Министерство образования и науки Украины

НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

Факультет ТМ Кафедра «Теория и системы автоматизированного проектирования механизмов и машин»

Специальность «Информационные технологии проектирования»

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема работы «Анализ напряженно-деформированного состояния насоса гидропередачи ГОП-900 с учетом натяга»

Выполнила:

Чистаева А.Ю.

Проверил:

Грабовский А.В.

Харьков 2011

Содержание

Введение

1 Описание конструкции

2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

2.1 Метод конечных элементов

2.1.1 Короткая история развития метода конечных элементов

2.1.2 Общие понятия метода конечных элементов

2.1.3 Исследование трехмерного напряженного состояния

2.2 Контактные взаимодействия

2.2.1 Уравнение контактного соединения

2.2.2 Классификация моделей трения

2.2.3 Расширеный метод Лагранжа

3 ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

4 ПЕРЕХОД ОТ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ К КОНЕЧНО ЭЛЕМЕНТНОЙ

5 Расчет

Выводы

ВВЕДЕНИЕ

Сегодня без компьютерной автоматизации уже невозможно производить

современную сложную технику, требующую высокой точности. Во всем мире

происходит резкий рост компьютеризации на производстве и в быту. Внедрение

компьютерных и телекоммуникационных технологий повышает эффективность и

производительность труда.

Современные производители стремятся к быстрому, качественному,

экономического, выполняемый собственными силами, проектирование, причем

объем проектных работ существенно возрастает. Уникальные решения появляются в

процессе проектирования, а именно: необходимость нормализовать,

параметризоваты, обобщать, формировать в виде баз данных и баз знаний для

эффективного использования в технически подобных задачах.

Область внедрения компьютерных систем охватывает сегодня самые различные

виды деятельности человека - от расстановки мебели в квартире до проектирования

и изготовления интегральных микросхем и современной космической техники.

Каждая категория задач технического черчения предъявляет к этим продуктам свои

требования, однако наибольшее распространение они получили в машиностроении

и архитектуре.

В данной работе проводится расчет напряженно деформированного сотояния

корпуса насоса гидропередачи ГОП-900. Рассматриваются различные типы

контактов и выводятся напряжения и деформации в следствии приложения

нагрузок.

1 Описание конструкции

В данной курсовой работе проводится расчет напряженно деформированного

состояния гидрообъемной передачи с учетом натяга.

Объёмный гидропривод — это

гидропривод, в котором используются

объёмные гидромашины . Название

«объёмный гидропривод» происходит от

того, что принцип действия объёмных

гидромашин основан на попеременном

заполнении рабочего объёма жидкостью

и вытеснения жидкости из него. К

объёмным машинам относят, например, поршневые насосы, аксиально-поршневые,

радиально-поршневые, шестерённые гидромашины и др. Объёмный гидропривод

машин позволяет с высокой точностью поддерживать или изменять скорость

машины при произвольном нагружении, осуществлять слежение — точно

воспроизводить заданные режимы вращательного или возвратно-поступательного

движения, усиливая одновременно управляющее воздействие.

Наиболее широко объёмный гидропривод машин применяется в

металлорежущих станках, прессах, в системах управления летательных аппаратов,

судов, тяжёлых автомобилей, мобильной строительно-дорожной технике, в

системах автоматического управления и регулирования тепловых двигателей,

гидротурбин. Реже объёмный Гидропривод машин используется в качестве главных

приводов транспортных установках на автомобилях, кранах.

Виды гидроприводов:

Гидроприводы могут быть двух типов: гидродинамические и объёмные.

В гидродинамических приводах используется в основном кинетическая

энергия потока жидкости (и соответственно скорости движения жидкостей в

гидродинамических приводах велики в сравнении со скоростями движения в

объёмном гидроприводе).

В объёмных гидроприводах используется потенциальная энергия давления

рабочей жидкости (в объёмных гидроприводах скорости движения жидкостей не

велики — порядка 0,5-6 м/с).

Одна из особенностей, отличающая объёмный гидропривод от

гидродинамического, — большие давления в гидросистемах. Так, номинальные

давления в гидросистемах экскаваторов могут достигать 32 МПа, а в некоторых

случаях рабочее давление может быть более 300 МПа, в то время как

гидродинамические машины работают обычно при давлениях, не превышающих

1,5—2 МПа.

Объёмный гидропривод намного более компактен и меньше по массе, чем

гидродинамический, и поэтому он получил наибольшее распространение.

В зависимости от конструкции и типа входящих в состав гидропередачи

элементов объёмные гидроприводы можно классифицировать по нескольким

признакам.

По характеру движения выходного звена гидродвигателя

1. Гидропривод вращательного движения. Когда в качестве гидродвигателя

применяется гидромотор, у которого ведомое звено (вал или корпус) совершает

неограниченное вращательное движение;

2. Гидропривод поступательного движения, которого в качестве

гидродвигателя применяется гидроцилиндр — двигатель с возвратно-

поступательным движением ведомого звена (штока поршня, плунжера или

корпуса);

3. Гидропривод поворотного движения, когда в качестве гидродвигателя

применён поворотный гидродвигатель, у которого ведомое звено (вал или

корпус) совершает возвратно-поворотное движение на угол, меньший 360°.

4. По возможности регулирования. Если скорость выходного звена

(гидроцилиндра, гидромотора) регулируется изменением частоты вращения

двигателя, приводящего в

нерегулируемым.

По схеме циркуляции

1. Гидропривод с замкнутой

гидродвигателя возвращается

Гидропривод с замкнутой

небольшую массу и допу

опасности возникновения

всасывающей линии давление

следует отнести плохие

необходимость спускать

ремонте гидроаппаратуры

2. Гидропривод с разомкнутой

жидкость постоянно сообщается

такой схемы — хорошие

жидкости. Однако такие

частота вращения ротора

бескавитационной работы

всасывающем трубопроводе

Рисунок 1

приводящего в работу насос, то гидропривод считается

циркуляции рабочей жидкости:

Гидропривод с замкнутой схемой циркуляции. В котором рабочая

гидродвигателя возвращается во всасывающую гидролинию

Гидропривод с замкнутой циркуляцией рабочей жидкости компактен

массу и допускает большую частоту вращения

возникновения кавитации, поскольку в такой системе

всасывающей линии давление всегда превышает атмосферное

отнести плохие условия для охлаждения рабочей жидкости

необходимость спускать из гидросистемы рабочую жидкость

гидроаппаратуры;

Гидропривод с разомкнутой системой циркуляции, в котором

постоянно сообщается с гидробаком или атмосферой

хорошие условия для охлаждения и очистки

Однако такие гидроприводы громоздки и имеют

вращения ротора насоса ограничивается допускаемыми

бескавитационной работы насоса) скоростями движения рабочей

сывающем трубопроводе.

Рисунок 1 – Объемные передачи типа ГОП 900

гидропривод считается

В котором рабочая жидкость от

гидролинию насоса.

рабочей жидкости компактен, имеет

частоту вращения ротора насоса без

поскольку в такой системе во

превышает атмосферное. К недостаткам

охлаждения рабочей жидкости, а также

рабочую жидкость при замене или

циркуляции в котором рабочая

или атмосферой. Достоинства

охлаждения и очистки рабочей

громоздки и имеют большую массу, а

ограничивается допускаемыми (из условий

движения рабочей жидкости во

типа ГОП 900 и ее детали

На рис. 1 представлена объемная гидропередача конструкции

НИИгидропривода, состоящая из двух радиальнопоршневых гидромашин

однократного действия, отличительной особенностью которых является применение

в качестве поршней шариков 5, установленных в блоках цилиндров насоса 3 и

гидромотора 4, постоянно опирающихся на реактивные кольца (обоймы) 7 насоса и

гидромотора. Статор 6 насоса имеет регулируемый ексцентриситет для изменения

рабочего объема и частоты вращения гидромотора. В корпусе 1 установлен блок

цапфенных распределителей 2. Блоки цилиндров насоса и гидромотора соединены с

валами 8 и 9 соответственно. Шарики выполняют функцию поршня и совершают

вращательное движение по беговой дорожке аналогично работе в радиальном

шариковом подшипнике качения и, как поршень, совершают скольжение по боковой

стенке цилиндра.

Рисунок 2 – Конструкция ГОП 900

Номинальная мощность, отдаваемая насосом в гидросистему или

потребляемая гидродвигателем из гидросистемы, может быть определена по

формуле:

HHH PQN ⋅= (1.1)

где HQ - номинальная подача насоса (для гидродвигателя – номинальный

расход рабочей жидкости), HP - номинальное давление на выходе из насоса (для

гидродвигателя — номинальное давление рабочей жидкости на входе в

гидродвигатель).

Из приведённой выше формулы для мощности видно, что для обеспечения той

же мощности при высоком давлении необходимо обеспечивать меньшую подачу,

чем при низком давлении. Поэтому при высоком давлении геометрические размеры

всех узлов гидропривода становятся меньше. Поскольку, в отличие от

гидродинамических гидромашин, объёмные гидромашины способны работать при

высоких давлениях, то и объёмный гидропривод намного компактнее и меньше по

массе гидродинамического привода. Это одно из тех обстоятельств, которые

обусловили широкое распространение объёмного гидропривода по сравнению с

гидродинамическим приводом.

2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

2.1 Метод конечных элементов

2.1.1 Короткая история развития метода конечных элементов

Метод конечных элементов является аналитической процедурой, интенсивная

разработка которой велась в течение сравнительно короткого промежутка времени.

Ключевая идея метода при анализе поведения конструкций заключается в

следующем: сплошная среда (конструкция в целом) моделируется путем разбивки ее

на области (конечные элементы), в каждой из которых поведение среды

описывается с помощью отдельного набора выбранных функций, представляют

напряжение и перемещение у отмеченной области. Эти наборы функций часто

задаются в такой форме, чтобы удовлетворить условиям непрерывности

описываемых ими характеристик во всей среде.

Развитие теории и вспомогательных дисциплин, которые относятся к методу

конечных элементов, было особенно слабым в период с 1875 по 1920 г. Это

происходило в основном через наличие реальных трудностей при решении

уравнений алгебраизма, как только число неизвестных становилось большим.

Необходимо, кроме того, отметить, что для конструкций, которые представляют

наибольший интерес в то время, рам и ферм почти всегда применялся подход,

основанный на задании распределению напряжений с параметрами нагрузки в

качестве неизвестных.

Вычислительные машины появились в начале пятидесятых годов, однако их

настоящая значимость как в теоретических, так и в прикладных аспектах не была

настолько очевидной в то время. Все же некоторые ученые, предусматривал

влияние, которое предоставят вычислительные машины, сделали попытки

сформулировать в удобной для компьютеров матричной форме хорошо разработаны

до той поры алгоритмы расчета формовых конструкций.

Что касается развития метода, то много исследователей и в настоящее время

занятые построением новых конечно элементных моделей и последующим

улучшением схем и алгоритмов для описания конкретных явлений, а также

составлением новых программ.

2.1.2 Общие понятия метода конечных элементов

Как уже отмечалось, описание поведения детали конструкции в целом, в

нашем случае описание поведения отдельного конечного элемента, осуществляется

с помощью компонент сил и смещений, заданных в определенных точках тела.

Такие точки обычно называются узловыми точками. Они также называются точками

соединения, потому что в большинстве случаев применение метода конечных

элементов они отвечают действительным точкам соединения элементов, которые

образуют полную, или глобальную, аналитическую модель конструкции в целом.

Существуют много случаев, когда эти точки не имеют настолько очевидный

физический смысл.

Перемещения любой точки внутри элемента задаются векторным столбцом:

,

.

.

....],,[][

== m

j

i

mjie NNNNf

δδδ

δ (2.1)

где компоненты [N] являются в общем случае функциями положения, а eδ

являют собой перемещение узловых точек, розглядаємого элемента.

Деформации. Если известные перемещение во всех точках элемента, то в них

можно также определить и деформации. Они находятся с помощью соотношения,

которое в матричной форме может быть записано в виде:

где [B] – матрица связи параметров возможного поля перемещений с

узловыми перемещениями.

,][ eB δε = (2.2)

В случае плоского напряженного состояния представляют интерес

деформации в плоскости, которые определяются через перемещение с помощью

хорошо известных соотношений:

.

∂∂+

∂∂

∂∂∂∂

=

=

x

v

y

u

y

vx

u

yxy

y

x

εε

ε (2.3)

Матрица [В] легко может быть получена из соотношения (2.1), если известны

функции формы ji NN , и mN . В том случае, когда эти функции линейны,

деформации постоянны по всему элементу.

Напряжение. В общем случае материал, который находится внутри элемента,

может иметь начальные деформации, обусловленные температурными влияниями,

усадкой, кристаллизацией и тому подобное Если обозначить эти деформации через

0ε , то напряжения будут определяться разницей между существующими и

начальными деформациями.

Кроме того, удобно допустить, что в данный момент времени в теле

существуют некоторые остаточные напряжения 0σ которые, например, можно

замерять, но нельзя предусмотреть без знания полную историю нагрузки материала.

Эти напряжения можно просто прибавить к общему выражению. Таким образом, в

предположении упругого поведения соотношения между напряжениями и

деформациями будут линейными:

,)]([ 00 σεεσ +−= D (2.4)

где [D] – матрица упругости, которая содержит характеристики материала.

Узловые точки характеризуются векторами силы и перемещения, которые в

общем виде записываются следующим образом:

,][ Tzjyjxjzgygxg MMMFFFF = (2.5)

где F – вектор силы ∆ – вектор перемещения ][ B=∆ .

Отдельная компонента произвольного вектора, который задает n перемещений

в узле Tni ]......[ 1 ∆∆∆=∆ например i∆ называется 1-й степенью свободы.

Первым шагом на пути определения векторов сил и перемещений являются

задания узловых точек и их расположения относительно координатных осей. В

методе конечных элементов следует различать глобальные и локальные системы

координат, а также системы координат с началом в узловых точках. Глобальные оси

координат задаются для всей конструкции, описываемой многими конечными

элементами. Локальные (или элементные) оси координат связаны с отдельными

элементами.

Для простой модели каждому конечного элемента в реальной конструкции

отвечает распределенное поле напряжений. Однако для построения математической

модели напряженное состояние представляется – обобщенными силами – в точках

соединения, или узлах элементов. Соответственно перемещения этих точек (степени

свободы) используются для описания перемещений элемента.

При расчетах за методом конечных элементов источниками ошибок могут

служить два условия: условие равновесия и условие непрерывности перемещений. В

большинстве существующих моделей конечных элементов пытаются удовлетворить

условиям непрерывности перемещений, потому можно считать, что ошибки при

численном анализе возникают через неточный удовлетворение условий равновесия.

Полная процедура численного исследования методом конечных элементов

позволяет считать, что возникают ошибки обусловленные нарушением обоих

условий. Как будет показано, теоретическое исследование метода конечных

элементов тесно связано с выяснением, которое из условий выполняется, а которое

нарушено.

,][ Tzjyjxjvu θθθωσσσ=∆ (2.6)

Определим вид соотношений, которые связывают узловые силы и узловые

перемещения конечного элемента, то есть так называемые соотношения между

силами и перемещениями. Соотношения между силами и перемещениями для

элемента записываются в одном из трех основных видов: уравнение жесткости,

уравнения податливости, смешаны соотношения.

Уравнение жесткости для элемента является линейными уравнениями

алгебраизма, которые записываются в виде:

где [k] – матрица жесткости элемента.

Полная система уравнений жесткости для элемента связывает все узловые

силы элемента с его степенями свободы. Когда это нужно, в число степеней свободы

включается и движение тела как твердого целого.

Робота силы W равняется умножению величины силы на величину

перемещения точки приложения в направлении действия силы. Да, для вектора сил

F и соответствующего вектора перемещений ∆ имеем:

Рисунок 5.1 – Постепенная нагрузка

Из рисунку 5.1 видно, что для представленной зависимости, которая связывает

отдельно взятую силу F и соответствующее ему перемещение ∆ работа равняется площади заштрихованной области.

, ∆= kF (2.7)

Соотношение (5.4) можно превратить в выражения, которые содержат только

перемещение, используя для этого уравнения жесткости (5.3).

где U – определяет энергию деформации.

2.1.3 Исследование трехмерного напряженного состояния

Метод конечных элементов применяется и для решения трехмерных задач.

Такие задания охватывают почти все практические случаи, хотя иногда

предположение о том, что напряжено или деформировано состояние двумерный,

дает полностью приемлемую и более экономическую «модель».

Сплошные, или трехмерные, элементы позволяют получить решение заданий

общей трехмерной теории упругости. Отмеченным заданиям раньше уделялось

относительно мало внимания при проектировании через трудности использования

традиционных подходов к решению. Поэтому в этой области, за исключением

самых простых случаев, конечно элементный анализ стал фактически

неопровержимым средством отыскания решения. Имеются в виду такие задания, как

расчет массивных бетонных конструкций дамб, расчет напряжений в породах,

решение задач механики для почв и скальных пород, которые возникают при

буровых работах, численное определение напряжений в фланцах и соединениях

толстостенных труб.

Основные сплошные элементы являют собой непосредственное обобщение на

трехмерный случай плоских элементов. Изображенный на рис. 5.2 (а)

тетраэдральный элемент является обобщением треугольного элемента на

трехмерный случай, а шестигранный элемент (рис. 5.2 (б)) - трехмерный аналог

плоского прямоугольного элемента.

,21 UkW =∆∆= (2.9)

а бы

Рисунок 5.2 – Виды элементов МСЕ

а – тетраедальний элемент, бы – шестигранный элемент

Характеристики тетраедального элемента.

Перемещение любой точки определяется тремя компонентами vu, и ω в

направлениях координат x, в и z. Таким образом, вектор перемещений имеет вид:

Перемещение элемента определяется двенадцатью компонентами

перемещений его узлов:

.

=ωv

u

f (2.10)

,

=

p

m

j

i

e

δδδδ

δ

(2.11)

где

В трехмерном случае учитываются все шесть компонент деформации.

Матрица упругости в случае материала с анизотропией свойств матрица [D],

которая связывает шесть компонент напряжения с компонентами деформации,

может содержать не более чем 21 независимую постоянную.

В общем случае:

Выражение для матрицы жесткости, которая определяется в общем случае

соотношением, можно проинтегрировать точно, так как компоненты деформации и

напряжения постоянны внутри элемента.

Подматриц с индексами матрицы жесткости rs имеет размерность 33× но

определяется соотношением:

где V – объем тетраэдра.

.

=

i

i

i

i v

u

ωδ

(2.12)

.],,,[][ epmji

e BBBBB δδε == (2.13)

.)]([ 00 σεε

τττσσσ

σ +−=

= D

zx

yz

xy

z

y

x

(2.14)

,]][[][][ VBDBk sT

rrs = (2.15)

Узловые силы, предопределенные начальной деформацией, записываются в

виде:

или для і-й компоненты:

Аналогичное выражение выходят для сил, обусловленных начальными

напряжениями.

2.2 Контактные взаимодействия

В уравнение для контактного взаимодействия, в сравнении с обычными

уравнениями МСЕ, необходимо прибавить кинетические и кинематические условия

контакта. Основным условием является условие непроницаемости: а именно

условие, которое определяет, что два тела не могут взаємопроникати. Общее

условие непроницаемости не может быть выражено в качестве одного простого для

использования уравнения, так что необходимо рассмотреть несколько подходов к

разработке специальных форм для условий контакта. Рассмотрим две таких формы:

форму нормирования, которая будет полезна для методов явной динамики и формы

основанные на проекции ближайшей точки, причем последняя в первую очередь

полезная для неявных методов. Трение трактуется как в виде классической модели

кулоновского трения, так и в виде сложных моделей, в которых тангенциальные

усилия выражены из нормальных и касательных скоростей взаимодействующих

поверхностей.

Разработанные уравнение для модели слабого взаимодействия. Существует

четыре подхода к решению условий контактной поверхности: а) метод множителей

Лагранжа; бы) метод штрафа; в) расширен метод Лагранжа; грамм) метод Лагранжа

в возбуждениях.

,][][ 00VDBF Te εε −= (2.16)

.][][ 00VDBF T

ie

i εε −= (2.16)

Слабая форма контакта-удара для методов множителей Лагранжа отличается

от слабой формы для отдельных тел наличием неравенств, которые называют

слабыми неравенствами или вариационными неравенствами. В методах штрафа, эти

неравенства вводятся с помощью функции Хевисайда.

Дискретизация для контактных задач подобна заданием без контакта за

исключением того, что в методах множителей Лагранжа, поля множителей

Лагранжа должны быть аппроксимированные. Поля множителей Лагранжа являют

собой области, для которых проверяется условие неравенства на позитивный для

всего контактного соединения (знак неравенства зависит от вида слабой формы; при

этом на множители Лагранжа также можно наложить условия негативно). Эти

ограничения на множители Лагранжа в конечном счете допускают, что нормальные

силы сцепления сожмут. В методе штрафа неравенства для сцепных сил появляются

благодаря функции Хевисайда, которая включена в штрафную силу.

Контактно ударные задачи относятся к одним из наиболее сложных

нелинейных задач в связи с тем, что соответствующая реакция при контактном

взаимодействии не является гладкой функцией. Скорости, перпендикулярные

контактному соединению, перерываются, когда возникает столкновение. При

использовании модели кулоновского трения, касательные скорости также имеют

разрыв вдоль контактного соединения, когда учитывается скачкообразное движение

при трении. Эти характеристики контактно ударных заданий вносят существенные

трудности при часовом интегрировании определяющих уравнений и ухудшают

производительность численных методов. Поэтому правильный выбор методологии и

алгоритма является важным для успешного решения данных задач. Такие техники,

как регуляции, очень важные для получения стойких процедур решения, но нужно

понимать на что они влияют, чтобы не потерять важные аспекты ответа контактной

реакции.

Реализация контактно ударных заданий для общих задач достаточно сложна,

потому начнем рассмотрение с самых простых примеров единичной размерности, на

которых хорошо видно как налагаются контактные неравенства.

2.2.1 Уравнение контактного соединения

Предыдущие замечания

в общеупотребительных

взаимодействую многих тел

приведенных на рисунку

аналогично последовательному

пар тел. Обозначим конфигурацию

совокупную как Ω . Пределы

взаимозаменяемы в том числе

удобно выражать уравнение

тело A обозначим основным

переменные поля, которые

надстрочный индекс A или

объединению этих два тел.

Таким образом, полет

тел, а ),( tA Xv относится к скоростям

совпадать. В таких случаях

поверхности. Более того, эти

раздельным поверхностям контакт

cΓ . Контактное соединение

важных частей решения контактно

Рисунок 4.2 – Модельная задача

для системы обозначений

контактно ударного задания

замечания и условны обозначения. Контактно

ных расчетных программах могут

многих тел одновременно, но ограничимся

рисунку 4.2. Построение контактной модели

последовательному построению модели взаимодействия

Обозначим конфигурацию каждого из этих два тел отдельно

Пределы этих тел обозначим AΓ но

в том числе и по механическим свойствам

выражать уравнение в терминах одного тела, которое называют

обозначим основным, а тело B подчиненным. Когда

ля которые относятся к конкретному телу

или B; когда индекса нет, переменные

этих два тел.

образом полет скоростей ),( tXv относится к полю

относится к скоростям тела A.

Контактное соединение

пересечения поверхностей двухcΓ .

BAc Γ∩Γ=Γ .

Оно состоит из двух

поверхностей, которые находятся

поскольку теоретически они совпадают

их как поверхность контакта

решении обычно эти две поверхности

таких случаях обозначения cΓ будет принадлежать

Более того, эти два тела могут контактировать

поверхностям контакта, но все равно будем помечать

соединение является функцией времени и ее

решения контактно ударного задания.

Модельная задача

обозначений

ударного задания

Контактно ударные алгоритмы

программах могут обрабатывать

ограничимся рассмотрением тел,

контактной модели для многих тел

взаимодействия для каждой из

два тел отдельно как AΩ но BΩ а

но BΓ . Также эти тела

механическим свойствам, так как иногда

тела которое называют основным;

подчиненным Когда нужно разделить

конкретному телу, будем применять

переменные поля относятся к

относится к полю скоростей обоих

соединение состоит из

поверхностей двух тел и отражается

(2.18)

состоит из двух физических

которые находятся в контакте, но

теоретически они совпадают, обозначим

контакта cΓ . При численном

эти две поверхности не будет

будет принадлежать к основной

контактировать по нескольким

будем помечать их совокупность

времени и ее поиск это одна из

Во время записи уравнений удобно выражать вектор в виде локальных

компонент контактной поверхности. Локальная система координат, которая задается

в каждой точке основной контактной поверхности, изображена на рисунку 4.3. Для

каждой точки мы можем записать единичные вектора, какие касательные к

поверхности основного тела A

y

AA

x

A

u∧∧∧∧

≡≡ eeee 21 . Нормаль к телу A можно записать как

AA

A2

^

1

^

een ×= . (2.19)

На поверхности контакта справедливое равенство:

BA nn −= , (2.20)

потому что нормали двух тел направлены в противоположных направлениях.

Поля скоростей могут быть выражены в

локальных координатах контактной поверхности:

AT

AAN

AAAAN

A vnenv +=+=∧∧

ννν αα ; (2.21)

AT

BAN

ABABN

B vnenv +=+=∧∧

ννν αα , (2.22)

где интервал измерения греческих підстрочних

индексов равняется 2 для трехмерных задач. Если

задание двумерно, то контактная поверхность

вырождается в линию, соответственно мы одержимо

единичный вектор x

∧∧

≡ee1 касательный к этой линии;

ранг греческих підстрочних индексов в уравнении

(4.34), (4.35) в данном случае 1, а касательная

компонента – скаляр. Как было показано выше, компоненты выражаются в

локальной системе координат основной поверхности. Нормальные скорости можно

записать как

ABBN

AAAN nvnv ⋅=⋅= νν , (2.23)

что легко проверить, выполнив векторное умножение для выражения (2.21),

Рисунок 4.3 – Контактное

соединение с отмеченными

локальными единичными

векторами на основной

поверхности А

подставил туда An и учитывая тот факт, что нормаль ортогональна единичному

вектору A

i

^

e касательному к плоскости.

Тела подчиняются стандартным уравнением. До этого следует прибавить

условия контакта: тела не могут проникать друг в друга и силы сцепления должны

удовлетворять условию постоянства моментов на контактном соединении. Более

того, нормальная сила сцепления на всем контактном соединении не может

растянуть. Можем классифицировать требования к перемещению и скоростям как

кинематические условия, а к силам сцепления как кинетические условия.

Условие непроницаемости. Для задачи, сформулированной для нескольких

тел, тела должны удовлетворять условию непроницаемости. Для пары тел можем ее

записать в виде:

0=Ω∩Ω BA , (2.24)

пересечение двух тел являет собой нулевое множественное число. То есть двум

телам запрещено частично совпадать, что также можно рассматривать как условие

общности. Условие непроницаемости сильно нелинейно для задач с большими

перемещениями, и в общем случае не может быть записана в виде алгебраизма или

дифференциального уравнения для перемещений. Трудности возникают потому, что

при произвольном движении невозможно предусмотреть в каких точках будут

контактировать два рассмотренных тела. Например, как показано на рисунку 6, если

тела вращаются, то точка P может вступить в контакт с точкой Q, в то время как при

произвольном относительном движении точка P вступит в контакт с точкой S.

Поэтому уравнение, которое выражает тот факт, что точка P не проникает в тело A

не может быть записано в общем виде, как это записано в (2.25).

Так как невозможно переписать выражение (2.26) для перемещений, удобно

задавать условие непроницаемости в форме относительных выражений или в форме

прироста на каждом шагу контактного процесса. Относительная форма условий

непроницаемости применяется для тех частей тел A и B, которые уже находятся в

контакте, то есть для точек на контактной поверхности cΓ . Тогда можем записать:

N =γ

где BN

AN u νν вводятся

взаимопроникновения двух

выполняется для всех точек

непроницаемости выполняются

и (4.36) не придерживается

отдельнх точках с течением

что в таком случае взаимоп

лежат на контактной поверхности

Уравнение полезно только

на малом расстоянии одна

взаимопроникновения точно

Тем не менее, оно дает точный

репрезентативное для скорости

между ними малый. Когда

используется в качестве основа

(4.38) не рекомендуется использовать

зависящая от пути взаимопроникновения

которые применяются к относительно

2.2.2 Классификация моделей

Модели, которые используются

моделями трения. Существует

Рисунок 4.4 – Терминология для

скоростей на контактной

поверхности

( ) cBN

AN

ABA íà Γ≤−≡⋅−= 0ννnvv ,

вводятся в выражение (4.37). Здесь Nγ

взаимопроникновения двух тел (рис. 4.4). Условие непроницаемости

ограничивает степень взаимопроникновения

любой точки на контактной

того, чтобы она была негативной

уравнение (4.38) выражает тот

два тела находятся в контакте

должны и дальше в нем

или должны разделиться (

для всех точек, которые находятся в контакте

выполняются точно. Тем не менее, эквивалентность

придерживается, когда за (2.27) ведется наблюдение

с течением времени для большинства численных

случае взаимопроникновения возможно для точек какие

контактной поверхности, для разных часовых интервалов

полезно только для пары точек, которые находятся

расстоянии одна от другой, потому что оно определяет

взаимопроникновения точно только в том случае, когда две поверхности

оно дает точный знак для взаимопроникновения

для скорости относительного движения поверхностей

Когда взаимопроникновение умеренно

качестве основа для вычисления сцепных сил в контакте

рекомендуется использовать, потому что степень Nγ

пути взаимопроникновения. Дальше мы рассмотрим

применяются к относительно большого взаимопроникновения

Классификация моделей трения

которые используются для подсчета касательных

Существует три основных типа моделей трения

Терминология для

контактной

, (2.27)

( )t,X – это степень

Условие непроницаемости (2.27)

степень взаимопроникновения

на контактной поверхности от

была негативной. Например

выражает тот факт, что когда

находятся в контакте, они или

дальше в нем оставаться ( 0=Nγ )

разделиться ( 0<Nγ ). Когда (2.27)

находятся в контакте, условия

эквивалентность между (4.38)

ведется наблюдение в нескольких

большинства численных методов, потому

для точек, какие близкие, но не

часовых интервалов.

которые находятся в контакте или

что оно определяет степень

когда две поверхности совпадают.

взаимопроникновения и достаточно

движения поверхностей когда зазор

взаимопроникновение умеренно большое или

сцепных сил в контакте, уравнение

не интегрированная и

Дальше мы рассмотрим формулы,

взаимопроникновения.

касательных усилий называют

моделей трения: кулоновские

модели трений, которые базируются на классических теориях трения;

определяющие уравнения соединения, которые приближают поведение касательных

сил уравнениями, подобными определяющим уравнениям, которые используются

для описания материала; модели шероховатости и масел, которые моделируют

поведение физических характеристик соединения, основываясь на микромасштабе.

Нет четкого предела между этими моделями, много из них содержат в себе

свойства из нескольких типов.

2.2.3 Расширеный метод Лагранжа

В расширенном методе Лагранжа слабые условия контакта можно записать в

виде

∫Γ

Γ

+=c

dGAL2

2γαλγδδ . (2.29)

Используя аппроксимацию для скорости ),( tXv и множителя Лагранжа

),( tξλ получим

∫Γ

Γ

+Λ=c

dG TTTTAL vvv φφαφλδδ

2. (2.30)

Возьмем производные:

vPvGvGv )(αδλδδλδ CTTTT

ALG ++= , (2.31)

где )(αCP определяется из уравнения

∫Γ

Γ= dHTC )(1 γφφβP . (2.32)

После записи слабой формы

0≥+= ALAL GPP δδ (2.33)

но используя уравнение (4.40 – 4.41), получим

0int =+++− vPGMaff CText λ ; (2.34)

0≤Gv . (2.35)

Сравнивая уравнение (4.45), (4.46) с уравнениями для обычного метода

множителей Лагранжа

0int..

=+−+ λText GffdM ; (2.36)

0≤Gv , (2.37)

и уравнениями для метода штрафных функций

( ) extC fdPK =+ , (2.38)

можно заметить, что расширен метод Лагранжа дает контактные усилия в виде

суммы контактных усилий метода Лагранжа и метода штрафа. Условие

непроницаемости (4.46), такая же, как и в методе множителей Лагранжа.

Для статически упругих задач с малыми перемещениями используем такую же

процедуру, как была приведена выше. Заменяем зависимые переменные

перемещениями, то есть заменяем узловые скорости узловыми перемещениями, и

используя известные соотношения для метода множителей Лагранжа

≤=

00

extT fd

G

GKλ

(2.39)

уравнение (4.44 – 4.46) можно переписать в виде

≤=

+00

extT

C fd

G

GPK

λ. (2.40)

Что еще нагляднее демонстрирует тот факт, что расширен метод Лагранжа

являет собой синтез метода множителей Лагранжа и метода штрафных функций.

3 ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Модель была построена с помощью программы SolidWorks. Данная модель

является параметрической и состоит из более чем 40 разных уравнений

взаимосвязей между отдельными элементами гидропередачи.

Для построения данной модели использовались следующие инструменты:

− Revolve (вращение бобышки);

− Extrude (вытянутый вырез);

− Cut-Revolve (повернутый вырез);

− Mirror (зеркальное отображение);

− Chamfer (фаска);

− CirPattern (круговой массив) и другие.

Рисунок 3.1 – Вид геометрической модели

4 ПЕРЕХОД ОТ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ К КОНЕЧНО ЭЛЕМЕНТНОЙ

Переход от геометрической модели к конечно элементной осуществлялся с

помощью системы Solidworks, которая поддерживает форматы STEP, IGES и

другие. Геометрическая модель была разрезанная на 490 отдельные части для

повышения количества шестигранных элементов. Она была сохранена в формате

X_t и импортировано в систему Workbench. Также для улучшения качества сетки

создавалась виртуальная топология, сливающая между собой мелки образовавшиеся

поверхности. В связи с тем что рассматриваем сборку из 10 деталей, создавались

Part, которые обьединяют в себе части разрезанной геометрии. Вид

импортированной модели показан на рисунке 7.1

Рисунок 4.1 – Импортированная геометрия

Далее задавались следующие методы:

− Edge Sizing ;

− Hex Dominant Method;

− Sweep Method;

− Body Sizing;

Конечно элементная модель содержит 96 тыс. элементов 400 тыс узлов и

имеет вид:

Рисунок 4.1 – Конечно-элементная модель.

Приведем статистику элементов (tet, hex, prizm, ).

Рисунок 4.3 – соотношение типов елементов

4 Расчет

Подготовка к анализу

Для расчета задаем свойства материала для двух деталей втулки, что

соответствует марки стаои 40х и основной части, что соответствует стали Р 18.

Для основной детали:

− модуль Юнга Е=2.1е11 Па

− Коеффициент Пуассона = 0.3

− Плотность материала 7800 кг/м3

Для втулки:

− модуль Юнга Е = 2.28е11 Па

− Коеффициент Пуассона = 0.3

− Плотность материала 8080 кг/м3

Далее задаем граничные условия:

− Закрепление по внутренней части гидромотора

− Закрепление поверхности под болты

− Наложение давление на втулки, что в нашем случае соответствует 35 МПа на

5 нагруженых втулок и 0.5 МПа на 4 оставшиеся.

− Задаем и определеяем контакты( в работе использовались контакты типа

Bonded и Frictional, в котором задавали натяг 1,75е-4м и коеффициент трения

0,3)

На рисунках 4.1 изображены результаты приложения нагрузок и ограничений

Рисунок 4.1 – Наложение нагрузок

После проводим анализ напреженно-деформированого состояния

кострукции. И выводим деформации (рис 4.2) и напряжения (рис 4.3)

Рисунок 4.2 – Общие деформации

Рисунок 4.3 – Напряжения по Von-Mises

Выводы

В данной работе проводился расчет напряженно-деформированого состояния гидропередачи с учетом натяга на поверхность втулки. Выводятся напряжения и деформации. В данной задаче присутствуют нелинейные контакты, что существенно увеличивают время расчета конструкции.

В дальнейшем планируется осуществить расчет с другим показателем натяга, провести циклосимметричный анализ и сравнить результаты. Возможен анализ в другой системе