+=

−

PrRaNu LL 109 < RaL (99)

Ovaj se drubolja točnosgornjim je jerecipročnoj v Jednolik top Ovu su probrezultata oni pri čemu je m

a lokalni Nu

pri čemu je potrebno je u te se dobivaj

0 < Pr < ∞ svojstva tekućine birati za temperaturu ϑm

β za ϑm za kapljevine, za ϑ∞ za plinove

zračunavanje koeficijenata prijelaza topline vaić 35/71

gi izraz zapravo može koristiti u cijelom području vrijednosti značajke Ra, ali se t postiže upotrebom prve jednadžbe za za nju definirano područje vrijednosti. U dnadžbama korisno podsjetiti da je za plinove koeficijent toplinskog širenja jednak rijednosti temperature T∞, ukoliko se koristi aproksimacija idealnog plina.

linski tok

lematiku obrađivali autori Sparrow, Gregg, Vliet i Liu. Temeljem eksperimentalnih su predložili sljedeće izraze za lokalni Nu:

za 10( 5/1*60.0 PrGrNu xx ⋅⋅= )

)

5 < Grx* ⋅ Pr < 1011 (laminarno) (100)

za 2⋅10( 22.0*568.0 PrGrNu xx ⋅⋅= 13 < Grx* ⋅ Pr < 1016 (turbulentni) (101)

odificirani Grashofov broj Grx* definiran kao:

( )2

4

2

3*

)( νλβ

λνβ

⋅⋅⋅⋅

=⋅−

⋅⋅

⋅−⋅⋅=⋅=

∞

∞ xqgTT

xqxTTgNuGrGr s

s

ssxxx (102)

sseltov broj kao:

λα x

xx

Nu⋅

= (103)

qs konstantan iznos toplinskog toka. Za prosječnu vrijednost Nusseltove značajke vesti ovisnost αx o x, što se preko prethodnih jednadžbi može izvesti u obliku:

(104) 2.0−≡ xxα (105) 12.0−≡ xxα

u jednadžbe:

[ ] [ ] LxxLxxm NuNuNu == ⋅=⋅−

= 25.12.01

1 105 < Grx*⋅ Pr < 1011 (106)




[ ] [ ] LxxLxxm NuNuNu == ⋅=⋅−

= 136.12.01

1 2⋅1013 < Grx*⋅ Pr < 106 (107)

Sva fizikalna svojstva treba birati za srednju temperaturu filma (ϑm). Kada je propisan toplinski tok qs umjesto temperature stijenke Ts, temperaturna je razlika Ts - T∞, a time i temperatura filma nepoznata pri postavljanju problema. U tom slučaju potrebna je početna pretpostavka za temperaturu filma. Ukoliko se proračunata vrijednost i pretpostavljena razlikuju toliko da se to odražava na svojstva tekućine proračun treba ponoviti s tom novom vrijednošću temperature. U referencama se ovih autora navodi da prijelazno područje počinje u 3⋅1012 < Grx

*⋅Pr < 4⋅1013 i završava u 2⋅1013 < Grx

*⋅Pr < 4⋅1014. Tako je potpuno turbulentno područje od Grx*⋅Pr = 1014,

mada se ova vrijednost može pomaknuti i na 2⋅1013. Churchill i Chu su razvili relaciju za slobodnu konvekciju na vertikalnoj stjenci, ali za konstantnu temperaturu stijenke u obliku:

( )[ ] 9/416/9

4/1

/492.01

67.068.0

Pr

RaNu L

m+

⋅+= za 10-1 < RaL < 109 (108)

s fizikalnim svojstvima za temperaturu ϑm = (ϑs+ϑ∞)/2. Oni su, nadalje, eksperimentalne podatke za rubni uvjet konstantnog toka pokušali povezati ovom gornjom jednadžbom. Ova su dva problema različita s matematičke točke gledišta. Zbog toga se, strogo govoreći, ne mogu očekivati isti rezultati u prijelazu topline. Međutim, autori su potvrdili da gornja jednadžba vrlo dobro povezuje podatke, te su tako zaključili da se ona može koristiti za slobodnu konvekciju na vertikalnoj stijenci i onda kada je rubni uvjet jednolik toplinski tok. Isto vrijedi i za njihovu drugu relaciju. Međutim, u slučajevima kada se prethodna jednadžba koristi uz rubni uvjet konstantnog toplinskog toka zgodno je desnu stranu izraza napisati u obliku modificiranog Grashofovog broja. To se radi na sljedeći način: PrGrRa LL ⋅= (109) (110) mLL NuGrGr ⋅=*

m

LL Nu

PrGrRa

⋅=

*

(111)

te se tako dolazi do jednadžbe u obliku:

( ) ( )( )[ ] 9/416/9

4/1*4/1

/492.01

67.068.0

Pr

PrGrNuNu L

mm+

⋅⋅=−⋅ (112)

za laminarnu slobodnu konvekciju na vertikalnoj stijenci uz uvjet qs = konst.




SLOBODNA KONVEKCIJA PREKO HORIZONTALNE RAVNE STIJENKE Jednolika temperatura stijenke U slučajevima vertikalne slobodne konvekcije karakteristične su dimenzije tijela bile u liniji s vektorom sile gravitacije. Strujanje, nastalo slobodnom konvekcijom, je tako bilo paralelno s površinama, bez obzira je li površina bila toplija ili hladnija od okolišnje tekućine. Međutim, u slučaju slobodne konvekcije oko grijanih ili hlađenih horizontalnih površina glavne su dimenzije tijela okomite na smjer uzgonskih sila.

Slika 6 Slučajevi slobodne konvekcije U slučaju kada je grijana površina okrenuta prema dolje zagrijana tekućina manje gustoće formira na dnu tanjurastu površinu, te nastojeći se uzdići, struji prema rubovima i tada prema gore. Ukoliko je, međutim, grijana površina okrenuta prema gore, tekućina se manje gustoće formira iznad površine, s namjerom uzdizanja, dok hladnija tekućina pada dolje. Zato se u ovom slučaju može govoriti o nestabilnoj situaciji, a stvarna je priroda uzorka strujanja jako ovisna o ostalim efektima – primjerice malom nagibu ravne površine, utjecaju gibanja tekućine s druge strane ploče i slično. Ista je nestabilnost primjećena u drugim situacijama slobodne konvekcije u kojima je grijana površina velikih dimenzija smještena uz značajan nagib prema gravitacijskom vektoru (u ovom slučaju 90o). Iz tih je razloga teško pronaći pouzdane relacije za horizontalne ploče. McAdams i Goldstein preporučuju sljedeće:

• karakteristična duljina: ploceopseg

plocepovršinaLc = ili

OAL =

• grijana površina okrenuta prema gore ili hlađena okrenuta dolje:




2.6⋅104/154.0 LcLc RaNu ⋅= 4 < RaLc <107 (113) 103/115.0 LcRaNu ⋅= 7 < RaLc < 3⋅1010 (114) • grijana površina okrenuta dolje ili hlađena okrenuta gore: 3⋅104/127.0 LcLc RaNu ⋅= 5 < RaLc < 3⋅1010 (115)

Jednolik top Slobodna kogrijane pločeZa horizonta Ovdje potendebljini pločploča. Drugmanjim pločefekti mogu Za horizonta Eksponent 1jednadžbe tr a koeficijenkao:

a srednji Nu

svojstva tekućine birati za temperaturu ϑm

β za kapljevine birati za ϑm, za plinove za ϑ∞


linski tok

nvekcija uz rubni uvjet jednolikog toplinskog toka temeljito je istražena za električki u horizontalnom, vertikalnom i zakošenom položaju. lne ploče s grijanom površinom okrenutom prema gore:

za Gr( 3/113.0 PrGrNu Lm ⋅⋅= )

)

)

L⋅ Pr < 2⋅108 (116)

za 5⋅10( 3/116.0 PrGrNu Lm ⋅⋅= 8 < GrL⋅ Pr < ⋅1011 (117)

cija 1/3 sugerira da se koeficijent prijelaza topline ne mijenja lokalno niti ovisi o e. Ova su dva rezultata dobivena korištenjem 30 odnosno 5 cm dugačkih grijanih

a jednadžba po redu pokazuje veće koeficijente prijelaza topline (a dobivena je s ama) nego prva jednadžba koja je dobivena s duljim pločama. Čini se da se rubni zanemariti s duljim pločama.

lnu ploču čija je grijana površina okrenuta dolje:

10( 5/158.0 PrGrNu Lm ⋅⋅= 6 < GrL⋅ Pr < ⋅1011 (118)

/5 ukazuje na to da režim strujanja ostaje laminaran. Fizikalna svojstva u ove tri eba uvrstiti za srednju temperaturu definiranu kao:

( )∞−⋅−= ϑϑϑϑ ssm 25.0 (119)

t toplinskog širenja β za (ϑs+ϑ∞)/2. U ovim je izrazima Grashofov broj definiran

( )2

3

νϑϑβ Lg

Gr sL

⋅−⋅⋅= ∞ (120)

sseltov broj preko duljine L kao:




( ) λϑϑλα

⋅−⋅

=⋅

=∞s

smm

LqLNu (121)

SLOBODNA KONVEKCIJA OKO USPRAVNOG CILINDRA Ukoliko je površina koja je u pitanju vertikalni cilindar, mogu se očekivati male razlike između koeficijenata prijelaza topline u ovom slučaju i onog za vertikalnu ravnu stijenku, ukoliko omjer D/L nije premali. Gebhart je pokazao da se relacija za vertikalnu ploču može primjeniti i za vertikalni cilindar uz uvjet:

4/1

35

LGrLD> (122)

U slučaju da je vertikalni cilindar podvrgnut jednolikom toplinskom toku na stijenci, za određivanje Nusseltovog broja mogu se iskoristiti jednadžbe navedene za verikalnu ravnu stijenku. SLOBODNA KONVEKCIJA OKO HORIZONTALNOG CILINDRA Za horizontalne cilindre, dovoljno dugačke da se rubni efekti mogu zanemariti, McAdams predlaže relaciju u obliku: (123) m

DD RacNu ⋅= pri čemu je Nusseltov i Rayleightov broj temeljen na promjeru cilindra. Churchill i Chu su povezali već postojeće eksperimentalne podatke za prosječan Nusseltov broj kod slobodne konvekcije na izotermnom horizontalnom cilindru u jednadžbu:

( )[ ] 27/816/9

6/12/1

/559.01

387.060.0

Pr

RaNu D

m+

⋅+= za 10-4 < RaD < 1012 (124)

pri čemu vrijedi:

λ

α DNu m⋅

= (125)

( )

PrDg

PrGrRa sDD ⋅

⋅−⋅⋅=⋅= ∞

2

3

νϑϑβ

(126)

0 < Pr < ∞ 10-5 < RaD < 1012

svojstva za temperaturu ϑm






Morgan predlaže jednostavnu relaciju u području 10-10 < RaD < 1012 u obliku:

nDm RacDNu ⋅=

⋅=

λα (127)

Konstante c i n date su u tablici 8. Tablica 8 Vrijednosti konstanti c i n

RaD c n

10-10 – 10-12 0.675 0.058 10-2 – 102 1.02 0.148 102 – 104 0.85 0.188 104 – 107 0.48 0.250 107 – 1012 0.125 0.333

SLOBODNA KONVEKCIJA OKO KUGLE Yuge preporučuje upotrebu sljedeće relacije: (127) 4/143.02 DD RaNu ⋅+=

Konstanta 2topline nasta Osim pretheksperiment

Pr ≈ 1 1 < RaD < 105

svojstva za temperaturu ϑm


u jednadžbi proizilazi iz činjenice da za nepostojanje uzgonskih sila sav gubitak je provođenjem od kugle na okolišnju tekućinu.

odnog izraza u upotrebi je i jednadžba autora Amata i Tiena dobivena iz alnih rezultata za pojedinačnu kuglu u vodi, u obliku:

(128) 4/150.02 Dm RaNu ⋅+=

3⋅105 < RaD < 8⋅108

10 ≤ Num ≤ 90 ( )

PrDg

PrGrRa sDD ⋅

−⋅⋅⋅=⋅= ∞

2

3

νϑϑβ

svojstva tekućine treba birati za srednju temperaturu filma ϑm

ako RaD → 0 jednadžba prelazi u oblik Num = 2 što je granična vrijednost za provođenje topline od izotermne kugle na beskonačni medij β za kapljevine birati za ϑm, za plinove za ϑ∞





SLOBODNA KONVEKCIJA U NAKOŠENIM PRAVOKUTNI ZATVORENIM PROSTORIMA Konfiguracija oblikovana pravokutnim zatvorenim prostorima u kojima se dvije nasuprotne plohe podržavaju na različitim temperaturama, a druge dvije su adijabatske su od posebnog interesa u izmjenjivačima topline sa slobodnom konvekcijom između ploha zadanih temperatura. Takvi su slučajevi zračni prostor između stijenki objekta (zidova neke građevine) ili prostor između staklenih stijenki u dvostrukim prozorima. Takav je i prostor između apsorbirajuće površine solarnog kolektora i pokrovne ploče od stakla ili plastike. Pretpostavimo da je gornja ploča toplija, temperature ϑh, a donja ploča hladnija temperature ϑc. Toplinski je tok kroz sloj tekućine usmjeren prema gore, te se uspostavlja određeni temperaturni profil. Gustoća je hladnije tekućine veća od gustoće toplije tekućine. Za dovoljno male temperaturne razlike (ϑh-ϑc ) između ploča, viskozne su sile veće od uzgonskih sila, te se tekućina ne giba, a prijelaz je topline okarakteriziran kao čista kondukcija, te se Nusseltov broj može definirati kao:

( chch ϑϑα )

δϑϑ

λ −⋅≡−

⋅ (129)

ili: 1=⋅≡

λδα

δNu (130)

Slika 7 Geometrijski model promatranog problema Pretpostavimo da je razlika ϑh – ϑc porasla i da su uzgonske sile veće od viskoznih. Počinje se primjećivati konvektivno gibanje unutar tekućine. Teorijska su i eksperimentalna istraživanja




pokazala da za horizontalne zatvorene prostore ukoliko ϑh – ϑc naraste iznad vrijednosti koja odgovara kritičnom Rayleightovom broju:

( )

17082

3

=⋅⋅−⋅⋅

=⋅= Prg

PrGrRa ch

νδϑϑβ

δ (131)

horizontalni sloj tekućine postaje nestabilan stvarajući uvjete za formiranje uzorka strujanja u formi šestokutnih ćelija kako je prikazano na prethodnim slikama. Ove se ćelije zovu Bernardove ćelije, jer je on ovaj fenomen zabilježio 1900. godine. Ukoliko razlika ϑh – ϑc i dalje raste, te vrijednost Ra pređe 50 000, nastaje turbulentna konvekcija uništavajući prethodno opisano pravilno gibanje. Može se, dakle, zaključiti da je grijanje horizontalnog sloja tekućine odozdo povezano s tri različita režima prijenosa topline: kondukcija, ćelijska konvekcija i turbulentna konvekcija. Poznavanje Nusseltovog broja za sva tri slučaja vrlo je bitno u postupku predviđanja prijenosa topline kroz sloj tekućine.

Promotrimo strujanje tekućine između vertikalnih stijenki koje su podržavane na dvjema različitim temperaturama (izotermne ploče) kako je prikazano na slici 7b. Pretpostavimo kao ranije da su temperature ϑh i ϑc temperature toplije i hladnije ploče. Za male temperaturne razlike ϑh – ϑc energija se transportira kroz sloj tekućine čistom kondukcijom, zato što su viskozne sile veće od uzgonskih sila, te tekućina ostaje u stacionarnom stanju. U tom je slučaju Nusseltov broj jednak jedinici:

1=⋅≡

λδα

δNu

pri čemu je δ razmak između ploča. Za veće temperaturne razlike ϑh – ϑc započinje umjereno kružno strujanje i formiraju se ćelije. U tim je ćelijama kružno gibanje simetrično u odnosu na centar ćelije, a raspodjela je brzina neovisna (nepromjenjiva) s visinom preko sloja tekućine. Transport topline u središnjem dijelu sloja je kondukcijski, dok je uzorak strujanja na krajevima sloja vrlo kompliciran. Daljnji porast temperaturne razlike ϑh – ϑc preko vrijednosti Ra > 104 dovodi do porasta uzorka strujanja nazvanog polugranični sloj. Naime, tekućina se počinje gibati prema gore kao struja s graničnim slojem duž toplije stijenke te prema dolje duž hladnije stijenke. Međutim, središnji dio između ploča ostaje stacionaran, kao rezultat ravnoteže između uzgonskih i viskoznih sila. U ovom režimu prijenos se topline odvija primarno konvekcijom u području graničnog sloja, te kondukcijom u području stacionarnog središnjeg dijela sloja. Daljnji porast temperaturne razlike iznad oko Ra > 105 dovodi do porasta vertikalnog niza vrtloga s horizontalnim osima. Porast broja vrtloga je izraženiji s većim vrijednostima Grashofovog broja. Konačno, pri velikim Grashofovim brojevima dolazi do turbulencije. U slučaju vertikalnih slojeva omjer H/δ je drugi faktor koji utječe na rubne efekte i prijelaz iz jednog režima u drugi.




U slučaju zakošenih slojeva, slika 7c, s hladnijom pločom iznad toplije ploče, uspostavlja se uzorak strujanja slobodnom konvekcijom, ukoliko se prekorači kritični Grashofov broj, ali mehanizam prijenosa topline u različitim režimima strujanja je puno kompleksniji od onog slobodne konvekcije u horizontalnim ili vertikalnim slojevima. Usljed toga se može očekivati da će izrazi za prijelaz topline slobodnom konvekcijom u zakošenim slojevima biti puno kompliciraniji nego za slučaj horizontalnih ili vertikalnih slojeva. U slučaju da se tekućina nalazi u prostoru između dva cilindra ili dviju sfera, tip strujanja slobodnom konvekcijom počinje kada temperaturna razlika ϑh – ϑc između površina naraste tako da se prijeđe vrijednost kritičnog Grashofovog broja. Unatoč velikom broju istraživanja i analitičkih studija o slobodnoj konvekciji u zatvorenim prostorima, još uvijek nisu pronađeni izrazi koj bi pokrivali sve režime parametara koji utječu na prijelaz topline. U nastavku su predstavljeni neki specifični slučajevi i izrazi koji se za njih preporučuju, ali se ti rezultati ne smiju koristiti izvan granica parametara, koje su navedene. Jednostavne empirijske relacije Zbog kompleksnosti strujanja u zatvorenim prostorima jednostavni izrazi za prijelaz topline jednostavno ne mogu biti suviše točni. Međutim jednostavne su relacije korisne za brzu procjenu približnih vrijednosti koeficijenata prijelaza topline. Jedna od takvih relacija je sljedeća:

( )m

n HRacNu ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅=δδδ (132)

pri čemu je:

( )

2

3

νδϑϑβ

δδPrg

PrGrRa ch ⋅⋅−⋅⋅=⋅= (133)

δ - debljina sloja tekućine, u šupljinama ona iznosi (Do - Di)/2 H – visina sloja tekućine U tablici 9 date su vrijednosti konstanti c, n i m za vertikalne i horizontalne prostore oblikovane dvjema paralelnim pločama, horizontalnim cilindrima i šupljinama između kugli.




Tablica 9 Vrijednosti koeficijenata c, n i m Geometrija Način

zagrijavanja Tekućina Područje

Pr Područje Raδ

δH

c n m

Vertikalni sloj ili vertikalne cilindrične šupljine

Izotermno Izotermno ili jednolik toplinski tok

Plin Plin Plin Kapljevina Kapljevina

0.2 – 2 0.5 – 2 1– 2 x 104

1 - 20

< 2000 2x103-2x105

2x105-107

104-107

106-109

- 11-42 11-42 10-40 1-40

1 0.197 0.073 0.42 Pr0.012

0.046

0 1/4 1/3 1/4 1/3

0 -1/9 -1/9 -0.3 0

Horizontalni sloj Izotermno donja ploča toplija

Plin Plin Plin Plin Kapljevina Kapljevina Kapljevina Kapljevina Kapljevina

0.5-2 0.5-2 0.5-2 1-5000 1-5000 1-20 1-20

<1700 1.7x103-7x103

7x103-3.2x105

>3.2x105

<1700 1.7x103-6x103

6x103-3.7x104

3.7x104-108

>108

- - - - - - - - -

1 0.059 0.212 0.061 1 0.012 0.375 0.13 0.057

0 0.4 1/4 1/3 0 0.6 0.2 0.3 1/3

0 0 0 0 0 0 0

Horizontalne cilindrične šupljine

Izotermno Plin ili kapljevina

1-5000 1-5000

6x103-106

106-108- -

0.11 0.40

0.29 0.20

0 0

Sferične šupljine

Izotermno Plin ili kapljevina

0.7-4000 102-109 - 0.228 0.226 0

Kada se Nusseltov broj izračuna pomoću jednadžbe (132) srednja se vrijednost koeficijenta prijelaza topline αm računa preko izraza:

δλα δ ⋅= Num (134)

te se poznavajući αm može izračunati ukupno predani toplinski tok: ( )chmmA ϑϑα −⋅⋅=Φ (135) pri čemu Am ovisi o geometriji.

Prostori izmc, n, i m u je

ravne plohe: Am = As

cilindrične šupljine: ( )io

iom AA

AAA

/ln−

=

sferične šupljine: iom AAA ⋅=


eđu vertikalnih cilindara mogu se tretirati kao ravni slojevi za određivanje konstanti dnadžbi (132), ali treba uzeti logaritamsku srednju površinu, kako je gore navedeno,




za izračun Am. Indeksi navedeni uz površine cilindričnih odnosno sferičnih šupljina označavaju vanjsku odnosno unutarnju površinu: Točnije relacije za slobodnu konvekciju u šupljinama (empirijski izrazi) Vertikalni sloj Promotrimo vertikalni sloj tekućine između dviju paralelnih ploča visine H razmaknutih na udaljenosti δ kako je prikazano na slici 7b. Ploče se podržavaju na jednolikoj temperaturi ϑh odnosno ϑc. Promotrimo omjer a = H/δ. Prijelaz je topline slobodnom konvekcijom u takvim šupljinama istražen za zrak, za područje veličina a = 5 do a = 110 i područje Rayleightova broja od 102 do 2⋅107. Temeljem rezultata eksperimenata predložene su sljedeće relacije za slobodnu konvekciju u vertikalnim slojevima: [ ]max32190 ,, NuNuNuNu o = (136) što podrazumjeva da treba izabrati najveću vrijednost Nusseltovog broja od ponuđene tri, koje su definirane kako slijedi: (137) 3/1

1 0605.0 RaNu ⋅=

( )

3/13

36.1

293.0

2/63101

104.01⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

⋅+=

RaRaNu (138)

272.0

3 242.0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

aRaNu (139)

Eksperimentpoznavajući • Zakošeni

δHa =

( )Pr

gPrGrRa ch ⋅

⋅−⋅⋅=⋅= 2

3

νδϑϑβ

δ

( )ch

qNu oϑϑλ

δ−⋅⋅

=90

( )chq ϑϑα −⋅= fizikalna svojstva treba birati za temperaturu (ϑh+ϑc)/2.


alni podaci za zrak slažu se s rezultatima jednadžbe (132) unutar 9 %. Tako je, Nu broj, moguće odrediti toplinski tok.

sloj 90o < φ ≤ 60o




Zakošena ploča neka zatvara kut φ s horizontalom, te neka je hladna ploča iznad tople ploče. Razmotrimo područje kuta 90o < φ ≤ 60o. Eksperimentalni podaci za zrak za sloj s φ = 60o povezani su izrazom: [ ]max2160 , NuNuNu o = (140)

7/17314.0

1 1093.01

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+⋅

+=G

RaNu (141)

283.02

175.0104.0 Raa

Nu ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += (142)

( )[ ] 1.06.203160/1

5.0

RaG

+= (143)

( )ch

qNu oϑϑλ

δ−⋅⋅

=60 (144)

Za određivanje Nusseltovog broja u području 60o ≤ φ ≤ 90o koristi se izraz:

( ) ( )

o

oooooo NuNu

Nu30

6090 9060 ⋅−+⋅−=

φφφ (145)

Eksperimentalni se podaci za zrak slažu s jednadžbom (132) uz 6.5% odstupanja. • Zakošeni sloj 0o ≤ φ ≤ 60o

Temeljem eksperimentalnih istraživanja za zrak predlažu se sljedeći izrazi za slobodnu konvekciju u području 0o ≤ φ ≤ 60o

( )*3/16.1*

15830

coscos

8.1sin17081

cos1708144.11

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅

−⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

−⋅+=φ

φφ

φφRa

RaRaNu (146)

( )ch

qNuϑϑλ

δφ −⋅

⋅= (147)

q ≡ gustoća toplinskog toka kroz sloj, W/m2




Oznaka * znači da ukoliko bi izrazi u zagradi bili negativni treba ih izjednačiti s nulom. Jednadžba (146) se preporučuje za 0o ≤ φ < 60o te za visoke vrijednosti promatranog omjera a u području 0 < Ra < 105. Eksperimentalni se podaci slažu s izračunatim u granicama 5%. Horizontalni sloj φ = 0 Jednadžba (146) uključuje i horizontalni sloj kao specijalni slučaj. Uz φ = 0 jednadžba daje:

*3/1*

0 15830

1708144.11⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅+=

=

RaRa

Nu oφ (148)

Zabilježimo da je za za Ra < 1708, što se podudara s prethodnom diskusijom da se režim strujanja slobodnom konvekcijom uspostavlja za vrijednost kritičnog Rayleightovog broja od 1708, a da za Ra < 1708 prevladava kondukcija.

10 == oNuφ

Horizontalne cilindrične šupljine Teorijski su i eksperimentalni radovi na slobodnoj konvekciji za slučaj horizontalnih cilindričnih i kuglastih šupljina ograničeni. Razmotrimo tekućinu u dugačkoj horizontalnoj cilindričnoj šupljini pri čemu se razmak šupljine ( )io DD −⋅= 2/1δ , pri čemu su Do i Di promjeri vanjskog odnosno unutrašnjeg cilindra. Raithby i Hollands predlažu sljedeći izraz za izmjenjeni toplinski tok za cilindričnu šupljinu duljine H:

( ) ( ) [ ]WDD

Hoi

io

eff ϑϑλπ

−⋅−

⋅⋅⋅=Φ

ln2

(149)

pri čemu je:

( ) 4/1*4/1

861.0386.0 cil

eff RaPr

Pr⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅=

λλ

(150)

( ) ( )( )

4/14/55/35/34/3

4/1* /lnδ

δRa

DD

DDRa

oi

iocil ⋅

+⋅=

−− (151)




Sferične šup Raithby i Ho

Vrijednosti R< < 10*

SFRa

H – visina cilindričnih šupljina ϑo, ϑi – temperature na površini vanjskog odnosno unutarnjeg cilindra

( )Pr

gRa oi ⋅

⋅−⋅⋅= 2

3

νδϑϑβ

δ

( )io DD −⋅=21δ

102 < < 10*cilRa 7


Slika 8 Slobodna konvekcija u cilindričnim i sferičnim šupljinama

ljine

lland predlažu sljedeće korelacije za ukupno izmjenjeni toplinski tok između kugli:

( oioi

effDD

ϑϑ )δ

πλ −⋅

⋅⋅⋅=Φ (152)

( ) 4/1*4/1

861.,074.0 SF

eff RaPr

Pr⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⋅=λλ

(153)

( )( ) 4/55/75/7

4/14/14/1*

−− +⋅

⋅=

oioiSF

DD

RaDD

Ra δδ (154)

aδ i δ definirani su u prethodnom poglavlju. Relacija je primjenjiva u području 102 4.

α λ ⋅ ⋅ − ⋅ β ( ) ν č ( ) - fsbtijela okomite na smjer uzgonskih sila. slika 6...

Documents