第 第 6 6 章 線 性 轉 換章 線 性 轉 換 第 第 6 6 章 線 性 轉 換章 線 性 轉 換

線 性 代 數線 性 代 數

2

本章內容本章內容6.1 6.1 線性轉換線性轉換6.2 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形矩陣轉換、電腦繪圖與碎形6.3 6.3 核空間與值域核空間與值域6.4 6.4 線性轉換與線性方程式系統線性轉換與線性方程式系統6.5 6.5 座標向量座標向量6.6 6.6 線性轉換之矩陣形式線性轉換之矩陣形式

3

6.1 6.1 線性轉換線性轉換轉換轉換 (transformations)(transformations)

令令 U, VU, V 均為向量空間，均為向量空間， TT 為一個由為一個由 UU 至至 VV 的的轉換轉換 (( 或稱為映射或稱為映射 (mapping)(mapping) )) ，註記為，註記為 T: U T: U →V→V

UU 稱為稱為 TT 之之論域論域 (domain)(domain)

VV 則稱為則稱為 TT 之之對應論域對應論域 (codomain)(codomain)

uu 與與 vv 之關係可以寫成之關係可以寫成 T(u) = vT(u) = v

vv 稱為向量稱為向量 uu 在在 TT 之映射下的之映射下的像像 (image)(image)

所有的「像」所組成的集合則稱為所有的「像」所組成的集合則稱為 TT 的的值域值域(range)(range)

4

6.1 6.1 線性轉換線性轉換線性線性 (linear)(linear)

令令 u, vu, v 為為 RnRn 之向量、之向量、 cc 為純量，，若 為純量，，若 T(u + v) = T(u) + T(v)

T(cu) = cT(u)

則稱則稱 T: Rn → RmT: Rn → Rm 為線性為線性

5

6.1 6.1 線性轉換線性轉換例題例題 1: 1: 證明下列轉換證明下列轉換 T: RT: R22 → R → R22 為線性。 為線性。

T(x, y) = (x – y, 3x)T(x, y) = (x – y, 3x)解解 ::

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

( , ) ( , )) ( , )

( ,3( ))

( ,3 ) ( ,3 )

( ,3 ) ( ,3 )

( , ) ( , )

T c x y c x y T c x c x c y c y

c x c x c y c y c x c x

c x c y c x c x c y c x

c x y x c x y x

c T x y c T x y

T

（

故得證 為線性轉換

6

6.1 6.1 線性轉換線性轉換例題例題 2: 2: 試證明下列轉換試證明下列轉換 T: RT: R33 → R → R22 不是不是線性。 線性。 T(x, y, z) = (xy, z)T(x, y, z) = (xy, z)

解解 ::

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1

( , , ) ( , , )) ( , , )

(( ) , )

( , , ) ( , , ) ( ( ), ) (( ( ), )

( ( ) ( ), )

( , , )

T c x y z c x y z T c x c x c y c y c z c z

c x c x c y c y c z c z

c T x y z c T x y z c x y c z c x y c z

c x y c x y c z c z

T c x y z

（

（ 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2( , , )) ( , , ) ( , , )c x y z c T x y z c T x y z

T

故得證 不是線性轉換

7

6.1 6.1 線性轉換線性轉換例題例題 3:3: 試證明下列轉換試證明下列轉換 TT：： P2 →P1P2 →P1 為線為線性 性

T(ax2 + bx + c) = (a + b) x T(ax2 + bx + c) = (a + b) x + c+ c

解解 ::2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

2 21 1 1 1 2 2 2 2

( ) ( ))

( ) ( ) ( ))

) ( )

) ( )

( ) ( )

T k a x b x c k a x b x c

T k a k a x k b k b x k c k c

k a k a k b k b x k c k c

k a b x k c k a b x k c

k T a x b x c k T a x b x c

T

（

（（（

故得證 為線性轉換

8

6.1 6.1 線性轉換線性轉換例題例題 4:4:令令 DD 為微分運算（即為微分運算（即 D = D = ，，於此為較簡易之符號），於此為較簡易之符號）， DD 可以被視為將可以被視為將PnPn 映射至其本身的轉換映射至其本身的轉換 ,, 試證下式為線性試證下式為線性轉換轉換

解解 ::

3 2 2(4 3 2 1) 12 6 2D x x x x x

ddx

1 2 1 2( )D c f c g c Df c Dg

是線性轉換

9

6.1 6.1 線性轉換線性轉換矩陣轉換矩陣轉換 (matrix transformation)(matrix transformation)

令令 AA 為為 m × nm × n 之矩陣，之矩陣， xx 為以行向量表示之為以行向量表示之RnRn 元素，則定義如元素，則定義如 T(x) = AxT(x) = Ax 之轉換之轉換 T: Rn → T: Rn → RmRm 為線性。這樣的線性轉換稱為矩陣轉換。為線性。這樣的線性轉換稱為矩陣轉換。

10

6.1 6.1 線性轉換線性轉換例題例題 5: 5: 試求任意向量經試求任意向量經 TT 映射之像，並映射之像，並利用所得結果求取向量利用所得結果求取向量 xx 之像。之像。

解解 ::

1 15

0 2 1

1 3

A

x

1 1

0 2 2

1 3 3

x yx x

T yy y

x y

65

21

2

T

11

6.1 6.1 線性轉換線性轉換線性轉換之合成線性轉換之合成

T(u)=TT(u)=T22(T(T11(u)) (u)) 記為記為

例題例題 6:6: 試求轉換試求轉換 T1(x, y) = (3x, x + y)T1(x, y) = (3x, x + y)及及 T2(x, y) = (2x, –y)T2(x, y) = (2x, –y) 之合成轉換，並求之合成轉換，並求解解 (2, –3)(2, –3) 之像之像

解解 ::

2 1T T T

2 1

2 1

2

( , )

( ( , ))

(3 , )

(6 , )

T T x y

T T x y

T x x y

x x y

2 1(2, 3) (12, 1)T T

12

6.1 6.1 線性轉換線性轉換例題例題 7:7:令令 TT11(x) = A(x) = A11xx 及及 TT22(x) = A(x) = A22xx 為為由下列矩陣由下列矩陣 AA11及及 AA22 定義之矩陣轉換，且 定義之矩陣轉換，且 T = TT = T22。。 TT11 ，試求向量，試求向量 xx 經經 TT 映射之像。映射之像。

解解 : :

1 2

13 0 1 1 2

44 2 0 4 0

2

A A

x

15 4 1 23

( ) 412 0 4 4

2

T

x

2 1

1 2 3 0 1 5 4 1

4 0 4 2 0 12 0 4A A

13

6.2 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形矩陣轉換、電腦繪圖與碎形標準矩陣標準矩陣 (standard matrix)(standard matrix)

線性轉換線性轉換 TT 可以由下列矩陣定義可以由下列矩陣定義 A = [T(eA = [T(e11) ∙∙∙ T(e) ∙∙∙ T(enn)])]

稱矩陣稱矩陣 AA 為為 TT 之標準矩陣之標準矩陣

14

6.2 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形矩陣轉換、電腦繪圖與碎形例題例題 1:1: 試推導線性轉換之標準矩陣試推導線性轉換之標準矩陣

解解 ::

2

3

x x yT

y y

1 2 0 1,

0 0 1 3T T

2 1

0 3A

標準矩陣

2 1

0 3

x xT

y y

T可改為矩陣轉換

15

6.2 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形矩陣轉換、電腦繪圖與碎形放大與縮小轉換放大與縮小轉換

若若 r >1r >1 ，則，則 TT 將已知點推離原點，此時將已知點推離原點，此時 rr 稱稱為放大係數為放大係數 (dilation of factor)(dilation of factor)

若若 0 < r <10 < r <1 ，則，則 TT 將已知點拉近原點，此時將已知點拉近原點，此時rr 稱為收縮係數稱為收縮係數 (contraction of factor)(contraction of factor)

線對稱轉換線對稱轉換

x x

T ry y

x xT

y y

16

6.2 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形矩陣轉換、電腦繪圖與碎形例題例題 2: 2: 若有連續轉換描述如下：執行一個對若有連續轉換描述如下：執行一個對 xx軸的線對稱轉換，接著執行一個角度軸的線對稱轉換，接著執行一個角度 π/2π/2 的旋的旋轉轉換，最後再執行一個三倍的放大轉換，試轉轉換，最後再執行一個三倍的放大轉換，試求解此連續轉換之標準矩陣。並請求解點 求解此連續轉換之標準矩陣。並請求解點 經此連續轉換後之像經此連續轉換後之像解解 ::

4

1

3 0 cos( / 2) sin( / 2) 1 0(1)

0 3 sin / 2 cos( / 2) 0 1

3 0 0 1 1 0

0 3 1 0 0 1

0 3

3 0

(π )

0 3 4 3(2)

3 0 1 12

17

6.2 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形矩陣轉換、電腦繪圖與碎形例題例題 3: T: R3: T: Rn n → R→ Rnn, T(u) = Au, T(u) = Au ，試決定，試決定一單位正方形經過此轉換後之像一單位正方形經過此轉換後之像

解解 ::

轉換後的像為平行四邊轉換後的像為平行四邊形形

4 2

2 3A

1 4 1 6 0 2 0 0

0 2 1 5 1 3 0 0

P P Q Q R R O O

18

6.2 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形矩陣轉換、電腦繪圖與碎形正交轉換正交轉換

T(u) = Au 定義之 T: Rn→Rn轉換，其中矩陣 A為一正交矩陣。正交轉換保守範數、角度及距離，所以保守剛體的形狀，稱為剛體運動 (rigid motions) 。

u, v間之夾角 = T(u), T(v) 間之夾角d(P, Q) = d(R, S)

( )Tu u

19

6.2 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形矩陣轉換、電腦繪圖與碎形例題例題 4:4: 令令 TT 為由下列正交矩陣為由下列正交矩陣 AA 定義之正交定義之正交轉換，試證明轉換，試證明 VV 對向量對向量 u, vu, v 保守範數、角度及保守範數、角度及距離距離

解解 ::

1 1

2 21 1

2 2

2 3, ,

0 4A

u v

2 2 2 2

72 2

( ) , ( )122

: ( ) 2, ( ) 5

6 0 7 1 (0.6

2*5 2*5 ( )

72 3 27 1 2

: , (2 3) (0 4) 17 ( 2 ) ( 2 ) , 0 4 12 2 2

2

T A T A

T T

T

v T v

d d

u u v v

u u v v範數

u v T(u) v)角度cos :

u T(u)

距離

20

6.2 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形矩陣轉換、電腦繪圖與碎形平移平移 (translation)(translation)

T(u) = u + v

仿射轉換仿射轉換 (affine transformation)(affine transformation)T(u) = Au + v

同質座標同質座標 (homogeneous coordinates)(homogeneous coordinates)

1 0

0 1

0 0 1 1 1

h x x h

Tx k y y k

21

6.2 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形矩陣轉換、電腦繪圖與碎形

cos sin 0 1 0 0

sin cos 0 0 1 0

1 0 0 1 0 0 1

x

y A B

x R Re

點 旋轉 線對稱

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 1 0 0 1

r h

C r E k

D T

膨脹 / 收縮 平移

22

6.2 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形矩陣轉換、電腦繪圖與碎形例題例題 5: 5: 求求 y = 2x + 3y = 2x + 3 經過平移轉換後之經過平移轉換後之像。像。

解解 : :

2

1

x xT

y y

2 2 2

1 2 3 1 2 4

x x x x xT

y y x x y

23

6.2 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形矩陣轉換、電腦繪圖與碎形例題例題 6:6:(1)(1) 求以點求以點 P(h, k)P(h, k) 為中心為中心 ,, 旋轉旋轉 qq 角之轉換矩陣。角之轉換矩陣。(2)(2) 求以點求以點 P(5, 4)P(5, 4) 為中心為中心 ,, 旋轉角度旋轉角度 π/2π/2 之轉換矩陣。之轉換矩陣。(3)(3) 求頂點分為求頂點分為 A(1, 2), B(2, 8)A(1, 2), B(2, 8) 及及 C(3, 2)C(3, 2) 的三角形經的三角形經

此轉換後之像為何？此轉換後之像為何？解解 ::

(1)(1) 以以 PP 為中心之旋轉可以由順序執行下列三個為中心之旋轉可以由順序執行下列三個轉換達成：轉換達成：

一個平面上的平移一個平面上的平移 T1T1 ，將，將 PP 點移至原點點移至原點 OO

一個平面上以原點為中心旋轉 一個平面上以原點為中心旋轉 q q 角的旋轉角的旋轉 RR

一個平面上的平移一個平面上的平移 T2T2 ，將原點，將原點 OO 移回移回 PP 點點

24

6.2 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形矩陣轉換、電腦繪圖與碎形T1 R T2

1 0 cos sin 0 1 0

0 1 , sin cos 0 , 0 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1

h h

k k

2 1

1 1

1 0 cos sin 0 1 0

0 1 sin cos 0 0 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1 1

cos sin cos sin

sin cos sin cos

0 0 1

P

x x

R y T R T y

h h x

k k y

h k h

h k k

1

x

y

25

6.2 6.2 矩陣轉換、電腦繪圖與碎形矩陣轉換、電腦繪圖與碎形(2)(2)

(3)(3)

cos sin 5cos 4sin 52 2 2 2

sin cos 5sin 4cos 42 2 2 20 0 1

0 1 9

1 0 1

0 0 1

M

1 7 2 1 3 7

2 0 8 1 2 2

1 1 1 1 1 1

A A B B C C

成像為三角形

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6.3 6.3 核空間與值域核空間與值域線性轉換將一零向量映射至另一零向量線性轉換將一零向量映射至另一零向量

TT ：： U →VU →V 為一線性轉換，而與分別為為一線性轉換，而與分別為 U, VU, V之零向量，則之零向量，則 T(0T(0UU) = 0) = 0VV

核空間核空間 (kernel)(kernel)所有在向量空間所有在向量空間 UU 中，且其映射至中，且其映射至 VV 之像為之像為零向量的向量所組成的集合，稱為零向量的向量所組成的集合，稱為 TT 的核空間，的核空間，註記為 註記為 ker(T)ker(T) 。。

值域值域 (range)(range)所有在向量空間所有在向量空間 VV 中，且恰為中，且恰為 UU 中向量之像中向量之像(image)(image) 的向量所組成的集合，稱為的向量所組成的集合，稱為 TT 的值域，的值域，註記為 註記為 range(T)range(T) 。。

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6.3 6.3 核空間與值域核空間與值域例題 例題 1:1: 試求下列線性運算元之核空間及值試求下列線性運算元之核空間及值域 域 T(x, y, z) = (x, y, 0)T(x, y, z) = (x, y, 0)

解解 ::

T(x, y, z) = (x, y, 0)=(0,0,0)

x=0,y=0,z 不限 所以 ker(T) = {(0, 0, z)}

range(T) = {(x, y, 0)}

28

6.3 6.3 核空間與值域核空間與值域值域求法值域求法

令令 TT 為為 RRnn→R→Rmm 之線性轉換，且定義為之線性轉換，且定義為 T(u) = T(u) = AuAu ，則，則 TT 之值域由之值域由 AA 之行向量所生成。之行向量所生成。

證明證明 ::

T(u) = vu = a1e1 + … + anen

v = T(a1e1 + … + anen)

= a1T(e1) + … + anT(en)

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6.3 6.3 核空間與值域核空間與值域例題例題 2: 2: 試求下列矩陣所定義之線性轉換的試求下列矩陣所定義之線性轉換的核空間及值域 核空間及值域

解解 ::

1 2 3

0 1 1

1 1 4

A

1 1

2 2

3 3

( ) 0

1 2 3 0 5

0 1 1 0

1 1 4 0

ker( ) {( 5 , , )}

T x

x x r

x x r

x x r

T r r r

核空間:

,得

30

6.3 6.3 核空間與值域核空間與值域

1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1

2 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1

3 1 4 0 1 1 0 1 1 0 0 0

1 0

0 , 1 ( ) {( , , )}

1 1

range T s t s t

值域:由A之行向量所生成,所以先化簡成列簡梯形

基底 即

31

6.3 6.3 核空間與值域核空間與值域TT：： U →VU →V 為一線性轉換，則核空間之維為一線性轉換，則核空間之維度 度 + + 值域之維度 值域之維度 = = 論域之維度論域之維度 dim(ker(T)) + dim(range(T) )= dim(domain(T))dim(ker(T)) + dim(range(T) )= dim(domain(T))

例題例題 3: 3: 試求下列矩陣所定義之線性轉換試求下列矩陣所定義之線性轉換 TT 的核的核空間及值域之維度空間及值域之維度

解解 : :

可看出 rank(A) = 2,

所以 range(A)=2

ker(A)=3-2=1

1 0 3

0 1 5

0 0 0

A

32

6.3 6.3 核空間與值域核空間與值域一對一一對一 (one-to-one)(one-to-one) 轉換轉換

若線性轉換若線性轉換 TT 之值域中的每一個向量均僅由其之值域中的每一個向量均僅由其論域中之某單一向量對應轉換而成，則稱論域中之某單一向量對應轉換而成，則稱 TT 為為一對一一對一 (one-to-one)(one-to-one) 轉換轉換

一線性轉換一線性轉換 TT 為一對一轉換，若且唯若其核空為一對一轉換，若且唯若其核空間僅包含零向量。間僅包含零向量。

令令 TT 為定義如為定義如 T(x) = AxT(x) = Ax 的的 RnRnRnRn 線性轉換，線性轉換，則則 TT 為一對一轉換，若且唯若為一對一轉換，若且唯若 AA 不是奇異矩不是奇異矩陣。陣。

33

6.3 6.3 核空間與值域核空間與值域例題例題 4: 4: 試測試下列矩陣所定義之線性轉試測試下列矩陣所定義之線性轉換換 TATA與與 TBTB 是否為一對一轉換 是否為一對一轉換

解解 ::

(a)dim(kerT)=dim(domainT)-dim(rangeT)=4-3=1(a)dim(kerT)=dim(domainT)-dim(rangeT)=4-3=1

所以非所以非 11 對對 11

(b)dim(kerT)=3-3=0(b)dim(kerT)=3-3=0

所以是所以是 11 對對 11

1 2 5 7 2 0 1

0 1 9 8 ( ) 3 4 2

0 0 1 3 0 7 5

A B

(a) b

34

6.4 6.4 轉換與線性方程式系統轉換與線性方程式系統解集合子空間解集合子空間

一個具有 m 個方程式、 n 個未知數的線性齊次系統 Ax = 0 之解集合，為 Rn 之子空間。

例題 1: 求解下列線性齊次系統，說明此系統之解集合為一子空間

解 :

1 2 3

2 3

1 2 3

2 3 0

0

4 0

x x x

x x

x x x

13

2

3

1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 0 5 0

0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0

1 1 4 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

5

1

1

x

x r R

x

為 之子空間

35

6.4 6.4 轉換與線性方程式系統轉換與線性方程式系統令令 Ax = yAx = y 為一具有為一具有 mm 個方程式、個方程式、 nn 個未個未知數的線性非齊次系統，知數的線性非齊次系統， x1x1 為一特定解為一特定解，，而其他所有解均可寫成而其他所有解均可寫成 x = z + x1x = z + x1 之形式，之形式，其中其中 zz 為由矩陣為由矩陣 AA 定義之線性轉換定義之線性轉換 TT 的核的核空間之向量空間之向量

36

6.4 6.4 轉換與線性方程式系統轉換與線性方程式系統例題例題 2:2: 求解下列線性非齊次系統，並繪製求解下列線性非齊次系統，並繪製其解集合其解集合

解解 ::

1 2 3

2 3

1 2 3

2 3 11

2

4 9

x x x

x x

x x x

1 2 3 11 1 2 3 11 1 2 3 11 1 0 5 7

0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2

1 1 4 9 0 1 1 2 0 1 1 2 0 0 0 0

( 5r + 7, r + 2, r) = r(5, 1, 1) + (7, 2, 0) = +

解為 通解 特解

37

6.5 6.5 座標向量座標向量座標向量座標向量

U 是基底為 B = {u1,…,un} 之向量空間 , u 為 U之任意向量，存在有唯一的純量組 a1,…,an ，使得 u = a1u1 + … + anun

行向量 , 稱為 u 相對於該組基底之座標向量

1

n

n

a

a

u

38

6.5 6.5 座標向量座標向量例題例題 1:1: 試求解向量試求解向量 u =(4, 5) u =(4, 5) 相對於下相對於下列列 RR22 空間兩組基底空間兩組基底 BB 及及 B’B’ 座標向量座標向量(a)(a) 標準基底 標準基底 B ={(1, 0), (0, 1)}B ={(1, 0), (0, 1)}

(b) B’ = {(2, 1), (-1, 1)}(b) B’ = {(2, 1), (-1, 1)}

解解 ::(a) (4, 5) = 4(1, 0)+5(0, 1)

(b) (4,5)=3(2,1)+2(-1,1)

39

6.5 6.5 座標向量座標向量例題例題 2:2: 試求向量試求向量 u = 5xu = 5x22 + x + x 3 3 相對於相對於下列下列 PP22 空間兩組基底空間兩組基底 BB 及及 B’B’ 之座標向量之座標向量(a) (a) 標準基底 標準基底 B = {xB = {x22, x, 1}, x, 1}

(b) B’ = {x(b) B’ = {x22 – x + 5, 3x – x + 5, 3x22 – 1, 2x – 1, 2x22 + 4x – 2} + 4x – 2}

解解 ::

(a) (5,1,-3)=5(1,0,0)+1(0,1,0)-3(0,0,1)(a) (5,1,-3)=5(1,0,0)+1(0,1,0)-3(0,0,1)

(b) (5,1,-3)=2(1,-1,1)-(3,0,-1)+3(2,1,-2)(b) (5,1,-3)=2(1,-1,1)-(3,0,-1)+3(2,1,-2)

40

6.5 6.5 座標向量座標向量單範正交基底單範正交基底

B = {uB = {u11,…,u,…,unn}} 為向量空間為向量空間 UU 中之一組單範正中之一組單範正交基底，則交基底，則 UU 中任意向量中任意向量 vv 可表示成 可表示成

單範正交基底之座標向量可表示成單範正交基底之座標向量可表示成

(( 可想像是可想像是 VV 在各基底的投影在各基底的投影 ))

1 1 2 2( ) ( ) ( )n n v v u u v u u v u u

1

B

n

v u

v

v u

41

6.5 6.5 座標向量座標向量例題例題 3:3: 試求向量試求向量 v = (2, v = (2, 5, 10)5, 10) 相對於相對於下列單範正交基底下列單範正交基底 BB 之座標向量之座標向量

解解 ::

3 4 4 3{(1,0,0), (0, , ), (0, , )}

5 5 5 5B

(2, 5, 10) (1, 0, 0) 22

3 4(2, 5, 10) (0, , ) 5 5

5 510

4 3(2, 5, 10) (0, , ) 10

5 5

B

v

42

6.5 6.5 座標向量座標向量基底變換基底變換

令 令 B = {uB = {u11, …, u, …, unn} } 與 與 B’ = {uB’ = {u11’’, …, u, …, unn

’’}} 為向為向量空間量空間 UU 之兩組基底，若之兩組基底，若 uu 為為 UU 中向量，且中向量，且相對於相對於 BB 與與 B’B’ 之座標向量分為 之座標向量分為 uuBB 及及 uuB’B’ 則則

uuB’B’ = Pu = PuBB

其中其中 PP 為自基底為自基底 BB 至基底 至基底 B’B’ 之轉移矩陣：之轉移矩陣：

P = {(uP = {(u11))B’B’ … (u … (uBB))B’B’}}

43

6.5 6.5 座標向量座標向量例題例題 4:4: 考量考量 RR22 之基底之基底 B = {(1, 2), (3, B = {(1, 2), (3, 1)}1)}

及 及 ，若，若 uu 為使得 之為使得 之

向量，試求向量，試求 解解 ::

3

4Bu

(1, 2) = 1(1, 0) + 2(0, 1)

(3, -1) = 3(1, 0)-1(0, 1)

1 3

2 1

1 3 3 15' 2 1 4 2

P

B

u

' {(1,0), (0,1)}B

'Bu

44

6.5 6.5 座標向量座標向量轉移矩陣轉移矩陣

令令 BB 與 與 B’B’ 為向量空間為向量空間 UU 之兩組基底，而之兩組基底，而 PP為自為自 BB 至 至 B’B’ 之轉移矩陣，則之轉移矩陣，則 PP 為可逆，且 為可逆，且 PP-1-1 為自 為自 B’B’ 至 至 BB 之轉移矩陣。 之轉移矩陣。

45

6.5 6.5 座標向量座標向量例題例題 2: R2: R22 之基底之基底

，試求自，試求自 BB 至 至 B’B’ 之轉移矩陣，若 ，試之轉移矩陣，若 ，試求求

解解 : : 使用標準基底使用標準基底 s={(1,0),(0,1)}s={(1,0),(0,1)} 做中間基底做中間基底

21B

u

' '

1 3

2 1

3 5' ' ' '1 2

5' 1 ' 1( ) ( )4B B

B S S PB P

B S S P B P

u P S P Pu

'B = {(1, 2), (3, -1)} B = {(3, 1), (5, 2)} 及

'Bu

46

6.5 6.5 座標向量座標向量同構 同構 (isomorphism)(isomorphism)

若若 TT 為自為自 UU 一對一且映成映射至一對一且映成映射至 WW 之線性轉之線性轉換，則稱換，則稱 TT 為同構 為同構 (isomorphism)(isomorphism) ，而，而 UU 與與WW 則是互為同構的向量空間。 則是互為同構的向量空間。

47

6.6 6.6 線性轉換之矩陣形式線性轉換之矩陣形式例題例題 1:1: 考量由如下基底向量所定義之線性轉換 考量由如下基底向量所定義之線性轉換 T: RT: R33 → R → R22 ，試求 ，試求 T(1, -2, 3). T(1, -2, 3).

解解 ::

T(1, -2, 3) T(1(1, 0, 0)- 2(0, 1, 0) 3(0, 0, 1))

1T(1, 0, 0)- 2T(0, 1, 0) 3T(0, 0, 1)

1(3, -1) -2(2, 1) 3(3, 0)

(8,-3)

T(1, 0, 0) = (3, -1)

T(0, 1, 0) = (2, 1)

T(0, 0, 1) = (3, 0)

基底向量

48

6.6 6.6 線性轉換之矩陣形式線性轉換之矩陣形式例題例題 2:2:令 T： U V 為一線性轉換，而 T 相對於 U, V之基底 B = {u1, u2, u3} 及 B’ = {v1, v2} 之定義如下

試求 T 相對於這些基底之矩陣形式，並利用此矩陣求解向量 u = 3u1 + 2u2 u3 之像。

解 :1 2 3

32 3 1

2 3 ( ) 2 ( ) ( ) 3 2 1 2 4

1

32 3 1 11

21 2 4 5

1

T T u T u T u

1 1 2

2 1 2

3 1 2

T(u ) = 2v v

T(u ) = 3v + 2v

T(u ) = v 4v

基底向量

49

6.6 6.6 線性轉換之矩陣形式線性轉換之矩陣形式例題例題 3:3: 線性轉換線性轉換 TT：： RR33RR22，， T(x, y, z) = (x + y, 2z) T(x, y, z) = (x + y, 2z)

(a) (a) 求求 TT 相對於相對於 RR33, R, R22 之基底之基底 之矩陣形式，其中 之矩陣形式，其中

(b)(b) 利用該矩陣求向量利用該矩陣求向量 u = (2, 3, 5)u = (2, 3, 5) 之像之像解解 ::

' '1 1 2

' '2 1 2

' '3 1 2

T(u ) T(1, 1, 0) (2, 0) 2(1, 0) 0(0, 2) 2u 0u

T(u ) T(0, 1, 4) (1, 8) 1(1, 0) 4(0, 2) 1u 4u

T(u ) T(1, 2, 3) (3, 6) 3(1, 0) 3(0, 2) 3u 3u

2 1 3,

0 4 3A u u

化成以 1 2 3

1 2 3

, ,

(2, 3, 5) 3(1, 1, 0) (0, 1, 4) - (1, 2, 3) 3u 2u (- 1)u

32 1 3 5

20 4 3 5

1

( ) 5(1,0) 5(0,2) (5,10)

u u

u

A

T u

b a

為基底來表示

1

' '2 3 1 2{u , u , u }, {u , u }

' '1 2 3 1 2u = (1, 1, 0), u = (0, 1, 4), u = (1, 2, 3) ,u = (1, 0), u = (0, 2)

50

6.6 6.6 線性轉換之矩陣形式線性轉換之矩陣形式例題例題 4:4: 線性轉換線性轉換 TT：： PP22 P P11, T(ax, T(ax22 + bx + c) + bx + c) = (a + b)x = (a + b)x c, c,求求 TT 相對於相對於 PP22, P, P11 之基底 之基底 之矩陣形式之矩陣形式 ,, 並利用該矩陣求解向量並利用該矩陣求解向量u = 3xu = 3x22 + 2x – 1 + 2x – 1 之像。之像。

解解 ::

2 ' '1 2 3 1 2(u = x , u = x, u = 1 ,u = x, u = 1)

1

' '2 3 1 2{u , u , u }, {u , u }

2 ' '1 1 2

' '2 1 2

' '3 1 2

1 2 3

1 2 3

T(u ) T( ) 1u 0u

T(u ) T( ) 1u 0u

T(u ) T(1) -1 0u -1u

1 1 0, , ,

0 0 1

(3, 2, -1) 3(1, 0, 0) 2 (0, 1, 0) - (0, 0, 1) 3u 2u (- 1)u

1 1 0

0

x x

x x

A u u u u

u

A

b a

化成以 為基底來表示

' '1 2

35

20 1 1

1

( ) 5u 1u 5 1T u x

51

6.6 6.6 線性轉換之矩陣形式線性轉換之矩陣形式例題例題 5: 5: 令 為一微分運算元，令 為一微分運算元， DD 亦是亦是 PP22 的的一個線性運算元，試求一個線性運算元，試求 DD 相對於相對於 PP22 標準基底標準基底{x{x22, x, 1}, x, 1} 之矩陣形式。 之矩陣形式。

解解 ::

D ddx

2 2( ) 2 0 2 1(1)

2( ) 1 0 0 0(1)

2(1) 0 0 0 0(1)

0 0 0

2 0 0

0 1 0

0 0 0 02( ) 2 2 0 0 2

0 1 0

D x x x x

D x x x

D x x

A

a

D ax bx c ax b b a

c b

52

習題習題 ::綜合習題綜合習題

1,2,4,5,6,7,8,10,11,12,13,16,17,18,19,20,21,22,231,2,4,5,6,7,8,10,11,12,13,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,24,25

本 章 結 束 本 章 結 束 !!