Задачи к семинару 2Свойства оценок

1. По выборке x1, x2, x3, x4, x5 из нормального распределения N(θ, σ2) построена следующаяоценка параметра θ: θ̂ = 0.1x1 + 0.2x2 + 0.3x3 + 0.3x4 + 0.1x5.

а) Является ли оценка θ̂ несмещенной?б) Найти дисперсию оценки θ̂.в) Является ли оценка θ̂ эффективной?

2. По выборке x1, x2, x3, x4, x5 из нормального распределения N(θ, σ2) построена следующаяоценка параметра θ: θ̂ = 0.25x1 + 0.25x2 + 0.25x3 + 0.25x5. Выяснить, является ли оценка θ̂несмещенной и эффективной? Предложите смещённую оценку с меньшей дисперсией.

3. Дискретная случайная величина X задана следующим рядом распределения:

X 0 1 2p 0.5 θ 0.5 − θ

Имеется два наблюдения этой случайной величины x1 и x2.

а) Рассмотрим оценку θ̂ = 2−0.4x1−0.6x2 для параметра θ. Найдите смещение этой оценки.

б) При каких условиях на коэффициенты α0, α1, α2 оценка θ̂ = α0 + α1x1 + α2x2 будетнесмещённой для параметра θ.

в) Найдите эффективную оценку параметра θ среди оценок такого вида.

4. Дискретная случайная величина X задана следующим рядом распределения:

X −1 0 1p 0.5 0.1 − θ 0.4 + θ

Имеется два наблюдения этой случайной величины x1 и x2.

а) Рассмотрим оценку θ̂ = 0.2x1 + 0.8x2 для параметра θ. Найдите смещение этой оценки.

б) При каких условиях на коэффициенты α0, α1, α2 оценка θ̂ = α0 + α1x1 + α2x2 будетнесмещённой для параметра θ.

в) Найдите эффективную оценку параметра θ среди оценок такого вида.

5. По выборке x1, x2 из нормальной генеральной совокупности с параметрами θ и σ2 постро-ена следующая оценка параметра θ: θ̂ = 1

2(x1 + x2). Докажите, что она является эффективной

оценкой среди всех линейных несмещённых оценок, решив соответствующую оптимизационнуюзадачу. Будет ли её дисперсия минимальной среди всех линейных оценок?

6. По выборке x1, x2, x3 из нормальной генеральной совокупности с параметрами θ и σ2

построена следующая оценка параметра θ: θ̂ = 13(x1 + x2 + x3). Докажите, что она являет-

ся эффективной оценкой среди всех линейных несмещённых оценок, решив соответствующуюоптимизационную задачу. Будет ли её дисперсия минимальной среди всех линейных оценок?

7. Проверить, являются ли несмещёнными оценки θ̂n для выборки из генеральной совокуп-ности с математическим ожиданием θ:

1

• θ̂n = 1n

∑(xi − x̄);

• θ̂n =∑ωixi, если

∑ωi = 1.

8. Доказать, что MSE = E(θ̂ − θ)2 = D(θ̂) + bias2(θ̂).

9. Пусть θ̂ - несмещённая оценка параметра θ с конечной положительной дисперсией D(θ̂).Найти смещение оценки θ̂2 для θ2?

Дополнительные задачи

10. Дана выборка x1, x2, . . . из распределения Бернулли с параметром p. Проверить, что x1является несмещённой оценкой для p. Является ли эта оценка состоятельной?

11. Дана выборка x1, x2, . . . из распределения Пуассона с параметром λ. Проверить, что x1является несмещённой оценкой для λ. Является ли эта оценка состоятельной?

12. Доказать, что выборочное среднее является эффективной оценкой математическогоожидания нормального распределения, когда дисперсия известна.

13. Для выборки x1, x2, . . . , xn из генеральной совокупности с равномерным распределениемна интервале (0; θ) проверить несмещённость и эффективность оценки θ̂ = n+1

nxmax.

14. Доказать, что в схеме Бернулли p̂ является эффективной оценкой неизвестной вероят-ности p.

15. Доказать, что s2 = 1n−1

n∑k=1

(xk−x)2 является несмещённой оценкой дисперсии генеральнойсовокупности.

16. Доказать, что эмпирическая функция распределения является несмещённой и состоя-тельной оценкой функции распределения генеральной совокупности.

Необходимые термины

• Несмещённость

• Смещение

• Эффективность

• Среднеквадратическая ошибка (MSE)

• Состоятельность

• Сходимость по вероятности

• Сходимость по распределению

2