логарифмічна функція
TRANSCRIPT
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 11
ЛОГАРИФМІЧНЛОГАРИФМІЧНА А
ФУНКЦІЯ ФУНКЦІЯ
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 22
Цілі проектуЦілі проекту Познайомити Познайомити оточуючих з поняттям оточуючих з поняттям логарифма, його логарифма, його функцією, графіком та функцією, графіком та властивостями.властивостями.
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 33
Історична довідка.Історична довідка. Логарифм числа.Логарифм числа. Логарифмічна функція, її графік і Логарифмічна функція, її графік і
властивості. властивості. Логарифмічні рівняння та нерівності.Логарифмічні рівняння та нерівності.
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 44
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 55
Ідея створення логарифмівІдея створення логарифмів бере початок ще від Архімедабере початок ще від Архімеда (бл.287-212 р. до н. е.), але(бл.287-212 р. до н. е.), але перший крок до спрощення перший крок до спрощення обчислень зробив німецькийобчислень зробив німецький математик математик
Михаель Штіфель(1487-1567).Михаель Штіфель(1487-1567).
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 66
Термін Термін “логарифм”“логарифм” належить належить шотландському шотландському математику Джону математику Джону Неперу (1550-1617), Неперу (1550-1617), який у 1614 році який у 1614 році вперше опублікував вперше опублікував працю “Описання працю “Описання дивовижної таблиці дивовижної таблиці логарифмів”. логарифмів”.
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 77
Логарифми також вивчав Логарифми також вивчав швейцарський математик, астроном і швейцарський математик, астроном і механік Йост Бюргі (1552-1635). Свої механік Йост Бюргі (1552-1635). Свої таблиці він опублікував у 1620 році. таблиці він опублікував у 1620 році. Через чотири роки логарифмічні таблиці Через чотири роки логарифмічні таблиці надрукував Генрі Брігс( 1561-1631), а у надрукував Генрі Брігс( 1561-1631), а у 1629 їх доповнив А. Влокк.1629 їх доповнив А. Влокк.
Пізніше ці таблиці назвали таблицями Пізніше ці таблиці назвали таблицями звичайних логарифмів. звичайних логарифмів.
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 88
Корінь рівняння Корінь рівняння a a x ==NN , де , де a>a>0, 0, aa≠≠1, називають 1, називають логарифмом числа логарифмом числа NN за за основою основою aa..
Логарифмом числа Логарифмом числа N N за за основою основою
a (a>0 i aa (a>0 i a≠≠1)1)називається називається показник степеня показник степеня x x,, до якого до якого треба піднести треба піднести aa, щоб дістати , щоб дістати числочисло N N..
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 99
Логарифм числа Логарифм числа N N за основою а дорівнює х, за основою а дорівнює х, а записується це так:а записується це так:
log log a a NN= х= х Наприклад, з рівності Наприклад, з рівності 553 = 3 = 125 125 випливає, що випливає, що
log log 55125 = 3125 = 3
ПРИМІТКА :ПРИМІТКА : Вираз Вираз loglog a a N N, де , де a>0, aa>0, a≠≠00 має смисл має смисл
лише при лише при N>0 N>0..
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1010
Основна Основна логарифмічна логарифмічна
тотожністьтотожність aaxx = N = N x = log x = log a a NN a a loglog a a N N =N =N
55loglog55125125 = 125 = 125 10 10 lg1000lg1000 = 1000 = 1000 log 9log 9 = 9 = 9
31
31
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1111
Логарифм добутку двох додатних Логарифм добутку двох додатних множників дорівнює сумі їхмножників дорівнює сумі їх логарифмів,логарифмів, тобтотобто log a (N1N2) =log a N1+log a N2log a (N1N2) =log a N1+log a N2, де , де NN11>0>0, , NN22>0>0
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1212
Логарифм частки двох додатних Логарифм частки двох додатних чисел дорівнює різниці логарифмів чисел дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника (дробу діленого і дільника (дробу чисельника і знаменника), тобточисельника і знаменника), тобто
Log Log aa N N11/N/N22=log =log aa N N11- log - log aa N N2 2 ,, де де NN11>0,>0, NN22 >0 >0
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1313
Логарифм степеня додатного Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня, числа дорівнює показнику степеня, помноженому на логарифм основи помноженому на логарифм основи цього степеня, тобтоцього степеня, тобто Log a (Nm) =mLog a (Nm) =m log a N, mlog a N, m – будь- – будь-яке число,яке число, N>0 N>0
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1414
Логарифм кореня з додатного числа Логарифм кореня з додатного числа дорівнює логарифму підкореневого виразу, дорівнює логарифму підкореневого виразу, поділеному на показник кореня, тобтоподіленому на показник кореня, тобто Log Log aa = =
Застосовуючи теорему №3 маємо:Застосовуючи теорему №3 маємо: log log aa = log = log aa N N 1/k1/k = log = log aa N = N =
K NkaNlog
K N k1
kaNlog
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1515
Якщо логарифми двох додатних Якщо логарифми двох додатних чисел за тією самою основою рівні, чисел за тією самою основою рівні, то й самі числа рівні. І навпаки, якщо то й самі числа рівні. І навпаки, якщо два додатні числа рівні, то і їх два додатні числа рівні, то і їх логарифми за тією самою основою логарифми за тією самою основою рівні.рівні.
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1616
Логарифм одиниці дорівнює нулю.Логарифм одиниці дорівнює нулю. Це випливає з означення степеня з Це випливає з означення степеня з
нульовим показником.нульовим показником. Логарифм основи дорівнює Логарифм основи дорівнює
одиниці, тобто одиниці, тобто log log a a= 1 a= 1. Це випливає . Це випливає з того, щоз того, що a a11=a=a..
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1717
Прологарифмувати одночлен означає виразити його логарифм через логарифми додатних чисел, що входять до його складу.
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1818
Log b a = ablog1
Log a N = log a k N k
Log a n N = log a Nn1
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 1919
це перетворення, за допомогою це перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа якого за даним логарифмом числа визначають саме число.визначають саме число.
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 2020
Log a N = Log b N log a b
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 2121
ірраціональне число, наближене ірраціональне число, наближене значення якого значення якого ≈ ≈ 22,718,718
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 2222
називають логарифми з основою е. називають логарифми з основою е.
Позначають їх Позначають їх ln xln x..Наприклад, Наприклад, ln e =1, ln e =1, ln 1= 0,ln 1= 0, ln 2 = 0,693,ln 2 = 0,693, ln 3 =1,098ln 3 =1,098
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 2323
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 2424
1)Область визначення логарифмічної 1)Область визначення логарифмічної функції – множина всіх додатних чисел.функції – множина всіх додатних чисел.
2)Область значень логарифмічної функції 2)Область значень логарифмічної функції – множина всіх дійсних чисел.– множина всіх дійсних чисел.
3)Логарифмічна функція на всій області3)Логарифмічна функція на всій області визначення визначення RR зростає, зростає, якщо аякщо а>1>1 і спадає, і спадає, якщо 0якщо 0<a<1<a<1..
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 2525
ЛОГАРИФМІЧНИМИ НАЗИВАЮТЬ РІВНЯННЯ , ЯКІ МІСТЯТЬ НЕВІДОМУ ПІД ЗНАКОМ ЛОГАРИФМА.
НАПРИКЛАД,
Log ½ х = -3
Х = (1/2) -3
X = 8
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 2626
Якщо а Якщо а >1>1, то логарифмічна функція , то логарифмічна функція зростає, тому більшому логарифму зростає, тому більшому логарифму відповідає більше значення виразу, що відповідає більше значення виразу, що стоїть під знаком логарифма.стоїть під знаком логарифма.
Якщо Якщо a< 1a< 1, то більшому логарифму , то більшому логарифму відповідає менше значення виразу, що відповідає менше значення виразу, що стоїть під знаком логарифма.стоїть під знаком логарифма.
02.05.2302.05.23 Новомар'ївка, 2007рНовомар'ївка, 2007р 2727