РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ " синергетика " Томск - 2005

I.Организационно-методический раздел

1..Цель курса Целью курса является подготовка специалиста, владеющего современными методами

теоретической и математической физики, необходимыми для эффективного выполнения на-учно-исследовательских задач. Курс «Синергетика» предназначен для студентов V курса фи-зического факультета, специализация «Физика плазмы».

Рабочая программа рассчитана на изучение дисциплины в течение одного семестра. Поскольку в курсе синергетики рассматриваются процессы эволюции сложных систем, такие процессы предпочтительнее всего рассматривать с привлечением методов компьютерного моделирования. Для данного курса синергетики написан комплекс программ на языке FOR-TRAN Power Station 4.0 и в среде MAPLE V, позволяющие на дисплее компьютера смодели-ровать различные физические процессы. Для того, чтобы студенты могли самостоятельно поработать с этими программами, после прочтения необходимого материала выделяется два занятия в компьютерном классе. Такой вид занятий позволяет намного глубже усвоить полу-ченные теоретические знания. В результате изучения курса студент должен:

• получить представление о современных проблемах нелинейной физики; • освоить математический и понятийный аппарат синергетики; • научиться применять полученные знания при решении задач физики плазмы. 2. Задачи курса В результате лекционных, практических и самостоятельных занятий в рамках пред-

ложенной программы студент должен: • получить более широкое представление о физической картине мира; • овладеть математическим аппаратом синергетики; • научиться видеть и исследовать связи и закономерности в процессах эволюции слож-

ных систем.

3. Требования к уровню освоения курса После изучения курса студент должен:

• овладеть теоретическими навыками, необходимыми при анализе динамики нелиней-ных систем;

• уметь отличить сложное регулярное движение от хаотического, что является весьма непростой задачей, и провести теоретическое исследование нелинейных процессов;

• применять полученные навыки при решениях конкретных задач, возникающих в фи-зике плазмы. Требования к разделам программы определяются государственным образовательным

стандартом высшего профессионального образования к уровню подготовки выпускника по специальности 010400-физика.

II. Содержание курса

№ Тема Содержание

1 Введение. Основные понятия си-нергетики

Синергетика как новое мировоззрение. Консервативные и дис-сипативные системы. Механическое и термодинамическое рав-новесие. Нелинейность и обратные связи. Энтропия и хаос. Процессы самоорганизации. Пространственные и пространст-венно-временные структуры. Уравнения эволюции. Устойчи-вость и бифуркации.

2 Термодинамический анализ нели-нейных систем

Открытые системы в условиях механического равновесия. Ста-ционарные неравновесные состояния. Теорема о минимальном производстве энтропии. Невозможность упорядоченного пове-дения в области линейности необратимых процессов. Общий критерий эволюции для равновесных и неравновесных систем.

3 Нелинейные дифференциальные уравнения

Системы нелинейных уравнений с одной и двумя степенями свободы, автономные системы. Анализ фазовых траекторий этих систем. Классификация особых точек: простые особые точки (центр, узел, фокус, седловая точка) и множественные седловые точки. Предельные циклы.

4 Теория устойчивости и бифуркаций нелинейных дифференциальных уравнений

Устойчивость по Лагранжу, Пуассону и Ляпунову. Линейный анализ устойчивости. Теория катастроф. Бифуркации в простой диссипативной системе. Бифуркация Хопфа и предельные цик-лы.

5 Исследование конкретных нели-нейных процессов

Статические неустойчивости - переход системы в новое со-стояние. Бистабильность. Автоколебания в электрической цепи. Химические осцилляции -реакция Белоусова-Жаботинского. Ячейки Бенара. Математический маятник, модель хищник-жертва.

6 Анализ динамики консервативных и диссипативных систем

Геометрия фазового пространства. Структурные свойства фа-зовых траекторий.Теорема Лиувилля. Отображение Пуанкаре. Классификация состояния сложных систем на основе отобра-жения Пуанкаре. Консервативные системы – возможность су-ществования хаотических и упорядоченных состояний в систе-мах с различным числом степеней свободы. Эргодичность и перемешивание. Простые и странные аттракторы.

7 Диссипативные динамические сис-темы и их аттракторы

Сжатие фазового объема для диссипативных систем. Простые и странные аттракторы. Квазиаттракторы. Критерии динамиче-ского хаоса: энтропии Колмогорова-Синая, показатели Ляпуно-ва, автокорреляционные функции.

8 Типичные сценарии перехода к хаосу

Турбулентность Лоренца, хаос Помо-Манневилля, хаос Рюэля-Таккенса-Ньюхауза. Теория точечных отображений. Хаос Фей-генбаума. Универсальность Фейгенбаума. Пространственно-временной хаос.

9 Фракталы. Фрактальные размерно-сти

Кривая Кох, канторово множество и ковер Серпиньского. Раз-мерность Хаусдорфа-Безиковича. Поточечная, информацион-ная и корреляционная размерности. Соотношение этих размер-ностей. Фрактальность границ.

10 Моделирование нелинейных про-цессов на компьютерах

Занятия в компьютерном классе с предложенным комплексом программ по синергетике

Темы занятий в компьютерном классе

1. Изучение процессов самоорганизации на следующих примерах:

• динамика популяций хищников-жертв, • химические осцилляции в реакции Белоусова-Жаботинского, • динамический хаос в модели математического маятника, • маятник Ван-дер-Поля, • нелинейный маятник, колеблющийся в вертикальной плоскости

2. Моделирование хаоса:

• турбулентность в модели Лоренца,

• хаос Фейгенбаума, • сравнительный анализ детерминистического и вероятностного подхода в исследова-

нии эволюции сложных систем на примере системы хищник-жертва. • модель хаоса (теория изложена в журнале Science) • аттрактор Эно

III.Распределение часов курса по темам и видам работы

Всего

часов

В том числе аудиторных № п/п

Наименование тем Всего часов

Лек- ций

Практиче-ские заня-тия, семи-нары

Кон-троль-ные

работы

Само-стоя-тельная работа

1 Введение. Основные понятия синергетики 4 2 Термодинамический анализ нелинейных систем 4 2 3 Нелинейные дифференциальные уравнения 6 4 Теория устойчивости и бифуркаций нелинейных диф-

ференциальных уравнений 5 2

5 Исследование конкретных нелинейных процессов 4 2 6 Анализ динамики консервативных и диссипативных

систем 2 2

7 Диссипативные динамические системы и их аттракто-ры

3

8 Типичные сценарии перехода к хаосу 2 2 9 Фракталы. Фрактальные размерности 2 10 Моделирование нелинейных процессов на компьюте-

рах 4 2

ИТОГО 48 36 32 4 12

IV. Форма итогового контроля По курсу предусмотрен теоретический зачет для дипломников и экзамен для магистров. Вопросы для самоконтроля

1. Анализ начал термодинамики с точки зрения эволюции сложных систем. 2. Теорема о минимальном производстве энтропии. 3. Устойчивость по Лагранжу, Пуассону и Ляпунову.. 4. Классификация осбых точек нелинейных дифференциальных уравнеий. 5. Типы аттракторов и основные типы бифуркаций.. 6. Отображение Пуанкаре. 7. Понятия эргодичности и перемешивания. 8. Хаос Фейгенбаума. Универсальность Фейгенбаума. 9. Переход к хаосу через перемежаемость. 10. Показатели Ляпунова и энтропия Колмогорова-Синая. 11. Фрактальные структуры и скейлинг. 12. Фрактальные размерности.

V. Учебно-методическое обеспечение курса

Рекомендуемая литература (основная)

1. Г. Хакен, Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся устройствах и

системах, М: Мир, 1985

2. Г. Хакен, Информация и самоорганизация, М: Мир, 1991 3. А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов, Введение в синергетику, М: Наука, 1990 4. Ю.Л. Ермолаев, А.Л. Санин, Электронная синергетика, Изд-во Ленингр. Ун-та, 1989 5. Г.М. Заславский, Р.З. Сагдеев, Введение в нелинейную физику, М: Наука, 1988 6. Г. Николис, И. Пригожин, Самоорганизация в неравновесных системах, М: Наука, 1979 7. Г. Шустер, Детерминированный хаос, М: Мир, 1988 8. П. Берже и др., Порядок в хаосе: о детерминистическом подходе к турбулентности, М:

Мир, 1991 9. В.И. Сугаков, Введение в синергетику, Изд-во Киев. Ун-та, 1992 10. Г. Николис, И. Пригожин, Познание сложного, М: Мир, 1990 11. Ж. Йосс, Д. Джозеф, Элементарная теория устойчивости и бифуркаций, М, 1983 12. П. Гленсдорф, И. Пригожин, Термодинамическая теория структуры, устойчивости и

флуктуаций, М: Наука, 1973 13. Г.М. Заславский, Р.З. Сагдеев, Слабый хаос и квазирегулярные структуры, М: Мир, 1991 14. С.П. Кузнецов, Динамический хаос, М: Физматлитература, 2001

Рекомендуемая литература (дополнительная) 1. А. Баблоянц, Молекулы, динамика и жизнь: Введение в самоорганизацию материи, М:

Мир, 1990. 2. В.И. Арнольд, Теория катастроф, М, 1990 3. Дж. Марри, Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии, М: Мир, 1983 4. А.Б. Рубин, Биофизика,т.1, М: Высшая школа,1987 5. О.М. Белоцерковский, Численный эксперимент в турбулентности: от порядка к хаосу, М:

Наука,1997 6. Статьи в журналах Physical Review A, Physical Review E за 1998-2005гг. Автор: Корюкина Елена Владимировна, доцент кафедры физики плазмы.

Аннотация курса

В последние двадцать лет бурное развитие получила новая отрасль теоретической физи-

ки - синергетика. Синергетика является не просто синтезом многих наук, это попытка соз-дать новую, достаточно общую концепцию возникновения и эволюции сложных систем. Трудно недооценить роль синергетики как нового мировоззрения, позволяющего с единой точки зрения оценить процессы динамики нелинейных систем. Особенно актуальным явля-ется знание синергетики при изучении процессов, протекающих в плазме, которая представ-ляет собой активную среду, эволюционирующую в пространстве и времени.

В данном лекционном курсе большое внимание уделяется рассмотрению общих теоре-тических подходов к исследованию процессов нелинейной динамики и теории нелинейных дифференциальных уравнений. В курсе рассматривается теория устойчивости и бифуркаций, которая позволяет провести аналитическое исследование процессов эволюции сложных сис-тем. Поскольку во многих случаях, в силу сложности исследуемых систем, аналитическое исследование процессов нелинейной динамики невозможно, значительное внимание уделя-ется численным методам решения и анализа нелинейных дифференциальных уравнений.

Значительную часть курса занимает анализ вопроса о возникновении упорядоченных структур из хаоса и условий распада устойчивых состояний в хаос, рассматриваются все из-вестные в настоящее время сценарии перехода к хаосу. Много времени уделяется изучению признаков распада устойчивых состояния в хаотическое в экспериментах и теоретических критериев динамического хаоса, таких, как энтропия Колмогорова-Синая, показатели Ляпу-нова и автокорреляционные функции. . В программу курса также включено рассмотрение вопросов, связанных с расчетом фрактальных размерностей странных аттракторов.

Поскольку в курсе синергетики рассматриваются процессы эволюции сложных систем, такие процессы предпочтительнее всего рассматривать с привлечением методов компьютер-ного моделирования. Для данного курса синергетики написан комплекс программ на языке FORTRAN Power Station 4.0 и в среде MAPLE, позволяющий прекрасно проиллюстрировать изложенный на лекциях теоретический материал.

Курс лекций «Синергетика» предназначен на студентов 5 курса физического факуль-тета, специализация «Физика плазмы».