รวม 7 วิชาสามัญ

1 เฉลย Bio 7 วชาสามญ 55 By Prachatip Phollarp

Note: เฉลยนทาขนเพยงเปนการแลกเปลยนความร และใชเพอการศกษาเทานน หามมใหนาไปจาหนาย หรอ

แสวงหาผลประโยชนใดๆ อนงเฉลยนหากมขอใดผดพลาดกขออภยมา ณ ทนดวย

1. 4 2. 3 3. 4 4. 4 5. 1 6. 3 7. 5 8. 5 9. 4 10. 2 11. 3 12. 1 13. 3 14. 1 15. 3 16. 4 17. 4 18. 5 19. 2 20. 5

21. 2 22. 1 23. 5 24. 5 25. 4 26. 3 27. 5 28. 2 29. 1 30. 1 31. 4 32. 5 33. 3 34. 4 35. 4 36. 3 37. 1 38. 4 39. 4 40. 2

41. 1 42. 3 43. 2 44. 4 45. 5 46. 4 47. 2 48. 1 49. 3 50. 1 51. 2 52. 1 53. 3 54. 2 55. 2 56. 5 57. 2 58. 1 59. 4 60. 3

61. 1 62. 4 63. 2 64. 3 65. 3 66. 2 67. 3 68. 1 69. 3 70. 5 71. 3 72. 2 73. 2 74. 4 75. 3 76. 3 77. 1 78. 5 79. 3 80. 5

81. 4 82. 3 83. 2 84. 2 85. 5 86. 2 87. 2 88. 2 89. 3 90. 5 91. 2 92. 2 93. 3 94. 4 95. 4 96. 3 97. 4 98. 2 99. 2 100. 3

ขอสอบ 7 วชาสามญ (คณตศาสตร ปการศกษา 2554 : สอบ มกราคม 2555)

กสพท 2555 (คณต ในกลมสามญ 7 วชา มค 55) เครดต ตรวจทานแกไขคาตอบ โดย อ. Sila Sookrasamee หนา 1 จาก 18

เฉลยโดย Boonchuay Pataralertsiri (เครอขายผปกครอง รร ศกษานาร, แสงอรณ ,ทวธาภเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath /

วธทา

พจารณาแบงยานคาของ x จาก 3 73 2 0 , 3 7 02 3

x x x x− = → = − = → = เปน 3 ยาน

1. 3 : | 3 2 | | 3 7 | 0 3 2 (3 7) 0 42

x x x x x x< − − − ≥ → − + − ≥ → ≥ ยานคานแยงกนจงใชไมได

2. 3 7 7: | 3 2 | | 3 7 | 0 (3 2 ) (3 7) 0 2 22 3 3

x x x x x x x≤ < − − − ≥ → − − + − ≥ → ≥ → ≤ <

3. 7 7: | 3 2 | | 3 7 | 0 2 3 (3 7) 0 4 43 3

x x x x x x x≥ − − − ≥ → − − − ≥ → ≤ → ≤ ≤

จากยาน 2. และ 3. ไดผลรวมของคา x โดยการ union กนไดยานตอเนองเปน [2,4] ดงนน

[ , ] [2,4] 2 4 6a b a b= + = + = ตอบ 6

วธทา

ค.ร.น. ของเลข 2 จานวน n และ 720 = 10800

4 3 21080 8 1350 8 25 54 8 25 2 27 2 3 5= × = × × = × × × = × ×

2 4 4 2720 9 80 9 16 5 3 2 5 2 3 5= × = × × = × × = × × ดงนน

3 2 23 5 3 15 3 225 675n = × = × = × =

ตอบ 675

( )

222

2 1 2 122

2 tan 2 2 2 2sec (2 tan 2) 1 tan (2 tan 2) 1 1 1 1 8 91 tan 1 21 2

θθ

− −

= + = + = + = + = + = − − −

ตอบ 9



ความชนของเสนตรง =43

=823

dy xdx

= − 2

4 88 73 3 2 (2) 2 (2) 1

2 3 3x y

+∴ = = → = − + = ดงนนจดสมผสคอท (2,1)

ระยะหางระหวางจดสมผส กบ เสนตรงทกาหนด 2 2 2 2

8 3 10| | | 4(2) 3(1) 10 | 354 3

ax by cda b

− ++ + − += = = =

+ + ตอบ 3 หนวย

2 2 2

2

1 32 2

3 3 4 3 3 3 4 3 3

3 4 3 3 9 0

(3 3 3)(3 3) 0 3 3,3 3 3 ,3

x x x x

x x

x x x

−+ = → + = × →

− × + =

− − = → = =

1 3,2 2

x = ตอบ 1 3 22 2+ =

วธทา

33log 2 log 23 31 33 3log 2 log 2log( 27 10 27 3 3 2 8 2) 1 log10x x x x x x x+ → = + = + = + = + = + → == =

ตอบ 2

วธทา



พจนท r+1 =

( ) ( ) ( )

( )

1010 10 1 102 2 2 2

3 3 3

102 20 5 43

102 2 210 ..

10 10 102 10 9 8 72 20 5 0 4 2 16 33604 24

rr

rr r r

x x x xrx x x

x x r rr rx

− −

− −

+ = + + +

× × × = → − = → = → = × =

นนคอพจนท 5 จะม 0x และมคา 3360 ตอบ 3360

ถาการสอบครงท 5 ตองได x %

เปอรเซนตสอบเฉลย86% 4 2 % 540 34490% 90 6 540 344 2 98%

4 2 2x x x× + −

= → × = = + → = =+

ตอบ 98%

ความชนของเสนตรง =43

=823

dy xdx

= − 2

4 88 73 3 2 (2) 2 (2) 1

2 3 3x y

+∴ = = → = − + = ดงนนจดสมผสคอท (2,1)

ระยะหางระหวางจดสมผส กบ เสนตรงทกาหนด 2 2 2 2

8 3 10| | | 4(2) 3(1) 10 | 354 3

ax by cda b

− ++ + − += = = =

+ + ตอบ 3 หนวย

2 2 2 2 3 200 0

6 | 2 | (12 6 ) 6 2 | 6(4) 2(8) 8x x dx x x dx x x− = − = − = − =∫ ∫



วธทา

( )

3 2

3 2

3 2

3 2

( ) 1 ( 1)( 2)( 3) ( 6 11 6)( ) ( 6 11 6) 1

1(4) 0 4 6 4 11 4 6 1 (64 96 44 6) 1 6 16

1 1 24( ) ( 6 11 6) 1 (5) (125 150 55 6) 1 1 36 6 6

p x A x x x A x x xp x A x x x

p A A A A

p x x x x p

− = − − − = − + −

= − + − +

= = − × + × − + = − + − + = + → = −

= − − + − + → = − − + − + = − + = −

ตอบขอ 1

23 1 3 1

2 4 2 2z z i

+ = − → + = ±

แตจากโจทย Im( ) 0Z > ดงนน

3 1 512 2 6

z i π= − + = ∠

8 40 2 1 31 1 66 3 2 2

z iπ ππ= ∠ = ∠ + = − + ตอบขอ 5.



วธทา

5 เปน ห.ร.ม. ของเลข 2 จานวน a,b ฉะนนให 5 , 5a k b l= = จะได

1575 25 25 25 125 125 63 5 5 ( 5)( 5) 25ab a b kl k l kl k l k l= − − = − − → = − − = − − − →

( 5)( 5) 63 25 88 11 8 16, 13 80, 65k l k l a b− − = + = = × → = = → = =

เชคคาตอบ

25 25 80 65 25 80 25 65 1575ab a b ok− − = × − × − × =

80 65 15a b− = − = ตอบขอ 1

23 4| | | || | sin 1 5sin 5sin 3 sin cos 1 sin5 5

u v u v θ θ θ θ θ θ× = = × = = → = → = − − = −

มมปานคา cosθ เปนลบ



2 2 2 24(2 ) ( ) 2 . . . 2 | | | || | cos | | 2(1) 1(5) 5 2 4 25 195

u v u v u v u v v v u u v vθ + ⋅ − = − − = − − = − − − = + − = −

ตอบขอ 2

2 2

2 2

2 22 2

2 2

9 72 16 32 169( 8 16) 16( 2 1) 16 9 16 16 1 16 144 16

( 4) ( 1)9( 4) 16( 1) 144 14 3

x x y yx x y y

x yx y

− − − =

− + − + + = + × − × = + −

− +− − + = → − =

ดงนน H=Hyperbola มศนยกลางอยท (4,-1) แกนสมมาตรอยบนแกน X มความยาว a=4, และ b=3

ความยาวโพกส 2 2 2 24 3 5c a b= + = + =

E เปนวงร มจดยอดอยทจดโฟกสของ H ดงนน 5a = และมศนยกลางอยทเดยวกน ทจด (4,-1)

รปสมการ E: 2 2 2 2

2 2 2 2

( 4) ( 1) ( 4) ( 1) 15

x y x ya b b− + − +

+ = + =

ความเยองศนย ของ E คอ 2 2 2 2 2

22 2

1 1 5 1 45 5 55

c a b a b be ea a a a

− − −= = = → = = → = =

2 2 24 4 5 205 5

b a= = = ดงนนสมการของ E: 2 2( 4) ( 1) 1

25 20x y− +

+ = ตอบขอ 3



วธทา

2 2 2 2 2

2

2 cos 2 3cos 2 (2cos 1) 3(2cos 1) (4cos 1) 6cos 3) 10cos 4

1 210cos 2 0 cos cos 2 cos55

cos cos[180 ( )] cos( ) cos cos sin sin

A B A B B B B

B B A B

C A B A B A B A B

− = + = − + − = − + − = − →

− = → = → = =

= − + = − + = − +

2 1 5 2 5 1 2 2 35 5 5 5 55

− −= − + = − + ตอบขอ 3



2 1 224 2 2 4 (4 4 4 ) (4 8 2 ) 12 6

2 1 21 1 13 2 2

2 1 2| | 1 1 1 ( 4 3 4) ( 6 4 2) 3

3

2

2 2

4c a b a b c b ca b c

x aAX B y b

z

A

b

c

c− −

= = − − + − + = − + →

= = − = −

= − = − − + + − +

=

+

+

= −−

−

จะหาเฉพาะคา x ใชการแทนท column แรกของ A จะงายสด

1 21 12 2 2 4 ( 2 2 2 ) 6 3| |

43 3

2

abc a c b c a b cb b cx

A

−− − − + + − + + −

= = = −−

+= =−

ตอบขอ 5



1 1

1 0 010 1 0 | | | |

| |0 0 1

AX B

AX I A X A XX

− −

=

= = → = → = =

1

1 1 11 10 2 3 2 15 0 ( 10 15 0) 8 | | | |

| | 85 5 1

X A XX

−= = + + + − − + = − → = = = − ตอบขอ 2

22

1 1 1 1 112 4 2 2 22

1

1 1 1 1 12 2 2 2 2

log ( 1) 2log ( 2) log (9 3) log ( 1) log ( 2) log (9 3)

( 1)( 2) 1log ( 1) log ( 2) log (9 3) log 0 log9 3 2

x x x x x x

x xx x xx

≥

+ + + − − = + + + − −

+ + = + + + − − = ≤ = −

ดงนน ( 1)( 2) 1

9 3x x

x+ +

≥−

จะได 2 2( 1)( 2) 1 3 2 9 3 6 5 ( 1)( 5) 09 3

x x x x x x x x xx

+ +≥ + + ≥ − → − + = − − ≥

−

ดงนน 1 ( ,1] [5, )S = −∞ ∞ แตเรามเงอนไข log y ท 0y > นนคอ 1 0, 2 0, 9 3 0x x x+ > + > − > สรปคอ 13

x >

ดงนน ภายใตเงอนไขเพมเตมน 11( ,1] [5, )3

S = ∞ จะได 1 2 {1,5,6,7,8,9,10}S S∩ = มสมาชก 7 จานวน ตอบขอ 3



วธทา

เรมจาก

เดกอาย 7 ป จะนงเกาอ หมายเลข 6 หรอ 7 ได รวม 2 วธ

เดกอาย 6 ป จะนงเกาอ หมายเลข 5,6 หรอ 7 ได แตหมายเลข 6 หรอ 7 โดนยดไป 1 ตว จงเหลอ เพยง 2 วธ

เดกอาย 5 ป จะนงเกาอ หมายเลข 4,5,6 หรอ 7 ได แตหมายเลข 5 - 7 โดนยดไป 2 ตว จงเหลอ เพยง 2 วธ

เดกอาย 4 ป จะนงเกาอ หมายเลข 3,4,5,6 หรอ 7 ได แตหมายเลข 4 - 7 โดนยดไป 3 ตว จงเหลอ เพยง 2 วธ

เดกอาย 3 ป จะนงเกาอ หมายเลข 2,3,4,5,6 หรอ 7 ได แตหมายเลข 3 - 7 โดนยดไป 4 ตว จงเหลอ เพยง 2 วธ

เดกอาย 2 ป จะนงเกาอ หมายเลข 1,2,3,4,5,6 หรอ 7 ได แตหมายเลข 2 - 7 โดนยดไป 5 ตว จงเหลอ เพยง 2 วธ

เดกอาย 1 ป จะนงเกาอ หมายเลข 1,2,3,4,5,6 หรอ 7 ได แตหมายเลข 1 - 7 โดนยดไป 6 ตว จงเหลอ เพยง 1 วธ

ดงนนจานวนวธทงหมดทเดกทง 7 คนจะนงได 62 1 64= × = วธ ตอบ ขอ3



1. สวนเบยงเบนเฉลย1 1

1 1( 3) ( 3)n n

i ii i

X X X Xn n= =

= + − + = −∑ ∑ เทาเดม ผด

2. สมประสทธพสยใหม = _ max _ min max min max min max min

_ max _ min max min max min max min

( 3) ( 3)( 3) ( 3) 6

new new

new new

X X X X X X X XX X X X X X X X

− + − + − −= = <

+ + + + + + + ถก

3. คาเฉลย 1 1

1 1( 3) 3 3n n

new i ii i

X X X Xn n= =

= + = + = +∑ ∑ เพมขน ผด

4. มธยฐาน และตาแหนงตางๆเรยงตามเดมเพราะเพมเทาๆกนหมด ไมเปลยน ผด

5. 2 2 2 2

1 1

1 1[( 3) ( 3)] ( )n n

new i ii i

S X X X X Sn n= =

= + − + = − =∑ ∑ S→ คงเดม ผด

ตอบขอ 2.



117.8 0.44 (1)

126.7 1.34 (2)

126.7 117.8 1.78 (2) (1)

8.9(2) 5 126.7 1.34 5 1201.78

XS

XS

S

S X

−= −

−=

−= −

→ = = → = − × =

ตาแหนงขอมล 125 คานวณจาก

125 125 120 15

XS− −

= = =Z จากจดกงกลางได พนท 0.3413 คดรวมจากครงแรกจะได

0.5 0.3413 0.8413 84.13%+ = = ตอบขอ 1



จากรปสมการทวไปของ พาราโบลาทแกนสมมาตรขนานกบแกน Y คอ

2 2 2( ) 4 ( ) ( 3) 4 ( 9)x h p y k x p y− = − = − = − แทนคาจดผาน(1,5)จะได

2 1(1 3) 4 (5 9) 4 4 ( 4)4

p p p− = − = = − → = − ดงนนสมการคอ 2( 3) ( 9)x y− = − − จดรปแบบเปน 2 6y x x= − +

เมอ 0y = ได 0,6x = และเปนจดตดบนแกน x ของพาราโบลารปควา

ดงนน 6 6 2 3 2 6 3 2

00 0

1 1( 6 ) 3 | 6 3(6 ) 363 3

ydx x x dx x x= − + = − + = − + =∫ ∫ ตอบขอ 4.



2

2

( ) 2 ( ( ) ( )

(2) 2 2 (2) 2 (2) 4 ( 1) 4 (0) 4

d df x cx g x cx g xdx dxd df c g c g c c cdx dx

= +

= + = − + = −

คานวณหาคา C ทจะทาให ( )f x มความตอเนองทจด x=1 จาก 2( ) 2 ( ( ) ( )d df x cx g x cx g xdx dx

= +

2(2) 2 2 (2) 2 (2) 4 ( 1) 4 (0) 4d df c g c g c c cdx dx

= + = − + = −

2 12(1) ( (1) 1) (1) 2(1) 10 ( 1)4 12 1 24

f c g c c= + = + = + = → = − =

(2) 4 4(2) 8d f cdx

= − = − = − ตอบขอ 1

40

1(1 3 5 .. 39) 2(2 4 6 .. 40)n

na

=

= + + + + + + + + +∑

1 39 2 4020 2 202 2+ +

= × + × × ผลบวกของอนกรมเลขคณต = จานวนพจน x คาเฉลยของพจนแรกกบพจนสดทาย

20 20 40 21 400 840 1240= × + × = + = ตอบขอ 4



2 2 2 2 2 2 2 2

2 3 5 7

[(2 ) ( 1)][(3 ) ( 1)][(5 ) ( 1)][(7 ) ( 1)]

A I A I A I A I

a a a a a a a a

− − − −

= − + − − + − − + − − + −

1 2 4 6 48= × × × = ตอบ ขอ5

วธทา

11 1

2 2 2 22 1 1 1

2

2 2 23 2 2 2

11

2, 12

2 1 3

3 3 3( 3) 32 4 2

3 1 1 2 2 4 4(2 3)2 3 ... 2 4(2 3)2 1 1 1 4 33 2 31

2

n

ii

aa b

a c a b

a c a b

r ra ar r r

∞∞

=

= = =

= = − = − =

= = − = − = − =

− − += + + + = × = × = = = = = +

− − − −−−

∑

ตอบขอ 2



2 2

2 2 2 2

2 2

( ), '( )

1. ( 1), 2 1 ( 1), 2 11 12. , ,

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)3. ( 1), 2 1 ( 1), 2 14. ( 1)

( ), '

, 3 2 ( 1),

( ) '(0 ) '

3 2

1

1

100

(0 )

1

1

1

00

5. , 2 , 2

x x oof x f x

x x x x x xx x

x x x xx x x x

f x f x f

x xx x x x x x x xx

f

x x x

−

= −

+

= +=

+ + = + − =

= =+ + + ++ + = − + − − =

+ + = − + − − =

= − −

=

=

−

จากตารางการคานวณอนพนธของขอตางๆขางบนนจะเหนไดวา '(0 )f + และ '(0 )f − มคาตางกนเฉพาะขอ 3 คอ 1 และ-1 จงถอวาไม

สามารถมคาอนพนธทจด 0x = ตอบขอ 3



วธทา จากการทดลองพบวาเรมจานวนพจนเทากบ 7 ซงเปนเลขคซงได มธยฐานเปนพจนท 1 ซงมคา 3 4 1 7= + × =

(ตวอยางการจดเรยงตาแหนงพจนกรณ 7 พจน 2,4,6,1,3,5,7 ซงมคา 2,4,6,7,15,31 ตามลาดบ)

และพบวาจานวนพจนทเพมขนทกๆ 10 มธยฐานจะเปนพจนค ในลาดบถดไป เปนพจนท 3, 5,7,.. ตามลาดบ

ดงนนถาจานวนพจนเปน 7 10 8 87+ × = มธยฐานจะเปนพจนท 1 8 2 17+ × = ซงมคา 3 4 17 71= + × =

ถาเพมจานวนพจนอก 2, หรอ 4 เปน 87 2 89+ = หรอ 87 4 91+ = ซงเปนตามทโจทยตองการ

กตองเพมพจนท 88,89 หรอ ,88,89,90 และ 91 ซงมคาเปน 88, 3+4x89, 90, 3+4x91ลวนมคามากกวา พจนท 17(71)

ซงทาใหตาแหนงของมธยฐานกจะเลอนขนไปเปนลาดบของการจดเรยงคาลดหรอเพมขน ครงหนงของจานวนพจนทลดหรอเพมขน

สาหรบคาใกลเคยงกบพจนท 17(71) ลวนเปนพจนค โดยมลาดบพจนเปน 70,17,72,74 ดงนนถา

จานวนพจนเปน 85,89,และ 91 ตาแหนงมธยฐานจะอยท พจนท 70 มคาเปน 70,72, และ 74 ตามลาดบ

ดงนนสาหรบ 1 2 91, ,..,a a a มธยฐานคอ 74a ตอบขอ 4



ตวแปร 4 ตว คอ a,b,c,d แตละตวมคาได 3 คา ดงนน จานวนวธทงหมด =3x3x3x3 = 81 วธ

คา 0M ad bc= − = ทจะทาใหหาคา อนเวอรส ไมได ม 3 กรณ คอ เมอ 1,0,1ad bc= = −

กรณ 1ad bc= = − คอกรณแตละคเปน -1,1 หรอ 1,-1 เปน 2 วธ นนคอรวม 2 2 4= × = วธ

กรณ 0ad bc= = คอกรณแตละคเปน 0,0 0,-1 หรอ 0,1 -1,0 1,0 เปน 5วธ นนคอ รวม 5 5 25× = วธ

กรณ 1ad bc= = − คอกรณแตละคเปน 1,1 หรอ -1,-1 เปน 2 วธ นนคอรวม 2 2 4= × = วธ

รวม 3 กรณท 0M ad bc= − = ได 4 25 4 33+ + = วธ ดงนน 0M ad bc= − ≠ จะม 81 33 48− = วธ

ความนาจะเปนท M สามามารถหา inverse ได คอเมอ 0M ad bc= − ≠ ไดเทากบ 4881

ตอบขอ 4.

ขอสอบ 7 วชาสามญ (สงคมศกษา ปการศกษา 2554 : สอบ มกราคม 2555)

กลมคณตมธยมปลาย http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/

เฉลยแนวขอสอบ 7 วชาสามญ สงคม คดลอกคาตอบมาจากพหมย โซไซไทยนะคะ

ขอท เฉลย 1 5 2 1 3 1 4 1 5 4 6 3 7 5 8 2 9 3 10 4 11 5 12 5 13 5 14 1 15 4 16 1 17 1 18 4 19 5 20 5 21 4 22 4 23 3 24 2 25 2

ขอท เฉลย 26 2 27 3 28 1 29 3 30 3 31 3,5 32 4 33 4 34 3 35 2 36 4 37 1 38 4 39 2 40 1 41 2 42 1 43 3 44 2 45 5 46 3 47 1 48 2 49 3 50 5

ขอสอบ 7 วชาสามญ (ภาษาไทย ปการศกษา 2554 : สอบ มกราคม 2555)

รวม 7 วิชาสามัญ

Documents