καλαθάκης γιώργης συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β'...
TRANSCRIPT
-
-
: .
Mathematica.gr
-
http://www.mathematica.gr/ - 2
1.
1. : 2
(k 1)x my 2012, k,m,x,y R
k x (k m)y 2013
m R , k R ,
x,y
2. 2x2 x,y x yD,D ,D D Z
:
3D 1 (5 3D) 0 2 2x x y yD 8D D 4D 19D 1 0 .
. .
.
2x 5y 4 6
2 x 1 y 3 2
, , , .
3. :
5 x 2 y 2
7 x 2y
x,y R .
, R .
4. 2x2 x , y x yD,D ,D D Z .
4 3D 3D 7 0 2 2x x y yD 8D 4D D 5D 30 0 .
5. , :
(1 )x ( 1)y 5
(3 1)x 3y 10
6. a, , : 2x y a 1
x 8y a 1
7. 2( 1) x (3 2)y 3
(1 )x (3 )y 1
, (x,y) (1,1) ;
8. : ( 2)x ( 7)y 0
x ( 1)y 0
.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=31695http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44317http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=31437http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=31571http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=31111http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=31075http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=31037http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=31027
-
http://www.mathematica.gr/ - 3
1. : 2 2 2
3 3 3
x y z 2
x y z 4
x y z 5
2. : 2 2
2
x xy y 21
y 2xy 15
3. :
2 2
2
2 2
2
2 2
2
1x 2 (y z)
y
1y 2 (z x)
z1
z 2 (x y)x
4.. x y x y 72
x y x y 30
5. R x y x 1
y x y 1
6. 2 2
3 2
2x 5xy 5y x 10y 35 0
x 5xy 42 0
7. : 2 2
2 2
4x x y y 3
x xy y 3
8. : 2 2
2 2
x y 4x 2y 15 0
3x 7xy 9x 2y 2y 12
9. x y 3 2
y y x 10 1
10. : x(x y) 9
y(x y) 16
11.
2
2
4 2
2x xy 1
9x 3xy1
2(1 x) 2(1 x)
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=30778http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=33297http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34147http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=31926http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41619http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41450http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41350http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41344http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41183http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40628http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40441
-
http://www.mathematica.gr/ - 4
2.
1. f : f(x) 0,1 x 1
f(x 1) x1 f(x)
. f
T 3 .
2. , , :
3 2f(x) x 4x 4x, x *9
g(x) , xx
.
3. : 5f(x) 2x 4 .
5 : 2 3 4625 125 25 5 0.
3.
1. 90 x 180 2
sinx cosx3
, sinx cosx .
1. f : f(x) x x ,
x [0,2] .
2.
1 3 7
, , , , , 7 2 2 2 8
3. .
i)2x
f(x) cos3
ii)
3xf(x) tan
iii) f(x) sin x iv)
3xf(x) sin 5
4
1. *x,y R , : 2x 2xsin(xy) 1 0
2. : sin(cos2x) 1
3.
x x 0,x 0,4 4
4. 4 3 2x cos sin x cos 2 x sin x 2 0
x 1
5. :
cos cosx sin sinx2 2
6. : 2 2 2cos (x)+x 2x 16 4 sin (x)
7. : 5x
cos4x sin 2 ,x R3
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43922http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=45447http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40467http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34250http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=45394http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41124http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=39075http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=33912http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=33552http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=3227http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=45428http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40601http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40502http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40471
-
http://www.mathematica.gr/ - 5
8. 2 21
cos x sinx tan x 21 sinx
.
9. : sin2x sinx cosx 2
10. : 2013 2014cos x sin x 1
11. *x,y R , 2x 2xsin(xy) 1 0
12. : sin(cos2x) 1
13. : 11
x x6 6
4.
1. P P(P(x))=9x+8, x .
2. P(x) , Q(x) P(a) a P( a) ,
P(0) 0 Q(x) P P(x) P(x) , x . Q(x) 1 .
3. 3 2P(x) x x x .
,,, : 4P(1) P(2) P(3) ... P() .
4. P 3 P(0) 0 : 2P(x 1) P(x) x .
: 2 2S 1 2 ... n , n .
5. p(x) :2p(x) p(1 x) 3x 3x 1, x .
6. P : P(P(x))=9x+8, x .
7. f,g f(x)+g(x)=f(x)g(x), x ,
.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=38539http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=17024http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34213http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=33912http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=33552http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=33341http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34595http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43528http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42007http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=39421http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=39144http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34595http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34596
-
http://www.mathematica.gr/ - 6
1. 3 2 2P(x) x a x a b , a,b b
-
http://www.mathematica.gr/ - 7
12. a 4 3 2 2P(x) x 2ax 2a x 2ax 1 , .
13. 5 4 3 2 2013P(x) (8x 4x 10x 17x 13x 3) .
3 2 1
P .2
1. P(x) 1
P(2) P( )2
.
1Q (x) 2Q (x) P(x) x 2 2x 1
, :
) x 2 2Q (x)
) x 1 1 2Q (x) Q (x)
2. 81 49 25 9 3x x x x x : x x
3. 3 2P(x) x ax bx c a,b,c .
2Q(x) x 2x 1 P(x) : |a| |b| |c| 3
4. 4 3 2P(x) x (k m)x 2kx 5x 4 , x ,k ,m R .
k ,m ,
x 1 .
5. 2 2010 2 2011P(x) (x 4x 4) (x 5x 5) .
i) .
ii) x 3 .
iii) 2010 20119 11 4.
6. 3 2P(x) ax bx x 2 . a,b R , P(x) :
) x 1 x 2 ) 2x 3x 2
) 2(x 1) ) 2x x 1
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=35520http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34803http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42430http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42547http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41813http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41200http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=38885http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=35975
-
http://www.mathematica.gr/ - 8
1. : 4 3 2(a 1)x 3ax x 3ax (a 1) 0
2. : 3
2 3 2a 3a x x , a9
.
3. x 3 2 26x (4a 3)x 4ax 4a 0 , x R ,
a R .
4. 3 2(1 x)(x 1) x
5. : (x 2)(x 4)(x 3)(x 5) 360
6. R : 10 8 6 4 2x x 8x 24x 32x 48 0
7. : 4 3 2(a 1)x 3ax x 3ax (a 1) 0
1. R : 3 2 3 2
3 2 3 2
3x 2x x 1 3x 2x 5x 13
3x 2x x 1 3x 2x 5x 13
2. : 23 5 17 19
x -11x-4 = + + + .x-3 x-5 x-17 x-19
3. 2
2
x 25 100 2x 3 x 6
2x 20x 50 x 5 2x 10
, .
4. R : 3 2 3 2
3 2 3 2
3x 2x x 1 3x 2x 5x 13
3x 2x x 1 3x 2x 5x 13
1. R : 3 3 32 x 1 2 x 1 7
2. : 3 33x 1 3x 6 3
3. : 332 2x 1 x 1
4. : 68x 3x x 1 0
5. 32x 1 5 x 2 .
6. 2 2(x 2) x x 1 (x 1) x 3x 3 3 .
7. 2
3x 3 x 14
x x x 1
.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34381http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42433http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40473http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=39912http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=39418http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=38704http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34381http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34606http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43958http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41892http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34606http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34193http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43406http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43825http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44143http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=45434http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42130http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40127
-
http://www.mathematica.gr/ - 9
8. : 2x 4x 1 x 1 , ?
9. : x 2x 1 x 2x 1 10
10. : y 1x 1
1x y
11. : 2 2 2x 2x 15 2x 4x 7 3x 6x 10
12. 2x 2x 3 2 x x 1
1. :
4 3x x x 1 0 [ 1,1].
2. 4 3 2P(x) x kx mx nx 2,k,m,n Z
k, n, m :
P(x) 0 x 1 x>2.
1. 3 3
2
x 1 23 0.
x 2
1. : x 2 x 1 x x 2 x 1 2 ,x R
1. , t 0 8km (
) ,
y t t t3 24 9 6 8 , t (min) y (km).
. ,
. (t=0)
. ,
8km.
. 7km ;
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40026http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=39120http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=37023http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=35947http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=35562http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42974http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43017http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=36462http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44018http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42415
-
http://www.mathematica.gr/ - 10
5. -
1. : x x
x x
8 27 7
12 18 6
2. R 2x x 1 2x153 3415 5 0
3. x x x x34 25 43 52
4. k R , x x4 k2 k 3 0 ,
x R .
5. : x x 2014 2014 2014 x(2 3 ) (2 3 )
6. : 2014
12014 x x x xa) x x , x R b) 2014 2014 4028 , x R
7. : x 1
3x 44x
3 4 1 3
4 3 2
8. ) x2 6x 40 0 b) x7(11 6 2) 3 2
9. a 0 , a 1 , x R , : 2
(x 1)(x 2) (x 1)(x 3) (x 2)(x 3)
1 1 2a
a a a
10. : x x
5 57 4 3 7 4 3 194
11. : x x
7 48 7 48 14 , x R
12. : x2 x2 2 6 .
13. : x2 x 3x 1033 4 2
8 .
2.
1. a,b,c 1
-
http://www.mathematica.gr/ - 11
3. :
x y
11yx
4 25 100
2 5 10
4. : 1) x y
x y
2 3 7
4 9 25
2)
x y
x y
x y 12
x y3
2
5. : y 5
y 2
x 3
9 10 4x
4.
1. k ,
2ln(x 3) ln(kx) .
2. : 2X x x2 3 logx 2 3 logx 3
10 .
3. 4 22 2log 2log xlog x log x 6
4. R : 3 3 33 2logx 1 logx 1 logx 2
5. x 2 2x 1 x 1e ln x 2x 2 e 2e e .
5.
1. 3 25
log loglog5 32A 2 3 5
A x x3log (16 212 ) 2x A
2. a,b , a
-
http://www.mathematica.gr/ - 12
6.
1. f(x) ln(x a) 5
f( ) f( ) ln26 3
1) N a
2) To
3) [0,2]
ln(cos ) f( ) f( )12 24
4) N
f(x ) f(x )6 6
1sin(e )cos(e )
2
2. tanx cotx
f(x) 1tanx cotx
.
. f .
. :
i. f(x) tanx . ii.
f(x) f x2
. iii. f(x) f( x) .
. f .
.
f(x)tan x 12
, fx D .
3. : x x9 1 23 cosx
4. 3 2 2P(x) x x x 2a a 1
1) N x 1
2) (a) , a (a)
(a)
3) a :
i) x 2a x 2a 8ax425 16 4 ii) 1
ln2lnx 2a
1( ) 4 5x2a
4) N 8ax 4ax 4ax 1 4ax 13 9 114 4
5.
sinxx 0
f(x) x1 x 0
.
. f .
. f 1 .
. fC 1 1
y , yx x
. 1 1
f(x) , x 0x x
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34549http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42706http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43881http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43920http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43932
-
http://www.mathematica.gr/ - 13
6. 1) a fC 431((tan ) , ln2)
6
2) a 1 : i)
ii) f(x) ln(x 1 2 x) ln(1 x)
iii) 1
f( )4
3 1 sinx 1 ( ) ( ) x (0, )
2 tanx 1 cosx e 2
iv) 2f(x ) 0,5
7. f x k
x k
ef x ,k R
e 1
, x R ,
e
A 1,e 1
: A.k 0 . B. f R
. f x f x 1 , x R : 2 4
2 f f 5 5
8. 3 2P x x 2x 5x 2 4 x xf x ln e e f R .
A. P x 0 .
B. f 0x 0 .
. g g R , :
xln g x 2e 1 f x x R . x xg(x) e e , x R g R .
. : 6 4 2 2 5 6 0
. : 1 2
lnx 10.
x x
1 2 , P x .
9. : x
xf(x)
ln(e 1)
) ) : f(x) 2
) : f(x) x
10. 2 3 2 2 2
P x 3 4 x 2 x a 2 x 12
0,2 . P x x 1 , :
. ,, R
. ,, . :
i. P(x) 0
ii. 0, , : P 0
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44262http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44656http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44666http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44675http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44715
-
http://www.mathematica.gr/ - 14
11. 2 3f(x) 3sin ax cosax 5 ,
a 2 .
) f
) 2f(x 2x 3) 5
) 8
f(1)3
, :
i) cosa ii) : cos a sin a
Atan a cot a2 2
373 (49 ) 9 ( )
24 (51 ) 5 (2 )
11. 1) : 4 4
x y 4
x y 82
2) : 4 441 x 41 x 4
12. :
1) y x xe
y
log x y log x y
2 22
2
3 2
1
1
3 ( 2 6) 2 ( 2) 1
2) 2 3
2 3
log 1 sinx log (3cosy)
log 1 3cosy log (3sinx)
3)
2012
2012
3 3 3
x 2
log (x 1) log (x 1) log 4
(2012 1)(x 3x 2) 0
4) 2 2
2 22 2
x xy y
log (x y ) 1 log xy
3 81
5)
2012 83 9
3 2
1 1log x log y 0
2012 4
|x| y 2y 0
13. f , , 2 2f (0) f (7) 10f(0) 6f(7) 34 g 3g(x) ax bx a,b
3 24
1g(1) g(2)
3g(2) 4g(1) 4
g(1)g(2) 3
.
) f(0),f(7),g(1) g(2)
) a 1 b 2 ) g
) g
) g f
) 2f(f(x 6x) 3) 5
14. (1) mx 1
x (2m 1) m
xD,D D .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41397http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41090http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41011http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40391http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40208
-
http://www.mathematica.gr/ - 15
) (1)
) 0 0(x , ) (1),
0 0A 2 x
) , , (2) x, x D ,D ,D
:
x
D D0
D D
x
D A2D
D A
, A ().
(2) , . ) m 1
i) (x,) (1) 2 2x 2 1
ii)
mx 2 3z 1
2x m 4z 2
3x 4 (m 4)z 15
15.
x (0, )2
cotx tanxsinx cosx 2 2 .
16. x 1 x2 4 x 1 . 17. f,g :
x xf(x) 25 25 1 g(x) 2 3x
) ) f(x) g(x)
18. 3 2P(x) x (3 log)x (5 log)x log4
3 2 6 2 26
Q(x) x (log log 3)x ( log log )x log4
10 , , 0 .
) P(x) Q(x) , ,
) P(x) (x 1)(x 2)
i) N 2, 125
ii) P(x) 0
iii) A P(x) 0 , x 1 x 23 3 10
) 2 Q(0)sin x 10
) P(1) 0
P(2) 2 0
, , 0 .
19. f,g 1 x
f(x) ln , g(x) f(x)1 x
.
) f, g ) g(x) ln3 .
) f(x) ln7 .
) f(x)2
x 1e
2(x 1) x 1
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=38587http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=38550http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=38330http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=37247http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=36955
-
http://www.mathematica.gr/ - 16
20. x
3 f x
1
.
. R f x R . . R f . . 0 , :
i. 3 2
2 f x 5 f x 6f x 9 0 ii. 3
f x3
21. : 2log x 80 x x 2x 80 x x 21
22. ln(3x 11)
f(x)ln(x 5)
) . ) f(x) 2
) x>6 f(x) 1
23. 4 3 2P(x) 16x 32x ax bx c a,b,c ,
24x dx 3 . 1) a,b,c,d 2) P x( ) 0
3) : 4 3 21
32cos x 4cos x sin x 3cosx8
24. f(x) ln(x a) 5
f( ) f( ) ln26 3
1) N a 2) To
3) [0,2]
ln(cos ) f( ) f( )12 24
4) N
f(x ) f(x )6 6
1sin(e )cos(e )
2
25. x 2x
1e lne
e , R .
26. 1) : 4 4
x y 4
x y 82
2) : 4 441 x 41 x 4
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=36955http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=36560http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34870http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=35315http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34549http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=33225http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41090