по дисциплине...

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования "Тульский государственный университет"

Кафедра физики

Семин В.А., Семина С.М.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к практическии занятиям по дисциплине

ФИЗИКА

Электромагнетизм

Тула 2012

2

Методические указания к практическим занятиям по дисцип-лине "физика" "Электромагнетизм" составлены доц. Семиным В.А. и асс. Семиной С.М., обсуждены на заседании кафедры физики ЕНФ протокол № от " " 2012г. Зав. кафедрой физики ___________ Д.М. Левин

Методические указания пересмотрены и утверждены на засе-

дании кафедры физики ЕН факультета протокол № ___ от «____» ________ 200_ г.

Зав. кафедрой физики ___________ Д.М. Левин

3

1. Цели и задачи практических занятий: а) Изучение основных физических явлений и идей, овладение фунда-ментальными понятиями, законами и теориями современной и клас-сической физики, а также методами физического исследования. б) Формирование научного мировоззрения и современного физическо-го мышления. в) Овладение приемами и методами решения конкретных задач из различных областей физики. Объём и сроки выполнения данного вида работ соответствуют учебными планами студентов дневной формы обучения специально-стей 020000 естественные науки, 090900 информационная безопасность, 120000 геодезия и землеустройство, 130000 геология, разведка полез-ных ископаемых, 140000 энергетика, энергетическое машинострое-ние и электротехника, 150000 металлургия, машиностроение и ма-териалообработка, 160000 авиационная и ракетно-космическая тех-ника, 170000 оружие и системы вооружений, 190000 транспортные средства, 200000 приборостроение и оптотехника, 220000 автома-тика и управление, 230000 информатика и вычислительная техника, 240000 химическая и биотехнологии, 260000 технология продовольст-венных продуктов и потребительских товаров, 270000 строительст-во и архитектура, 280000 безопасность жизнедеятельности, приро-дообустройство и защита окружающей среды

2. План занятий.

1. Разбор вопросов студентов по домашнему заданию. 2. Решение типовых задач на доске. 3. Самостоятельное решение студентами некоторых задач на занятии и подведение итогов. 4. Формулировка домашнего задания.

3. Темы занятий.

1. Расчет напряжености электрического поля, созданного дискрет-ными и распределенными зарядами. 2. Расчет потенциала электрического поля, созданного дискретны-ми и распределенными зарядами. Расчет напряженности электриче-ского поля при известной функции потенциала (x,y).

4

3. Заряд, прошедший через поперечное сечение проводника. Закон Джоуля - Ленца. Законы Ома и правила Кирхгофа. 4. Контрольная работа по темам 1–3. 5. Расчет силы тока через поперечное сечение проводника. Закон Ома в локальной и интегральной форме. Теорема о циркуляции векто-ра магнитной индукции. 6. Суперпозиция магнитных полей. Виток с током в магнитном поле. Сила Лоренца. 7. Э.Д.С. индукции и самоиндукции. Электрические затухающие и вынужденные колебания. 8. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны. Вектор Пойн-тинга. 9. Контрольная работа по темам 5–8. 10. Дополнительная глава. Использование теоремы Гаусса в диф-ференциальной и интегральной формах.

4. Электронная версия http://physics.tsu.tula.ru/students/metodich_files/practich-elmag.pdf

5

Занятие 1 Расчет напряженности электрического поля, созданного дискрет-ными и распределенными зарядами.

Точечный заряд q создает вокруг себя электрическое поле с напряженностью

2 rkqE er

? ? , (1.1)

где 2

92

Н м9 10Кл

k , r – расстояние от заряда

до точки О, в которой исследуется поле, re? – единичный вектор, направленный по радиус-вектору r? от точечного заряда q до точки О.

Из (1.1) следует, что если заряд q положительный, то напряжен-ность электрического поля E

? направлена от точки О в ту же сторону,

что и вектор re? . В случае, если заряд q отрицательный, то вектор E?

направлен противоположно вектору re? . Если в пространство поместить два (или несколько) точечных электрических заряда (см. рис.1), то они будут создавать в точке О электрическое поле, напряженность которого резE

? можно найти с по-

мощью принципа суперпозиции полей, то есть векторно складывая на-пряженности полей 1E

? и 2E

?, создаваемые зарядами 1q и 2q в точке О

независимо друг от друга (метод параллелограмма). Таким образом

рез 1 2iE E E E ? ? ? ?

(1.2)

На рис.1 приведен пример с положительным зарядом 1q и отрица-тельным зарядом 2q . В точке О заряд 1q создает поле, модуль напря-

женности которого равен 11 2

1

kqEr

. Аналогично, заряд 2q в точке О

создает поле, модуль напряженности которого равен 22 2

2

kqEr

. Возводя

левую и правую части формулы (1.2) в квадрат, получим выражение

Рис. 1

6

2 2 2рез 1 2 1 22 cosE E E E E , где – угол между векторами 1E

? и 2E

?.

Таким образом модуль напряженности результирующего поля равен:

2 2рез 1 2 1 22 cosE E E E E (1.3)

Если в пространстве находится три и более электрических заряда, то формулу (1.2) проще всего записать в проекциях на оси декартовой системы координат:

рез 1 2 3 ...x x x xE E E E , рез 1 2 3 ...y y y yE E E E , (1.4) рез 1 2 3 ...z z z zE E E E .

Используя теорему Пифагора и формулы (1.4), можно найти мо-дуль напряженности результирующего поля:

рез рез рез

2 2 2рез x y zE E E E (1.5)

Пример задачи.

Заряды 1q = 1 мкКл и 2q =2 мкКл находятся на серединах соседних сторон квадрата со стороной b = 1 м и создают электрическое поле с на-пряженностью резE

? в точке Р, находящейся в вершине квадрата (см.

рис. 2). Найти величину горизонтальной и вертикальной проекции векто-ра резE

?, а также его модуль резE

?

Решение:

Проведем оси х и у вдоль двух сторон квадрата, а начало отсчета поместим в точку Р. Расстояния от зарядов 1q и 2q

до точки Р равны 1 0,52br м,

22

25 0,5 5

2 2br b b

м.

Можно найти косинус и синус угла : Рис. 2

7

2

2cos5

br

; 2 4 1sin 1 cos 15 5

Воспользуемся формулами (3.4) и (3.5), а затем и (3.7): 6 6

91 2рез 1 2 2 2 2 2

1 2

10 2 10 2cos cos 9 10 48,90,5 0,5 5 5x

kq kqE E Er r

кВ/м

9 62

рез 2 2 22

9 10 2 10 1sin sin0,5 5 5y

kqE Er

6,43 кВ/м

2 2 2 2рез рез рез 48,9 6,43 49,3x yE E E кВ/м

Модуль вектора резE?

можно найти с помощью формулы (3.3), не находя его проекции:

2 2

1 2 1 2рез 2 2 2 2

1 2 1 2

2 29 6

2 2 2 2

2 cos

1 2 1 2 29 10 10 2 49,3 кВ/м0,5 0,5 5 0,5 0,5 5 5

kq kq kq kqEr r r r

Ответ: рез 48,9xE кВ/м; рез yE 6,43 кВ/м; рез 49,3E ?

Электрическое поле часто создается не дискретными зарядами, а распределенны-ми в пространстве. В разных ситуациях можно встретить распределение заряда по объему, поверхности или по тонкой ли-нии, при этом вводятся плотности элек-трического заряда:

объемная – dqdV

, поверхностная – dqdS

, линейная – dqdl

,

где dq – элементарный заряд, который может быть распределен или по объему dV , или по поверхности dS , или на участке линии dl .

В любом из этих случаев необходимо разбить заряженную область на малые элементы и выразить их заряд через плотность, например dq dV для объемного распределения (см. рис.3). В этом случае применение принципа суперпозиции (1.2) для нахождения напряжен-

Рис.3

8

ности электрического поля E?

в векторной форме вызывает большие трудности из-за бесконечного числа элементарных зарядов dq, рас-пределенных в пространстве. В этом случае необходимо воспользо-ваться не векторным сложением вкладов полей dE

?, а сложением их

проекций : x xE dE , y yE dE (1.6)

и далее по формуле (1.5) найти результирующую напряженность.

Пример задачи

Заряд распределен по тонкому полукольцу радиуса R = 1 м с линейной плотностью

3

3

0

0

sin , 02

sin ,2

.

Определить проекцию на ось x напряженности электрического поля, создаваемого этим зарядом в центре полукольца, если 0 = 1 мкКл/м.

Решение:

Как видно из рис.4, проекция на ось х напряженности электрического поля, созданного элементарным зарядом dq dl в точке О равна:

cosxdE dE

Учитывая, что dl Rd , а cos sind d , получим

2 3 30 0

2 2 20 2

24 4 9 60 0 0

0 2

sin sincos cos cos

sin sin 9 10 101 1 4500 В/м4 4 4 2 2

xk kk dlE Rd Rd

r R R

k k kR R

Ответ: 4,5 кВ/м

Рис.4

9

Задачи для работы на практическом занятии.

1.1 Заряд 1q = 1 мкКл находится в вершине квадрата со стороной b =1 м, а заряд 2q =2 мкКл – в центре. Найти модуль напряженности электрического поля в точке Р, находящейся в другой вершине этого квадрата (см. рис.).


1.2 Заряды 1q = 1 мкКл и 2q = – 2 мкКл находятся в соседних вершинах квадрата со стороной b = 50 см. Найти величину горизонтальной проекции напряженно-сти электрического поля в точке Р, находящейся на се-редине противоположной стороны квадрата (см. рис.).


1.3 Вдоль стержня длины b = 80 см равномерно распределен заряд q = 4 мкКл. Найти величину напряженности электри-

ческого поля в точке A на продолжении стержня на расстоянии a = 20 см от его конца (см. рис.). Ответ: 180 кВ/м

1.4 Тонкий стержень заряжен нерав-номерно. Электрический заряд распределен по нему с линейной плотностью

2 , 0A x x b , где х - координата точ-ки на стержне, b =3 м – длина стержня, А = 2 мкКл/м3. Чему равна ве-личина напряженности электрического поля, создаваемого этим заря-дом в начале координат О, совпадающем с концом стержня?

Ответ: 54 кВ/м 1.5 Заряд распределен по тонкому кольцу радиуса R с линейной плотностью

2

2

0

0

sin , 2 2

sin , 2 3 2

.

Определить величины проекций напряженности электрического поля в центре кольца на оси x и у,проведенных по двум перпендику-лярным диаметрам, если R = 2 м, 0 = 5 мкКл/м.

Ответ: Еx = 30 кВ/м, Ey = 0

10

1.6э. Электрическое поле создано точеч-ными зарядами q1 и q2. Если q1 = +q, q2 = –q, а расстояние между зарядами и от q2 до точки С равно а, то вектор напряженности поля в точке

С ориентирован в направлении ... а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) равен 0

1.7э. Электрическое поле создано точеч-ными зарядами q1 и q2. Если q1 = +q, q2 = –q, точка С находится на расстоянии а от заряда

q1 и на расстоянии 2а от q2, то вектор напряженности поля в точке С ориентирован в направлении ...

а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) равен 0

Задачи для самостоятельной работы. 1.8с. Заряды 1q = 2 мкКл и 2q = 3 мкКл находятся в соседних вершинах квадрата со стороной b =1,5 м. Найти модуль напряженности электрического поля в точке Р, находящейся в центре квадрата (см. рис.).


1.9с. Заряд 1q = 4 мкКл находится в вершине квад-рата со стороной b = 60 см, а заряд 2q = – 3 мкКл – на середине стороны. Найти модуль напряженности элек-трического поля в точке Р, находящейся в центре квад-рата (см. рис.).


1.10с. Заряд 1q = 3 мкКл находится в вершине квадрата со стороной b = 90 см, а заряд 2q = – 1 мкКл – на середине стороны. Найти величину вертикальной проекции напряженности электрического поля в точке

Р, находящейся в противоположной вершине квадрата (см. рис.). Ответ: 7,81 кВ/м

11

1.11с. Вдоль стержня длины b = 40 см равномерно распределен заряд с ли-нейной плотностью = 250 нКл/м .

Найти величину напряженности электрического поля в точке A на продолжении стержня на расстоянии а =10 см от его конца (см. рис.).

Ответ: 18 кВ/м

1.12с. Тонкий стержень заряжен не-равномерно. Электрический заряд рас-пределен по нему с линейной плотностью

3 , 0A x x b , где х – координата точки на стержне, b = 4 м – длина стержня, А = 3 мкКл/м4. Чему равна величина напряженности электрического поля, создаваемого этим за-рядом в начале координат О, совпадающем с концом стержня?


1.13с. Заряд распределен по тонкому по-лукольцу радиуса R = 120 см с линейной

плотностью 2

2

0

0

cos , 0 2

cos , 2

.

Определить проекцию на ось x напряженно-сти электрического поля, создаваемого этим зарядом в центре полу-кольца, если 0 = 400 нКл.


1.14с. Заряд распределен по тонкому кольцу радиуса R = 30 см с линейной плотностью

4

4

0

0

sin , 2 2

sin , 2 3 2

.

Определить величину проекции на ось x напряженности электриче-ского поля, создаваемого этим зарядом в центре кольца, если, 0 = 3 мкКл/м.


12

Занятие 2.

Расчет потенциала электрического поля, созданного дискретными и распределенными зарядами. Расчет напряженности электриче-ского поля при известной функции потенциала (x, y).

Электростатическое поле точечного заряда характеризуется не только вектором напряженности E

? (см. (1.1)), но и потенциалом :

kqr

. (2.1)

Из (2.1) видно, что потенциал – это скалярная величина, которая может быть как положительная, так и отрицательная в зависимости от знака заряда. Используя принцип суперпозиции полей, можно найти потенциал результирующего электрического поля в заданной точке О как алгеб-раическую сумму потенциалов полей, созданных каждым зарядом не-зависимо друг от друга (см. рис. 1):

1 2рез 1 2

1 2

... ...ikq kqr r

(2.2)


Заряд 1q = 1,2 мкКл находится в вершине квадрата со стороной b = 2 м, а заряд 2q = – 5 мкКл– в центре. Найти потенциал электрического поля в точке Р, нахо-дящейся в другой вершине этого квадрата (см. рис.).

Решение:

Найдем из рисунка 1r = b = 2 м, 2 2r b = 1,41 м и подставим данные в формулу (2.2):

6691 2

рез1 2

5 101,2 109 10 26,52 1,41

kq kqr r

кВ

Ответ: рез = –26,5 кВ

13

Для рассчета потенциала электрического поля, созданного распределенным зарядом с известной функцией объемной, поверхностной или линейной плотности заряда, применим принцип суперпозии (2.2) в виде

kdqdr

(2.3)

– где r – расстояние от малого элемента с зарядом dq до точки О (см. рис.3), dq dV для объемного распределения, dq dS для рас-пределения по поверхности или dq dl для распределения по тон-кой линии.


Положительный заряд распределен по тон-кому полукольцу радиуса R = 1 м с линейной


0

, где 0 < < ,

0 = 1 мкКл/м. Определить потенциал, созда-ваемый этим зарядом в центре полукольца.

Решение: Выделим элемент dl = Rd на полуокружности и, учитывая, что расстояние от элемента до точки О равно r R , по формуле (2.3) рас-считаем потенциал в точке О:

2 3 9 60 0 0

20 0

9 10 .10 3,143 3 3L

k k kk dl Rdr R

= 9,42 кВ

Ответ: 9,42 кВ

14


Тонкий стержень заряжен не-равномерно. Электрический заряд распределен по нему с линейной


0xb

, где х – ко-

ордината точки на стержне, b = 1 м – длина стержня, 0 = 1 мкКл/м. Чему равна величина потенциала, создаваемого этим зарядом в начале координат О, совпадающем с концом стержня?

Решение:

Выделим элементарный заряд dq на стержне длиной dx на рас-стоянии х от начала координат О (см. рис.5). Учитывая, что r = x, а dq = dx, найдем по формуле (2.3) потенциал в точке О:

2

0 2 9 60 0

20 0

9 10 102 2 2

bb

L

xk dxk kk dl xb

r x b

= 4,5 кВ

Ответ: 4,5 кВ

Рассмотрим пробную частицу с электрическим зарядом 0q , нахо-дящуюся в электростатическом поле с напряженностью E

? и обла-

дающую потенциальной энергией W . Как известно, электростатиче-ское поле потенциально, следовательно работа поля по перемещению частицы равна убыли потенциальной энергии:

x y zdA F dr F dx F dy F dz dW ? ? (2.4)

Из (2.4) можно сделать выводы относительно проекций силы, дей-ствующей на частицу:

xWFx

, y

WFy

, z

WFz

, (2.5)

где ; ;W x W y W z – частные производные по х, у, z.

Рис.5

15

Представим силу в векторном виде:

gradx y zW W WF iF jF kF i j k Wx y z

? ?? ? ? ? ?. (2.6)

Градиент энергии взаимодействия частицы с полем gradW W ?

,

где – i j kx y z

?? ? ? – дифференциальный оператор "набла".

Разделим уравнение (2.6) на 0q и, учитывая, что 0

F Eq

?

?, а

0

Wq

,

получим связь между напряженностью электростатического поля E?

и электрическим потенциалом :

gradE i j kx y z

?? ? ?, (2.7)

где grad это вектор, направленный в сторону наибыстрейшего воз-растания потенциала.

Эквипотенциальной поверхностью называется поверхность в си-ловом поле, в каждой точке которой потенциал одинаков. Таким обра-зом, если частица 0q перемещается по эквипотенциальной поверхно-сти, то ее потенциальная энергия не изменяется, и работа над части-цей в этом случае не совершается. Из (2.4) следует, что сила, дейст-вующая на частицу перпендикулярна перемещению, а значит и экви-потенциальной поверхности. Из (2.7) можно сделать вывод, что напряженность E

? направлена

в сторону наибыстрейшего убывания потенциала перпендикулярно эквипотенциальной поверхности. Используя формулу (2.7) можно рассчитать проекции вектора E

?:

, ,x y zE E Ex y z

. (2.8)

Модуль вектора E?

можно найти по формуле: 2 2 2

x y zE E E E E ?

(2.9)

16


Потенциал электростатического поля зависит от координат по за-кону 10 10Ax y . Найти величину напряженности электрического по-ля в точке 0 0,P x y , если А = 2 В/м20, 0 1x м, 0 2y м.

Решение:

По формуле (2.8) рассчитаем проекции вектора напряженности E?

:

10 10 10 10 10 910xE Ax y Ay x Ay xx x x

,

10 10 10 10 10 910yE Ax y Ax y Ax yy y y

,

,0z

x yE

z

.

Подставляя значения координат 0 0,x x y y , получаем: 10 910 2 2 1 20480xE В/м, 10 910 2 1 2 10240yE В/м

Результат подставляем в (2.9):

2 22 2 2 20480 10240 0 22897x y zE E E E В/м

Ответ: Е = 22,9 кВ/м


Потенциал электростатического поля зависит от координат по зако-ну 10 15Ax By . Найти модуль напряженности электрического поля в точке 0 0,P x y , если А = 2 В/м10, В = 3 В/м15, 0 1x м, 0 2y м.

Решение:

10 15 10 910xE Ax By A x Axx x

,

10 15 15 1415yE Ax By B y Byy y

, , 0zE x yz

.

17

Подставляя значения координат 0 0,x x y y , получаем: 910 2 1 20xE В/м, 1415 3 2 737280yE В/м

Результат подставляем в (2.9):

2 22 2 2 20 737280 0 737280x y zE E E E В/м

Ответ: Е = 737 кВ/м


2.1 Заряд 1q = 1 мкКл находится в вершине квад-рата со стороной b = 20 см, а заряд 2q = 2 мкКл – на середине стороны. Найти потенциал электрического поля в точке Р, находящейся на середине противопо-

ложной стороны квадрата (см. рис.). Ответ: 130 кВ

2.2 Заряд 1q = 2 мкКл находится в вершине квадра-та со стороной b = 40 см, а заряд 2q = –3 мкКл – на се-редине стороны. Найти потенциал электрического поля в точке Р, находящейся на середине стороны квадрата (см. рис.). Ответ: – 55,2 кВ

2.3 Вдоль стержня длины b = 40 см рав-номерно распределен заряд q = 2 мкКл. Найти потенциал в точке A на продолжении стержня

на расстоянии a = 60 см от его конца (см. рис.). Ответ: 22,0 кВ

2.4 Положительный заряд распределен по тон-кому полукольцу радиуса R = 50 см с линейной

плотностью 0 exp , 02

,

0 = 2 мкКл/м. Определить потенциал, создаваемый этим зарядом в центре полукольца. Ответ: 11,7 кВ 2.5 Потенциал электростатического поля зависит от координат по закону 5 2Ax y , где А = 4 В/м7. Найти величину напряженности электрического поля в точке 0 01 , 2P x м y м . Ответ: 81,6 В/м.

18

2.6 Потенциал электростатического поля зависит от координат по закону 4 3Ax By , где А = 2 В/м4, В = 3 В/м3. Найти величину на-пряженности электрического поля в точке 0 02 , 3P x м y м .

Ответ: 103 В/м

2.7 Потенциал электростатического поля зависит от координат по закону sin sinAx B Cy . Найти величину напряженности элек-

трического поля в точке 0 0,P x y . A 2 рад/м, B 3 В, C 4 рад/м,

0 1x м, 0 2y м. Ответ: 1,9 В/м 2.8э. На рисунке показаны эквипотенциаль-

ные линии системы зарядов и значения потен-циала на них. Вектор напряженности электриче-ского поля в точке А ориентирован в направле-нии...

а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; 2.9э. В некоторой области пространства создано

электростатическое поле, вектор напряженности кото-рого в точке Р(x1,y1) направлен вдоль оси х. Какая за-висимость потенциала электрического поля от коорди-нат ,x y может соответствовать такому направле-нию напряженности? 1) 2xy 2) 23y 3) 23x 4) 44x 2.10э. На металлический шар поместили положительный заряд Q. За-висимость потенциала электрического поля от расстояния до центра шара будет описываться графиком...

а) б) в) г)

19

2.11э. Две бесконечные параллельные пластинки равномерно за-ряжены равными по величине и разноименными по знаку поверхност-ными плотностями заряда. Если ось Х направить перпендикулярно пластинкам, то зависимость величины напряженности электрического поля в зависимости от х будет представлена графиком...

а) б) в) г)

2.12э. Потенциал электрического поля зависит от ко-ординаты х, как показано на рисунке. Какой рисунок пра-вильно отражает зависимость проекции напряженности электрического поля от координаты х?

а) б) в) г)

Задачи для самостоятельной работы.

2.13с. Заряды 1q = 2 мкКл и 2q = 3 мкКл находятся в соседних вершинах квадрата со стороной b = 20 см. Найти потенциал электрического поля в точке Р, деля-щей сторону квадрата на два равных отрезка (см. рис.).

Ответ: 350 кВ

2.14с. Заряд 1q = 4 мкКл находится в вершине квад-рата со стороной b = 40 см, а заряд 2q = – 5 мкКл – на середине стороны. Найти потенциал электрического по-ля в точке Р, находящейся в противоположной вершине

квадрата (см. рис.). Ответ: – 37,0 кВ

2.15с. Вдоль стержня длины b = 80 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью 2 мкКл/м. Найти потенциал в

точке A на продолжении стержня на расстоянии a = 20 см от его кон-ца (см. рис.). Ответ: 29,0 кВ

20

2.16с Тонкий стержень заряжен неравно-мерно. Электрический заряд распределен по не-му с линейной плотностью 5

0 , 0x x b , где х - координата точки на стержне, b = 2 м – длина стержня. Чему равна величина потенциала, создаваемого этим зарядом в начале ко-ординат О, совпадающем с концом стержня, если 0 = 10 мкКл/м6?

Ответ: 576 кВ

2.17с Положительный заряд распределен по тонкому полукольцу радиуса R = 50 см с линейной плотностью 2

0 sin , 0 . Определить потенциал, создаваемый этим зарядом в центре по-

лукольца, если 0 = 1 мкКл/м. Ответ: 14,1 кВ

2.18с. Потенциал электростатического поля зависит от координат по закону 3 45 6x y (В). Найти величину напряженности электри-ческого поля в точке 0 0,P x y 0x 3 м, 0y 2 м. Ответ: 235 В/м

2.19с. Потенциал электростатического поля зависит от координат по закону exp cosA Bx C Dy . Найти величину напряженности

электрического поля в точке 0 0,P x y . 1A В, 2B м–1, 3C В,

4D рад/м, 0 1x м, 0 2y м. Ответ: 19,0 В/м;

2.20с. В некоторой области пространства создано электростатическое поле, вектор напряженности которо-го в точке Р(x1,y1) направлен под некоторым углом к оси х (см. рис.). Какая зависимость потенциала электрическо-го поля от координат ,x y может соответствовать та-кому направлению напряженности? 1) 34y 2) 23xy 3) 2 25 3x y 4) 22x

2.21с. Электрон перемещается в кулоновском поле за-ряженной частицы из точки А в точку В в одном случае по траектории 1, в другом случае по траектории 2. Как соот-носятся величины работ, совершаемых электрическим по-лем над электроном, в этих двух случаях? а) 1 2A A ; б) 1 2A A ; в) 1 2 0A A ; г) 1 2 0A A

21

Занятие 3. Заряд, прошедший через поперечное сечение проводника. Закон Джоуля - Ленца. Законы Ома и правила Кирхгофа.

Сила тока определяется, как заряд, протекающий через попереч-ное сечение провода за единицу времени, т.е.

dqIdt

. (3.1)

Если известна зависимость силы тока I t , то из (3.1) можно вы-разить заряд, протекающий за малый промежуток времени:

dq Idt , (3.2)

и за любой промежуток времени

1

0

t

t

q Idt (3.3)

При перемещении электрического заряда q из точки 1 в точку 2 электрическое поле со-вершает работу

A q , (3.4)

где 2 1 – разность потенциалов. В законе Ома используют другую величину – напряжение или па-дение напряжения: 1 2U . Таким образом (3.4) мож-но переписать в другом виде: A qU . Для малого промежутка времени, используя (3.2), преобразуем (3.4) следующим образом:

dA dqU IdtU IUdt Pdt , (3.5) где P IU – электрическая мощность. Используя закон Ома для однородного участка цепи U IR , и подставляя его в (3.5), получим закон Джоуля-Ленца:

2dQ dA I Rdt или 2

1

2t

t

Q I Rdt (3.6)

В формуле (3.6) учтено то обстоятельство, что работа электрического поля, совершенная над электрическими зарядами, не приводит к уве-личению их кинетической энергии, а выделяется в виде тепла dQ .

22


По проводу сопротивлением 1R = 20 Ом течет переменный элек-трический ток. Сила тока изменяется по закону 105I t (А). Чему рав-но количество тепла, выделившееся в проводе, и количество электри-чества, прошедшее через сечение провода за промежуток времени от

0 0t до 1t = 2 с?

Решение:

Подставим функцию силы тока от времени в формулу (3.3) и (3.6): 11 11 11

10

0 0

25 5 5 93111 11

tt tq t dt Кл.

112 c21 21

2 20 711

0 0

25 25 20 25 4,99 1021 21

tt R tQ t R dt

Дж = 49,9 МДж


По проводу сопротивлением 1R = 30 Ом течет переменный элек-трический ток. Сила тока изменяется по закону sinI A t ,

где А = 4 А/с, 2

рад/с. Чему равно количество теплоты, выделив-

шейся в проводе, и количество электричества, прошедшее по проводу за промежуток времени от 0 0t до 1t = 0,5 с?

Решение: Подставим функцию силы тока от времени в формулу (3.3) и (3.6):

11 1 22 2 2 1

1 10 0 0

2

1 cos2 sin 2sin2 2 2

4 30 sin 0,50,5 43,6 Дж2

tt t A Rt tQ A t R dt A R dt t

11

00

cos cos0,5 cos0 8sin 4 2,552

tt tq A t dt A

Кл.

23

Электрическая схема всегда содержит множество элементов, таких как резисто-ры, конденсаторы, источники тока, катуш-ки индуктивности. Эти элементы связаны соединительными проводами. В сложной схеме всегда есть узлы и контуры. Узлы – это точки, в которой соединя-ются три и более проводов. На рис.6 узла-ми будут точки А и В.

Контур – это замкнутая линия, проведенная вдоль соединитель-ных проводов так, что нигде не пересекает саму себя. На рис.6 изо-бражены два контура I и II. Обход вдоль этих контуров здесь выбран по часовой стрелке (в общем случае можно выбрать произвольно). Обычно известны характеристики всех элементов, входящих в схему, т.е. сопротивления резисторов, Э.Д.С. источников тока и т.д. Рассчитать схему – значит найти все токи, текущие по разным цепям. В этом могут помочь правила Кирхгофа.

1-е правило Кирхгофа: 0iI , (3.7)

или алгебраическая сумма всех сил токов, сходящихся в узле, равна 0. Токи, втекающие в узел берутся со знаком "–", а токи вытекающие из узла – со знаком "+". Таким образом для узла В на рис.6 можно за-писать 2 3 1 0I I I . (3.8)

2-е правило Кирхгофа: i i iI R E , (3.9)

– алгебраическая сумма падений напряжений на каждом элементе контура равна алгебраической сумме э.д.с. в этом контуре. Падение напряжения на сопротивлении считается положительным, если направление тока через это сопротивление совпадает с направле-нием обхода контура, выбранного произвольно. Э.Д.С. считается положительной, если при обходе контура осуще-ствляется переход через источник от "–" (меньший отрезок) к "+" (больший отрезок). Запишем формулу (9.3) для двух контуров:

Контур I: 1 1 2 2 1I R I R E (3.10) Контур II: 3 3 2 2 2I R I R E (3.11)

Рис.6

24

Таким образом, чтобы рассчитать схему, т.е. найти токи 1I , 2I и

3I , надо решить систему уравнений (3.8), (3.10), (3.11). Если известны некоторые токи, то расчет схемы упрощается, и можно иногда обойтись решением всего одного уравнения.


Найти Э.Д.С. 1E , если

1 4R Ом, 2 6R Ом, 3 3R Ом,

2 1E В, 3 4E В,

1 3I А, 2 2I А. Внутренними сопротивлениями источни-ков тока пренебречь.

Решение:

Запишем формулу (9.3) для контура I (см. рис.7). 1 1 2 2 3 1 2I R I R E E E И выразим отсюда 1E :

1 1 1 2 2 3 2E I R I R E E =34 + 26 – 4 + 1 = 21 В Ответ: 1E = 21 B


3.1 По проводу сопротивлением 1R = 2 Ом течет переменный

электрический ток. Сила тока изменяется по закону 3I A t , где А =

2 А/с3/2. Чему равно количество теплоты, выделившейся в проводе, и количество электричества, прошедшее по проводу за время t = 2 c? Ответ: Q = 16 Дж; q = 3,2 Кл 3.2 По проводу сопротивлением 1R = 3 Ом течет переменный электрический ток. Сила тока изменяется по закону expI A Bt , где А = 5 А, В = 0,5 с–1. Чему равно количество теплоты, выделившей-ся в проводе за время 1t = 2 с, а также заряд, прошедший по проводу за это же время?

Ответ: Q = 64,8 Дж; q = 6,32 Кл

Рис.7

25

3.3 По проводу сопротивлением 1R = 3 Ом течет переменный элек-трический ток. Сила тока изменяется по гармоническому закону

cosI A t , где А = 4 А, = /3 с–1. Чему равно количество теплоты, выделившейся в проводе за половину периода, а также заряд, про-шедший по проводу за это же время?

Ответы: Q = 72 Дж; q = 0 Кл

3.4. Через сопротивление R = 5 Ом начинает течь ток, возрастаю-щий со временем по закону 2I At . Какое тепло выделится на со-противлении к моменту t = 5 с, если за это время через сопротивление протечёт заряд q = 5 Кл? Ответ: 45 Дж

3.5 В схемезаданы, 1 1R Ом, 2 2R Ом,

3 3R Ом, 4 4R Ом, 1 2E В, 2 1I А,

3 2I А. Внутренние сопротивления источни-ков тока пренебрежимо малы. Найти: 1) величины и направления сил токов 1I ,

4I и 5I , протекающих через резисторы 1R , 4R и 5R соответственно; 2) величину э.д.с. Е2. Отв.: 1I 1 А (влево); 4I 1,5 А (вниз); 5I 3,5 А (вверх); Е2 = 1 В.

3.6э. На рисунке представлена часть элек-трической схемы, для которой известны только некоторые параметры: 3 1R Ом, 2 4R Ом, а источники имеют одинаковые внутренние со-противления. Потенциалы 2 2 В, 3 5 В, а сила тока через сопротивление 3R равна

3 1I А. Чему равна сила тока через сопротивление 2R ? а) 1,0 А; б) 0,6 А; в) 0,5 А; г) нельзя рассчитать, т.к. не хватает данных

3.7. В схеме заданы ЭДС Е1 = 21 В и Е2 = 7 В, сопротивления r 1 = 1 Ом, r 2 = 2 Ом, R 1 = 5 Ом, R

2 = 3 Ом, R = 5 Ом. Найти тепловую мощность, выделяющуюся на сопротивлении R. Ответ: 2,74 Вт.

26

3.8э. Напряженность электрического поля в проводнике увеличи-ли в 2 раза. Как изменилась удельная тепловая мощность (тепло, вы-деляющееся за единицу времени в единице объема)? а) увеличилась в 2 раза; б) увеличилась в 4 раза; в) увеличилась в 8 раз; г) уменьшилась в 2 раза.

3.9э. Сила тока, текущего по проводнику, ме-няется во времени, как показано на рисунке. Ка-кой заряд протечет сквозь поперечное сечение проводника в промежуток времени

от t1 = 1 c до t2 = 3 c?

а) 7 Кл; б) 12 Кл; в) 10,5 Кл; г) 1,5 Кл.

3.10э. Реостат сопротивлением 10 Ом подключен к источнику тока с внутренним сопротивлением 1 Ом, как показано на рисунке. Если движок реостата перемещать из крайнего правого положения влево, то мощность тока в реостате будет …

а) сначала увеличиваться, а затем уменьшаться б) сначала уменьшаться, а затем увеличиваться в) непрерывно увеличиваться г) непрерывно уменьшаться


3.11э. Реостат сопротивлением 0,5 Ом подключен к источнику тока с внутренним сопротивлением 1 Ом, как показано на рисунке. Если движок реостата перемещать из крайнего правого положения влево, то мощность тока в реостате будет …

а) сначала увеличиваться, а затем уменьшаться б) сначала уменьшаться, а затем увеличиваться в) непрерывно увеличиваться г) непрерывно уменьшаться

3.12с. По проводу сопротивлением 1R = 25 Ом течет переменный электрический ток. Сила тока изменяется по закону sinI A t , где = 40 с–1. Чему равно количество электричества, прошедшее за по-ловину периода, если за это время в проводе выделилось 5 Дж тепла?

Ответ: 63,7 мКл

27

3.13с. По проводу сопротивлением 1R = 12 Ом течет переменный электрический ток. Сила тока изменяется по закону expI A Bt , где В = 0,01 с–1. Сколько тепла выделится в проводе за две секунды, если за это время по проводу прошел заряд 5 Кл?

Ответ: 150 Дж

3.14с. В схеме даны 1 2R Ом, 3 3R Ом,

4 5 4R R Ом, 1 1E В, 2 4E В, 1 2I А,

2 3I А. Внутренние сопротивления источни-ков тока пренебрежимо малы. Найти сопротивление 2R , направления и си-лы токов через резисторы 3R , 4R , 5R и через

источник 2E . Чему равна эдс 3E ? Ответы: 0,33 Ом, 3I = 1 А (вправо), 4I = 0,75 А (вниз),

5I = 1,75 А (вверх), 6I = 3,75 А (вниз), 3E = 14 В

3.15э. На рисунке представлена часть элек-трической схемы, для которой известны только некоторые параметры: 1 4R Ом, 2 1R Ом, а ис-точник 1 5 В и имеет нулевое внутреннее со-противление. Потенциалы 1 8 В, 2 2 В, а си-ла тока через сопротивление 1R равна 1 1I А. Чему равна сила тока через сопротивление 2R ?

а) 7 А б) 5 А в) 3 А г) нельзя рассчитать, т.к. не хватает данных

28

Занятие 4.

Расчет силы тока через поперечное сечение проводника. Закон Ома в локальной и интегральной форме.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

Плотность тока равна силе тока, протекающего сквозь единич-ную площадку, расположенную перпендикулярно линиям тока:

dIjdS

. (4.1)

Зная распределение плотности тока в пространстве, можно расчи-тать полный ток сквозь произвольную поверхность S :

cosS S

I j dS j dS ??

, (4.2)

где вектор dS dS n ? ? , а n? – это единичный вектор нормали к пло-

щадке dS ; – угол между векторами j?

и n? . Если проводник сделан в виде тонкой по-лосы, и известна линейная плотность тока i, то полный ток можно найти по формуле:

I i x dx , (4.3)

где dx – ширина полоски, вдоль которой течет ток dI Закон ома в локальной форме утверждает, что плотность тока

пропорциональна напряженности электрического поля E?

, создающе-го этот ток:

j E ??

, (4.4) где – удельная проводимость вещества, проводящего ток.

Обратная величина удельной проводимости называется удельным сопротивлением:

1

. (4.5)

Из (2.8) в случае однородного электрического поля в куске провода длиной l следует:

U E x E l . (4.6)

29

Преобразуя (4.3) можно вывести закон Ома для однородного уча-стка цепи:

S Uj S E l I

l R

, (4.7)

где lRS

(4.8)

– сопротивление участка длины l с поперечным сечением S .


По неоднородному цилиндрическому проводу ра-диуса R = 2 мм течет ток. Найдите силу тока, проте-кающего через поперечное сечение проводника, ес-

ли зависимость плотности тока от расстояния r до оси задается фор-

мулой 20

0rj r jR

, где 0j 1 А/мм2.

Решение: Разобъем поперечное сечение проводника (круг радиуса R) на кольца радиуса r и шириной dr (см. рис.8). Площадь такого кольца равна 2dS rdr , а угол между j

? и dS

? равен 0. Используя формулу

(4.2), найдем полный ток, протекающий через все поперечное сечение проводника:

20 22221

20 200 0 0

0 0 00

2 22 1,14

22 11

RR Rj j j Rr rI j rdr r AR R R

Ответ: I = 1,14 A

Пример задачи По неоднородному проводу квадратного сечения b b течет ток. Найдите силу тока, протекающего через поперечное сечение проводника, если плот-ность тока зависит от расстояния x от одной из бо-

ковых граней по закону 99

0xj x jb

, где 0j 2 А/мм2; b = 5 мм.

Рис.8

30

Решение: Разобъем поперечное сечение проводника (квадрат b b ) на узкие полоски шириной dx и вы-сотой b (см. рис.9). Площадь такой полоски равна dS bdx а угол между j

? и dS

? равен 0. Исполь-

зуя формулу (4.2), найдем полный ток, протекаю-щий через все поперечное сечение проводника:

99 210099

98 980 0 0

0 0 00 100 100

bb bj j j bx xI j bdx x dxb b b

Ответ: I = 0,5 A

Пример задачи Вдоль средней линии проводящей полосы шириной 2b течет ток. Найдите силу тока, протекающего по всей полосе, если линейная плотность тока зависит от расстояния x до средней линии по закону

199

0xi x ib

, где 0i 2 А/мм; b = 4 мм.

Решение: Выделим на плоскости параллельно средней линии на расстоянии х

узкую полоску шириной dx (см. рис.10). Используя формулу (4.3) най-

дем полный ток: 199 199 200

199 1990 0

0 00 0

22

200 100

bb b

b

i i bx x xI i dx i dxb b b

Ответ: I = 0,08 А

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции:

0 iГ

Bdl I ??

? (4.9)

– циркуляция по замкнутому контуру вектора ин-дукции магнитного поля равна алгебраической сумме сил токов, пронизывающих поверхность S, ограниченную контуром, умноженной на магнит-ную постоянную 7

0 4 10 Гн/м. Cила тока

Рис.9

Рис.10

31

считается положительной, если направление тока в точке пересечения с поверхностью S совпадает с направлением положительной нормали к поверхности в этой точке, и отрицательный, если направление тока противоположно направлению этой нормали. Положительная нормаль определяется по правилу правого винта по отношению к направлению обхода Г (см. рис.).

Если один из токов охватывается контуром N раз, то в формуле (4.9) такой ток будет складываться N раз.


По цилиндрическому проводнику радиуса R = 2 мм течёт ток, плот-ность которого меняется с расстоянием r от оси проводника по закону

20 expj j Br , где B 1 мм–2 0j = 3 А/мм2. Найти индукцию маг-

нитного поля в точке, находящейся на расстоянии 1 2r R от оси про-водника.

Решение: Выделим замкнутый контур Г, совпадающий с линией индукции магнитного поля в виде окружности радиуса 2R , ось которой совпадает с осью провод-ника. Разделим сечение этого контура на полоски ра-диуса r , шириной dr и площадью 2dS rdr и най-дем суммарный ток, пронизывающий этот контур:

22 2 2

0 00

2 20 2 10

0

exp 2 exp

exp 31 exp 4 1 5,951

R

R

I jdS j Br rdr j Br d r

j Br j BR e AB B

Циркуляция вектора B?

по этому контуру равна 12Bdl B r B R ??

?

Из формулы (4.9) следует, что 2

00 1 exp

4j BRB RB

и

32

2 7 2

1 70 0-2

4 10 3А/мм1 exp 1 11,9 104 2 мм 1мм

j BRB eRB

Тл.

Ответ: 1,19 мкТл


4.1. По неоднородному цилиндрическому прово-ду радиуса R = 2 мм течет ток. Найдите силу тока, протекающего через поперечное сечение проводни-

ка, если плотность тока зависит от расстояния r до оси по закону : а) 2

0j r j r R , где 0j 1,5 А/мм2;

б) 20 expj r j Br , где j0 = 4 А/мм2, В= 0,01 мм–2.

Ответ: а) 9,42 А; б) 49,2 А.

4.2. По неоднородному проводу квадратного сечения b b течет ток. Найдите силу тока, про-текающего через поперечное сечение проводни-ка, если плотность тока зависит от расстояния x от одной из боковых граней по закону:

а) 5

0xj x jb

, где 0j 3 А/мм2; b = 4 мм.

б) 0 sin xj x jb

, где 0j = 2 А/мм2, b 5 мм.

Ответы: а) 8 А; б) 31,8 А

4.3. Вдоль средней линии проводящей поло-сы шириной 2b = 6 мм течет ток. Найдите силу тока, протекающего по всей полосе, если линей-ная плотность тока зависит от расстояния x до средней линии по закону:

а) 3

0xi x ib

, где 0i 2 А/мм; б) 0 cos2

xi x ib

, где 0i А/мм.

Ответы: а) 3 А; б) 12 А.

33

4.4э. По двум однородным цилиндрам, изго-товленным из одинакового материала, течет по-стоянный ток. Что можно сказать о соотноше-

нии между величинами плотностей тока в цилинде А и в цилиндре В? а) Исходя из рисунка, нельзя сказать определенно. Надо знать точное соотношение между длиной и площадью цилиндра. б) A Bj j в) A Bj j г) A Bj j

4.5э. Два однородных цилиндра из одинакового материала подключены параллельно к источнику постоянного напряжения. Что можно сказать о со-отношении между величинами напряженностей электрического поля в цилиндре А и в цилиндре В?

а) A BE E б) A BE E в) A BE E г) Исходя из рисунка, нельзя сказать определенно. Надо знать точное соотношение между длиной и площадью цилиндра.

4.6э В некоторой замкнутой цепи суще-ствует участок, состоящий из двух резисто-ров, соединенных последовательно. В точках

соединения резисторов А и В известны потенциалы 1 и 2 (см. рис.). Потенциал 3 в точке С равен... а) 6 В б) 0 В в) 7,5 В г) -1,5 В

4.7э В некоторой замкнутой цепи существует участок, состоящий из трех резисторов, соединенных после-довательно. В точках соединения резисторов А и С известны потен-циалы A и C (см. рис.). На участке АС выделяется тепловая мощ-ность, равная... а) 20 Вт б) 36 Вт в) 28 Вт г) 14 Вт

4.8. По цилиндрическому проводнику радиуса R течёт ток, плот-ность которого меняется с расстоянием r от оси проводника по закону

0rj jR

, где 0j = const. Найти отношение индукций магнитного поля

в точках, находящихся на расстояниях 1 2r R и 2 2r R от оси про-водника. Ответ: 1 2 2B B .

34

4.9. По длинным проводам различной конфигурации текут разные токи. 1I 1 А, 2I 2 А, 3I 3 А, 4I 4 А, 5I 5 А. Найдите циркуля-цию вектора индукции магнитного поля, созданного этими токами, по замкнутому контуру Г.

а) б) в) ;

г) Ответы: а) – 17,6 мкТлм ; б-в-г) 2,51 мкТлм;

Задачи для самостоятельной работы. 4.10c. По неоднородному цилиндрическому про-

воду радиуса R = 3 мм течет ток. Найдите силу тока, протекающего через поперечное сечение проводни-

ка, если плотность тока зависит от расстояния r до оси по закону а) 5

0j r j r R , где 0j 1,4 А/мм2;

б) 20 sinj r j Br , где j0 = 3 А/мм2, В= 0,01 мм–2.

Ответ: а) 11,3 А; б) 3,81 А.

4.11c. По неоднородному проводу квадратно-го сечения b b течет ток. Найдите силу тока, протекающего через поперечное сечение про-водника, если плотность тока зависит от рас-стояния x от одной из боковых граней по закону:

а) 0xj x jb

, где 0j 2 А/мм2; b = 3 мм.

б) 0 exp xj x jb

, где 0j = 4 А/мм2, b 2 мм.

Ответы: а) 12 А; б) 10,1 А

35

4.12c. Вдоль средней линии проводящей по-лосы шириной 2b = 8 мм течет ток. Найдите си-лу тока, протекающего по всей полосе, если ли-нейная плотность тока зависит от расстояния x до средней линии по закону:

0 sin2

xi x ib

, где 0i 2 А/мм. Ответ: 32 А.

4.13э. Два однородных цилиндра из одинаково-го материала подключены параллельно к источнику постоянного напряжения. Что можно сказать о со-отношении тепловых мощностей AP и BP , выде-ляющихся в этих цилиндрах?

а) A BP P б) A BP P в) A BP P г) Исходя из рисунка, нельзя сказать определенно. Надо знать точное соотношение между длиной и площадью цилиндра.

4.14э. По двум однородным цилиндрам, изготовленным из одинакового материала, течет постоянный ток. Что можно сказать о

соотношении тепловых мощностей AP и BP , выделяющихся в этих цилиндрах? а) A BP P б) A BP P в) A BP P г) Исходя из рисунка, нельзя сказать определенно. Надо знать точное соотношение между длиной и площадью цилиндра.

4.15э. В некоторой замкнутой цепи существует участок, состоя-щий из трех резисторов, соединен-ных последовательно. В точках со-

единения резисторов А и С известны потенциалы A и C (см. рис.). На участке АС выделяется тепловая мощность, равная... а) 20 Вт б) 36 Вт в) 28 Вт г) 14 Вт

4.16c. По длинным проводам различной кон-фигурации текут разные токи. Найдите циркуля-цию вектора индукции магнитного поля, создан-ного этими токами, по замкнутому контуру Г.

1I 1 А, 2I 3 А, 3I 3 А, 4I 4 А, 5I 5 А. а) 7,3; б) – 9,3; в) 9,3; г) – 11,3 ; д) 11,3. (мкТл·м)

36

Занятие 5.

Суперпозиция магнитных полей. Виток с током в магнитном поле. Сила Лоренца.

Рассмотрим несколько простых примеров создания магнитного поля электрическими токами разных конфигураций:

0

2IBR

, (5.1)

– индукция магнитного поля прямого провода на рас-стоянии R от него.

0

2IB

R

, (5.2)

– индукция магнитного поля в центре витка с радиу-сом R.

01 2cos cos

4IBa

, (5.3)

– индукция магнитного поля, созданного отрезком с током в точке О на расстоянии а от линии, на которой лежит этот отрезок.

Направление индукции магнитного поля B

? определяется по пра-

вилу правого винта (см. рисунки к формулам (5.1) – (5.3)).

Индукция магнитного поля, созданного проводником сложной конфигурации, находится по принципу суперпозиции полей: iB B

? ?, (5.4)

где iB?

– индукция поля, созданного частью провода простой формы.


Электрический ток I = 1 A течет по длинно-му проводу, изогнутому так, как показано на рис.4. Найдите индукцию магнитного поля, соз-данного этим током в точке О, если R = 1 м.

Рис.11

37

Решение: Как видно из рис.11, магнитное поле в точке О создается отрезком длиной R и дугой радиуса 2R с углом разворота 135 . Электриче-ский ток, направленный на точку О магнитного поля в ней не создает. Используем формулу (5.2) для нахождения индукции магнитного поля, созданного дугой:

770

дуги135 135 4 10 1 1,666 10360 2 2 360 2 2 1

IBR

Тл

Индукцию магнитного поля, созданного отрезком, найдем по фор-муле (5.3), подставляя следующие данные: a R ; 1 90 ; 2 135 .

7

70отрезка

4 10 1 2cos90 cos135 0,707 104 4 1 2

IBR

Тл

Результирующее поле равно сумме этих полей, так как вектора индук-ции дугиB

? и отрезкаB

? направлены в точке О в одну сторону:

рез отр дугиB B B 0,237 мкТл Ответ: 0,237 мкТл;

Пример задачи. Ток I = 1 А течет по длинному проводу, изогнутому так, как показано на рис.5. Найдите индукцию маг-нитного поля, созданного этим током в центре ок-ружности радиуса R = 1 м.

Решение: Найдем отдельные вклады в индукцию магнитно-

го поля в точке О (центр окружности), созданные двумя полубеско-нечными прямолинейными проводниками и проводником в виде дуги

с углом разворота 32

.

Для луча с током, текущим против оси х на расстоянии R от точ-ки О, воспользуемся половинным вкладом из формулы (5.1):

770

11 4 10 1 102 2 4 1

IBR

Тл

Рис.12

38

Аналогично для второго луча с током, текущим вдоль оси у на расстоянии 2R от точки О:

770

21 4 10 1 0,5 102 2 2 8 1

IBR

Тл

Для проводника в виде дуги в 3 4 окружности радиусом R исполь-зуем формулу (5.2):

770

33 12 10 1 4,71 104 2 8 1

IBR

Тл

Направления векторов 1B?

, 2B?

и 3B?

различны:

1B?

– направлен против оси z;

2B?

– направлен вдоль оси х;

3B?

– направлен против оси х. Используя принцип суперпозиции (5.4) и теорему Пифагора, найдем модуль индукции результирующего магнитного поля в точке О:

2 22 7 2 7рез 1 2 3 10 1 0,5 4,71 4,33 10B B B B Тл

Ответ: 0,433 мкТл

Небольшой виток площадью S с током I обладает магнитным мо-ментом mp I S I S n

?? ? , который направлен вдоль положительной нормали n? , определяемой по правилу правого винта относительно направления тока по этому витку. Такой магнитный момент, взаимо-действуя с внешним магнитным полем с индукцией B

?, обладает энер-

гией взаимодействия mW p B

?? (5.5) Стремясь занять в пространстве положение с наименьшей потенци-

альной энергией (5.5), виток разворачивает свой магнитный момент вдоль индукции поля B

?. В неоднородном магнитном поле на такой

виток действует сила

W W WF gradW i j kx y z

?? ? ?, (5.6)

которая стремится втянуть виток в область с большей индукцией.

39

Если частица с электрическим зарядом q и мас-сой m влетает со скоростью v? в магнитное поле с индукцией B

?, то на нее начинает действовать сила

Лоренца лF q B v

? ?? , (5.7)

которая перпендикулярна скорости частицы ?v и индукции B?

. Это приводит к искривлению траектории без изменения скорости частицы (так как сила Лоренца не совершает работу). Рассмотрим ситуацию, когда частица влетает в магнитное поле перпендикулярно индукции B

?. В этом случае она будет двигаться по

окружности с постоянной скоростью, а сила Лоренца будет являться центростремительной силой (см. рис.13). Найдем радиус окружности, используя второй закон Ньютона:

2

л sin90 nmF q B ma m R

R qB

v vv (5.8)

Используя формулу (5.8), можно рассчитать период вращения час-тицы по окружности:

2 2R mTqB

v (5.9)

На участок проводника dl с током I в магнитном поле действует си-ла Ампера: AdF I dl B

?? ?. (5.10)


В однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл по окружности летает положительно заря-женная частица с зарядом q = 1 мкКл и массой m = 10–10кг со скоростью v = 10 км/с. Индукция магнитного поля B

? направлена вдоль оси z. В

начальный момент времени скорость частицы v? была направлена вдоль оси у. Найти минималь-ное время t, через которое скорость частицы бу-

дет направлена а) вдоль оси х; б) против оси х. Найти пройденный путь за это время.

Рис. 13

Рис. 14

40

Решение:

Из векторного выражения (7.1) следует, что сила Лоренца, дейст-вующая на частицу в начальный момент времени направлена вдоль оси х, поэтому частица будет двигаться так, как показано на рис.14. Из этого рисунка следует, что через четверть оборота или через время

4t T скорость частицы окажется направленной параллельно оси х, а через три четверти периода ( 3 4t T ) – антипараллельно оси х. Ис-пользуя формулу для радиуса окружности (5.8) и периода (5.9), полу-чаем ответ:

а) 10

46

1 2 3,14 10 1,57 104 4 2 10 1

mt TqB

с;

10 4

6

1 v 3,14 10 102 1,574 2 2 10 1

mS RqB

м.

б) 10

46

3 3 2 3 3,14 10 4,71 104 4 2 10 1

mt TqB

с

10 4

6

3 3 v 3 3,14 10 102 4,714 2 2 10 1

mS RqB

м.

Ответы: а) t = 0,157 мс; S = 1,57 м; б) t = 0,471 мс; S = 4,71 м.


5.1. Электрический ток течет по длинному проводу, изогнутому так, как показано на рисунке. Найдите индукцию магнитного поля, созданного этим током в центре полуокружности и в центре прямо-угольника. I =1 A, R = 1 м, а = 1 м, b = 2 м.

а) б) в) г)

Ответы: а) 0,314 мкТл; б) 0,414 мкТл; в) 0,214 мкТл; г) 0,894 мкТл

41

5.2. Электрический ток течет по длинному проводу, изогнутому так, как показано на рисунке. Найдите индукцию магнитного поля, созданного этим током в центре дуги. I =1 A, R = 1 м, 0120 .

а) б) в) Ответы: а) 0,209 мкТл; б) 0,109 мкТл; в) 0,309 мкТл;

5.3. Ток 1I течет по прямому проводу вдоль оси Z. Параллельно плоскости XY расположен виток ра-диуса R с током 2I . Центр витка лежит на оси Y на расстоянии 2R от начала координат . Найдите ин-дукцию магнитного поля, созданного этими токами

в центре витка. 1I 1 A, 2I 2 А, R = 1 м. Ответ: 1,26 мкТл

5.4. Ток I течет по длинному проводу, изогнутому так, как показа-но на рисунке. Найдите индукцию магнитного поля, созданного этим током в центре окружности радиуса R. I 1 A, R = 1 м.

а) б) в) г)

Ответы: а) 0,426 мкТл; б) 0,236 мкТл; в) 0,314 мкТл; г) 0,372мкТл;

5.5. Небольшой виток с током, обладающий маг-нитным моментом mp 1 Ам2, удерживают в не-однородном магнитном поле на оси х под углом = 60 к ней. Определите проекцию силы xF , действующей на виток в точке с координатой 0x =

1 м, если величина индукция магнитного поля на оси х меняется по закону 3B x Ax , где A 1 Тл/м3. Ответ: 1,5 Н;

5.6. В однородном магнитном поле с индукцией В по окружности летает заряженная частица с зарядом

q = – 2 мКл, массой m = 10–10гк со скоростью v = 200 м/с. Индукция магнитного поля В = 1 мкТл и направ-

42

лена вдоль оси y. В начальный момент времени скорость частицы v? была направлена вдоль оси x. Найти:

А) через какое время t скорость частицы в первый раз становится на-правленной вдоль оси z; Б) путь S, пройденный частицей за это время; В) максимальное удаление частицы от оси х; Г) максимальное удаление от оси z,

Ответы: А) 0,236 с; Б) 47,1 м; В) 20 м ; Г) 10 м.

5.7э. Магнитное поле создано двумя длин-ными параллельными проводниками с токами I1 и I2, расположенными перпендикулярно плоско-сти чертежа. Если I1 = 2I2, то вектор B

? индук-

ции результирующего поля в точке А направлен ... а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 0B

?

5.8э. На рисунке изображены сечения двух прямолинейных длинных параллель-ных проводников с противоположно на-правленными токами, причем 1 22I I . Ин-

дукция B?

магнитного поля равна нулю в некоторой точке участка ... 1) a; 2) b; 3) c; 4) d; 5) нет такой точки; 6) посередине между про-водами;

5.9э. Рамка с током, обладающая магнитным мо-ментом mp? , находится в однородном магнитном поле с индукцией B

?. Куда направлен момент сил, дейст-

вующий на рамку? а) перпендикулярно рисунку "от нас"; б) перпендикулярно рисунку "к нам"; в) вдоль индукции магнитного поля; г) против индукции магнитного поля.

5.10э. На рисунке указаны траектории заря-женных частиц, имеющих одинаковую скорость и влетающих в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости чертежа.

При этом для частицы 1 ... а) 0q ; б) 0q ; в) 0q ;

43

5.11э. В магнитном поле на двух нитях висит горизонтальный проводящий стержень. Натяжение нитей равно нулю. Как соотносятся направления магнитного поля и силы тока в стержне? а) ток течет от L к M, индукция направлена от нас; б) ток течет от L к M, индукция направлена вправо; в) ток течет от M к L, индукция направлена от нас; г) ток течет от M к L, индукция направлена вверх;


5.12с. Электрический ток течет по длинному проводу, изогнутому так, как показано на рисунке. Найдите индукцию магнитного поля, соз-данного этим током в центре окружности и квадрата, если I =1 A, R = 1 м, а = 1 м.

а) б) в) г) Ответы: а) 0,314 мкТл; б) 0,528 мкТл; в) 0,428 мкТл. г) 1,13 мкТл

5.13с. Ток I 1 A течет по длинному проводу, изогнутому так, как показано на рисунке. Найдите индукцию магнитного поля, созданного этим током в центре окружности радиуса R= 1 м.

а) б) в) г)

Ответы:а) 0,537 мкТл; б) 0,537 мкТл; в) 0,384 мкТл; г) 0,481 мкТл;

5.14с. Небольшой виток с током, обладающий магнитным моментом mp 2 Ам2, удерживают в не-однородном магнитном поле на оси х в точке с коор-динатой 0x = 0,5 м. Направление магнитного момента витка противоположно направлению индукции магнитного поля. Опреде-лите проекцию силы xF , действующей на виток, если величина индукции магнитного поля на оси х меняется по закону 5B x Ax ,

где А = 3 Тл/м5. Ответ: – 1,875 Н.

44

5.15э. Электрон летает по окружности в однородном магнитном поле так, как показано на рисунке. Куда на-правлен вектор индукции магнитного поля?

а) б) в) г)

15.16э. Магнитное поле создано двумя длинными параллельными проводниками с токами I1 и I2, расположенными перпенди-

кулярно плоскости чертежа. Если I1 = 2I2, то вектор B?

индукции ре-зультирующего поля в точке А направлен ... а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 0B

?

15.17э. По двум соосным виткам течет одинаковый ток в одном направлении. Расстояние между центрами витков равно 2 см. Верхний виток создает магнитное по-ле с индукцией В = 1 мкТл в точке А, расположенной на

оси на растоянии 1 см от его центра. Чему равна величина индукции магнитного поля, созданного двумя витками?

а) 2 мкТл; б) 0 мкТл; в) 2 мкТл; г) 4 мкТл.

15.18э. Две положительно заряженные частицы движутся по параллельным линиям на некотором расстоянии друг от друга. Магнитная сила, дейст-вующая на правый заряд, имеет направление...

а) 1; б) 2 ; в) 3) г) 4.

45

Занятие 6 Э.Д.С. индукции и самоиндукции.

Электрические затухающие и вынужденные колебания

Рассмотрим замкнутый контур Г произ-вольной формы в неоднородном магнитном поле, который ограничивает некоторую по-верхность S (см. рис.15). Потоком индукции магнитного поля сквозь эту поверхность на-зывается величина

cosS S

BdS BdS ??

, (6.1)

где – угол между вектором B?

и нормалью n? к площадке поверхно-сти dS, которую магнитное поле пронизывает. При изменении потока Ф во времени в контуре Г возникает Э.Д.С. индукции – электродвижущая сила, равная скорости изменения маг-нитного потока (закон электромагнитной индукции Фарадея):

индddt

(6.2)

Если бы контур был сделан из проводящего вещества, то по нему потек бы электрический ток.

Поток Ф может изменяться по следующим причинам. 1) Изменяется индукция магнитного поля B

?.

2) Изменяются геометрические размеры контура, т.е. изменяется площадь S. 3) Изменяется ориентация контура в пространстве, т.е. изменяется угол . В случае 1) в пространстве возникает вихревое электрическое поле

вихрE?

, действующее на свободные электроны проводящего контура. В случаях 2) и 3) из-за перемещения проводника в магнитном поле на свободные электроны в нем действует сила Лоренца.

Рис. 15

46

Если рассмотреть контур, по которому протекает ток I (см. рис.16), то индукция B

?

порождаемого этим током магнитного поля создает сквозь поверхность контура поток, пропорциональный силе тока I:

L I , (6.3)

где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура. Если ток в контуре начинает изменяться, то в нем возникнет Э.Д.С. самоиндукции:

самоинд

d L Idt

(6.4)

Знак "–" в формулах (6.2) и (6.4) означает, что при изменении маг-нитного потока сквозь замкнутый контур в нем возникает такая Э.Д.С., которая стремится уменьшить изменение потока. Это пра-вило Ленца. В результате увеличения силы тока на рис. 16, а следова-тельно и индукции B

?, возникает вихревое электрическое поле, на-

правленное против тока I в контуре.

Пример задачи Квадратный проводящий контур со стороной b = 1 м пронизывает однородное магнитное поле под углом = 30 к плоскости контура. Индукция магнитного поля меняется со временем по закону 8

0B t B t . Найти модуль э.д.с. индукции в контуре в момент времени t = 1 с, если

0B 1 Тл; = 1 с. Решение:

Определим зависимость магниного потока от времени:

8 2

2 88

00

1cos cos 90 cos602

B btBS BS B b t

По формуле (6.2) определим модуль Э.Д.С. индукции: 2 2

8 7инд 8 8

0 0 8 42 2

B b B bd t tdt

В

Ответ: 4 В

Рис. 16

47

Пример задачи По проводящему контуру индуктивностью L течет ток I. Найти модуль э.д.с. самоиндукции в контуре в момент времени t = 1 с, если и ток и индуктивность изменяются со временем по законам

6

0tL t L

, 0tI t I

, где 0L 1 Гн; 0I 1А; = 1 с.

Решение: Воспользуемся формулой (6.4):

6 6

0 7самоинд 7 7

0 0 00 0

77

d L I L I L I td t t dL I tdt dt dt

В.

Электрические затухающие колебания Уравнение затухающих колебаний в контуре (см.

рис.17), состоящем из последовательно соединенных рези-стора с сопротивлением R, конденсатора с емкостью С и катушки с индуктивностью L, выглядит так: 0 0exp cosq A t t , (6.5) где 0 – начальная фаза колебаний, – циклическая час-

тота собственных затухающих колебаний. 2 2

0 ; (6.6) Коэффициент затухания и циклическая частота собственных незатухаю-щих колебаний 0 определяются так:

2RL

; 01LC

(6.7)

Логарифмический декремент затухания и время релаксации (время, за которое амплитуда уменьшится в е = 2,72 раз) определяются так:

T . 1

(6.8)

Амплитуда колебаний в контуре уменьшается со временем по закону: 0 expA A t , (6.9) где 0A – начальная амплитуда. Так как энергия незатухающих и слабозату-хающих колебаний пропорциональна квадрату амплитуды 2W A? , то, ис-пользуя (6.9), получим: 2

0 exp 2W A t ? (6.10)

Рис.17

48


В контуре совершаются свободные слабозатухающие колебания, при которых заряд на конденсаторе изменяет-ся во времени по закону 0 exp sinq q at bt . Оцените время, через которое энергия контура уменьшится в 2 раза. 0q 1 мкКл; a 0,05 с–1; b 10 c–1. Каким станет коэффициент затухания, если:

а) сопротивление R в контуре увеличить в 2 раза? б) индуктивность L в контуре увеличить в 2 раза? в) емкость С в контуре увеличить в 2 раза?

Решение: Энергия контура W пропорциональна квадрату амплитуды коле-баний, поэтому, используя формулу (6.9) и учитывая, что = а = 0,05 с–1, получим: 2 2 2

0atW A q e?

Из отношения энергий контура в начальный момент времени и в мо-мент времени t

220 0

2 21 0

2atat

W q eW q e

найдем время ln 2 ln 2 6,932 0,1

ta

с

из формулы (6.7) следует, что а) если сопротивление в контуре увеличить в два раза, то коэффициент

затухания увеличится также в два раза: 22

11

22

2 2RR

L L

= 0,1 с–1;

б) при изменении индуктивности в два раза, коэффициент затухания

уменьшится в два раза: 12

2 12 2 2 2R RL L

= 0,025 с–1;

в) при изменении емкости в два раза коэффициент затухания не изме-нится, так как он не зависит от емкости С (см. формулу (6.7)).

Ответы: t = 6,93 c; а) = 0,1 с–1; б) = 0,025 с–1; в) = 0,05 с–1.

49

Электрические вынужденные колебания. Если в контур включить внешний источник, ЭДС которого меняется по гармоническому закону

0 вcos t , то в контуре установятся вынужден-ные гармонические колебания с частотой источника

в и амплитудой 0q . Зависимость заряда на конден-саторе от времени будет выглядеть так: 0 вcosq q t (6.11) Для того чтобы найти выражение для силы тока в цепи продифференци-руем (6.11) по времени:

0 в в 0 вsin cos2

dqI q t I tdt

, (6.12)

где 0 0 вI q – амплитуда тока Для расчета падения напряжения на катушке индуктивности используют выражение для ЭДС самоиндукции, но с противоположным знаком

LU L dI dt . Подставляя сюда выражение (6.12), получим: 2

0 в в 0 вcos cosL LU Lq t U t , (6.13)

где 20 0 вLU q L – амплитудное значение напряжения на катушке индуктив-

ности. Теперь можно проанализировать фазы колебаний напряжений на элемен-тах контура: на конденсаторе, катушке индуктивности и резисторе. Напряжение на конденсаторе можно найти из (6.11):

0в 0 вcos cosC C

qqU t U tC C

, (6.14)

где 0 0CU q C – амплитуда напряжения на конденсаторе. Из (6.14) и (6.13) видно, что напряжения на конденсаторе и на катушке индуктивности колеб-лются в противофазе. Напряжение на резисторе находим из закона Ома и (6.12):

0 в в 0 вcos cos2 2R RU IR q R t U t

, (6.15)

где 0 0 вRU q R – амплитуда напряжения на резисторе. Из (6.15) и (6.14)

видно, что напряжение на резисторе опережает по фазе на 2 напряжение на

конденсаторе. Так как элементы контура соединены последовательно (см. рис.18), то напряжение на клеммах источника есть сумма напряжений на конденсаторе, катушке и резисторе. Но складывать такие напряжения надо с учетом фаз, то есть использовать фазовую диаграмму.

Рис.18

50

Из рис. 19 видно, что 2 20 0 0 0C L RU U U (6.16)

Подставив в (6.16) выражения для амплитуд напря-жений из (6.13), (6.14) и (6.15), получим выражение – амплитудно-частотную характеристику для заряда

00 22 2 2

в в1q

C L R

или

00 22 2 2 2

0 в в4q

L

(6.17)

Запаздывание колебаний заряда по фазе от коле-баний внешней ЭДС находим как угол в треугольни-ке из рис.19:

0 в в2 2 2

0 0 в 0 в

21

R

C L

U RtgU U C L

(6.18)

Если (6.16) разделить на амплитуду тока 0I из (6.12), то можно найти полное сопротивление цепи или импеданс:

2 22 20в в

0

1C LZ X X R C L RI

(6.19)

где 0 0 вL LX U I L – реактивное индуктивное сопротивление; 0 0 в1C CX U I C – реактивное емкостное сопротивление; 0 0RR U I – активное сопротивление резистора. Выражение C LX X X называют полным реактивным сопротивлением цепи. Из (6.19) можно найти выражение, называемое амплитудно-частотной характеристикой для тока:

00 2 2

в в1I

C L R

. (6.20)

Анализируя амплитудно-частотные характеристики (6.17) и (6.20) для заряда и тока, можно найти резонансные частоты, при которых амплитуды 0q и 0I достигают максимума: 2 2

рез q 0 2 и рез 0I (6.21) Из (6.21) видно, что резонансная частота для заряда на конденсаторе меньше, чем для тока. Но если затухание слабое, т.е. 0 ? , то эти частоты можно приблизительно считать равными.

Рис.19. Фазовая диаграмма напряжений

51

Задачи для работы на практическом занятии. 6.1. Круговой проводящий виток радиуса R = 1 м про-

низывает однородное магнитное поле под углом = 60 к нормали витка. Индукция магнитного поля меняется со временем по закону 5B t At , где А = 3 Тл/с5. Найти мо-

дуль э.д.с. индукции в контуре в момент времени t = 2 с Ответ: 376,8 В

6.2. Квадратный проводящий контур со стороной b = 50 см пронизывает однородное магнитное поле под углом =30 к плоскости контура. Индукция магнит-ного поля меняется со временем по закону 3B t At ,

где А = 4 Тл/с3. Найти модуль э.д.с. индукции в контуре в момент времени t = 3 с. Ответ: 13,5 В

6.3. По проводящему контуру индуктивностью L течет ток I. Най-ти модуль э.д.с. самоиндукции в контуре в момент времени t = 2 с, ес-ли и ток и индуктивность изменяются со временем по законам 2L t At и I t Bt , где А = 3 Гн/с2; В = 4 А/с Ответ: 144 В;

6.4э. В катушке с индуктивностью L = 1 Гн течет ток, изменяющийся со временем так, как показано на рисунке. Найти модуль среднего значения ЭДС само-индукции в интервале времени от t1 = 0 до t2 = 20 с. а) 0,8 В; б) 0,3 В; в) 0,2 В; г) 0;

6.5э. Рамка с площадью S = 10–2 м2 расположена перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. Величина ин-дукции меняется в зависимости от времени по закону

2 22 5 10B t Тл. Чему равен магнитный поток сквозь рамку?

а) 0; б) 2 42 5 10Ф t Вб; в) 410 10t Вб; г) 3 42 5 3 10t t Вб.

6.5. В контуре совершаются свободные колебания, при которых заряд на конденсаторе изменяется во времени по закону 0 exp 4 sin 3q q t t , где 0q 1 мкКл. Найти ло-гарифмический декремент затухания контура . Каким станет период колебаний, если уменьшить сопротивление R до нуля?

Ответы: =8,37, Т = 1,256 c.

52

6.6. В контуре совершаются свободные колебания, при которых заряд на конденсаторе изменяется во времени по закону 0 exp 5 sin 4 3q q t t , где 0q 3 мкКл. Каким станет время релаксации колебаний, если:

а) одно сопротивление R убрать из контура? б) добавить последовательно еще одно сопротивление R? Ответы: а) 0,4 c; б) 0,133 c;

6.7. В контуре совершаются свободные слабозатухающие колебания, при которых заряд на конденсаторе изменяется во времени по закону 0,1

0 sin 3tq q e t , где 0q 5 мКл. Во сколько раз уменьшится энергия контура за t = 1 с?

Ответ: 1,22 раза

6.8э. На рисунке изображен график затухаю-щих колебаний электрического заряда на конденса-торе, описываемый уравнением

0 1sintq t A e t . Определите время релаксации (в сек). а) 1 с; б) 2 с; в) 3 с; г) не хватает данных;

6.9э. На рисунке изображена резонансная кривая для тока в катушке индуктивности колебательного кон-тура, состоящего из конденсатора с емкостью С, катуш-ки с индуктивностью L и резистора с сопротивлением R. Если С = 5 мкФ, то индуктивность L равна:

а) 40 Гн; б) 5 Гн; в) 2,5 Гн; г) не хватает данных 6.10э. Сопротивление, катушка индуктивности и

конденсатор соединены последовательно и подклю-чены к источнику переменного тока, изменяющегося по закону 0,1cos 3,14I t (А). На рисунке представ-лена фазовая диаграмма падений напряжений на ука-занных элементах. Амплитудные значения напряже-ний соответственно равны: на сопротивлении 4RU

В, на катушке индуктивности 5LU В, на конденсаторе 2CU В. Уста-новите соответствие между сопротивлением и его численным значением. 1. Активное сопротивление 2. Реактивное сопротивление 3. Полное сопротивление

а) 40 Ом б) 30 Ом; в) 50 Ом; г) 20 Ом

Ответ: 1. – а); 2 – б); 3 – в)

53

6.11. Индуктивность контура L = 0,6 Гн, его ёмкость С = 1 мкФ. При частоте внешней ЭДС

1000 с–1 амплитуда тока в три раза меньше резонансной. Найти активное сопротивление контура.

Ответ: 141,4LωCω

18

1R

Ом.


6.12с. Круговой проводящий виток радиуса R = 2 м пронизывает однородное магнитное поле под углом = 30 к нормали витка. Индукция магнитного поля ме-няется со временем по закону 4B t At , где А = 5

Тл/с4. Найти модуль э.д.с. индукции в контуре в момент t = 2 с. Ответ: 1740 В

6.13с. В контуре совершаются свободные колебания, при которых заряд на конденсаторе изменяется во време-ни по закону 0 exp 4 sinq q t bt , где 0q 3 мкКл. Найти циклическую частоту колебаний, если логарифми-ческий декремент затухания контура равен = 2. Ответ: 12,56 c–1

6.14с. В контуре совершаются свободные колебания, при которых заряд на конденсаторе изменяется во вре-мени по закону 0 exp 4 sin 3q q t t , где 0q 2 мкКл. Каким станет время релаксации колебаний, если: а) добавить параллельно еще одно сопротивление R?

б) убрать одно сопротивление R? Ответы: а) 0,375 c; б) 0,125 c;

6.15с. В контуре совершаются свободные колебания, при которых заряд на конденсаторе изменяется во вре-мени по закону 0 exp 4 sin 3q q t t , где 0q 4 мкКл.

Каким станет коэффициент затухания, если: а) убрать одно сопротивление R?

б) добавить параллельно еще одно сопротивление R? Ответы: а) 8 c–1; б) 2,67 c–1.

54

6.16э. На двух рисунках представлены амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) разных величин в колебательном контуре, состоящем из конденсатора с ем-костью С, катушки с индуктивностью L и резистора с сопротивлением R. Рисунки I

и II могут соответствовать АЧХ следующих величин: а) I - заряд на конденсаторе; II- ток в катушке; б) I - заряд на конденсаторе; II- напряжение на конденсаторе; в) I - ток в катушке; II- заряд на конденсаторе;

6.17э. Сопротивление, катушка индуктивности и конденсатор соединены последовательно и под-ключены к источнику переменного напряжения, изменяющегося по закону 0 cosU U t (В). На рисунке (см. задачу 6-4к) представлена фазовая диаграмма падений напряжений на указанных

элементах. Установите соответствие между амплитудными значения-ми напряжений на этих элементах и амплитудным значением напря-жения источника. 1. RU = 4 В, LU = 5 В, CU =2 В 2. RU = 2 В, LU = 1 В, CU =2 В

а) 5В б) 5 В в) 11 В

Ответ: 1 – а); 2 – б)

6.18э. В однородном магнином поле, с равно-мерно возрастающей скоростью перемещается проводящая перемычка (см. рис.). Если сопротив-лением перемычки и направляющих можно пре-небречь, то зависимость индукционного тока от

времени можно представить графиком ...

а) б ) в) г)

55

Занятие 7 Уравнения Максвелла.

Электромагнитные волны. Вектор Пойнтинга. Переменное магнитное поле с индукцией B

? порождает в про-

странстве вихревое электрическое поле с напряженностью E?

, для ко-торого теорема о циркуляции в интегральном и дифференциальном виде записывается так:

BEdl dSt

?? ??

? и rot BEt

??

. (7.1)

Вихревое магнитное поле с напряженностью H?

порождается в пространстве токами проводимости с плотностью j

? и переменным

электрическим полем с индукцией D?

. Теорема о циркуляции вектора H?

в интегральном и дифференциальном виде выглядит так:

DHdl jdS dSt

?? ? ?? ?

? и rot DH jt

?? ?

, (7.2)

где смD jt

??

– называют плотностью тока смещения.

Если к уравнениям (7.1) и (7.2), являющимся теоремами о цирку-ляции векторов E

? и H

?, добавить теоремы Гаусса в интегральном и

дифференциальном виде для векторов D?

и B?

DdS dV

??? и div D

?, (7.3)

где – объемная плотность сторонних зарядов.

0BdS ??

? и div 0B ?

, (7.4) то получится система уравнений Максвелла (7.1) – (7.4), которая до-полняется материальными уравнениями 0 0, ,D E B H j E

? ? ? ? ??, (7.5)

которые справедливы в изотропном неферромагнитном веществе в слабых полях. Здесь - диэлектрическая проницаемость среды, - магнитная проницаемость среды, - удельная проводимость среды. 0 = 128,85 10 Ф/м– электрическая постоянная. 0 = 74 10 Гн/м – магнитная постоянная.

56

Пример задачи Между обкладками плоского воздушного конденстатора создано однородное электрическое поле, напряженность которого меняется со временем по закону

0 sin 2E E t . Найти модуль ротора напряженности магнитного поля (или плотность тока смещения) внутри

конденсатора в момент времени t = 0,5 с, если 0E 1 кВ/м. Решение:

Между обкладками конденсатора нет токов проводимости, т.е. 0j ?

. Так как конденсатор воздушный, то диэлектрическая проницаемость среды = 1, следовательно из формулы (7.3) 0D E

? ?. По формуле (7.2) найдем

модуль ротора H?

в момент времени t = 0,5 c:

12 3 9 2

0 0 0 0 02 2 2rot sin cos

8,85 10 10 2 3,14 1 55,6 10 А/м

D E t tH E Et t t

? ??

Ответ: 55,6 нА/м2

Пример задачи. Между полюсами магнита создано однродное магнитное поле, индукция которого зависит от времени по закону

0 cos2tB B

. Найти модуль напряженности электриче-

ского поля между полюсами на расстоянии r = 5 см от оси

магнита в момент времени 13

t с, если 0B 2 Тл.

Решение: По формуле (7.1) в интегральном виде найдем циркуляцию E

? по замкну-

тому контуру в виде окружности радиуса r с осью, совпадающей с осью магнита, и выразим модуль напряженности:

202 sin

2 2B tEdl E r dS B rt

?? ??

?

0 sin 2 0,05 sin 0,0394 2 4 6

tE B r

В/м

Ответ: 39 мВ/м

57

Пространственная конфигу-рация электромагнитного поля в волне изображена на рис.20, из которого видно, что вектор на-пряженности электрического поля E

?, вектор напряженности

магнитного поля H?

и фазовая скорость эмv? составляют пра-вую тройку векторов.

Уравнение плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси х, записывается как для вектора E

?, так и для H

?:

2 2

2 2 2эм

1v

E Ex t

? ?,

2 2

2 2 2эм

1v

H Hx t

? ?, эм

0 0

1v

(7.6)

где – магнитная проницаемость среды (=1 для вакуума и воздуха), – ди-электрическая проницаемость среды. Решение уравнения (7.6) в общем виде есть произвольная функция, зави-

сящая от выражения эмvxt

, т.е.

эм

,vxf t x f t

Частным случаем решения (7.6) является уравнение плоской электромаг-нитной волны:

0

0

cos

cos

E E t kx

H H t kx

? ?

? ? , (7.7)

где – циклическая частота колебаний векторов E?

и H?

, эмv

k – волновое

число. Из (7.7) следует, что колебания электрического и магнитного векторов происходят в одной фазе с амплитудами 0E

? и 0H

?. Величины этих амплитуд

связаны соотношением:

0 0

0 0

EH

или 0 0 0 0E H , (7.8)

откуда следует равенство объемных плотностей энергии магнитного и элек-трического поля в волне:

2 2

0 0 0 0

2 2эл магнE Hw w

(7.9)

Рис.20.

58

Вектор Пойнтинга (плотность потока энергии электромагнитной волны) wJ E H

? ? ?, (7.10)

направлен по скорости волны эмv? (см. рис.20). Вектор Пойнтинга можно выразить через объемную плотность электро-магнитной энергии эм эл магнw w w :

эмvw эмJ w ? ? (7.11)

Энергия, переносимая электромагнитной волной через произвольную по-верхность S за время , находится как

0

wS

W J dSdt

??

(7.12)

Электромагнитная волна, падающая под углом к нормали поверхности и частично отражаемая ею, оказывает на нее давление:

21 coswr J

pc

, (7.13)

где r – коэффициент отражения.

Задачи для работы на практическом занятии. 7.1. Между обкладками плоского воздушного конден-

статора создано переменное однородное электрическое поле. Найти плотность тока смещения внутри конденса-тора в момент t = 0,5 с, если напряженность электриче-ского поля меняется со временем по закону а) 2E At , где А = 2 кВ/мс2;

б) cosE A t , где А = 3 кВ/м, 2

с–1;

Ответы: а) 70,8 нА/м2; б) 29,5 нА/м2 7.2. Между полюсами магнита создано переменное однородное магнитное

поле. Найти модуль электрической силы, действующей на за-ряженную частицу с зарядом q = 4 мкКл, находящуюся на расстоянии 1 см от оси магнита в момент t = 2 с. Индукция магнитного поля зависит от времени по закону

а) 0 expB t B t , где 0B = 4 Тл, = 0,01 с–1;

б) 20 sinB B t , где 0B = 3 Тл,

6

с–1.

Ответы: а) 107,84 10 Н; б) 82,7 10 Н

59

7.3. Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в диэлектри-ке, описывается волновой функцией bt)cos(axuu 0 , где а = 0,04 м –1,

16 c106b . Найти диэлектрическую проницаемость диэлектрика . Ско-

рость света в вакууме равна с = 8103 м/с. Ответ: = (ac/b)2 = 4.

7.4э. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси ОХ,

имеет вид 310 20,01

i t xe

. Тогда скорость распространения волны (в м/с)

равна ... а) 1000 м/с; б) 2 м/с; в) 500 м/с; г) 0,002 м/с;

7.5э. На рисунке показана ориентация векторов напря-женности электрического E

? и магнитного H

? полей в

электромагнитной волне. Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля ориентирован в направлении ...

а) 1; б) 2; в) 3; г) 4;

7.6э. В электромагнитной волне векторы напряженности электрического и магнитного полей колеблются так, что разность фаз их колебаний равна ... а) 0; б) ; в) /2; г) /4. 7.7э. На черную пластинку падает свет. Если объемную плотность элек-тромагнитной энергии волны увеличить в 2 раза, а площадь пластины уменьшить в 2 раза, то давление света на пластину... а) в 2 раза уменьшится; б) в 2 раза увеличится; в) в 4 раза увеличится; г) в 4 раза уменьшится; д) не изменится. 7.8э. Параллельный пучок света падал на зачерненную плоскую поверх-ность под углом 45 к нормали и производил на нее давление p. Какое давле-ние будет производить тот же пучок света, падая нормально на зеркальную плоскую поверхность? а) p б) 2p в) 4p г) 8p

7.9э. Следующая система уравнений Максвелла:

L S

BEdl dSt

?? ??

? ; L S

DHdl dSt

?? ??

? ;

0S

DdS ??

? ;

0S

BdS ??

?

всегда справедлива для переменного магнитного поля ... а) при наличии заряженных тел и токов проводимости; б) в отсутствие заряженных тел и токов проводимости; в) в отсутствие заряженных тел; г) в отсутствие токов проводимости;

60

7.10э. В кольцо из диэлектрика вдвигают магнит. В этом случае в диэлектрике... а) порождается вихревое электрическое поле; б) ничего не происходит; в) порождается электростатическое поле;

7.11. Напряжённость однородного аксиально симметричного электрического поля меняется со временем по закону: Е = t2 , где )сB/(м10α 28 . Какая энергия пересечёт цилиндрическую поверх-ность радиуса r = 1 см и длины b = 1 м за

промежуток времени 0 t 1 c? Ответ: W = 0 2 t4 r2 b / 2 = 13,9 Дж.


7.12c. Между обкладками плоского воздушного кон-денстатора создано переменное однородное электриче-ское поле. Найти модуль индукции магнитного поля на расстоянии 5 см от оси конденсатора в момент t = 0,25 с, если напряженность электрического поля меняется со

временем по закону а) 0 expE E t , где Е0 = 3 кВ/м; = 0,1 с–1

б) 20 cosE E t , где Е0 = 5 кВ/м,

2

с–1;

Ответы: а) 178,13 10 Тл; б) 143,08 10 Тл

7.13c. Между полюсами магнита создано переменное однородное магнитное поле. Найти модуль электриче-ской силы, действующей на заряженную частицу с заря-дом q = 5 мкКл, находящуюся на расстоянии 2 см от оси магнита в момент t = 2 с. Индукция магнитного по-ля зависит от времени по закону

а) 3B t At , где А = 6 Тл/с3;

б) 0 sinB B t , где 0B = 3 Тл, 6

с–1.

Ответы: а) 3,6 мкН; б) 1,96 мкН

61

7.14э. Следующая система уравнений Максвелла:

L S

BEdl dSt

?? ??

? ; L S

DHdl dSt

?? ??

? ;

iS

DdS q??

? ;

0S

BdS ??

?

всегда справедлива для переменного магнитного поля ... а) при наличии заряженных тел и токов проводимости; б) в отсутствие заряженных тел и токов проводимости; в) в отсутствие заряженных тел; г) в отсутствие токов проводимости;

7.15э. В кольце из металла находится магнит. В этом случае в кольце... а) порождается вихревое электрическое поле; б) ничего не происходит; в) порождается электростатическое поле;

7.16э. На рисунке показана ориентация векторов напряженности электрического E

? и магнитного H

?

полей в электромагнитной волне. Скорость волны на-правлена по ... а) 1; б) 2; в) 3; г) 4;

7.17э. Параллельный пучок света падал на зеркальную плоскую поверхность под углом 45 к нормали и производил на нее давление p. Какое давление будет производить тот же пучок света, падая нор-мально на зачерненную плоскую поверхность? а) p б) 2p в) 4p г) 8p

62

8. Дополнительная глава. Использование теоремы Гаусса в дифференциальной

и интегральной формах.

Электрическое поле можно изобразить графи-чески, нарисовав силовые линии. Силовая линия – это линия в силовом поле, в каждой точке которой напряженность электрического поля E

? направле-

на по касательной. Следовательно, если поместить покоящуюся заряженную частицу в электрическое поле, то она начнет двигаться вдоль силовой ли-

нии. Модуль напряженности E

? на графическом изображении поля

можно определить, как густоту силовых линий, т.е число линий, пере-секающих единичную поперечную площадку:

dNEdS

. (8.1)

Тогда число силовых линий, пересекающих площадку можно най-ти следующим образом: EdN E dS E dS dФ

??, (8.2)

где вектор dS?

по модулю равен площади dS и направлен по нормали к этой площадке. Величина EdФ в формуле (8.2) называется потоком вектора напряженности электрического поля E

? через площадку dS

?.

Чтобы рассчитать поток через большую площадь S любой формы надо проинтегрировать формулу (8.2): E

S

Ф EdS ??

(8.3)

Можно доказать теорему Гаусса для напряженности электрическо-го поля в вакууме:

0 0

1 1E i

S V

Ф EdS q dV

??? (8.4)

– поток вектора напряженности электрического поля E?

сквозь произ-вольную замкнутую поверхность, равен сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на 0 , где, 12

0 8,85 10 Ф/м – электрическая постоянная, – плотность заряда.

Рис.21

63

С помощью теоремы Остроградского для вектора напряженности электрического поля div

S V

EdS EdV ?? ?

? (8.5)

можно получить теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальном виде для напряженности электрического поля в вакууме:

0 0

1div divV S V

EdV EdS dV E

?? ? ?

? (8.6)

Наряду с теоремой Гаусса для напряженности электрического поля часто применяют теорему Гаусса для вектора электрической индукции D?

, которая включена в систему уравнений Максвелла (7.3) iDdS dV q

??? или div D

?.

В формулах (8.5) и (8.6) используется дифференциальный оператор div или "дивергенция", который для вектора E

? записывается так:

div yx zEE EEx y z

?. (8.7)

Пример задачи. Напряженность электростатического поля задается формулой

3 4 2 5E i Ax y j By x ? ? ?

, где А = 3 В/м8, В = 4 В/м8. Используя теорему Гаусса в дифференциальной форме, найдите объемную плотность за-ряда в точке 0 0,P x y , где 0 1x м, 0 2y м.

Решение: Из векторного выражения для E

? видно, что

3 4xE Ax y и 2 5

yE By x

По формуле (8.7) вычислим div E?

:

3 4 2 5 2 4 5 4div 3 2 3 3 2 2 4 2 160E Ax y By x Ax y Byxx y

? В/м

Из формулы (8.6) рассчитаем 12 9

0 div 8,85 10 160 1,42 10E ?

Кл/м3.

Ответ: 1,42 нКл/м3

64

Пример задачи. Из двух круговых прямых конусов с углом раствора = 10 и радиусом основания R = 2 см составлена фигура, вдоль оси симметрии которой помещен рав-номерно заряженный отрезок длиной l =6 см с ли-нейной плотностью заряда = 2 мкКл/м. Середина отрезка совпадает с центром фигуры. Найти поток вектора электрического смещения через поверхность

одного из конусов. Решение:

В общем случае расчет потока электрического смещения через за-штрихованную область конуса по формуле DdS

??? вызывает огромные

трудности. Но заряженный стержень расположен на оси конуса симмет-рично относительно плоскости основания конуса. Таким образом, можно сделать вывод, что поток через заштрихованную область равен половине потока через всю поверхность фигуры на рис.22. Поток вектора D

? через замкнутую поверхность можно рассчитать по

закону Остроградского-Гаусса по формуле (7.3): 62 10 0,06 120i

S

DdS q l ??

? нКл.

Откуда следует ответ: 1202DФ = 60 нКл

Пример задачи Заряд q = 4 нКл помещен в центр сферы радиуса R = 2 м. Найдите поток вектора напряженности электриче-ского поля сквозь небольшую область поверхности сферы площадью S = 50 см2.

Решение: Напряженность электрического поля, созданного

точечным зарядом, направлена вдоль радиуса сферы, т.е. вдоль нормали к поверхности сферы. Угол между вектором E

? и любой площадкой на

сфере dS?

равен 0. Модуль напряженности на поверхности сферы равен

2

kqER

. Поток вектора E?

можно легко рассчитать по формуле (8.3):

9 9 40

2 2 2

9 10 4 10 50 10cos0 0,0452E

S S

kq kqSФ EdS dSR R

?? Вм.

Рис.22

65

Задачи для работы на практическом занятии. 8.1. Напряженность электростатического поля задается формулой а) 2 3E i Ax j By

? ? ?, где А = 2 В/м3, В = 3 В/м4;

б) 2 33E i Ax y j Ax ? ? ?

, где А = 5 В/м4. Используя теорему Гаусса в дифференциальной форме, найдите объ-емную плотность заряда в точке 0 0,P x y , где 0 1x м, 0 2y м. Ответы: а) 0,354 нКл/м3; б) 0,266 нКл/м3. 8.2 Напряженность электростатического поля задается формулой а) sin cosE i A Bx j C Dy

? ? ?;

б) exp expE i A Bx j C Dy ? ? ?

. Используя теорему Гаусса в дифференциальной форме, найдите объ-емную плотность заряда в точке 0 0,P x y .

1A В/м, 2B рад/м, 3C В/м, 4D рад/м, 0 1x м, 0 2y м. Ответы: а) – 0,11 нКл/м3; б) 122,4 10 Кл/м3

8.3 Заряд q помещен в центр куба со стороной a . Найдите поток вектора напряженности электрического поля сквозь одну грань. 1q нКл, 1a см.

Ответ: 19 Вм 8.4 Заряд q помещен в центр верхней грани куба со стороной a . Найдите поток вектора электрического

смещения через все остальные грани. 1q нКл, 1a см. Ответ: 0,50 нКл

8.5 Заряд 1q помещен в центр сферы, а заряд 2q – на расстоянии 2R от центра. Найдите поток вектора напряженности электрического поля сквозь поверхность сферы. 1 5q нКл, 2 3q нКл, 3R м.

Ответ: 904 Вм 8.6э. Точечный заряд +q находится в центре сферической поверхно-сти. Если добавить заряд +q за пределами сферы, то поток вектора напряженности электростатического поля E

? через поверхность сферы

... а) увеличится в 2 раза; б) уменьшится в 2 раза; в) не изменится

66

8.7. Внутрь сферы радиуса R помещено равно-мерно заряженное кольцо радиуса r и линейной плотностью заряда . Центр кольца совпадает с цен-тром сферы. Найдите поток вектора напряженности электрического поля сквозь поверхность сферы.

4 нКл/м, 2R м, 1r см. Ответ: 28 Вм 8.8. Над бесконечной плоской поверх-ностью, равномерно заряженной с поверхно-стной плотностью заряда , расположена круглая пластинка, центр которой лежит на расстоянии h . Плоскости пластинки и по-

верхности расположены под углом . Найти поток вектора напря-женности электрического поля сквозь поверхность пластинки.

1 нКл/м2, 030 , 1R см, 5h м. Ответ: 15 мВм 8.9 Электрическое поле создается бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхност-ной плотностью заряда . На плоскость положили четверть сферы радиуса R . Найти поток вектора

электрического смещения через поверхность четверти сферы. 2 мКл/м2, 2R см. Ответ: 628 нКл

8.10 Электрическое поле создается бесконечной прямой равномерно заряженной нитью с линейной плотностью заряда . На большом удалении r рас-положена круглая пластинка радиуса R . Угол меж-ду плоскостью пластинки и перпендикуляром к ни-ти, проходящим через центр пластинки, равен .

Найти поток вектора электрического смещения через поверхность пластинки. 1 мКл/м, 030 , 1R см, 12r м, 5h м.

Ответ: 2,1 нКл 8.11э. Частица с зарядом q находилась у вершины конуса снаружи (рис.а). Ее пе-реместили в центр основания (рис.б). При этом величина потока вектора напряжен-ности электрического поля сквозь боко-

вую поверхность конуса ... а) увеличилась б) уменьшилась в) не изменилась г) не хватает данных о соотношении высоты конуса и его радиуса

67

8.12э. Дана система точечных зарядов в вакууме и замкнутые поверхности S1, S2 и S3. Поток вектора напряженности электростатического поля равен нулю через ...

а) 1S ; б) 2S ; в) S3; г) S1 и S3; д) нет такой поверхности

8.13э. Электрический заряд q распреде-лен равномерно внутри сферы радиуса R1. Радиус сферы увеличили до R2 = 2R1, и заряд равномерно распределился по новому объе-му. Во сколько раз уменьшился поток векто-ра напряженности электрического поля сквозь сферическую поверхность радиуса R1.

1) не изменился 2) в 2 раза 3) в 4 раза 4) в 8 раз


8.14с. Заряд 1q помещен в центр сферы, а заряд 2q – на расстоянии b от центра. Найди-те поток вектора напряженности электриче-ского поля сквозь поверхность сферы.

1 5q нКл, 2 3q нКл, 3R м, 5b м. Ответ: 565 Вм

8.15с. Заряд q помещен в центр сферы радиуса R . Найдите поток вектора напряженности электрического поля сквозь три четверти сферы.

4q нКл, 1R см. Ответ: 339 Вм

8.16с. Над бесконечной плоскостью, равно-мерно заряженной с поверхностной плотностью заряда , в параллельной плоскости на расстоя-нии h расположен небольшой круг радиуса R .

Найти поток вектора напряженности электрического поля сквозь по-верхность круга. 1 нКл/м2, 3R см, 1h м. Ответ: 160 мВм

68

8.17с. Электрическое поле создается бесконеч-ной прямой равномерно заряженной нитью с линей-ной плотностью заряда . На большом удалении r расположена круглая пластинка радиуса R . Нить проходит параллельно плоскости пластинки. Найти поток вектора электрического смещения через

поверхность пластинки. 2 мКл/м, 1R см, 5r м. Ответ: 20 нКл 8.18э. Частица с зарядом q находилась у вершины конуса снаружи (рис.а). Ее перемес-тили вдоль оси конуса в точку рядом с верши-ной, но внутри (рис.б). При этом величина по-тока вектора напряженности электрического поля сквозь боковую поверхность конуса ...

а) увеличилась б) уменьшилась в) не изменилась г) не хватает данных о соотношении высоты конуса и его радиуса 8.19э. Электрический заряд q распреде-лен равномерно внутри параллелепипеда квадратного сечения b1b1 и высотой h. Ребро квадратного сечения увеличили до b2 = 3b1, оставив высоту без изменения, и за-ряд равномерно распределился по новому объему. Во сколько раз уменьшился поток вектора напряженности электрического поля сквозь поверхность па-раллелепипеда с квадратным сечением b1b1. 1) в 3 раза 2) в 9 раз 3) в 27 раз 4) не изменился

8.20э. Дана система точечных зарядов в ва-кууме и замкнутые поверхности S1, S2 и S3. Поток вектора напряженности электростатического по-ля равен нулю через ...

а) 1S ; б) 2S ; в) 3S ; г) S1 и S3; д) нет такой поверхности 8.21c. Напряженность электростатического поля задается форму-лой cos expE i A Bx j C Dy

? ? ?;

Используя теорему Гаусса в дифференциальной форме, найдите объ-емную плотность заряда в точке 0 0,P x y .

1A В/м, 2B рад/м, 3C В/м, 4D м–1, 0 1x м, 0 2y м. Ответ: 111,6 10 Кл/м3.

по дисциплине...

Documents