Зачетная работа по геометрии

Подготовила : Маркова Елизавета, ученица 10А класса, лицея 488

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: плоскость α, пр.а, p⊂α, q⊂α, p∩q=O, a⊥q, a⊥p

Доказать: a⊥α

a

α

p

qO

Доказательство:I) Пусть пр.а проходит

через т.О:1) Пусть x –

произвольная прямая, x⊂α

2) Через т.О проведем пр. у||x

3) Отметим на пр.а т.А∈а, т.В∈а, OA=ОВ

4) Проведем произвольную пр.m, пересекающую пр.p,q,y в точках P,Q,Y, будем считать, что Q лежит между P и Y

a

α

p

qO

x y

A

B

P

Q

Y

m

a

α

p

qO

x y

A

B

P

Q

Y

m

5) Рассмотрим Δ APB:Т. к. а⊥p, то AB⊥PO → PO -

высота → Δ APB – р /б. → AP=PBOA=OB → PO - медиана

6) Рассмотрим Δ AQB: Т. к. а⊥q, то AB⊥QO → QO - высота

OA=OB → QO - медиана → Δ AQB – р/б. → AQ=QB

a

α

p

qO

x y

A

B

P

Q

Y

m

7) Рассмотрим Δ PAQ и Δ PBQ:

PQ – общаяAQ=QB (из 6)AP=BP (из 5)

→ Δ PAQ=ΔPBQ→

→ ∠ APQ= BPQ∠

a

α

p

qO

x y

A

B

P

Q

Y

m

→ YO – высота → YO⊥AB → y⊥a

→ a⊥α

9) y⊥a у||x → a⊥x

x⊂α

8) Рассмотрим Δ APY и ΔBPY:

AP=BP (из 5)PY - общая ∠APQ= BPQ∠ (из 7)

→ΔAPY=ΔBPY→

→AY=BY → Δ AYB - р/б. YO – медиана

→

a¹

α

p

qO

a

II) Пусть пр.а не проходит через т.О:

1) Проведем через т.О пр.а¹ || а

→ p⊥a¹

→ q⊥a¹

→ a⊥α

ч. и т. д.

2) a ⊥ p(дано) a || a¹ (из 1)

3) a ⊥q(дано) a || a¹(из 1)

Из 2 и 3 (по I части )

a¹⊥α а¹ || а

→