Задачі на знаходження четвертого пропорційного

Видавництво «Ранок»

2016/17 навчальний рік

Зимова сесія: 16 січня–28 січня 2017 р.

День 5


Скворцова Світлана Олексіївна,член-кореспондент НАПН України, доктор педагогічних наук,

професор, завідувач кафедри математики та методики її навчання ДЗ «Південноукраїнський національний

педагогічний університет імені К. Д. Ушинського»

Методика формування умінь розв'язування задач на

знаходження четвертого пропорційного ( 3 клас)


Задачі на знаходження четвертого пропорційного

• Зміст і методика підготовчої роботи до введення задач на знаходження четвертого пропорційного.2.




• Ознайомлення із задачами на знаходження четвертого пропорційного (однаковою є величина одиниці виміру або лічби). Спосіб знаходження однакової величини.

3.




• Ознайомлення із задачами на знаходження четвертого пропорційного (однаковою є величина одиниці виміру або лічби). Спосіб знаходження однакової величини.

3.

• Формування вмінь розв’язувати задачі способом знаходження однакової величини (однаковою є величина одиниці виміру або лічби, загальна величина або кількість).

4.


Зміст і методика підготовчої роботи до введення задач на знаходження четвертого пропорційного

• Актуалізація знань взаємозв'язку взаємопов'язаних величин.


Зміст і методика підготовчої роботи до введення задач на знаходження четвертого пропорційного

• Актуалізація знань взаємозв'язку взаємопов'язаних величин.

величина 1 виміру

Загальна величина


Підготовча робота



• Розв'язування простих та складених задач, що містять взаємопов'язані величини.




Ціна (грн.)

Кількість (шт.)

Вартість (грн.)




Ціна (грн.)



63 грн.




Ціна (грн.)



63 грн.? шт.




Ціна (грн.)



63 грн.? шт.

56 грн.




Ціна (грн.)



63 грн.? шт.

56 грн.8 шт.




Ціна (грн.)



63 грн.? шт.

56 грн.8 шт.?

?




Ціна (грн.)



63 грн.? шт.

56 грн.8 шт.?

?

63 : ( 16 – 56 : 8)= 7 (шт.)


Ознайомлення


Розв'язування підготовчих задач



1



1

6



1

6

30



1

6

30?



1

6

30?

30 : 6 = 5 - ( кг) маса 1 коробки



2



2

4



2

4

5



2

4

5?



2

4

5?

5 · 4 = 20 ( кг) - маса 4 коробок


Ознайомлення із задачами на знаходження четвертого пропорційного ( 3-й клас)

Поєднуємо дві прості задачі (задачі 1 і 2) в одну складену задачу (задача 3).


Ознайомлення


Ознайомлення із задачами на знаходження четвертого пропорційного



3



3

6



3

6

30



3

6

30?

?

4



3

6

30?

?

4

?


?


?

4? .


?

4? .

: 30 6


?

4? .

: 30 6

1)


?

4? .

: 30 6

1)

Розв’язання задачі 1 30 : 6 = 5 (кг) – маса 1

коробки.

1)


?

4? .

: 30 6

1)


коробки.

1)2)


?

4? .

: 30 6

1)


коробки.

1)2)

Розв’язання задачі 2 4·5= 20 (кг) – загальна

маса 4 коробок.

2)


1) 30 : 6 = 5 (кг) – маса 1 коробки, однакова величина;

2) 4 · 5 = 20 (кг) – загальна маса 4 коробок.

Розв'язання?

4? .

: 30 6

1)

2)

Відповідь: маса 4 коробок печива 20 кг.


Зміна ситуації задачі. Дослідження впливу цієї зміни на розв'язання

В попередній задачі змінюємо ситуацію задачі, а числові дані та шукане залишаються тими самими.


Зміна величин задачі. Дослідження впливу цієї зміни на розв'язання задачі

?30

6

? ?

4



?30

6

? ?

4

3



?30

6

? ?

4

4


1) 30 : 6 = 5 (кг) – маса 1 коробки печива, однакова величина;

2) 5 · 4 = 20 (кг) – загальна маса 4 короб.

Відповідь: маса 4 коробок печива 20 кг..

Розв'язання задачі 3


1) 30 : 6 = 5 (кг) – маса 1 коробки печива, однакова величина;

2) 5 · 4 = 20 (кг) – загальна маса 4 короб.

Відповідь: маса 4 коробок печива 20 кг..


(грн) – ціна 1 олівця,

(грн) – вартість 4 ручок.

вартість 4 ручок 20 грн.


Зміна числових даних задачі. Дослідження її впливу на план розв'язування задачі

В попередній задачі змінюємо числові дані, а ситуацію і шукане лишаємо тими самими.


Зміна числових даних задачі. Дослідження впливу цієї зміни на план розв'язування задачі

30

6

4

?

? ?



30

6

4

?

? ?

5



30

6

4

?

? ?

55


1) 30 : 6 = 5 (грн) – ціна 1 олівця, однакова величина;

2) 5 · 4 = 20 (грн) – вартість 4 ручок.

Відповідь: вартість 4 ручок складає 20 грн.



1) 30 : 6 = 5 (грн) – ціна 1 олівця, однакова величина;




63 : 9 = 7

7 · 7 = 49 7

вартість 7 ручок складає 49 грн.


Узагальнення способу розв'язування задач

Зіставляємо короткі записи, та розв'язання задач

1-3.


ПОРІВНЯЙТЕ:Розв’язання


2) 5 · 4 = 20 (кг) – маса 4 коробок.

Задача на ознайомлення

Маса 6 однакових коробок з печивом дорівнює 30 кг. Визнач масу 4 таких самих коробок.

3




2) 5 · 4 = 20 (кг) – маса 4 коробок.



3

Змінили величиниВартість 6 олівців складає 30 грн. Скільки коштують 4 ручки, якщо ціна олівців і ручок однакова?

Розв’язання1) 30 : 6 = 5 (грн) - ціна 1 олівця,

однакова величина;2) 5 · 4 = 20 (грн) – вартість 4 ручок.

4




2) 5 · 4 = 20 (кг) – маса 4 коробок.



3

Змінили величиниВартість 6 олівців складає 30 грн. Скільки коштують 4 ручки, якщо ціна олівців і ручок однакова?

Розв’язання1) 30 : 6 = 5 (грн) - ціна 1 олівця,

однакова величина;2) 5 · 4 = 20 (грн) – вартість 4 ручок.

4

Змінили числові дані

Вартість 9 олівців 63 грн. Яка вартість 7 ручок, якщо ціна ручок і олівців однакова?

Розв’язання1) 63 : 9 = 7 (грн) - ціна 1 ручки,

однакова величина;2) 7 · 7 = 49 (грн) – вартість 7

ручок.

5


Істотні ознаки задачі на знаходження четвертого пропорційного:



1) містить 3 взаємопов'язані величини;




Ціна Кількість Вартість




КількістьМаса 1 Загальна

маса




КількістьВеличина 1 Загальна величина





2) описує 2 випадки;





І

ІІ






І

ІІ


3) величина 1 одиниці вимірювання або лічби є однаковою для двох випадків;





І

ІІ



?, однакова





І

ІІ



?, однакова

4) дано 2 числові значення кількості (часу);





І

ІІ



?, однакова


с

a





І

ІІ



?, однакова


с

a

5) дано лише 1 числове значення загальної величини, а друге є шуканим.





І

ІІ



?, однакова


с

a

5) дано лише 1 числове значення загальної величини, а друге є шуканим.

b

?


Зміна шуканого задачі. Дослідження впливу цієї зміни на план розв'язування задачі

Складаємо і розв'язуємо обернені задачі.



Пряма задача 9, 63, 7, ?


?


?

49 ?:


?

49 ?

: 963

:


?

49 ?

: 963

:

1)


?

49 ?

: 963

:

1)

2)


?

49 ?

: 963

:

1)

2)

1) 63 : 9 = 7 (грн) – ціна 1 олівця, однакова величина;2) 49 : 7 = 7 (шт.) – кількість ручок.

Розв'язання

Відповідь: 7 ручок.


?


?

? 9.


?

? 9.

:49 7


?

? 9.

:49 71)


?

? 9.

:49 7

2)

1)


?

? 9.

:49 7

2)

1)


1) 49 : 7 = 7 (грн) – ціна 1 олівця, однакова величина;2) 7 · 9 = 63 (грн) – вартість 9 ручок.




Третя обернена задача:?, 63, 7, 49


?


?

63 ? :


?

:49 7

63 ? :


?

:49 7

63 ? :

1)


?

:49 7

63 ? :

2)

1)


?

:49 7

63 ? :

2)

1)

1) 49 : 7 = 7 (грн) – ціна 1 олівця, однакова величина;2) 63 : 7 = 9 шт. – стільки ручок можна купити на 63 грн.


Відповідь: 9 ручок можна купити на 63 грн.


Узагальнення способу розв'язування задач

Зіставляємо короткі записи, та розв'язання задач 1-3.


Розв’язання


Пряма задача1) 63 : 9 = 7 (грн) - ціна 1 олівця,

однакова величина;

ПОРІВНЯЙТЕ:




Пряма задача

Перша обернена задача


2) 49 : 7 = 7 шт. – ручок можна купити на 49 грн.

1) 63 : 9 = 7 (грн) - ціна 1 олівця, однакова величина;







Друга обернена задача1) 49 : 7 = 7 (грн) - ціна 1 олівця,






Друга обернена задача1) 49 : 7 = 7 (грн) - ціна 1 олівця,


Третя обернена задача








Друга обернена задача










Пряма задача1) 63 : 9 = 7 (грн) - ціна 1 олівця,




Друга обернена задача



Пряма задача









2) 49 : 7 = 7 шт. – кількість ручок, що можна купити на 49 грн.



Розв'язування задач на знаходження четвертого пропорційного

Ціна 1 предмета /Маса 1 предмета Кількість предметів Загальна вартість/

Загальна маса

І

ІІ?, однакова

с

a b

?

Пам'ятка:





І


с

a b

?

Пам'ятка:

1) Першою дією дізнаємося про значення однакової величини.





І


с

a b

?

Пам'ятка:

1) Першою дією дізнаємося про значення однакової величини.

2) Другою дією відповідаємо на запитання задачі.



1) містить 3 взаємопов'язані величини

Ціна Кількість Вартість




Кількість Маса 1 предмета





Величина 1 виміру


Кількість (час)







І

ІІ

2) описує 2 випадки







І

ІІ


3) величина 1 одиниці вимірювання або лічби є однаковою для двох випадків

?, однакова







І

ІІ



?, однакова

4) дано 2 числові значення однієї величини







І

ІІ



?, однакова


с d

ba - ?

5) дано лише 1 числове значення іншої величини, а друге є шуканим







І

ІІ



?, однакова


с d

b - ?a








І

ІІ



?, однакова


с - ? d

ba








І

ІІ



?, однакова


с d - ?

ba



Формування вмінь розв’язувати задачі способом знаходження однакової величини



Заробіток за 1 день

(грн.)

Час роботи

(дні)

Загальний заробіток

(грн.)




(грн.)

Час роботи

(дні)


(грн.)

?,однаковий3 дні 270 грн.

7 днів ?




(грн.)

Час роботи

(дні)


(грн.)


7 днів ?

1)




(грн.)

Час роботи

(дні)


(грн.)


7 днів ?

1)

2)




(грн.)

Час роботи

(дні)


(грн.)


7 днів ?

1)

2)

Розв'язання1)270 : 3 = 90 (грн)

- заробіток за 1 день, однакова величина;2) 90 · 7 = 630 (грн)

- заробіток за 7 днів.

270 : 3 · 7 = 630 (грн)Відповідь: за тиждень робітник одержить 630 гривень.



(грн.)

Час роботи

(дні)


(грн.)3 дні 270 грн.

7 днів ? грн.?, однаков.

2 7 0 : 3 = 9 0 (грн.)за 1 день, однак. вел.; 9 0 · 7 = 6 3 0 (грн.) -за 7 днів.




(грн.)

Час роботи

(дні)







(грн.)

Час роботи

(дні)


(грн.)

3 дні

7 днів

270 грн.?, однаков.

? грн.



(грн.)

Час роботи

(дні)







(грн.)

Час роботи

(дні)


(грн.)

3 дні

7 днів


? грн.

630

630 грн.? днів



(грн.)

Час роботи

(дні)




2 7 0 : 3 = 9 0 (грн.)за 1 день, однак. вел.;

9 0 · 7 = 6 3 0 (грн.) -за 7 днів.



(грн.)

Час роботи

(дні)


(грн.)

3 дні

7 днів


? грн.

630

630 грн.? днів

6 3 0 : 9 0 = 7 днів -працівник заробить 630

грн.




(грн.)

Час роботи

(дні)








(грн.)

Час роботи

(дні)







(грн.)

Час роботи

(дні)


(грн.)

3 дні

7 днів


? грн.

630

630 грн.

? грн.



(грн.)

Час роботи

(дні)




2 7 0 : 3 = 9 0 (грн.)за 1 день, однак. вел.;

9 0 · 7 = 6 3 0 (грн.) -за 7 днів.



(грн.)

Час роботи

(дні)


(грн.)

3 дні

7 днів


? грн.

630

630 грн.

? грн.

6 3 0 : 7 = 9 0 (грн.) -

9 0 · 3 = 2 7 0 (грн.) -за 3 днів.



Час роботи

(дні)3 дні 270 грн.


за 1 день, однак. вел.;

630 грн.

? грн.

6 3 0 : 7 = 9 0 (грн.) -

9 0 · 3 = 2 7 0 (грн.) -за 3 дні.

630



(грн.)


(грн.)


Час роботи




630 грн.

? грн.

6 3 0 : 7 = 9 0 (грн.) -

9 0 · 3 = 2 7 0 (грн.) -за 3 дні.

630


Час роботи



630 грн.

? грн.

630 Заробіток за 1 день

(грн.)


(грн.)


(грн.)


(грн.)



(грн.)

Час роботи

(дні)





630 грн.

? грн.

6 3 0 : 7 = 9 0 (грн.) -

9 0 · 3 = 2 7 0 (грн.) -за 3 дні.

630



(грн.)

Час роботи

(дні)




630 грн.

630

? днів



(грн.)

Час роботи

(дні)





630 грн.

? грн.

6 3 0 : 7 = 9 0 (грн.) -

9 0 · 3 = 2 7 0 (грн.) -за 3 дні.

630



(грн.)

Час роботи

(дні)




630 грн.

630

? днів

2 7 0 : 9 0 = 3 дні



Алгебраїчний метод розв'язування задач на знаходження четвертого пропорційного


Зміна однакової величини. Задачі, в яких однаковою величиною є загальна величина

В задачі на знаходження четвертого пропорційного, в якій однаковою є величина одиниці виміру або лічби, змінюємо однакову величину – однаковою стає загальна величина.



3



3

30



3

30?



3

30?

?



3

30?

?

5



3

30?

?

5

?


1)30 : 3 = 10 (грн.) – ціна бананів або апельсинів, однакова величина;

2)10 · 5 = 50 (грн) – вартість апельсинів.

Або 30 : 3 · 5 = 50(грн).


3

30?

?

5

?


2


2

3


2

3

?


2

3

?10


2

3

?10

5


2

3

?10

5

?


2

3

?10

5

??


?


?

? 5:


?

? 5:

·10 3


?

? 5:

·10 31)


?

? 5:

·10 31)

2)


?

? 5:

·10 31)

2)

Відповідь: ціна бананів 6 грн.

1) 10 · 3 = 30 (грн) – вартість А. або Б., однакова величина;2) 30 : 5 = 6 (грн) – ціна Б.



Задачі на знаходження четвертого пропорційного, в яких однаковою є або величина одиниці виміру, або загальна величина



В задачі на знаходження четвертого пропорційного, в якій однаковою є величина одиниці виміру або лічби, змінюємо однакову величину – однаковою стає кількість (час).


Зміна однакової величини. Задачі на знаходження четвертого пропорційного, в яких однаковою є величина кількості або часу


Зміна однакової величини. Задачі на знаходження четвертого пропорційного, в яких однаковою є величина кількості або часу

1) 20 : 5 = 4 (грн) – ціна М. або Б. однакова величина;2) 4 · 7 = 28 (грн) –

вартість Б.Або 20 : 5 · 7 = 28(грн).


1) 20 : 5 = 4 (грн) – ціна М., однакова величина;

2) 4 · 7 = 28 (грн) – вартість Б.

1




2) 4 · 7 = 28 (грн) – вартість Б.

1


2



2) 4 · 7 = 28 (грн) – вартість Б.

1

Розв'язання задачі 1Розв'язання задачі 2

2

3 · 4 = 12 (грн)

16 : 4 = 4 кг, кількість М.


Задачі на знаходження четвертого пропорційного. Спосіб знаходження однакової величини


Дякуємо за увагу!

Задачі на знаходження четвертого пропорційного

Education