第 6 章 MATLAB 符号计算

6.1 符号计算基础6.2 符号导数及其应用6.3 符号积分6.4 级数6.5 代数方程的符号求解6.6 常微分方程的符号求解

6.1 符号计算基础

6.1.1 符号对象1. 建立符号变量和符号常数(1)sym 函数 sym 函数用来建立单个符号量，例如， a=sym('a') 建立

符号变量 a ，此后，用户可以在表达式中使用变量 a进行各种运算。

例 6.1 考察符号变量和数值变量的差别。 在 MATLAB 命令窗口，输入命令： a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d'); % 定义 4 个符号变量w=10;x=5;y=-8;z=11; % 定义 4 个数值变量A=[a,b;c,d] % 建立符号矩阵 A

B=[w,x;y,z] % 建立数值矩阵 B

det(A) % 计算符号矩阵 A 的行列式det(B) % 计算数值矩阵 B 的行列式

例 6.2 比较符号常数与数值在代数运算时的差别。在 MATLAB 命令窗口，输入命令：pi1=sym('pi');k1=sym('8');k2=sym('2');k3=sym('3'); % 定义符号变量pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3; % 定义数值变量sin(pi1/3) % 计算符号表达式值 sin(pi2/3) % 计算数值表达式值sqrt(k1) % 计算符号表达式值sqrt(r1) % 计算数值表达式值sqrt(k3+sqrt(k2)) % 计算符号表达式值sqrt(r3+sqrt(r2)) % 计算数值表达式值

(2)syms 函数syms 函数的一般调用格式为：syms var1 var2 … varn

函数定义符号变量 var1,var2,…,varn 等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符 (') ，变量间用空格而不要用逗号分隔。

2. 建立符号表达式例 6.3 用两种方法建立符号表达式。在 MATLAB 窗口，输入命令：U=sym('3*x^2+5*y+2*x*y+6') % 定义符号表达式 U

syms x y; % 建立符号变量 x 、 y

V=3*x^2+5*y+2*x*y+6 % 定义符号表达式 V

2*U-V+6 % 求符号表达式的值

例 6.4 计算 3 阶范得蒙矩阵行列式的值。设 A 是一个由符号变量 a,b,c 确定的范得蒙矩阵。

命令如下：syms a b c;

U=[a,b,c];

A=[[1,1,1];U;U.^2] % 建立范得蒙符号矩阵det(A) % 计算 A 的行列式值

例 6.5 建立 x,y 的一般二元函数。在 MATLAB 命令窗口，输入命令：syms x y;

f=sym('f(x,y)');

6.1.2 基本的符号运算1. 符号表达式运算(1) 符号表达式的四则运算

例 6.6 符号表达式的四则运算示例。在 MATLAB 命令窗口，输入命令：syms x y z;

f=2*x+x^2*x-5*x+x^3 % 符号表达式的结果为最简形式f=2*x/(5*x) % 符号表达式的结果为最简形式f=(x+y)*(x-y) % 符号表达式的结果不是 x^2-y^2 ，而是 (x+y)*(x-

y)

(2) 因式分解与展开factor(S) 对 S 分解因式， S 是符号表达式或符号

矩阵。expand(S) 对 S 进行展开， S 是符号表达式或符

号矩阵。collect(S) 对 S 合并同类项， S 是符号表达式或

符号矩阵。collect(S,v) 对 S 按变量 v 合并同类项， S 是符

号表达式或符号矩阵。

例 6.7 对符号矩阵 A 的每个元素分解因式。命令如下：syms a b x y;

A=[2*a^2*b^3*x^2-4*a*b^4*x^3+10*a*b^6*x^4,3*x*y-5*x^2;4,a^3-b^3];

factor(A) % 对 A 的每个元素分解因式

例 6.8 计算表达式 S 的值。命令如下：syms x y;

s=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2);

expand(s) % 对 s 展开collect(s,x) % 对 s 按变量 x 合并同类项 ( 无同

类项 )

factor(ans) % 对 ans 分解因式

(3) 表达式化简MATLAB 提供的对符号表达式化简的函数有：simplify(S) 应用函数规则对 S 进行化简。simple(S) 调用 MATLAB 的其他函数对表达式进

行综合化简，并显示化简过程。

例 6.9 化简命令如下：syms x y;

s=(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2;

simple(s) %MATLAB 自动调用多种函数对 s 进行化简，并显示每步结果

2. 符号矩阵运算transpose(S) 返回 S 矩阵的转置矩阵。determ(S) 返回 S 矩阵的行列式值。colspace(S) 返回 S 矩阵列空间的基。[Q,D]=eigensys(S) Q 返回 S 矩阵的特征向量， D 返回 S

矩阵的特征值。

6.1.3 符号表达式中变量的确定MATLAB 中的符号可以表示符号变量和符号常

数。 findsym 可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：

findsym(S,n)函数返回符号表达式 S 中的 n 个符号变量，若没

有指定 n ，则返回 S 中的全部符号变量。在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有

明确指定自变量， MATLAB 将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用 findsym(S,1) 查找系统的缺省变量，事实上， MATLAB 按离字符 'x' 最近原则确定缺省变量。

6.2 符号导数及其应用

6.2.1 函数的极限limit 函数的调用格式为：limit(f,x,a)

limit 函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：limit(f,x,a,'right') 或 limit(f,x,a,'left')

例 6.10 求极限。在 MATLAB 命令窗口，输入命令：syms a m x;f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);limit(f,x,a) % 求极限 (1)f=(sin(a+x)-sin(a-x))/x;limit(f) % 求极限 (2)limit(f,inf) % 求 f 函数在 x→∞( 包括 +

∞ 和 -∞) 处的极限limit(f,x,inf,'left') % 求极限 (3)f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a))/sqrt(x*x-a*a);limit(f,x,a,'right') % 求极限 (4)

6.2.2 符号函数求导及其应用MATLAB 中的求导的函数为：diff(f,x,n)

diff 函数求函数 f 对变量 x 的 n 阶导数。参数 x 的用法同求极限函数 limit ，可以缺省，缺省值与 limit 相同， n的缺省值是 1 。

例 6.11 求函数的导数。命令如下：syms a b t x y z;f=sqrt(1+exp(x));diff(f) % 求 (1) 。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理f=x*cos(x);diff(f,x,2) % 求 (2) 。求 f 对 x 的二阶导数diff(f,x,3) % 求 (2) 。求 f 对 x 的三阶导数f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);diff(f2)/diff(f1) % 求 (3) 。按参数方程求导公式求 y 对 x 的导数(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2))/(diff(f1))^3 % 求 (3) 。求 y 对 x 的二阶

导数f=x*exp(y)/y^2;diff(f,x) % 求 (4) 。 z 对 x 的偏导数diff(f,y) % 求 (4) 。 z 对 y 的偏导数f=x^2+y^2+z^2-a^2;zx=-diff(f,x)/diff(f,z) % 求 (5) 。按隐函数求导公式求 z 对 x 的偏导数zy=-diff(f,y)/diff(f,z) % 求 (5) 。按隐函数求导公式求 z 对 y 的偏导数

例 6.12 在曲线 y=x3+3x-2 上哪一点的切线与直线y=4x-1 平行。

命令如下：x=sym('x'); y=x^3+3*x-2; % 定义曲线函数f=diff(y); % 对曲线求导数g=f-4;solve(g) % 求方程 f-4=0 的根，即求曲线

何处的导数为 4

6.3 符号积分

6.3.1 不定积分在 MATLAB 中，求不定积分的函数是 int ，其调用格式

为：int(f,x)

int 函数求函数 f 对变量 x 的不定积分。参数 x 可以缺省，缺省原则与 diff 函数相同。

例 6.13 求不定积分。命令如下：x=sym('x');

f=(3-x^2)^3;

int(f) % 求不定积分 (1)

f=sqrt(x^3+x^4);

int(f) % 求不定积分 (2)

g=simple(ans) % 调用 simple 函数对结果化简

6.3.2 符号函数的定积分定积分在实际工作中有广泛的应用。在 MATLAB 中，定

积分的计算使用函数：int(f,x,a,b)例 6.14 求定积分。命令如下：x=sym('x');t=sym('t');int(abs(1-x),1,2) % 求定积分 (1)f=1/(1+x^2);int(f,-inf,inf) % 求定积分 (2)int(4*t*x,x,2,sin(t)) % 求定积分 (3)f=x^3/(x-1)^100;I=int(f,2,3) % 用符号积分的方法求定积分 (4)double(I) % 将上述符号结果转换为数值

例 6.15 求椭球的体积。命令如下：syms a b c z;

f=pi*a*b*(c^2-z^2)/c^2;

V=int(f,z,-c,c)

V =

4/3*pi*a*b*c

例 6.16 轴的长度为 10 米，若该轴的线性密度计算公式是f(x)=6+0.3x 千克 / 米 ( 其中 x 为距轴的端点距离 ) ，求轴的质量。

(1) 符号函数积分。在 MATLAB 命令窗口，输入命令：syms x;f=6+0.3*x;m=int(f,0,10)(2) 数值积分。先建立一个函数文件 fx.m ：function fx=fx(x)fx=6+0.3*x;再在 MATLAB 命令窗口，输入命令：m=quad('fx',0,10,1e-6)

例 6.17 求空间曲线 c 从点 (0 ， 0 ， 0) 到点 (3 ， 3 ， 2)的长度。求曲线 c 的长度是曲线一型

命令如下：syms t;

x=3*t;y=3*t^2;z=2*t^3;

f=diff([x,y,z],t) % 求 x,y,z 对参数 t 的导数g=sqrt(f*f') % 计算一型积分公式中的根式部

分l=int(g,t,0,1) % 计算曲线 c 的长度

6.3.3 积分变换1. 傅立叶 (Fourier) 变换在 MATLAB 中，进行傅立叶变换的函数是：fourier(fx,x,t) 求函数 f(x) 的傅立叶像函数 F(t) 。ifourier(Fw,t,x) 求傅立叶像函数 F(t) 的原函数 f(x) 。

例 6.18 求函数的傅立叶变换及其逆变换。命令如下：syms x t;

y=abs(x);

Ft=fourier(y,x,t) % 求 y 的傅立叶变换fx=ifourier(Ft,t,x) % 求 Ft 的傅立叶逆变换

2. 拉普拉斯 (Laplace) 变换在 MATLAB 中，进行拉普拉斯变换的函数是：laplace(fx,x,t) 求函数 f(x) 的拉普拉斯像函数 F(t) 。ilaplace(Fw,t,x) 求拉普拉斯像函数 F(t) 的原函数 f(x) 。

例 6.19 计算 y=x2 的拉普拉斯变换及其逆变换 .

命令如下：x=sym('x');y=x^2;

Ft=laplace(y,x,t) % 对函数 y 进行拉普拉斯变换fx=ilaplace(Ft,t,x) % 对函数 Ft 进行拉普拉斯逆变换

3. Z 变换对数列 f(n) 进行 z 变换的 MATLAB 函数是：ztrans(fn,n,z) 求 fn 的 Z 变换像函数 F(z)

iztrans(Fz,z,n) 求 Fz 的 z 变换原函数 f(n)

例 6.20 求数列 fn=e-n 的 Z 变换及其逆变换。命令如下：syms n z

fn=exp(-n);

Fz=ztrans(fn,n,z) % 求 fn 的 Z 变换f=iztrans(Fz,z,n) % 求 Fz 的逆 Z 变换

4. 积分变换的应用例 6.21 用拉普拉斯方法解微分方程。

6.4 级数6.4.1 级数的符号求和级数符号求和函数 symsum ，调用格式为：symsum(a,n,n0,nn)

例 6.22 求级数之和。命令如下：n=sym('n');

s1=symsum(1/n^2,n,1,inf) % 求 s1

s2=symsum((-1)^(n+1)/n,1,inf) % 求 s2 。未指定求和变量，缺省为 n

s3=symsum(n*x^n,n,1,inf) % 求 s3 。此处的求和变量 n 不能省略。s4=symsum(n^2,1,100) % 求 s4 。计算有限级数的和

6.4.2 函数的泰勒级数MATLAB 中提供了将函数展开为幂级数的函数 taylor ，

其调用格式为：taylor(f,v,n,a)

例 6.23 求函数在指定点的泰勒展开式。命令如下：x=sym('x');

f1=(1+x+x^2)/(1-x+x^2);

f2=sqrt(1-2*x+x^3)-(1-3*x+x^2)^(1/3);

taylor(f1,x,5) % 求 (1) 。展开到 x 的 4 次幂时应选择 n=5

taylor(f2,6) % 求 (2) 。

例 6.24 将多项式表示成 x+1 的幂的多项式。命令如下：x=sym('x');

p=1+3*x+5*x^2-2*x^3;

f=taylor(p,x,-1,4)

例 6.25 应用泰勒公式近似计算 。命令如下：x=sym('x');

f=(1-x)^(1/12); % 定义函数， 4000^(1/12)=2f(96/2^12)

g=taylor(f,4) % 求 f 的泰勒展开式 g ，有 4000^(1/12)≈2g(96/2^12)

b=96/2^12;

a=1-b/12-11/288*b^2-253/10368*b^3 % 计算 g(b)

2*a % 求 4000^(1/12) 的结果4000^(1/12) % 用 MATLAB 的乘方运算直接计算

6.4.3 函数的傅立叶级数MATLAB 5.x 版中，尚未提供求函数傅立叶级数的内部函数。下面

我们自己设计一个简化的求任意函数的傅立叶级数的函数文件。function mfourier=mfourier(f,n)

syms x a b c;

mfourier=int(f,-pi,pi)/2; % 计算 a0

for i=1:n

a(i)=int(f*cos(i*x),-pi,pi);

b(i)=int(f*sin(i*x),-pi,pi);

mfourier=mfourier+a(i)*cos(i*x)+b(i)*sin(i*x);

end

return

调用该函数时，需给出被展开的符号函数 f 和展开项数 n ，不可缺省。

例 6.26 在 [-π ， π]区间展开函数为傅立叶级数。命令如下：x=sym('x');a=sym('a');f=x;mfourier(f,5) % 求 f(x)=x 的傅立叶级数的前 5 项f=abs(x);mfourier(f,5) % 求 f(x)=|x| 的傅立叶级数的前 5 项syms a;f=cos(a*x);mfourier(f,6) % 求 f(x)=cos(ax) 的傅立叶级数的前 6 项f=sin(a*x);mfourier(f,4) % 求 f(x)=sin(ax) 的傅立叶级数的前 4 项

6.5 代数方程的符号求解

6.5.1 线性方程组的符号求解MATLAB 中提供了一个求解线性代数方程组的函数 linso

lve ，其调用格式为：linsolve(A,b)

例 6.27 求线性方程组 AX=b 的解。解方程组 (1) 的命令如下：A=[34,8,4;3,34,3;3,6,8];b=[4;6;2];X=linsolve(A,b) % 调用 linsolve 函数求 (1) 的解A\b % 用另一种方法求 (1) 的解解方程组 (2) 的命令如下：syms a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 b1 b2 b3;A=[a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33];b=[b1;b2;b3];X=linsolve(A,b) % 调用 linsolve 函数求 (2) 的解XX=A\b % 用左除运算求 (2) 的解

6.5.2 非线性方程组的符号求解求解非线性方程组的函数是 solve ，调用格式为：solve('eqn1','eqn2',…,'eqnN','var1,var2,…,varN')

例 6.28 解方程。命令如下：x=solve('1/(x+2)+4*x/(x^2-4)=1+2/(x-2)','x') % 解方程 (1)

f=sym('x-(x^3-4*x-7)^(1/3)=1');

x=solve(f) % 解方程 (2)

x=solve('2*sin(3*x-pi/4)=1') % 解方程 (3)

x=solve('x+x*exp(x)-10','x') % 解方程 (4) 。仅标出方程的左端

例 6.29】求方程组的解。命令如下：[x y]=solve('1/x^3+1/y^3=28','1/x+1/y=4','x,y') % 解方程组 (1)[x y]=solve('x+y-98','x^(1/3)+y^(1/3)-2','x,y') % 解方程组 (2)Warning: Explicit solution could not be found.> In C:\MATLABR11\toolbox\symbolic\solve.m at line 136x =[ empty sym ]y = []对方程组 (2)MATLAB给出了无解的结论，显然错误，请看完全与其同构的

方程组 (3) 。输入命令如下：[u,v]=solve('u^3+v^3-98','u+v-2','u,v') % 解方程组 (3)[x v]=solve('x^2+y^2-5','2*x^2-3*x*y-2*y^2') % 解方程组 (4)

6.6 常微分方程的符号求解

MATLAB 的符号运算工具箱中提供了功能强大的求解常微分方程的函数 dsolve 。该函数的调用格式为：

dsolve('eqn1','condition','var')

该函数求解微分方程 eqn1 在初值条件 condition 下的特解。参数 var描述方程中的自变量符号，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件 condition ，则求方程的通解。

dsolve 在求微分方程组时的调用格式为：dsolve('eqn1','eqn2',…,'eqnN','condition1',…,'conditionN','var1',…,'varN')

函数求解微分方程组 eqn1 、…、 eqnN 在初值条件 conditoion1 、…、conditionN 下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解， var1 、…、 varN给出求解变量。

例 6.30 求微分方程的通解。命令如下：y=dsolve('Dy-(x^2+y^2)/x^2/2','x') % 解 (1) 。方程的右

端为 0 时可以不写y=dsolve('Dy*x^2+2*x*y-exp(x)','x') % 解 (2)

y=dsolve('Dy-x/y/sqrt(1-x^2)','x') % 解 (3)

例 6.31 求微分方程的特解。命令如下：y=dsolve('Dy=2*x*y^2','y(0)=1','x') % 解 (1)

y=dsolve('Dy-x^2/(1+y^2)','y(2)=1','x') % 解 (2)

例 6.32 用微分方程的数值解法和符号解法解方程，并对结果进行比较。

在 MATLAB 命令窗口，输入命令：y=dsolve('Dy+2*y/x-4*x','y(1)=2','x') % 用符号方法得到方程的解析解为了求方程的数值解，需要按要求建立一个函数文件 fxyy.m ：function f=fxyy(x,y)

f=(4*x^2-2*y)/x; %只能是 y'=f(x,y) 的形式，当不是这种形式时，要变形。return

输入命令： [t,w]=ode45('fxyy',[1,2],2); % 得到区间 [1 ， 2] 中的数值解，以向量 t 、 w存储。

为了对两种结果进行比较，在同一个坐标系中作出两种结果的图形。输入命令：

x=linspace(1,2,100);

y=x.^2+1./x.^2; % 为作图把符号解的结果离散化plot(x,y,'b.',t,w,'r-');

6.6.3 常微分方程组求解例 6.33 求微分方程组的解。命令如下：[x,y]=dsolve('Dx=4*x-2*y','Dy=2*x-y','t') % 解方程组 (1)

[x,y]=dsolve('D2x-y','D2y+x','t') % 解方程组 (2)