КОМЕРЦІЙНИЙ РИЗИК

Міністерство освіти і науки України

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

М.В. Новожилова, Г.В. Солодовник

МОДЕЛЮВАННЯ УПРАВЛІННЯ КОМЕРЦІЙНИМ РИЗИКОМ

Навчально-методичний посібник для студентів економічних спеціальностей

Усі цитати, цифровий, фактичний матеріал та бібліографічні відомості перевірені. Зауваження рецензентів враховано

Вимогам, що ставляться до навчально-методичної літератури відповідає.

Автори: М.В.Новожилова Г.В.Солодовник

Затверджено методичною радою

університету, протокол № 5 від 30.03.06

До друку дозволяю

Перший проректор університету Д.Л.Череднік

Харків ХДТУБА 2006

3


ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА

АРХІТЕКТУРИ

М.В. НОВОЖИЛОВА, Г.В. СОЛОДОВНИК


Навчально-методичний посібник

Харків 2006

4


ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

М.В. НОВОЖИЛОВА, Г.В. СОЛОДОВНИК


Рекомендовано методичною радою університету як навчально-методичний посібник для самостійного вивчення курсу

для студентів економічних спеціальностей

Харків ХДТУБА 2006

5

ББК 65.012.12 Н – 74

УДК 519.711 330.131.7 Рецензенти: О.І.Кононенко, канд. фіз.-мат. наук, доцент, завідувач кафедри вищої математики; О.О.Петрова, канд. тех. наук, доцент кафедри КМІТ; В.В. Безкоровайний, д-р тех. наук, проф. кафедри системотехніки Харківського національного університету радіоелектроніки, Рекомендовано кафедрою комп’ютерного моделювання та інформаційних технологій, протокол № 10 від 19.05.05 Затверджено методичною радою університету, протокол № 5 від 30.03.06

Автори: М.В.Новожилова Г.В.Солодовник

Н – 74 Новожилова М.В., Солодовник Г.В. Моделювання управління

комерційним ризиком: Навчально-методичний посібник. – Харків: ХДТУБА, 2005 р. – 81с.

Викладено теоретичний матеріал з основ теорії ймовірності,

кількісної оцінки ризику, теорії ігор та прийняття рішень в умовах ризику та невизначеності, теорії корисності. Розглянуто ризик як економічну категорію та визначення його елементів у рамках системного аналізу. Наведено приклади розв’язання задач, контрольні питання та завдання для самостійної перевірки засвоювання матеріалу.

Призначено для набуття навичок студентами в оцінці ризику та прийнятті рішень в умовах невизначеності.

Іл. 15; Табл. 11; Бібліогр. 14 назв

ББК 65.012.12

© Новожилова М.В., Солодовник Г.В., 2006

3

ВСТУП

У зв'язку з розвитком ринкових відносин у країні господарську

діяльність доводиться здійснювати в умовах наростаючої невизначеності ситуації. Звідси – неясність і непевність в одержанні очікуваного кінцевого результату. В умовах директивно-планової системи економічна обстановка, у якій відбувалась господарська діяльність, формувалася в наказовому порядку, у вигляді набору правил і форм. Вона вносила удавану чіткість, забезпечувала нав'язаний порядок. Можна було розраховувати і передбачати обсяги виробництва, і, що ще важливіше, – обсяги постачань, продажу, споживання, ціни, а відповідно, виторг і прибуток, іншими словами діяти в детермінованих умовах, хоча завжди існував ризик невиконання плану.

Функціонування в умовах ринкової економіки пов'язано з іншими факторами, що обумовлюють невизначеність і ризик. Насамперед ці фактори породжуються непередбаченістю ринкової кон’юнктури. Тому навички, набуті за час роботи в умовах планової економіки, втрачають свою цінність, і їх стає недостатньо для того, щоб справлятися з небезпеками ринкової економіки.

Ринок заснований на економічній волі суб'єктів підприємницької діяльності. Однак слід врахувати, що свободу одного підприємця супроводжує свобода інших підприємців Вони вільні у виборі постачальників, можуть пропонувати власні ціни на товар під час покупки й установлювати власні ціни при постачанні матеріалів. При цьому кожен учасник ринкових відносин прагне насамперед власної вигоди, а вигода одних найчастіше веде до збитку інших, крім того, у міру розвитку ринкових відносин посилюється конкуренція. Тому варто визнати, що за свободу дій доводиться розплачуватися тим, що, функціонуючи в таких умовах, підприємці змушені йти на ризик, оскільки неможливо передбачити розмір майбутнього прибутку і з’ясувати чи буде він взагалі.

Фактори, що обумовлюють невизначеність (неточність інформації про умови реалізації цілей виробництва, включаючи витрати й отримані результати), умовно можна розділити на три групи:

1) відсутність повної й достовірної інформації про зовнішнє середовище (ринкову ситуацію, політичний та економічний стан у країні і т. ін.), що пов'язане з малою вивченістю зовнішнього середовища;

2) наявність випадковості в розвитку подій на ринку;

4

3) протидія з боку ринку (наприклад, невиконання зобов'язань за договорами, конфлікти між замовниками і постачальниками і т. ін.).

Посилення ризику – це зворотній бік свободи підприємництва, отже, щоб вижити в умовах ринкових відносин, необхідно приймати сміливі нетривіальні рішення, що підсилює ризик.

Орієнтація економіки України на ринкові відносини означає необхідність обліку різних видів невизначеності і ризиків для всіх суб'єктів господарської діяльності.

Враховуючи вищевикладене, мету дисципліни „Моделювання та керування економічним ризиком” можна сформулювати в такий спосіб: вивчити сучасні методи аналізу комерційного ризику та розробки економіко-математичних моделей ризикових ситуацій, навчитися приймати обґрунтовані рішення в умовах невизначеності та ризику.

Основні задачі курсу: − розширення й поглиблення знань про якісні та кількісні

властивості економічних процесів з урахуванням ризику як характерного фактора сучасної економіки;

− оволодіння методологією і методикою побудови, аналізу і використання економіко-математичних моделей, що враховують ризик;

− вивчення ряду найбільш типових прийомів моделювання й вимірювання економічного ризику в процесі прийняття рішень, оволодіння відповідним апаратом з метою практичного використання під час вирішення різноманітних проблем.

Математичний фундамент апарату моделювання економічного ризику складають: теорія статистичних ігор, теорія ймовірності, математична статистика, лінійне програмування, теорія корисності.

Курс "Моделювання та керування економічним ризиком" складається з п’яти основних модулів.

Модуль 1 Ризик як економічна категорія, його сутність. Розглядається поняття ризику, його основні елементи й ознаки. Дається класифікація ризиків та загальна характеристика методів мінімізації ризику. Розглядається також підприємницький ризик: оцінка факторів ризику і способи його мінімізації.

Модуль 2 Система кількісних оцінок ступеня ризику. У цьому модулі розглядається математичний апарат теорії економічного ризику, а саме: основні положення та методи теорії імовірності, які застосовуються при визначенні кількісної міри економічного ризику. Розглядаються міри ризику.

5

Модуль 3 Прийняття рішень в умовах невизначеності та ризику (ігри з природою). Розглядається поняття гри з природою, критерії прийняття рішень в умовах повної невизначеності: максимаксу, Вальда, Севіджа, Гурвиця та Лапласа. Подано методи прийняття рішень в умовах ризику.

Модуль 4 Вибір рішень за допомогою дерева рішень (позиційні ігри). Цей модуль висвітлює питання, пов'язані з поняттями багатоетапних (позиційних) ігор, безумовного грошового еквівалента, очікуваної грошової оцінки, очікуваної цінності точної інформації. Надається методика аналізу та розв’язання задачі за допомогою дерева рішень.

Модуль 5 Функція корисності Неймана – Моргенштерна. Даються поняття корисності, лотереї, схильності та несхильності ОПР до ризику, аксіоми теорії корисності. Розглянуто методологію раціонального прийняття рішень в умовах невизначеності, що заснована на функції корисності індивіда, побудовані графіки функції корисності.

Навчально-методичний посібник містить теоретичний матеріал, приклади економіко-математичних моделей динамічних систем, анотований перелік літератури, завдання та опис виконання лабораторних робіт.

Навчально-методичний посібник побудовано таким чином, що у кожному модулі є теми, які містять основні теоретичні відомості, приклади розв’язання типових задач, контрольні запитання за темою.

Якщо студент знає якусь тему, він може перевірити свої знання за допомогою контрольних запитань та в разі позитивного результату перейти до опрацювання іншої теми.

6

РОЗДІЛ 1 РИЗИК ЯК ЕКОНОМІЧНА КАТЕГОРІЯ, ЙОГО СУТНІСТЬ

1.1 Поняття ризику, його основні елементи й ознаки Розглянемо деякі існуючі підходи до тлумачення категорії «ризик». Походження терміна «ризик» належить до грецьких слів ridsikon,

ridsa – стрімчак, скеля. В італійській мові risiko – небезпека, погроза; risicare – лавірувати

між скель. У французькій risqoe – погроза, ризикувати (буквально – об'їжджати стрімчак, скелю).

У словнику Вебстера «ризик» визначається як «небезпека, можливість збитку або збиток».

Наведемо кілька визначень ризику, якими користуються в економічній літературі.

Визначення 1 Ризик – це ймовірність виникнення збитків або недоодержання доходів порівняно з прогнозованим варіантом.

Визначення 2 Під «ризиком» прийнято розуміти ймовірність (загрозу) утрати підприємством частини своїх ресурсів, недоодержання доходів або появи додаткових витрат у результаті здійснення визначеної виробничої і фінансової діяльності.

У зазначених визначеннях виділяється така характерна риса ризику, як небезпека, можливість невдачі.

Однак наведені визначення не охоплюють усього змісту поняття «ризик».

Для більш повної характеристики визначення «ризик» доцільно виявити поняття «ситуація ризику», оскільки воно безпосередньо пов’язане зі змістом терміна «ризик».

Поняття «ситуація» можна визначити як сукупність різних обставин та умов, що створюють визначену обстановку для того або іншого виду діяльності.

При цьому обстановка може сприяти або перешкоджати здійсненню даної дії.

Функціонуванню й розвитку багатьох економічних процесів властиві елементи невизначеності. Це обумовлює виникнення ситуацій, що не мають однозначного результату (рішення).

Якщо існує можливість кількісно та якісно визначити ступінь ймовірності появи того або іншого варіанта, то це й буде ситуація ризику.

7

Звідси випливає, що ризикована ситуація пов'язана зі статистичними процесами і її супроводжують три умови:

− наявність невизначеності; − необхідність вибору альтернативи (при цьому варто мати на увазі,

що відмова від вибору також є різновидом вибору); − можливість оцінити імовірність здійснення обираних

альтернатив. Зазначимо, що ситуація ризику якісно відрізняється від ситуації

невизначеності. Ситуація невизначеності характеризується тим, що ймовірність настання результатів рішень або подій у принципі не встановлювана.

Прагнучи «зняти» ризиковану ситуацію, суб'єкт робить вибір і реалізує його.

Цей процес знаходить своє вираження в понятті «ризик». Останній існує як на стадії вибору рішення (плану дій), так і на стадії його реалізації.

Ризик — це дія (вчинок), яка виконується в умовах вибору (у ситуації вибору, сподіваючись на щасливий результат), коли у випадку невдачі існує можливість (ступінь небезпеки) опинитися в гіршому положенні, ніж до вибору (у випадку нездійснення цієї дії).

У цьому визначенні поряд з небезпекою, можливістю невдачі, наявна така ознака, як альтернативність.

У явищі «ризик» виділимо наступні основні елементи, взаємозв'язок яких і складає його сутність:

− можливість відхилення від бажаної мети, заради якої здійснювалася обрана альтернатива;

− імовірність досягнення бажаного результату; − відсутність впевненості в досягненні поставленої мети; − можливість матеріальних, моральних та інших втрат, пов'язаних зі

здійсненням обраної в умовах невизначеності альтернативи. Важливим елементом ризику є наявність імовірності відхилення від

обраної мети. При цьому можливі відхилення як негативного, так і позитивного характеру.

Таким чином, основними причинами невизначеності і, отже, джерелами ризику є:

1 Спонтанність природних процесів і явищ, стихійні лиха. 2 Випадковість. 3 Наявність протиборчих тенденцій, зіткнення суперечливих

інтересів. Проявів цього джерела ризику існує досить багато — від

8

міжнаціональних конфліктів до конкуренції і звичайної розбіжності інтересів.

4 Неповнота, недостатність інформації про об'єкт, процес, явище, стосовно якого приймається рішення, обмеженість можливостей людини у зборі й переробці інформації, постійна змінюваність цієї інформації.

1.2 Класифікація ризиків Найбільш важливими елементами, покладеними в основу

класифікації ризиків, є такі: 1 За сферою виникнення: внутрішні і зовнішні ризики.

Зовнішні фактори, що впливають на рівень ризику: − Фактори прямого впливу (зміни законодавства, податкова система;

корупція, рекет; конкуренція тощо). − Фактори непрямого впливу (політична обстановка, міжнародні

події, економічне становище, стихійні лиха тощо). Внутрішні фактори, що впливають на рівень ризику: − Стратегія фірми. − Принципи діяльності фірми. − Ресурси та їх використання. − Якість і рівень використання маркетингу. До внутрішніх факторів також відносять: недосвідченість керівника,

фінансові прорахунки, погану організацію праці, витік конфіденційної інформації, недостатні знання в галузі маркетингу і менеджменту, нераціональне використання ресурсів підприємства, низька мотивація праці тощо.

2 За рівнем ухвалення рішення: макроекономічний ризик (глобальний) і ризик на рівні окремої фірми (локальний).

3 За тривалістю: короткочасні і постійні ризики.

4 За ступенем ризику: припустимий, критичний і катастрофічний ризик.

5 За ступенем правомірності: виправданий і невиправданий ризики.

6 Ризики, які страхуються або не страхуються.

9

7 За часом виникнення: ретроспективні, поточні і перспективні ризики.

8 За основними факторами виникнення: політичні ризики, економічні ризики.

Економічні ризики − це ризики, обумовлені несприятливими змінами в економіці підприємства або економіці країни.

Найбільш розповсюдженими видами економічного ризику є зміна кон'юнктури ринку, незбалансована ліквідність (неможливість вчасно виконувати платіжні зобов'язання), зміна рівня керування й ін.

9 За характером наслідків: чисті й спекулятивні ризики.

Чисті ризики (у літературі їх іноді називають простими або статичними) характеризуються тим, що вони практично завжди несуть у собі втрати для підприємницької діяльності.

Причинами чистих ризиків можуть бути стихійні лиха, нещасні випадки, злочинні дії, недієздатність організації і багато чого іншого.

Спекулятивні ризики (у літературі їх іноді називають динамічними або комерційними) характеризуються тим, що вони можуть нести в собі як втрати, так і додатковий прибуток для підприємця стосовно очікуваного результату. Причинами спекулятивних ризиків можуть бути зміна кон'юнктури ринку, зміна курсів валют, зміна податкового законодавства й ін.

10 За сферою підприємницької діяльності: виробничий, комерційний, фінансовий ризик, а також ризик

страхування. Виробничий ризик пов'язаний з невиконанням підприємством своїх

планів і зобов'язань з виробництва продукції і послуг внаслідок несприятливого впливу зовнішнього середовища, а також неадекватного використання нової техніки і технологій, сировини, робочого часу.

Комерційний ризик – ризик, що виникає в процесі реалізації товарів і послуг, зроблених або закуплених підприємцем.

Причинами комерційного ризику є: зниження обсягу реалізації внаслідок зміни кон'юнктури або інших обставин, підвищення закупівельної ціни товарів, втрати товару в процесі обігу, підвищення витрат обігу та ін.

Фінансовий ризик пов'язаний з можливістю невиконання фірмою своїх фінансових зобов'язань. Основними причинами фінансового ризику є: знецінювання інвестиційно-фінансового портфеля внаслідок зміни валютних курсів, нездійснення платежів тощо.

10

Отже, фінансовий ризик – це імовірність виникнення несприятливих фінансових наслідків у формі втрати доходу або капіталу в ситуації невизначеності умов здійснення його фінансової діяльності.

Іншими словами, фінансовий ризик – це ризик, що виникає при здійсненні фінансових угод або фінансового підприємництва, де в ролі товару виступають або валюта, або цінні папери, або грошові кошти.

До фінансового ризику належать: − Валютний ризик – це імовірність фінансових втрат у результаті

зміни курсу валют, що може відбутися в період між укладанням контракту та здійсненням фактичних розрахунків за ним;

− Кредитний ризик – виникає в процесі ділового спілкування підприємства з його кредиторами (банком; постачальниками і посередниками; акціонерами). Тобто, кредитний ризик зв'язаний з можливістю невиконання фірмою своїх зобов'язань перед інвестором;

− Інвестиційний ризик – пов'язаний зі специфікою вкладення фірмою коштів у різні проекти, тобто це ризик, пов'язаний із вкладенням засобів у цінні папери.

Страховий ризик – ризик настання передбаченої умовами страхування події, у результаті чого страховик зобов'язаний виплатити страхове відшкодування (страхову суму). Результатом ризику є збитки, викликані неефективною страховою діяльністю як на етапі, що передує укладанню договору страхування, так і на наступних етапах – перестрахування, формування страхових резервів тощо. Основними причинами страхового ризику є: неправильно визначені страхові тарифи, азартна методологія страхувальника тощо.

Крім цих ризиків, існують ще інфляційні, процентні, депозитні, податкові, структурні і криміногенні фінансові ризики.

1.3 Методи мінімізації ризику Підприємства повинні використовувати методи і шляхи мінімізації

ризику для того, щоб: 1) уникнути появи ризику; 2) знизити вплив ризику на результати фінансово-

виробничої діяльності. Прийняття ризику може бути: − Заплановане (самострахування, тобто створення резервного

фонду за рахунок відрахування з прибутку на випадок виникнення

11

непередбаченої ситуації). Цей фонд є мертвим капіталом і не приносить прибутку.

− Незаплановане (фірмі доводиться покривати втрати від ризику з будь-яких ресурсів, що залишилися після втрат).

Скорочення втрат можна здійснити шляхом: − Поділу ризиків (за рахунок поділу активів фірми); − Об'єднання ризиків (ризик поділяється між декількома суб'єктами

економіки). Основні методи мінімізації ризику: 1 Диверсифікація – це поділ активів фірми з наступним об'єднанням

ризиків. Диверсифікованість полягає в розподілі зусиль і капіталовкладень між різноманітними видами діяльності, які є пов'язаними один з одним.

2 Запобігання ризику – цей метод полягає в розробці таких заходів, що цілком виключають конкретний вид фінансового ризику.

3 Лімітування концентрації ризику – використовується для фінансових операцій, які здійснюються у зоні критичного або катастрофічного ризику.

4 Хеджування – це внутрішній механізм нейтралізації фінансових ризиків, заснований на використанні відповідних видів фінансових інструментів (хеджування за допомогою ф'ючерсних контрактів, хеджування з використанням опціонів).

5 Розподіл ризиків – цей метод заснований на частковій передачі ризиків партнерам з окремих фінансових операцій.

6 Самострахування – цей метод заснований на резервуванні підприємством частини фінансових ресурсів, яку можна направити на ліквідацію негативних фінансових наслідків (формування резервного фонду, формування цільових резервних фондів тощо).

1.4 Підприємницький ризик: оцінка факторів ризику і способи його мінімізації

Прийняте у світовій практиці законодавство про підприємства і

підприємницьку діяльність визначає підприємництво як ініціативну, самостійну діяльність громадян і їхніх об'єднань, спрямовану на одержання прибутку, що здійснюється на свій ризик і під свою майнову відповідальність.

12

Здійснення підприємництва в його будь-якому вигляді пов'язано з ризиком, що прийнято називати господарським, або підприємницьким.

Під господарським (підприємницьким) розуміють ризик, що виникає при будь-яких видах діяльності, пов'язаних з виробництвом продукції, товарів, послуг, їх реалізацією, товарно-грошовими і фінансовими операціями, комерцією, здійсненням соціально-економічних і науково-технічних проектів. У розглянутих видах діяльності доводиться використовувати матеріальні, трудові, фінансові, інформаційні (інтелектуальні) ресурси, отже, ризик пов'язаний із загрозою повної або часткової втрати цих ресурсів.

У ринковій економіці першорядними елементами ризику є непередбачуваність кон'юнктури ринку, попиту, цін і поведінки споживача.

У підсумку підприємницький ризик характеризується як небезпека потенційно можливої, ймовірної втрати ресурсів або недоодержання доходів порівняно з варіантом, розрахованим на раціональне використання ресурсів у даному виді підприємницької діяльності.

Будь-яка підприємницька діяльність неминуче пов'язана з витратами, тоді як збитки трапляються при несприятливому збігу обставин, прорахунках і представляють додаткові витрати понад намічених. Якщо ризик – це небезпека втрати ресурсів або доходу, то його кількісна міра обумовлюється абсолютним або відносним рівнем утрат.

Абсолютною мірою ризику може бути величина можливих втрат у матеріально-речовинному (фізичному) або вартісному (грошовому) вираженні.

Відносною мірою ризику є величина можливих втрат, віднесена до певної бази, у вигляді якої приймають або майновий стан підприємця (вартість основних фондів й оборотних коштів підприємства), або загальні витрати ресурсів на даний вид підприємницької діяльності, або очікуваний дохід (прибуток) від підприємництва.

Надалі базові показники, що використовуються для порівняння, будемо називати розрахунковими, або очікуваними, показниками прибутку, витрат, виторгу. Значення цих показників, як уже відомо, визначаються при розробці бізнес-плану, у процесі техніко-економічного обґрунтування підприємницького проекту, угоди.

Особливі види грошового збитку пов'язані з інфляцією, зміною валютного курсу гривні, додатковим до узаконеного вилученням коштів підприємств у державний (республіканський, місцевий) бюджет.

13

Поряд з остаточними, безповоротними можуть бути і тимчасові фінансові втрати, обумовлені заморожуванням рахунків, несвоєчасною видачею коштів, відстрочкою виплати боргів.

Втрати часу існують тоді, коли процес підприємницької діяльності йде повільніше, ніж було намічено. Пряма оцінка таких втрат здійснюється в годинах, днях, тижнях, місяцях запізнювання в одержанні наміченого результату. Щоб перевести оцінку втрат часу у вартісний вимір, необхідно встановити, до яких втрат доходу, прибутку від підприємництва здатні призводити випадкові втрати часу.

Спеціальні види втрат виявляються через завдання шкоди здоров'ю і життю людей, навколишньому середовищу, престижу підприємця, а також внаслідок інших несприятливих соціальних і морально-психологічних чинників. Найчастіше спеціальні види втрат важко визначити в кількісному, тим більше у вартісному вираженні.

Під час проведення комплексного аналізу ймовірних втрат для оцінки ризику важливо не тільки встановити всі джерела ризику, але й виявити, які джерела превалюють.

Аналізуючи розглянуті вище види втрат, необхідно розділити ймовірні втрати на визначальні і побічні, виходячи із загальної оцінки їхньої величини.

Під час визначення підприємницького ризику побічні втрати можуть бути виключені з кількісної оцінки рівня ризику.

Припустімо, що в результаті попереднього аналізу вдалося "відфільтрувати" найбільш вагомі за величиною та ймовірністю виникнення види втрат. Далі слід вилучити випадкові складові втрат і відокремити їх від систематично повторюваних.

У принципі треба враховувати тільки випадкові втрати, що не піддаються прямому розрахунку, безпосередньому прогнозуванню і тому не враховані в підприємницькому проекті. Якщо втрати можна заздалегідь передбачати, то вони повинні розглядатися не як втрати, а як неминучі витрати і включатися в розрахункову калькуляцію.

Так, наприклад, якщо передбачається зміна цін, податків у ході здійснення господарської діяльності, підприємець зобов'язаний врахувати цей факт у бізнес-плані.

Отже, перш ніж оцінювати ризик, обумовлений дією виключно випадкових факторів, вкрай бажано відокремити систематичну складову втрат від випадкової. Це необхідно і з позицій математичної коректності, тому що процедури дій з випадковими величинами істотно відрізняються від процедур дій з детермінованими величинами.

14

Специфічними джерелами втрат і факторами, що впливають на появу випадкових втрат у виробничому, комерційному, фінансовому підприємництві є наступні.

По-перше, це втрати від впливу непередбачених політичних факторів. Такі втрати породжують політичний ризик. Він виявляється у формі несподіваних, обумовлених політичними міркуваннями і подіями змін умов господарської діяльності, що створюють несприятливий для підприємця фон і здатні привести до підвищених витрат ресурсів і втрат прибутку.

Типові джерела такого ризику – збільшення податкових ставок, уведення примусових відрахувань, зміна договірних умов, трансформація форм і відносин власності, відчуження майна і коштів за політичними мотивами.

Величину можливих втрат й обумовлений ними ступінь ризику в цьому випадку дуже важко передбачати.

Досить близькі за непередбачуваністю втрати, зумовлені стихійними лихами, а також злодійством і рекетом.

Досить специфічними є можливі втрати, викликані недосконалістю методології і некомпетентністю осіб, що формують бізнес-план і здійснюють розрахунок прибутку і доходу. Якщо в результаті дії цих факторів величини очікуваних значень прибутку і доходу від підприємницького проекту будуть завищені, а реально отримані результати виявляться нижчими, то різниця між ними сприймається як втрати.

Особливе місце посідають втрати підприємця, обумовлені несумлінністю або неспроможністю компаньйонів. Ризик виявитися обманутим в угоді або зіштовхнутися з неплатоспроможністю боржника, безповоротністю боргу, на жаль, досить реальний.

Тепер розглянемо більш тривіальні ситуації погрози втрат і ризику стосовно зазначених видів підприємництва. Підкреслимо знову: цілком уникнути ризику практично неможливо, але, знаючи, що породжує втрати, підприємець здатний знизити їхню погрозу, зменшуючи дію несприятливого фактора.

1.4.1 Втрати у виробничому підприємництві 1 Зниження намічених обсягів виробництва і реалізації продукції

внаслідок зменшення продуктивності праці, простою обладнання або недовикористання виробничих потужностей, втрат робочого часу,

15

відсутності необхідної кількості вихідних матеріалів, підвищеного відсотка браку призводить до недоодержання запланованого виторгу. Ймовірні втрати ΔD у цьому випадку у вартісному вираженні визначаються за формулою:

ΔD = ΔО × Ц ,

де ΔО – ймовірне сумарне зменшення обсягу випуску продукції;

Ц – ціна реалізації одиниці обсягу продукції. 2 Зниження цін, за якими планується реалізувати продукцію, у

зв'язку з недостатньою якістю, несприятливою зміною ринкової кон'юнктури, падінням попиту, ціновою інфляцією призводить до ймовірних втрат, задається формулою:

ΔD = ΔЦ × О ,

де ΔЦ – ймовірне зменшення ціни одиниці обсягу продукції;

О – загальний обсяг наміченої до випуску і реалізації продукції. 3 Підвищені матеріальні витрати, обумовлені перевитратою

матеріалів, сировини, палива, енергії, призводять до втрат, обумовлених залежністю

ΔD = ΔM1 × Ц1 + ΔМ2 × Ц2 + ... ,

де ΔM – ймовірна перевитрата матеріального ресурсу;

Ц – ціна одиниці ресурсу. 4 Інші підвищені витрати, що з’являються внаслідок високих

транспортних, торговельних витрат, накладних та інших побічних витрат. 5 Перевитрата наміченої величини фонду оплати праці внаслідок

перевищення розрахункової чисельності або унаслідок виплати більш високого, ніж заплановано, рівня заробітної плати окремим працівникам.

6 Сплата підвищених відрахувань і податків, якщо в процесі здійснення бізнес-плану ставки відрахувань і податків зміняться в несприятливий для підприємця бік.

7 Необхідно також враховувати і можливості втрат у вигляді штрафів, природного збитку, а також втрат, обумовлених стихійними лихами.

16

1.4.2 Втрати в комерційному підприємництві 1 Несприятлива зміна (підвищення) закупівельної ціни товару в

процесі здійснення підприємницького проекту і не блокована умовами договору про закупівлю призводить до ймовірних втрат (ΔD), обумовлених за формулою:

ΔD = О × ΔЦ ,

де О – обсяг закупівель товару у фізичному вимірі;

ΔЦ – ймовірне підвищення закупівельної ціни. 2 Непередбачене зниження обсягу закупівлі порівняно з наміченим

викликає зменшення обсягу реалізації, тобто масштабу всієї операції. Втрата прибутку (доходу) обчислюється як добуток зниження обсягу закупівлі на величину прибутку (доходу), що припадає на одиницю обсягу реалізації товару.

Варто враховувати, що зменшення обсягу закупівлі і реалізації може супроводжуватися зниженням витрат, тому що, крім так званих умовно-постійних витрат, існують витрати, пропорційні обсягу операції.

3 Втрати товару в процесі обігу (транспортування, зберігання) або втрати якості, споживчої цінності товару, що призводять до зниження його вартості. Рівень такого збитку встановлюється як добуток кількості загубленого товару на закупівельну ціну або добуток зіпсованої кількості товару на зниження відпускної ціни.

4 Збільшення витрат обігу порівняно з наміченими призводить до адекватного зниження доходу, прибутку. Серед можливих причин підвищення витрат можуть бути непередбачені мита, відрахування, штрафи, додаткові витрати.

5 Зниження ціни, за якою реалізується товар, порівняно з проектною викликає втрати в розмірі обсягу реалізації, помноженого на зменшення ціни.

6 Зниження обсягу реалізації, обумовлене непередбаченим падінням попиту або потреби в товарі, витисненням його конкуруючими товарами, обмеженнями на продаж, здатне спричинити втрати доходу і прибутку, які вимірюються добутком обсягу непроданої продукції на відпускну ціну.

17

1.4.3 Втрати у фінансовому підприємництві Як уже відзначалося, фінансове підприємництво, по суті, це

комерційне підприємництво, але товаром тут є гроші, цінні папери, валюта. Отже, втрати, в цілому, характерні для комерційного підприємництва, властиві і фінансовому підприємництву.

І все-таки оцінюючи фінансовий ризик, необхідно враховувати такі специфічні фактори, як неплатоспроможність одного з агентів фінансової угоди, зміна курсу валюти, цінних паперів, обмеження на валютно-грошові операції, можливі вилучення визначеної частини фінансових ресурсів у процесі здійснення підприємницької діяльності.

Безсумнівно, ризик є ймовірнісна категорія, і в цьому сенсі найбільш обґрунтовано з наукових позицій характеризувати і вимірювати його як імовірність виникнення визначеного рівня втрат.

Отже, при всебічній оцінці ризику необхідно встановлювати для кожного абсолютного або відносного значення величини можливих утрат відповідну імовірність виникнення такої величини.

1.4.4 Функції підприємницького ризику 1 Інноваційна функція виконує пошук нетрадиційних рішень

проблем. На практиці більшість фірм і компаній домагаються успіху, стають конкурентоспроможними на основі інноваційної економічної діяльності. Ризикові рішення призводять до більш ефективного виробництва, від якого виграють і підприємці, і споживачі, і суспільство в цілому.

2 Регулятивна функція полягає в тому, що здатність ризикувати – це один зі шляхів успішної діяльності підприємства.

3 Захисна функція полягає в тому, що якщо для підприємця ризик – це природний стан, то слід цілком нормально ставитися до невдач.

4 Аналітична функція – за наявності ризику у підприємця завжди є альтернатива в процесі ухвалення рішення, тобто підприємець завжди аналізує і вибирає найбільш і найменш ризикові ситуації.

1.5 Питання для самоконтролю

1 Наведіть визначення економічного ризику. 2 Наведіть класифікацію джерел ризику. 3 Наведіть класифікацію ризиків.

18

4 Що таке виправданий і невиправданий ризики? 5 Як класифікуються ризики за сферою підприємницької діяльності? 6 Які є методи мінімізації ризику? 7 Наведіть визначення підприємництва. 8 Наведіть визначення господарського (підприємницького) ризику. 9 Подайте характеристику абсолютної та відносної міри ризику. 10 Які фактори впливають на втрати у виробничому

підприємництві? 11 Які фактори впливають на втрати в комерційному

підприємництві? 12 Які фактори впливають на втрати у фінансовому підприємництві? 13 Назвіть функції підприємницького ризику.

19

РОЗДІЛ 2

СИСТЕМА КІЛЬКІСНИХ ОЦІНОК СТУПЕНЯ РИЗИКУ

2.1 Основні положення та методи теорії ймовірності

Випадкова величина – змінна, що в результаті іспитів залежно від випадку набуває одне з можливої множини своїх значень (яке саме, заздалегідь не відомо).

Приклади: кількість опадів у наступному році, точність влучення в мішень, результат випадання значення на кубику тощо.

Дискретна випадкова величина – випадкова величина, можливі значення якої є окремі ізольовані числа (такі, що між двома сусідніми можливими значеннями немає інших можливих значень), які ця величина приймає з визначеними ймовірностями.

Іншими словами, усі можливі значення випадкової величини можна перенумерувати. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим чи нескінченним (в останньому випадку множину усіх можливих значень називають розрахунковою).

Законом розподілу випадкової величини називають будь-яке співвідношення, що встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм імовірностями.

Для дискретної випадкової величини закон розподілу може бути заданий у вигляді таблиці, аналітично (у вигляді формули) і графічно.

Розглянемо закон розподілу випадкової величини на наступному прикладі.

Приклад 2.1 Імовірності того, що студент складе семестровий іспит під час сесії з дисциплін А і Б відповідно дорівнюють 0,7 і 0,9. Скласти закон розподілу числа семестрових іспитів, що здасть студент.

Розв’язання. Розглянемо можливі значення випадкової величини X – числа складених іспитів: 0, 1, 2.

Припустімо Aі – подія, що полягає в тому, що студент складе і-ий іспит (і = l, 2). Тоді ймовірності того, що студент складе у сесію 0, 1, 2 іспити, будуть відповідно дорівнювати (вважаємо події А1 і А2 незалежними):

03,01,0*3,0)9,01)(7,01()A(P)A(P)AA(P)0X(P 2121 ==−−==== ;

20

=+=+== )A2P()A1P()A2P()A1P()A2A1A2A1P(1)P(X ;34,01,0*3,09,03,01,0*7,0 ==−+=

63,09,0*7,09,0*7,0)A(P)A(P)AA(P)2X(P 2121 ====== . Наведені розрахунки зведемо у таблицю (див. таблицю 2.1). Таблиця 2.1 – Ряд випадкової величини xi 0 1 2

pi 0,03 0,34 0,63

Математичне сподівання дискретної випадкової величини М(X) –

сума добутків усіх її значень на відповідні їм імовірності.

∑==

n

1iii px)X(M . (2.1)

Приклад 2.2 Відомі закони розподілу випадкових величин X і Y

– числа балов (див. таблицю 2.2), що вибиваються 1-м та 2-м стрільцями.

Таблиця 2.2 – Закони розподілу випадкових величин

X: xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 pi 0,15 0,11 0,04 0,05 0,04 0,10 0,10 0,04 0,05 0,12 0,20 Y: yi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 pi 0,01 0,03 0,05 0,09 0,11 0,24 0,21 0,10 0,10 0,04 0,02

Розв’язання.

М (X) = 0*0,15+1*0,11+2*0,04+.. .+9*0,12+10*0,20 = 5,36;

М (У) = 0*0,01+1*0,03+2*0,05+...+9*0,04+10*0,02 = 5,36.

Дисперсія Р(Х)дискретної випадкової величини X – математичне сподівання квадрата її відхилення від математичного сподівання

)]X(MX[M)X(D 2−= . (2.2)

21

Середньоквадратичне відхилення (стандартне відхилення або

стандарт) випадкової величини X – арифметичне значення кореня квадратного з її дисперсії.

)X(Dx =σ . (2.3)

Приклад 2.3 Знайти значення дисперсії та середньоквадратичного

відхилення числа вибитих балів для кожного стрільця у попередній задачі (приклад 2.2).

Розв’язання. З прикладу 2.2 М(Х) = 5,36 та М(У) = 5,36. Знайдемо значення дисперсії за формулою (2.2):

D(X)=(0-5,36)2*0,15+(l-5,36)2*0,ll+...+(10-

5,36)2*0,20=13,16;

D(y)=(0-5,36)2*0,01+(l-5,36)2*0,03+...+(10-5,36)2*0,02 = 4,17.

Знайдемо значення середньоквадратичного відхилення за формулою

(2.3):

04,217,4,62,316,13 yx ==== уу .

Функція розподілу випадкової величини X– функція F(X), що

виражає для кожного х імовірність того, що випадкова величина X набуде значення, менше х:

F(X) = P(X < x). (2.4)

Функцію F(X) іноді називають інтегральним законом розподілу або

інтегральною функцією розподілу. Розглянемо загальні властивості функції розподілу. 1 Функція розподілу випадкової величини є невід’ємна функція,

значення якої належать відрізку [0,1]:

1)x(F0 ≤≤ . (2.5)

22

2 Функція розподілу є не спадна функція по всій числовій осі. 3 На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює 0, на плюс

нескінченності – 1. 4 Імовірність потрапляння випадкової величини в інтервал [xі, x2)

дорівнює збільшенню її функції розподілу на цьому інтервалі, тобто

)xF()xF()xXxP( 2121 −=<≤ . (2.6)

Приклад 2.4. Функція розподілу випадкової величини X має вигляд:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤<

≤

=

.2xякщо,1;2x0якщо,

2x

;0xякщо,0)x(F

Знайти імовірність того, що випадкова величина набуде значення в

інтервалі [1, 3) Розв’язання. За формулою (2.6):

21

211)1(F)3(F)3X1(P =−=−=<≤ .

Випадкова величина X називається неперервною, якщо її функція

розподілу неперервна у будь-якій точці і диференційована всюди, крім, можливо, окремих точок.

Щільністю ймовірності (щільністю розподілу або просто щільністю) )x(ц неперервної випадкової величини X називають, похідну її функції

розподілу:

)x(F)x( ′=ϕ . (2.7) Приклад 2.5. За даними приклада 2.4 знайти щільність імовірності

неперервної випадкової величини X. Розв’язання. Щільність імовірності )x(F)x(ц ′= , таким чином:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤<

>≤=ϕ .2x0якщо,

21

;2xта0xякщо,0)x(

23

Розглянемо властивості щільності ймовірності неперервної

випадкової величини: А Щільність імовірності – невід’ємна функція, тобто

0)x( ≥ϕ . (2.8)

Б Імовірність потрапляння неперервної випадкової величини в

інтервал [a, b] дорівнює визначеному інтегралу від її щільності ймовірності в межах від а до b, тобто

∫ ϕ=≤≤b

adx)x()bxa(P . (2.9)

В Функція розподілу неперервної випадкової величини може бути

виражена через щільність імовірності за формулою:

∫ ϕ=∞−

xdx)x()x(F . (2.10)

Г Інтеграл у нескінченних межах від щільності ймовірності

неперервної випадкової величини дорівнює одиниці:

1dx)x( =∫ ϕ∞+

∞−. (2.11)

Зауважимо, що математичне сподівання неперервної випадкової

величини знаходиться за формулою:

∫ ϕ==∞+

∞−dx)x(x)X(Ma , (2.12)

а дисперсія неперервної випадкової величини за формулою:

∫∞+

∞−−= (x)dxa)(xD(x) 2ϕ . (2.13)

24

Приклад 2.6 Функція )x(ц задана у вигляді:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤=ϕ .1xякщо,

xA

;1xякщо,0)x(

4

Знайти: а) значення сталої А, за якої функція буде щільністю ймовірності

деякої випадкової величини X; б) вигляд функції розподілу F(x); в) обчислити ймовірність того, що випадкова величина X набуде

значення на відрізку [2,3]; г) знайти математичне сподівання випадкової величини X. Розв’язання. А Для того, щоб )x(ц була щільністю ймовірності випадкової

величини X, вона повинна бути невід’ємною, тобто 0≥)x(ц , або в

нашому випадку 04 ≥xA , звідки 0≥A , і вона повинна задовольняти

властивості 4, тому, відповідно до формули (2.11):

1dx)x( =∫ ϕ∞+

∞−.

Отже,

,13A

b11lim*

3A

x1

lim*3Adx

xA

lim0dxxAdx0dx)x(

3b

b13b1

4b14

1

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=∫+=∫+∫=∫ ϕ

+∞→

+∞→

∞+

+∞→

∞+

∞−

∞+

∞−

звідки, А = 3.

Б За формулою (2.10) знайдемо F(x): якщо 1≤x , то

25

0dx0dx)x()x(Fxx

=∫=∫ ϕ=∞−∞−

,

якщо 1>x , то

x11

1

x

x1dx)x(0)x(F 33

x

1−=

−=∫ ϕ+= .

Таким чином,

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

≤=

1.xякщо,x311

1;xякщо0,F(x)

В Розв’язання цієї частини прикладу можна знайти за двома

варіантами: Перший – за формулою (2.9):

21619

31

21

2

3

x1dx

x3)3X2(P 333

3

24 =−==∫=≤≤ .

Другий – за формулою (2.6):

21619

211

311)2(F)3(F)xXx(P 3321 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=<≤ .

Г За формулою (2.12):

.23

b11lim2

3x21

lim3

xdx

lim30dxx3xdx0dx)x(x)X(Ma

2b

b12b

13b1

4

1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

=∫+=∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∫=∫==

+∞→+∞→

∞+

+∞→

∞+

∞−

∞+

∞−

26

Модою Мо(Х) випадкової величини X називається її найбільш ймовірне значення для якого ймовірність, або щільність імовірності, сягає максимуму.

Медіаною Ме(Х) неперервної випадкової величини X називається таке її значення, для якого:

21))X(MeX(P))X(MeX(P =>=< . (2.14)

Тобто ймовірність того, що випадкова величина X набуде

значення, менше медіани або більше її, одна й та сама. Приклад 2.7 Знайти моду і медіану випадкової величини X зі

щільністю x)x(ц 23= при ],[x 10∈ . Розв’язання. Побудуємо графік щільності ймовірності (рис. 2.1).

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Рисунок 2.1 – Графік щільності ймовірності x)x(ц 23= З графіка видно, що щільність імовірності )x(ц є максимальною при

х = Мо(Х) = 1 Медіану Me(X) = b знайдемо з умови (2.15)

21dx)x(

b=∫ ϕ

∞−.

Розв’яжемо дане рівняння, підставивши x)x(ц 23= :

27

21

b0

bxdxx3dx0dx)x( 33

b2

0b===∫+∫=∫ ϕ

∞−∞−∞−.

Отже,

79,021)X(Meb 3 ≈== .

Центральним моментом k-го порядку випадкової величини X

називається математичне сподівання k-го ступеня відхилення випадкової величини X від її математичного сподівання:

)]X(MX[M kk −=μ . (2.15)

Формули для розрахунку початкового та центрального моментів

дискретних та безперервних випадкових величин зведемо у таблицю 2.3.

Таблиця 2.3 – Формули початкових та центральних моментів Випадкова величина Момент

Дискретна Безперервна Початковий

∑=ν=

n

1ii

kik px ∫ ϕ=ν

∞+

∞−dx)x(xk

k

Центральний ∑ −=μ=

n

1iii

kk p)ax( ∫ ϕ−=μ

∞+

∞−dx)x()ax( k

k

Неважко помітити, що при k = l перший початковий момент випадкової

величини X є її математичним сподіванням, тобто a)x(Mн ==1 , при k = 2 другий центральний момент – дисперсія, тобто )X(Dм =2 .

2.2 Питання для самоконтролю 1 Наведіть визначення наступних понять: випадкова величина, закон

розподілу випадкової величини, математичне сподівання, дисперсія, функції розподілу випадкової величини, мода, медіана, центральний момент.

28

2 Наведіть приклади дискретної та неперервної випадкової величини. 3 Наведіть загальні властивості функції розподілу. 4 Яку властивість має функція розподілу неперервної випадкової

величини? 5 Що називається щільністю ймовірності неперервної випадкової

величини?

2.3 Завдання для самостійного розв’язання

Задача 1 Розглядаються два проекти А та В щодо інвестування. Відомі оцінки прогнозованих значень доходу від кожного з цих проектів та відповідні значення ймовірностей. Цифрові дані наведені в таблиці 2.4:

Таблиця 2.4 – Прогнозований прибуток по проектах

Прогнозований прибуток, тис. грн

Значення ймовірності Оцінка можливого результату А В А В Песимістична 100 51 0,5 0,01 Оптимістична 200 151 0,5 0,99

Визначити математичне сподівання прибутку, дисперсію та

середньоквадратичне відхилення. Задача 2 Надаючи банківські кредити комерційним фірмам,

здійснюють прогноз можливих значень збитків та відповідних ймовірностей. Числові дані наведені в таблиці 2.5:

Таблиця 2.5 – Прогнозований прибуток по фірмах

Прогнозований прибуток, тис. грн

Значення ймовірності Оцінка можливого результату фірма А фірма В фірма А фірма В Песимістична 30 70 0,3 0,15 Стримана 6 14 0,5 0,65 Оптимістична -40 -55 0,2 0,20

Визначити математичне сподівання збитків, дисперсію та

середньоквадратичне відхилення.

29

2.4 Обчислення показників ризику У кожній ситуації, пов’язаній з ризиком, виникають запитання: що

означає виправданий (допустимий) ризик, де проходить межа, яка відділяє допустимий ризик від нерозумного. Важливо виявити ступінь ризику, причому слід оцінити ймовірність того, що певна (несприятлива) подія має шанси відбутися, а тоді – як це вплине на ситуацію (рішення).

При досить великому ступені ризику в альтернативних стратегіях менеджери інколи приймають варіант рішення з дещо меншою ефективністю або чистою приведеною вартістю, але з більшими шансами на своєчасну та успішну реалізацію прийнятого варіанта.

Якщо малоймовірно, що відбудуться несприятливі наслідки, то ризик малий. Малий він і в тому випадку, коли ймовірність збитків велика, а самі по собі збитки малі.

Ймовірність настання певної події може бути визначена об’єктивним та суб’єктивним методами.

Об’єктивний метод визначення ймовірності ґрунтується на обчисленні частоти, з якою в минулому відбувалась певна подія.

Суб’єктивний метод спирається на використання суб’єктивних оцінок та критеріїв, які ґрунтуються на різних припущеннях (міркування, досвід, оцінки експертів, думка консультанта, порада консалтингової фірми тощо).

Важливою проблемою є розробка методик кількісної оцінки ступеня ризику в різних сферах економічної діяльності, розвиток відповідного механізму контролювання економічного ризику та керування ним на засадах системного аналізу.

На практиці часто обмежуються спрощеними підходами, оцінюючи ризик спираються один чи кілька головних показників, параметрів, що є найбільш важливими узагальненими характеристиками у даній конкретній ситуації.

У ряді випадків, зокрема страхуванні, величину (ступінь) ризику визначають як ймовірність настання небажаних наслідків. У цьому випадку:

pW H= , (2.16)

де p H – ймовірність настання небажаних наслідків;

W – величина ризику.

30

У процесі аналізу збитків відокремлюють чотири зони: безризикову, допустимого ризику, критичного ризику та катастрофічного ризику. Далі потрібно для кожної із запропонованих зон ризику поставити у відповідність кількісні показники, критерій ризику.

У прикладних проблемах економічного ризику для оцінки його величини широко використовується ймовірність перевищення заданого рівня збитків, що обчислюється за формулою:

)x(F1)xX(P1)xX(P)x(W −=<−=≥= . (2.17)

Типовий графік кривої розподілу ймовірностей перевищення певного

рівня випадкових збитків зображений на рис. 2.2 (крива W(x)).

0

1

W

kдп

x

W(x)

k(x)kкр

Wкт

Wдп

Wкр

kкт

xдп xкр xкт

Рисунок 2.2 – Порівняння очікуваної ймовірності перевищення випадкових збитків з гранично допустимою

Виявляють три наступні найважливіші базові показники ризику. Показник допустимого ризику:

1)xX(P)x(WW дпдпдп =≥== , (2.18)

31

тобто W дп – це ймовірність того, що збитки виявляться більшими, ніж їх гранично допустимий рівень xдп .

Показник критичного ризику:

1)xX(P)x(WW кркркр =≥== , (2.19)

тобто W кр – це ймовірність того, що збитки виявляться більшими, ніж їх

гранично допустимий критичний рівень xкр . Показник катастрофічного ризику:

1)xX(P)x(WW кткткт =≥== , (2.20)

тобто W кт – це ймовірність того, що збитки виявляться більшими, ніж їх гранично допустимий катастрофічний рівень xкт .

Знання цих показників допомагає прийняти рішення стосовно здійснення певної підприємницької діяльності. Але для остаточного прийняття рішення інформації про значення названих показників не достатньо – необхідно ще задати (встановити або прийняти) їх граничні величини, щоб не потрапити в зону неприйнятного ризику. Такі величини називають критеріями відповідно до допустимого, критичного та катастрофічного ризику – k,k,k кткрдп .

Отже, маючи значення трьох показників ризику та критеріїв граничного ризику, приходимо до таких найбільш загальних умов прийнятності рівня у досліджувальному виді підприємництва:

.k)x(W;k)x(W;k)x(W

кткткркрдпдп

≤≤≤

(2.21)

Графічне пояснення основних умов прийнятності ризику здійснене на

рис. 2.2 (крива k(x)). Приклад 2.8 Під час здійснення багатофазових інвестицій у певного

виду підприємницьку діяльність обчислюється величина збитків у вигляді відсотка величини реальних збитків відносно до розрахункової суми виручки. Було встановлено, що обчислена таким чином величина збитків підкоряється нормальному закону розподілу з параметрами: математичне сподівання %m 20= та середньоквадратичне відхилення %у 4= .

32

Фірма-інвестор встановила для себе такі критерії ризику: .%,k;%k;%k кткрдп 10520 ===

Як вчинити інвестору, якщо керівництво фірми, що прагне отримати інвестиції, вважає реальним показники ризику:

%x;%x;%x кткрдп 322824 === ?

Розв’язання. Оскільки у випадку нормального розподілу випадкової

величини X інтегральна функція розподілу ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=

уmx,)x(F Ц50 , де )t(Ц

– функція Лапласа, то

,1587,03413,05,04

20245,0mx5,01

)x(F1)xX(P1)xX(PW

дп

дпдпдпдп

=−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Φ−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−

Φ−−=

=−=<−=>=

тобто k,,W дпдп =<= 2015870 . Аналогічно знаходимо, що

( ) ,0228,04772,05,025,0)xX(PW кркр =−=Φ−=>=

тобто k,,W кркр =<= 05002280 ;

( ) ,00135,049865,05,035,0)xX(PW кткт =−=Φ−=>=

тобто k,,W кткт =>= 0010001350 . Виходячи з того, що kW кткт > , а також враховуючи, що інвестори –

люди дуже обережні, робимо висновок, що фірмі-прохачу інвестиція не буде надана.

Вважають, що економічний показник (або його характеристики) має позитивний інгредієнт ( FF += ), якщо під час прийняття рішення орієнтуються на його максимальне значення.

Вважають, що економічний показник (або його характеристики) має негативний інгредієнт ( FF −= ), якщо під час прийняття рішення орієнтуються на його мінімальне значення.

В абсолютному вираженні міра (ступінь) ризику очікуваної невдачі (в процесі досягнення мети) може визначатися як добуток імовірності невдачі

33

(небажаних наслідків) на величину цих небажаних наслідків (збитки, платежі тощо), які мають місце в цьому випадку, тобто:

xpWW нн== − ,

де xн – величина цих наслідків ( xX н= ).

У багатьох випадках, щоб кількісно визначити ризик, необхідно знати всі можливі наслідки окремої події { }x...,x,xX n21= та ймовірності цих наслідків

{ } ∑==

n

1jjn21 p,p...,p,pP .

Сподіване значення (математичне сподівання), яке пов’язане з

невизначеною ситуацією, є середньозваженим усіх можливих результатів, де ймовірність кожного з них використовується як частота або вага відповідного значення. Сподіване значення є центром групування значень випадкової величини X, а тому його можна розглядати як результат (ризик), що очікується в середньому. У дискретному вигляді воно обчислюється за формулою:

( ) ∑===

n

1jjjxpXMm .

Приклад 2.9 Надаючи, банківський кредит комерційній фірмі,

вважають, що збитки можливі в 20 % випадків. Величина збитків може становити 20 тис. гривень. Визначити величину ризику.

Розв’язання. Оскільки хн = 20000 грн, рн = 0,2, то величина ризику становить:

грн40002,0*20000xpWW нн ==== − .

2.5 Питання для самоконтролю 1 На чому ґрунтуються об’єктивний та суб’єктивний методи

ймовірності настання певної події?

34

2 Наведіть показники ризику? 3 Що визначається показниками допустимого, критичного та

катастрофічного ризику? 4 Для чого задають критерії допустимого, критичного та

катастрофічного ризику? 5 У яких випадках економічні показники мають додатний, а в яких

від’ємний інгредієнт?


Задача 1 Надаючи банківський кредит комерційній фірмі, здійснюють прогноз можливих значень збитків та відповідних значень ймовірностей. Числові дані наведені в таблиці 2.6.

Таблиця 2.6 – Прогноз можливих значень Оцінка

можливого результату

Прогнозовані збитки, тис. грн.

Значення ймовірностей

Песимістична 30 0,2 Стримана 6 0,5

Оптимістична –40 0,3

Визначити сподівану величину ризику, тобто збитків. Задача 2 Величина збитків від інвестиційної діяльності є випадковою

величиною, що підкоряється нормальному закону розподілу з параметрами, математичне сподівання m дорівнює 15, середньоквадратичне відхилення S дорівнює 8. Потрібно чи не потрібно вкладати гроші в проект, реальні показники ризику для якого складають: xдп = 23; xкр = 31; xкт = 39, а критерії ризику, що установила для себе фірма-інвестор, складають kдп = 0,12; kкр = 0,02; kкт = 0,003. Під час розв’язання задачі необхідно врахувати, що у випадку нормального розподілу випадкової величини інтегральна функція розподілу визначається за формулою: F(X) = 0,5 + Ф((X-m)/S).

35

2.7 Міри ризику

Найпоширенішою є точка зору, відповідно до якої мірою ризику комерційного (фінансового) рішення або операції варто вважати середньоквадратичне відхилення (додатний квадратний корінь з дисперсії) значення показника ефективності, цього чи рішення операції.

Найчастіше показником ефективності фінансового рішення (операції) служить прибуток.

Розглянемо як ілюстрацію вибір деякою особою, що приймає рішення (ОПР) одного з двох варіантів інвестицій в умовах ризику. Припустімо, що є два проекти А та В, в які зазначена ОПР може вкласти кошти. Проект А у визначений момент у майбутньому забезпечує випадкову величину прибутку. Припустімо, що її середнє очікуване значення, математичне сподівання, дорівнює тА, а дисперсія дорівнює SA. Для проекту В ці числові характеристики прибутку як випадкової величини передбачаються рівними відповідно mB та SB . Середньоквадратичні відхилення рівні відповідно SA та SB. Можливі такі випадки:

a) тА = mB, SA < SB, варто вибрати проект А; b) тА > mB, SA < SB, варто вибрати проект А; c) тА > mB, SA = SB , варто вибрати проект А;

d) тА > mB, SA > SB; e) тА < mB, SA < SB.

В останніх двох випадках рішення про вибір проекту А чи В залежить

від відношення до ризику ОПР. Зокрема, у випадку d) проект А забезпечує більш високий середній прибуток, однак він і більш ризикований. Вибір при цьому визначається тим, якою додатковою величиною середнього прибутку компенсується для ОПР задане збільшення ризику. У випадку е) для проекту А ризик менший, але й очікуваний прибуток менше.

Приклад 2.10 Припустімо, що є два інвестиційних проекти. Перший з імовірністю 0,6 забезпечує прибуток 15 млн грн, однак з імовірністю 0,4 можна втратити 5,5 млн грн Для другого проекту з імовірністю 0,8 можна дістати прибуток 10 млн. грн. і з імовірністю 0,2 утратити 6 млн грн. Який проект вибрати?

Розв’язання. Обидва проекти мають однакову середню прибутковість, рівну 6,8 млн грн (0,6:15 + 0,4(–5,5) = 0,8:10 + 0,2(–6) = 6,8). Однак середньоквадратичне відхилення прибутку для першого проекту дорівнює

36

10,04 млн грн ( 04,10])8,65,5(4,0)8,615(6,0[ 22 21

=−−+− ), а для другого – 6,4

млн грн ( 4,6])8,66(2,0)8,610(8,0[ 22 21

=−−+− ), тому перевагу має другий проект.

Середньоквадратичне відхилення ефективності рішення часто використовується як міра ризику, воно не зовсім точно відображає реальність. Можливі ситуації, за яких варіанти забезпечують приблизно однаковий середній прибуток і мають однакові середньоквадратичні відхилення прибутку, однак не є рівною мірою ризикованими. Дійсно, якщо під ризиком розуміти ризик банкрутства, то величина ризику повинна залежати від величини вихідного капіталу ОПР чи фірми, яку вона представляє. Теорія Неймана – Моргенштерна цю обставину враховує.

На рис. 2.3 розглянутий випадок вибору з більш ніж двох варіантів інвестицій. Характеристики варіантів показані крапками на площині (m, S), де m – середній прибуток, одержуваний у результаті інвестиції, a S – середньоквадратичне відхилення прибутку.

0

SG

F

C

B

A

D H

m

Рисунок 2.3 – Варіанти вибору інвестицій Таким чином, серед варіантів А, В та С (див. рис. 2.3) перевагу має А. З

варіантів B, D та Н варто було б вибрати Н. Варіант Н кращий за варіанти С и F. Однак порівняльна перевага – вибір між, наприклад, варіантами A, D, F і G – залежить від схильності ОПР до ризику.

Приклад 2.11 Акціонерному товариству пропонуються два ризикових проекти, дані про імовірні надходження по яким наведені у таблиці 2.7:

37

Таблиця 2.7 – Надходження по проектах Проект 1 Проект 2 Імовірність події 0,2 0,6 0,2 0,4 0,2 0,4 Наявні надходження, млн грн 40 50 60 0 50 100

Враховуючи, що фірма має борг у 80 млн грн, який проект повинні

вибрати акціонери і чому? Розв’язання. Для оцінки ефективності розглянутих інвестиційних

проектів (див. рис. 2.3) обчислимо математичні сподівання M о1, M о2

та

середньоквадратичні відхилення до1 і до2

для проектів 1 та 2.

Проект 1: M о1= 40* 0,2 + 50 * 0,6 + 60 * 0,2 = 50 млн грн.

Проект 2: M о2 = 0 * 0,4 + 50 * 0,2 + 100 * 0,4 = 50 млн грн.

Як видно з обчислень, математичні очікування для обох проектів виявляються однаковими. Можливо, при виборі проекту вирішальним (згідно з рис. 2.3) будуть середньоквадратичні відхилення до1

і до2, (на

відміну від рис. 2.3., замість S1 і S2 будемо їх позначати до1 і до2

, оскільки

для студентів такі позначення більш звичні). Отже, середньоквадратичні відхилення для цих проектів відповідно рівні:

;324,640)20020(

])5060(2,0)5050(6,0)5040(2,0[])M(M[

21

222 21

112 2

1

1

==++=

=−+−+−=−ξ=δ ξξ

.72,442000

])50100(4,0)5050(2,0)500(4,0[])M(M[ 222 21

222 2

1

2

==

=−+−+−=−ξ=δ ξξ

За результатами розрахунку коефіцієнтів варіабельності,

1260503246

1 ,,н == та 8940

507244

2 ,,н == , тож згідно з випадком а) варто

вибрати проект 1, тому що при рівних математичних сподіваннях для обох цих проектів ( M д1

= M д2 = 50) середньоквадратичне відхилення

38

до1 = 6,324 для проекту 1, порівняно з аналогічним показником для

проекту 2 до2 = 44,72, більш ніж у 7 разів менше ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ = 09,7

126,0894,0

.

Отже, проект 1 при середній прибутковості, яка дорівнює 50 млн грн, характеризується більш ніж у 7 разів меншої варіабельністю, тобто ризикованістю. Здавалося б, без сумнівів варто приймати проект 1. Однак слід звернути увагу на наведену в умові задачі вказівку, що фірма має фіксовані платежі по боргах 80 млн грн, і цей факт може змінити рішення на протилежне.

Дійсно, у теорії імовірностей і математичній статистиці відома центральна гранична теорема A. M. Ляпунова, що обґрунтовує так називаний нормальний розподіл, який є найпоширенішим у статистиці, а також у техніці та інших додатках.

Зокрема, якщо припустити прибутковість Рr по проектах 1 і 2 розподіленою за нормальним законом, а підставою для цього є зазначена гранична теорема, то з імовірністю 0,997 (практично достеменно) можливі значення виграшів і платежів по проектах 1 і 2 відповідно виявляться в діапазонах дM оо 3± , а саме:

Проект 1: Рr = 50 ± 3 * 6,324; 31,03 ≤ Рr ≤ 68,97. Проект 2: Рr = 50±3 * 44,72; -84,16 ≤Рr ≤ 184,16. Отже, у разі вибору істотно менш ризикового проекту 1 акціонерне

товариство може більшою мірою зменшити свій борг у 80 млн грн, але без додаткових фінансових джерел (а умовою задачі вони не передбачені) від боргів АТ цілком не звільниться.

Сильно ризикуючи, при прийнятті проекту 2 АТ (якщо пощастить) може цілком звільнитися від боргів, одержавши при цьому ще й чималий прибуток. У разі невдачі АТ очікує банкрутство. Інші варіанти можливих угод про відстрочку боргів умовами задачі не передбачаються.

В и с н о в к и . У разі реалізації низькоризикованого проекту 1 АТ все одно з боргами не спроможне розплатитися, хоча їх можна зменшити (якщо це щось дасть). Змушене ризикувати під час прийняття проекту 2, АТ, якщо сильно пощастить, відразу може вирішити всі фінансові проблеми, залишившись ще з прибутком. У разі невдачі ж воно – банкрут. Усе-таки, приймаючи ризиковий проект 2, можна потрапити у ситуацію

39

"або пан, або пропав", тоді як, вибравши безризиковий проект 1, боргів не уникнути за будь-яких обставин.

2.8 Питання для самоконтролю 1 Який параметр використовується як міра ризику? 2 Яким показником найчастіше вимірюють ефективність фінансового

рішення? 3 Які випадки можуть виникнути під час порівняння числових

характеристик (математичного сподівання та дисперсії) двох інвестиційних проектів? Який з проектів потрібно вибрати у кожному з випадків?

4 Якому діапазону належить значення прибутковості, що розподілена за нормальним законом?


Задача 1 Характеристики інвестиційних проектів представлені у вигляді точок на площині (m, S), де m – середній прибуток, що планують одержати від інвестицій, a S – середньоквадратичне відхилення прибутку. Зробіть вибір між проектами, що позначені точками A, B, C, з погляду інвестора й обґрунтуйте свій вибір.

Задача 2 На підставі рис. 2.4 зробіть вибір між проектами, що позначені точками D, F, G, з погляду інвестора й обґрунтуйте свій вибір.

Рисунок 2.4 – Варіанти вибору інвестицій

40

Задача 3 Нехай є два інвестиційних проекти. Перший з імовірністю 0,3 забезпечує прибуток 20 млн грн, з імовірністю 0,2 – прибуток 15 млн грн, однак, уклавши гроші в цей проект, з імовірністю 0,5 можна втратити 3,6 млн грн. Для другого проекту з імовірністю 0,4 можна дістати прибуток 10 млн грн, з імовірністю 0,4 – прибуток 20 млн грн і з імовірністю 0,2 втратити 12 млн грн. Який проект вибрати?

41

РОЗДІЛ 3

ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ ТА РИЗИКУ (ГРИ З ПРИРОДОЮ)

3.1 Поняття гри з природою

Відмінна ознака гри з природою полягає в тому, що в ній свідомо діє тільки один з учасників, що у більшості випадків називається гравцем 1. Гравець 2 (природа) свідомо проти гравця 1 не діє, а виступає як такий партнер по грі, що не має конкретної мети і випадковим чином визначає чергові "ходи". Тому термін "природа" характеризує деяку об'єктивну дійсність, що не слід розуміти буквально, хоча цілком можуть зустрітися ситуації, у яких "гравцем" 2 дійсно може бути природа (наприклад, обставини, пов'язані з погодними умовами або природними стихійними силами).

На прикладі гри з природою розглянемо проблему заготівлі вугілля на зиму.

Приклад 3.1 Необхідно закупити вугілля для обігріву будинку. Кількість вугілля обмежено і протягом холодного періоду повинна бути цілком витрачена. Передбачається, що невитрачене узимку вугілля влітку пропадає. Купувати вугілля можна в будь-який час, однак улітку він дешевше, ніж узимку. Невизначеність полягає в тому, що не відомо, якою буде зима: суворою, тоді доведеться докуповувати вугілля, чи м'якою, але тоді частина вугілля може залишитися невикористаною. Зрозуміло, що у природи немає злого наміру і вона нічого проти людини "не має". З іншого боку, довгострокові прогнози, що складаються метеорологічними службами, неточні і тому можуть використовуватися в практичній діяльності тільки як орієнтовні під час прийняття рішень.

Розв’язання. Матриця гри з природою аналогічна матриці стратегічної гри: aA ij= , де aij – виграш гравця 1 при реалізації його чистої стратегії i та

чистої стратегії j гравця 2. Мажорування стратегій у грі з природою має специфіку: виключати з

розгляду можна лише домінуючі стратегії гравця 1: якщо для всіх m,...,l,aa,n,...,j ljkj 11 =≤= , то k-ю стратегію гравця 1, що приймає

рішення, можна не розглядати і викреслити з матриці гри. Стовпці, що відповідають стратегіям природи, викреслювати з матриці гри (виключати з

42

розгляду) неприпустимо, оскільки природа не прагне до виграшу в грі з людиною, для неї немає цілеспрямовано виграшних чи програшних стратегій, вона діє неусвідомлено.

На перший погляд, відсутність обміркованої протидії спрощує гравцю задачу вибору рішення. Однак, хоча ОПР ніхто не заважає, їй складніше обґрунтувати свій вибір, оскільки в цьому випадку гарантований результат невідомий.

Методи прийняття рішень в іграх із природою залежать від характеру невизначеності, точніше, від того, відомі чи ні ймовірності станів (стратегій) природи, тобто чи має місце ситуація ризику або невизначеності. Нижче будуть описані методи, що застосовуються в обох випадках.

Розглянемо організацію й аналітичне представлення гри з природою. Нехай гравець 1 має m можливих стратегій: A1, A2,…,Am , а в природи є n можливих станів (стратегій): П1, П2,…,Пn , тоді умови гри з природою задаються матрицею А виграшів гравця 1:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

a...aaA...............

a...aaAa...aaAП...ПП

A

mn2m1mm

n222212

n112111

n21

. (3.1)

Можливий також інший спосіб завдання матриці гри з природою: не у

вигляді матриці виграшів, а у вигляді так званої матриці ризиків

rR ij n,m= або матриці втрачених можливостей. Ризиком rij гравця у разі

використання ним стратегії Ai та при стані середовища Пj будемо називати різницю між виграшем, який гравець одержав би, якби він знав, що станом середовища буде Пj, і виграшем, що гравець отримає, не маючи цієї інформації. Знаючи стан природи (стратегію) Пj, гравець вибирає ту стратегію, за якою його виграш максимальний, тобто aвr ijij j −= , де

amaxв ijmij ≤≤

=1

при заданому j. Наприклад, для матриці виграшів:

43

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

2664A3483A9541AПППП

A

3

2

1

4321

. (3.2)

Відповідно до введених визначень rij та в j одержуємо матрицю

ризиків:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

7020A6201A0143AПППП

R

3

2

1

4321

. (3.3)

3.2 Прийняття рішень в умовах повної невизначеності У випадках, коли невизначеність пов’язана з повною відсутністю

інформації про ймовірності станів середовища (природи) для визначення найкращих рішень використовуються наступні критерії: максимаксу, Вальда, Севіджа, Гурвиця та Лапласа. Застосування кожного з перерахованих критеріїв проілюструємо на прикладі матриці виграшів (3.2) чи зв'язаної з нею матриці ризиків (3.3).

Критерій максимаксу. З його допомогою визначається стратегія, що максимізує максимальні виграші для кожного стану природи. Це критерій крайнього оптимізму. Найкращим визнається рішення, при якому досягається максимальний виграш, рівний amaxM ij

njmi≤≤≤≤

=

11

.

Неважко побачити, що для матриці А найкращим рішенням буде A1 при якому досягається максимальний виграш – 9.

Слід зазначити, що ситуації, які вимагають застосування такого критерію, в економіці, загалом, часті, і використовують цей критерій не тільки безоглядні оптимісти, але й гравці, які потрапили в безвихідне становище, й змушені керуватися принципом "або пан, або пропав".

44

Максимінний критерій Вальда. З позицій даного критерію природа розглядається як агресивно налаштований і свідомо діючий супротивник. Вибирається рішення, для якого досягається значення aminmaxW ij

njmi ≤≤≤≤=

11.

Для платіжної матриці А (3.2) неважко розрахувати: для першої стратегії (і = 1) 1

41=

≤≤amin ij

j;

для другої стратегії (і = 2) 341

=≤≤

amin ijj

;

для третьої стратегії (і = 3) 241

=≤≤

amin ijj

.

Тоді 34131

==≤≤≤≤

aminmaxW ijji

, що відповідає другій стратегії A2

гравця 1. Відповідно до критерію Вальда, з усіх найбільш невдалих результатів

вибирається кращий (W = 3). Це перестрахувальна позиція крайнього песимізму, розрахована на гірший випадок. Така стратегія прийнятна, наприклад, коли гравець не стільки зацікавлений у великому виграші, скільки хоче себе застрахувати від несподіваних програшів. Вибір такої стратегії визначається ставленням гравця до ризику.

Критерій мінімаксного ризику Севіджа. Вибір стратегії аналогічний вибору стратегії за принципом Вальда з тією відмінністю, що гравець керується не матрицею виграшів А (3.2), а матрицею ризиків R (3.3):

rmaxminS ij

nj1mi1 ≤≤≤≤= .

Для матриці R (3.3) неважко розрахувати: для першої стратегії (і = 1) 4

41=

≤≤rmax ij

j;

для другої стратегії (і = 2) 641

=≤≤

rmax ijj

;

для третьої стратегії (і = 3) 741

=≤≤

rmax ijj

.

Мінімально можливий із найбільших ризиків, що дорівнює 4, досягається у разі використання першої стратегії A1.

Критерій песимізму-оптимізму Гурвиця. Цей критерій під час вибору рішення рекомендує керуватися деяким середнім результатом, що характеризує стан між крайнім песимізмом і невтримним оптимізмом. Відповідно до цього критерію стратегія в матриці А вибирається згідно зі значенням:

45

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+=≤≤≤≤≤≤

amax)p1(aminpmaxH ijnj1

ijnj1mi1

A ,

де р – коефіцієнт песимізму )p( 10 ≤≤ . При p = 0 критерій Гурвиця збігається з максимаксним критерієм, а

при р = 1 – із критерієм Вальда. Покажемо процедуру застосування даного критерію для матриці А

(3.2) при p = 0,5:

для першої стратегії (і = 1): 59150504141

=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

≤≤≤≤)(,amaxamin, ij

jij

j;

для другої стратегії (і = 2): 558350504141

,)(,amaxamin, ijj

ijj

=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

≤≤≤≤;

для третьої стратегії (і = 3): 46250504141

=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

≤≤≤≤)(,amaxamin, ij

jij

j.

Тоді 5550414131

,amaxamin,maxH ijj

ijji

A =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

≤≤≤≤≤≤, тобто оптимальною є

друга стратегія A2. Стосовно матриці ризиків R критерій песимізму-оптимізму Гурвиця

має вигляд:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+=≤≤≤≤≤≤

rmin)p1(rmaxpminH ijnj1

ijnj1mi1

R .

При р = 0 вибір стратегії гравця 1 здійснюється за умовою

найменшого з усіх можливих ризиків rmin ijj,i

; при р = 1 – за критерієм

мінімаксного ризику Севіджа. На завершення наведемо результати застосування розглянутих вище

критеріїв на прикладі наступної матриці виграшів:

46

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

545585252580252035207515153020

A

AAAA

ПППП

4

3

2

1

4321

.

Для гравця 1 кращими є стратегії: за критерієм Вальда – А3; за критерієм Севіджа – А2 та А3 за критерієм Гурвиця (при р = 0,6) – А3; за критерієм максимаксу – А4. Оскільки стратегія А3 фігурує як оптимальна за трьома критеріями

вибору з чотирьох, ступінь її надійності можна визнати досить високим, для того щоб рекомендувати цю стратегію до практичного застосування.

3.3 Прийняття рішень в умовах ризику

Методи прийняття рішень в умовах ризику розробляються та обґрунтовуються у рамках так званої теорії статистичних рішень. При цьому у випадку "доброякісної", або стохастичної, невизначеності, коли станам природи поставлені у відповідність ймовірності, задані експертно або обчислені, рішення, як правило, приймається на підставі критерію максимуму очікуваного середнього виграшу або мінімуму очікуваного середнього ризику (матриці типу (3.2) або (3.3) відповідно).

Якщо для деякої гри з природою, що задається платіжною матрицею

aA ij n,m= , стратегіям природи Пj відповідають імовірності рj, то кращою

стратегією гравця 1 буде та, що забезпечує йому максимальний середній виграш, тобто:

apmax ijn

1jj

mi1∑=≤≤

. (3.4)

Стосовно матриці ризиків (матриці втрачених вигод) кращою буде та

стратегія гравця, що забезпечує йому мінімальний середній ризик:

47

rpmin ijn

1jj

mi1∑=≤≤

. (3.5)

Наприклад, для гри, що задається матрицею А (3.2) або матрицею R

(3.3), за умови, що 41

4321 ==== pppp , кращою є стратегія гравця 1 за

критерієм (3.4), оскільки:

419

amax41

4a

ij4

1j3i1

4

1j

j1 =∑=∑=≤≤=

.

Ця ж стратегія є кращою для гравця 1 за критерієм (3.5) щодо

забезпечення мінімального рівня ризику:

2rmin41

rp ij4

1j3i1ij

4

1jj =∑=∑

=≤≤=.

На практиці доцільно віддавати перевагу матриці виграшів (3.2) або

матриці ризиків (3.3) залежно від того, яка з них визначається більшою вірогідністю. Це особливо важливо враховувати під тчас експертних оцінок елементів матриць A та R.

3.4 Питання для самоконтролю 1 Перерахуйте критерії пошуку рішень в умовах ризику та

невизначеності. 2 Наведіть сутність критеріїв пошуку рішень в умовах ризику та

невизначеності. 3 За якими формулами обчислюються критерії пошуку рішень в

умовах ризику та невизначеності? 4 Чим відрізняються ситуації ризику від ситуацій невизначеності? 5 У яких випадках доцільно використовувати ті або інші критерії

пошуку рішень в умовах ризику та невизначеності?

48


Задача 1 Знайти найкращі стратегії за критеріями: максимаксу, Вальда, Севіджа, Гурвиця (коефіцієнт дорівнює 0,2) , Гурвиця стосовно матриці ризиків (коефіцієнт дорівнює 0,4) для наступної матриці платежів ігри з природою:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−−

=

31799010131845577863596214

A .

Задача 2 Дана матриця ігри з природою в умовах цілковитої

невизначеності:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

−

=

22465161240610

83107442

A .

Потрібно: проаналізувати оптимальні стратегії першого гравця,

використовуючи критерії песимизму-оптимізму Гурвиця стосовно матриці платежів та матриці ризиків при коефіцієнті песимізму р = 0; 0,5; 1; при цьому відокремити критерії максимакса, Вальда та Севіджа; встановити, яку роль відіграють стратегії ОПР при р = 0,5.

Задача 3 Магазин "Молоко" продає вроздріб молочні продукти. Директор магазину повинен визначити, скільки бідонів сметани варто закупити у виробника для торгівлі протягом тижня. Імовірності того, що попит на сметану протягом тижня буде 7, 8, 9 або 10 бідонів, рівні відповідно 0,2; 0,2; 0,5 і 0,1. Покупка одного бідона сметани коштує для магазину 70 грн, а продається сметана за ціною 110 грн за бідон. Якщо сметана не продається протягом тижня, вона псується, і магазин несе збитки. Скільки бідонів сметани бажано закуповувати для продажу?

Задача 4 Невелика приватна фірма виробляє косметичну продукцію. Протягом місяця реалізується 15, 16 або 17 упакувань товару. Від продажу

49

кожного упакування фірма одержує 75 грн прибутку. Косметика має малий термін придатності, тому, якщо упакування з товаром не продане в місячний термін, вона повинна бути знищена. Оскільки виробництво одного упакування обходиться в 115 грн, втрати фірми складають 115 грн, якщо упакування не продане до кінця місяця. Імовірності продати 15, 16 або 17 упакувань за місяць складають відповідно 0,55; 0,1 і 0,35. Скільки упакувань косметики варто робити фірмі щомісяця? Скільки упакувань товару можна було б робити у разі значного продовження терміну збереження косметичної продукції?

50

РОЗДІЛ 4

ВИБІР РІШЕНЬ ЗА ДОПОМОГОЮ ДЕРЕВА РІШЕНЬ (ПОЗИЦІЙНІ ІГРИ)

4.1 Основні етапи прийняття рішень

Розглянемо більш складні (позиційні, чи багатоетапні) рішення в умовах ризику. Одноетапні ігри з природою, таблиці рішень (див. розд. 3), зручно використовувати в задачах, що мають одну множину альтернативних рішень і одну множину станів середовища. Проте багато задач вимагають аналізу послідовності рішень і станів середовища, коли одна сукупність стратегій гравця і станів природи породжує інший стан подібного типу. Якщо мають місце дві (або більше) послідовні множини рішень, причому наступні рішення ґрунтуються на результатах попередніх, та/або дві (чи більше) множини станів середовища (з'являється цілий ланцюг рішень, що випливають одне з одного, та відповідають подіям, що відбуваються з деякою ймовірністю), використовується дерево рішень.

Дерево рішень – це графічне зображення послідовності рішень і станів середовища з вказівкою відповідних імовірностей і виграшів для будь-яких комбінацій альтернатив і станів середовища.

У постановочному плані розглянемо кілька задач, що можуть бути вирішені за допомогою даного методу.

Приклад 4.1 Розвідувальне буравлення свердловин. Нафтова розвідувальна партія повинна вирішити, чи варто бурити свердловини на даній ділянці до того, як мине термін контракту. Для керівників партії не з’ясовано багато обставин:

− у яку суму обійдеться вартість буравлення, що залежить від якості ґрунту, глибини залягання нафти тощо;

− на які запаси нафти в цьому місці можна розраховувати; − скільки коштуватиме експлуатація свердловини. У розпорядженні керівництва є об'єктивні дані про аналогічні і не

цілком схожі свердловини цього типу. За допомогою сейсмічної розвідки можна одержати додаткову інформацію, що, однак, не дає вичерпних відомостей про геофізичну структуру розвідуваної ділянки. Крім того, одержання сейсмічної інформації коштує недешево, тому ще до того, як буде прийняте остаточне рішення (бурити чи ні), варто визначити, чи є необхідність збирати ці відомості.

51

Приклад 4.2 Випуск нового товару. Велика хімічна компанія успішно завершила дослідження з удосконалення будівельної фарби. Керівництво компанії повинне вирішити, робити цю фарбу самим (і якщо – так, то якої потужності будувати завод) або продати патент чи ліцензію, а також технологію незалежній фірмі, що має справи виключно з виробництвом і збутом будівельної фарби. Основні джерела невизначеності:

− ринок збуту, який фірма може забезпечити в разі продажу нової фарби за даною ціною;

− витрати на рекламу, якщо компанія буде сама виробляти і продавати фарбу;

− час, потрібний конкурентам, щоб випустити на ринок подібний товар (чи встигне компанія за цей термін окупити витрати, понесені для того, щоб стати лідером у даній сфері виробництва).

Компанія може одержати деякі додаткові відомості, що опосередковано стосуються проблеми проникнення конкурентів на ринок збуту, опитавши частину постачальників фарби. Але до матеріалів опитувань варто ставитися з обережністю, тому що постачальники насправді можуть чинити не так, як вони спочатку передбачають. На підтвердження останнього судження можна згадати про дослідження, проведені американськими автомобільними корпораціями, для того щоб визначити попит на великі легкові автомобілі. Незважаючи на енергетичну кризу, що насувалася 1971 – 1973 рр., результати анкетування показали, що американські покупці, як і раніше віддають перевагу багатомісцевим легковим автомобілям. Однак насправді усе відбулося з точністю до навпаки, і на ринку стали користатися попитом невеликі, економічні автомобілі. Такі результати опитування можуть бути частково пояснені скритністю людського характеру, і це повинно враховуватися під час прийняття рішень.

Процес прийняття рішень за допомогою дерева рішень у загальному випадку передбачає виконання наступних п'яти етапів.

Етап 1 Формулювання задачі. Насамперед необхідно відкинути фактори, що не стосуються проблеми, а серед множини, що залишилася, виділити істотні і несуттєві. Це дозволить привести опис задачі ухвалення рішення до форми, що піддається аналізу. Повинні бути виконані такі основні процедури:

а) визначення можливостей збору інформації для експерименту і реальних дій;

б) складання переліку подій, що з визначеною ймовірністю можуть відбутися;

52

в) встановлення часового порядку розташування подій, у результатах яких міститься корисна і доступна інформація, і тих послідовних дій, що можна виконати.

Етап 2 Побудова дерева рішень. Етап 3 Оцінка ймовірностей станів середовища, тобто порівняння

шансів виникнення кожної конкретної події. Слід зазначити, що вказані ймовірності визначаються або на підставі наявної статистики, або експертним шляхом.

Етап 4 Встановлення виграшів (або програшів як виграшів зі знаком “мінус”) для кожної можливої комбінації альтернатив (дій) і станів середовища.

Етап 5 Розв’язання задачі. Введемо ряд визначень. Залежно від ставлення ОПР до ризику розв’язання задачі може

виконуватися з позицій так званих "об'єктивістів" та "суб'єктивістів". Пояснимо ці поняття на наступному прикладі. Нехай пропонується лотерея: за 10 грн (вартість лотерейного квитка) гравець з рівною ймовірністю р = 0,5 може нічого не виграти або виграти 100 грн. Один індивід пошкодує 10 грн за право участі в такій лотереї, тобто просто не купить лотерейний квиток, інший готовий заплатити за лотерейний квиток 50 грн, а третій заплатить навіть 60 грн за можливість одержати 100 грн (наприклад, коли ситуація складається так, що, тільки маючи 100 грн, гравець може досягти своєї мети, тому можливість втрати останніх коштів, а в нього їх саме 60 грн, не змінює для нього ситуації).

Безумовним грошовим еквівалентом (БГЕ) гри називається максимальна сума грошей, яку ОПР готовий заплатити за участь у грі (лотереї), або, що те ж саме, та мінімальна сума грошей, за якої він готовий відмовитися від гри. Кожен індивід має свій БГЕ. Індивіда, для якого БГЕ збігається з очікуваною грошовою оцінкою (ОГО) гри, тобто із середнім виграшем у грі (лотереї), умовно називають об'єктивістом; індивіда, для якого БГЕ не дорівнює ОГО, – суб'єктивістом.

Очікувана грошова оцінка розраховується як сума добутків розмірів виграшів на ймовірності цих виграшів. Наприклад, для нашої лотереї ОГО = 0,5*0 + 0,5*100 = 50 грн. Якщо суб'єктивіст схильний до ризику, то його БГЕ > ОГО. Якщо не схильний, то БГЕ < ОГО.

Припустімо, що рішення приймаються з позиції об'єктивіста. Розглянемо процедуру ухвалення рішення на прикладі наступної задачі.

Приклад 4.3 Керівництво деякої компанії вирішує, створювати для випуску нової продукції велике виробництво, мале підприємство або продати

53

патент іншій фірмі. Розмір виграшу, який компанія може одержати, залежить від сприятливого чи несприятливого стану ринку (табл. 4.1).

Таблиця 4.1 – Виграш компанії за різних станів середовища

Виграш (грн) при стані економічного середовища*

Номер стратегії

Дії компанії

сприятливий несприятливий 1 Будівництво крупного

підприємства (а1) 200000 – 180000

2 Будівництво малого підприємства (а2)

100000 – 20000

3 Продаж патенту (а3) 10000 10000 *Ймовірність настання сприятливого або несприятливого стану економічного середовища дорівнює 0,5

Розв’язання. На основі даної таблиці виграшів (втрат) можна

побудувати дерево рішень (рис. 4.1). Процедура ухвалення рішення полягає в обчисленні для кожної

вершини дерева (при русі справа наліво) очікуваних грошових оцінок, відкиданні безперспективних галузей (гілок) і виборі галузей (гілок), яким відповідає максимальне значення ОГО.

Рисунок 4.1 – Дерево рішень без додаткового обстеження кон’юнктури ринку:

При побудові дерева рішень приймаються такі позначення:

– рішення (рішення, що приймає гравець);

54

* – випадок (рішення, що "приймає" випадок); // – відкинуте рішення. Визначимо середній очікуваний виграш: для вершини 1 ОГО1 = 0,5*200 000 + 0,5*(–180 000) = 10 000 грн; для вершини 2 ОГО2 = 0,5*100 000 + 0,5*(–20 000) = 40 000 грн; для вершини 3 ОГО3 = 10 000 грн. Висновок. Найбільш доцільно вибрати стратегію а2, тобто будувати

мале підприємство, а гілки (стратегії) а1 та а3 дерева рішень можна відкинути. ОГО найкращого рішення дорівнює 40 000 грн. Слід зазначити, що наявність стану з ймовірностями 50 % невдачі та 50 % удачі на практиці часто означає, що дійсні ймовірності гравцю, швидше за все, невідомі і він усього лише приймає таку гіпотезу (так зване припущення "fіfty - fіfty" – п’ятдесят на п’ятдесят).

Ускладнимо розглянуту вище задачу. Приклад 4.4. Нехай перш ніж приймати рішення про будівництво,

керівництво компанії повинне визначити, чи замовляти додаткове дослідження стану ринку, причому ця послуга обійдеться компанії в 10 000 грн. Керівництво розуміє, що додаткове дослідження, як і раніше, не здатне дати точної інформації, але воно допоможе уточнити очікувані оцінки кон’юнктури ринку, змінивши тим самим значення ймовірностей.

Щодо фірми, якій можна замовити прогноз, відомо, що вона здатна уточнити значення ймовірностей сприятливого чи несприятливого результату. Можливості фірми у вигляді умовних імовірностей сприятливості та несприятливості ринку збуту представлені в табл. 4.2. Наприклад, коли фірма стверджує, що ринок сприятливий, то з імовірністю 0,78 цей прогноз виправдається (та з імовірністю 0,22 можуть виникнути несприятливі умови), прогноз про несприятливість ринку виправдається з імовірністю 0,73.

Таблиця 4.2. – Результати прогнозу

Фактично Прогноз фірми Сприятливий Несприятливий

Сприятливий 0,78 0,22 Несприятливий 0,27 0,73

Припустімо, що фірма, якій замовили прогноз стану ринку, стверджує:

− ситуація буде сприятливою з імовірністю 0,45;

55

− ситуація буде несприятливою з імовірністю 0,55. Розв’язання. На підставі додаткових відомостей можна побудувати

нове дерево рішень (рис. 4.2), де розвиток подій походить від кореня дерева до результатів, а розрахунок прибутку виконується від кінцевих станів до початкового.

*

*

*

*

*

*

*

Сприятливийстан (0,50)

Несприятливийстан (0,50)



Патент

Малепідприємство





Патент

100 000

-20 000

10 000

10 000





10 000Патент



Великепідприємство



Не проводитиобстеження

Проводити

обстеження

40 000

49 200

59 200

12 400

116 400

Прогнозсприят-ливий(0,45)

Прогнознесприят-ливий(0,55)

Рисунок 4.2 – Дерево рішень при додатковому обстеженні ринку (див.

умовні позначки до рис. 4.1)

56

Висновки. З аналізу дерева рішень випливає: необхідно проводити додаткове дослідження кон’юнктури ринку, оскільки це дозволяє істотно уточнити прийняте рішення; якщо фірма прогнозує сприятливу ситуацію на ринку, то доцільно будувати велике підприємство (очікуваний максимальний прибуток 116 400 грн), якщо прогноз несприятливий, – мале (очікуваний максимальний прибуток 12 400 грн).

Припустімо, що консультаційна фірма за визначену плату готова надати інформацію про фактичну ситуацію на ринку в той момент, коли керівництву компанії слід прийняти рішення про масштаб виробництва. Прийняття пропозиції залежить від співвідношення очікуваної цінності (результативності) точної інформації до величини плати, що вимагають за додаткову (точну) інформацію, завдяки якій може бути відкориговане ухвалення рішення, тобто первісна дія може бути зміненою.

Очікувана цінність точної інформації про фактичний стан ринку дорівнює різниці між очікуваною грошовою оцінкою за наявності точної інформації і максимальною очікуваною грошовий, оцінкою за відсутності точної інформації.

Розрахуємо очікувану цінність точної інформації для приклада, у якому додаткове обстеження кон’юнктури ринку не проводиться. За відсутності точної інформації, як вже було показано вище, максимальна очікувана грошова оцінка дорівнює:

ОГО = 0,5 * 100 000 – 0,5 * 20 000 = 40 000 грн.

Якщо точна інформація про дійсний стан ринку буде сприятливою

(ОГО = 20 0000 грн, див. табл. 4.1), приймається рішення будувати велике виробництво, якщо несприятливою, то найдоцільніше рішення – продаж патенту (ОГО = 10 000 грн). З огляду на, те що імовірності сприятливої і несприятливої ситуацій дорівнюють 0,5, значення ОГОт.і. (ОГО точної інформації) визначається як:

ОГОт.і. = 0,5 * 200 000 + 0,5 * 10 000 = 105 000 грн.

Тоді очікувана цінність точної інформації дорівнює:

ОЦт.і. = ОГОт.і. – ОГО =105 000 – 40 000 = 65 000 грн.

57

Значення ОГОт.і. показує, яку максимальну ціну повинна бути готова заплатити компанія за точну інформацію про дійсний стан ринку в той момент, коли їй це необхідно.

4.2 Питання для самоконтролю 1 Для вирішення яких задач використовують багатоетапні (позиційні)

ігри? Наведіть приклади задач, що вирішуються за допомогою дерева рішень.

2 Що називається деревом рішень? 3 Перелічіть етапи розв’язання задач за допомогою дерева рішень. 4 Що називається безумовним грошовим еквівалентом? 5 Що називається очікуваною грошовою оцінкою? 6 Що називається очікуваною цінністю точної інформації? 7 Що показує очікувана цінність точної інформації?


Задача 1 Директор ліцею, навчання в якому здійснюється на платній

основі, вирішує, чи варто розширювати будинок ліцею на 250 місць, на 50 місць або не проводити будівельних робіт взагалі. Якщо населення невеликого міста, у якому організований платний ліцей, зростатиме, то велика реконструкція могла б принести прибуток 250 тис. грн на рік, незначне розширення навчальних приміщень могло б приносити 90 тис. грн прибутку. Якщо населення міста збільшуватися не буде, то велике розширення обійдеться ліцею в 120 тис. грн збитку, а мале 45 тис. грн. Однак інформація про те, як буде змінюватися населення міста, відсутня.

Побудуйте дерево рішень і визначте кращу альтернативу, використовуючи критерій Вальда. Чому дорівнює значення ОГО для найкращої альтернативи під час відсутності необхідної інформації?

Нехай за тих же вхідних даних державна статистична служба надала інформацію про зміну чисельності населення: імовірність росту чисельності населення складає 0,7; імовірність того, що чисельність населення залишиться незмінною чи буде зменшуватися, дорівнює 0,3. Визначите найкраще рішення, використовуючи критерій максимізації очікуваної грошової оцінки. Чому дорівнює значення ОГО для найкращої

58

альтернативи у разі одержання додаткової інформації? Яка очікувана цінність додаткової інформації?

Задача 2 При великому автомобільному магазині планується відкрити майстерню з післяпродажного обслуговування і гарантійного ремонту автомобілів. Консультаційна фірма готова надати додаткову інформацію про те, чи буде ринок сприятливим. Ці відомості обійдуться магазину в 13 тис. грн. Адміністрація магазина вважає, що ця інформація гарантує сприятливий ринок з імовірністю 0,5. Якщо ринок буде сприятливим, то велика майстерня принесе прибуток у 60 тис. грн, а маленька – 30 тис. грн. При несприятливому ринку магазин втратить 65 тис. грн., якщо буде відкрита велика майстерня, і 30 тис. грн – якщо відкриється маленька. Не маючи додаткової інформації, директор оцінює ймовірність сприятливого ринку як 0,6. Позитивний результат обстеження гарантує сприятливий ринок з імовірністю 0,8. У разі негативного результату ринок може виявитися сприятливим з імовірністю 0,3. Побудуйте дерево рішень і визначте:

− Чи варто замовити консультаційній фірмі додаткову інформацію, що уточнює кон’юнктуру ринку?

− Яку майстерню варто відкрити при магазині: велику чи маленьку? − Яка очікувана грошова оцінка найкращого рішення? − Яка очікувана цінність додаткової інформації? Задача 3 Фірма, що виробляє обчислювальну техніку, здійснила аналіз

ринку нового високопродуктивного персонального комп’ютера. Якщо буде випущена велика партія комп’ютерів, то у разі сприятливого ринку прибуток становитиме 250 тис. грн, а за несприятливих умов фірма понесе збитки в 185 тис. грн. Невелика партія техніки у випадку її успішної реалізації принесе фірмі 50 тис. грн прибутку і 10 тис. грн збитків – за несприятливих зовнішніх умов. Можливість сприятливого і несприятливого результатів фірма оцінює однаково. Дослідження ринку, що провів експерт, обійшлося фірмі в 15 тис. грн. Експерт вважає, що з імовірністю 0,6 ринок зробиться сприятливим. У той же час у разі позитивного висновку сприятливі умови очікуються лише з імовірністю 0,8. У разі негативного висновку з імовірністю 0,15 ринок також може виявитися сприятливим. Використовуйте дерево рішень, для того щоб допомогти фірмі вибрати правильну техніко-економічну стратегію. Дайте відповіді на наступні питання:

− Чи варто замовляти експерту додаткове обстеження ринку? − Яку максимальну суму фірма може виплатити експерту за виконану

роботу? − Яка очікувана грошова оцінка найкращого рішення?

59

Задача 4 Автомобільний завод одержує реле сигналу повороту від двох постачальників А і В. Якість цих виробів характеризується даними, наведеними в табл. 4.3.

Таблиця 4.3 – Відсоток браку

Ймовірність для постачальника Відсоток браку А В

1 0,7 0,4 2 0,1 0,3 3 0,09 0,15 4 0,07 0,1 5 0,04 0,05

Повні витрати, пов’язані з ремонтом одного бракованого реле,

складають 5 гривень. Реле надходять партіями по 20 000 шт. Оскільки якість виробів у

постачальника В гірше, він віддасть всю партію на 500 грн дешевше. Побудуйте дерево рішень. Якого постачальника варто вибрати?

60

РОЗДІЛ 5

ФУНКЦІЯ КОРИСНОСТІ НЕЙМАНА – МОРГЕНШТЕРНА

5.1 Основні визначення та аксіоми

Обґрунтування вибору рішення в попередніх розділах виконувалося з позицій об'єктивіста. Якщо ж ОПР – суб'єктивіст, то він буде керуватися індивідуально визначеним БГЕ. Пояснимо зміст цієї величини. Розглянемо ситуацію, коли гравець з імовірністю 0,8 виграє 40 грн і з імовірністю 0,2 програє 20 грн. Спробуємо з’ясувати, за яку суму ОПР поступиться своїм правом брати участь у грі. Як відзначалося, об’єктивіст користується правилом: БГЕ = ОГО = 0,8 * 40 + 0,2(-20) = = 28 грн. Тому своє право на гру він віддасть не менш ніж за 28 грн. Суб’єктивіст, як правило, готовий поступитися своїм правом на гру за меншу суму, оскільки для нього БГЕ < ОГО. Причинами такого поводження можуть бути:

− фінансовий стан гравця (можливо, він на грані банкрутства і йому необхідні гроші);

− ставлення гравця до ризику взагалі (несхильність до ризику); − чи настрій стан здоров’я гравця; − безліч інших, навіть таких, що безпосередньо не стосуються

бізнесу, причин. Величина БГЕ може змінюватися згодом залежно від обумовлених

зазначеними причинами обставин. Наприклад, у випадку катастрофічної нестачі фінансових засобів (готівки) право на гру можна віддати і за більш низький еквівалент.

Дослідимо реалістичність критерію вибору рішення, заснованого на розрахунку ОГО. Розглянемо дві альтернативи:

1 Виграш 1 000 000 грн з імовірністю 1. 2 Гра (лотерея): виграш 2 100 000 грн з імовірністю 0,5 і програш

50 000 грн з імовірністю 0,5. У цьому випадку: ОГО = 0,5 * 2100 000 - - 0,5*50000 = 1 025 000 грн.

Щодо одержуваного середнього виграшу зазначені альтернативи практично еквівалентні, і, якщо гравець байдужий до ризику, він вибере другу альтернативу. Якщо він до ризику не байдужий, а переважна більшість саме такими й є, то вибір буде залежати головним чином від фінансового стану гравця. Гравці, що мають скромний грошовий дохыд,

61

волітимуть не ризикувати і виберуть гарантований виграш. Для ОПР, що володіє досить великим капіталом, програш у 50 00 грн невеликий, і вона вирішить ризикнути. Ризикувати будуть також гравці, патологічно схильні до фінансових авантюр.

Методологія раціонального прийняття рішень в умовах невизначеності, що заснована на функції корисності індивіда, спирається на п’ять аксіом. Припустімо, що конструюється лотерея (гра), у якій індивід з імовірністю p одержує грошову суму х та з імовірністю (1-p) – суму z. Цю ситуацію будемо позначити L(х, p, z).

Аксіома 1 Порівнянності (повноти). Для всієї множини S невизначених альтернатив (можливих наслідків) індивід може сказати, що або результат х вагоміший за результат y (x > y), або y > x, або індивід байдужий щодо вибору між x і y (x~y). Запис x > y означає, що результат x вагоміший за результат y або індивід байдужий стосовно вибору між x і y.

Аксіома 2 Транзитивності (заможності). Якщо x>y і y>z, то x>z. Якщо x~y і y~z, то x~z.

Аксіома 3 Сильної незалежності. Припустімо, що ми конструюємо лотерею, у якій індивід з імовірністю p одержує грошову суму x та з імовірністю (1-p) – суму z, тобто L(х, p, z). Сильна незалежність означає, що якщо індивід байдужий щодо вибору між x і y (x~y), то він також буде байдужий стосовно вибору між лотереєю L(х, p, z) і лотереєю L(y, p, z), тобто з x~y випливає: L(х, p, z)~ L(y, p ,z).

Аксіома 4 Вимірності. Якщо x > y~z або x~y > z, то існує єдина імовірність p, така що y~ L(х, p, z).

Пояснимо зміст цієї аксіоми. Нехай, наприклад, маємо три результати: x = 1000; y = 0; z – означає смерть гравця. Виходячи зі здорового глузду, наслідок z не можна порівняти з жодним виграшем, і відповідного до цього результату значення ймовірності p існувати не може. Однак у житті трапляються ситуації, коли певний програш рівнозначний смерті. Тоді твердження в р ~ L(х, p, z) можна вважати справедливим для деякого значення 0 ≤ р ≤1.

Аксіома 5 Ранжирування. Якщо альтернативи y та u знаходяться за перевагою між альтернативами x та z і можна побудувати лотереї, такі, що індивід байдужий щодо вибору між y і L(х, p1, z), а також до вибору між u і L(х, p2, z), то при p1 > p2 y > u.

Пояснимо зміст цієї аксіоми. Нехай існують такі альтернативи: x = 1000; y = 500; u = 200; z = -10. Нехай еквівалентні дві пари ситуацій, одна з яких неігрова, а інша ігрова:

62

гарантовано одержати 500 або лотерея: з імовірністю p1 виграти 1000 і з імовірністю (1 - p1) програти 10, тобто 500 ~ L(1000, p1, -10);

гарантовано одержати 200 або лотерея: з імовірністю p2 виграти 1000 і з імовірністю (1 - p2) програти 10, тобто 200 ~ L(1000, p1, -10).

Очевидно, що за зазначених умов p1> p2. Якщо p1= p2, то y ~ u. Твердження аксіоми цілком відповідає здоровому глуздові: чим

більша ймовірність великого виграшу, тим більше гра «коштує», тобто тим більша плата потрібна за здобуття права брати участь у цій грі.

Якщо прийняти наведені аксіоми і припустити, що люди віддають перевагу більшій кількості деякого блага порівняно з меншою кількістю, то все це в сукупності визначає раціональну поведінку ОПР.

За умови названих припущень американськими вченими Нейманом і Моргенштерном було показано, що ОПР у разі ухвалення рішення буде прагнути до максимізації очікуваної корисності. Іншими словами, з усіх можливих рішень він вибирає те, що забезпечує найбільшу очікувану корисність.

Сформулюємо визначення корисності за Нейманом – Моргенштерном.

Визначення 5.1 Корисність – це деяке число, приписуване особою, що приймає рішення, кожному можливому результату. Функція корисності Неймана – Моргенштерна для ОПР показує корисність, яку вона приписує кожному можливому результату. У кожної ОПР своя функція корисності, що показує її перевагу тих чи інших наслідків залежно від її відношення до ризику.

Визначення 5.2 Очікувана корисність події дорівнює сумі добутків ймовірностей результатів на значення корисностей цих результатів.

Проілюструємо практичну реалізацію введених понять на прикладі розрахунку ОГО і зіставлення цього значення з корисністю.

Приклад 5.1 Нафтопереробна фірма вирішує питання про буравлення свердловини. Відомо, що якщо фірма буде бурити, то з імовірністю 0,6 нафти знайдено не буде; з імовірністю 0,1 запаси родовища складуть 50 000 т; з імовірністю 0,15 – 100 000 т; з імовірністю 0,1 – 500 000 т; з імовірністю 0,05 – 1 000 000 т. Якщо нафта не буде знайдена, то фірма втратить 50 000 грн; якщо потужність родовища складе 50 000 т, то втрати знизяться до 20 000 грн; потужність родовища в 100 000 т принесе прибуток 30 000 грн; 500 000 т – 430 000 грн; 1 000 000 т – 930 000 грн. Дерево рішень даної задачі представлено на рис. 5.1.

63

Буравити

Не буравити

Ймовірність 0,6

Нафти нема прибуток: -50 000

Ймовірність 0,1Нафта: 50 000т. прибуток: -20 000

Ймовірність 0,15Нафта: 100 000т. прибуток: 30 000

Буравити

Ймовірність 0,1Нафта: 500 000т. прибуток: 430 000

Ймовірність 0,5Нафта: 1 000 000т

.прибуток: 930 000

Рисунок 5.1 – Дерево рішень для прикладу 5.1 (прибуток вказано у

гривнях) Неважко розрахувати очікуване значення виграшу:

ОГО = 0,6(-50 000) + 0,1 (-20 000) + 0,15 * 30 000 + + 0,1 * 430 000 + 0,05 * 930 000 = 62 000 грн.

Якщо ОПР, що представляє фірму, байдужа до ризику і приймає

рішення про проведення бурових робіт на підставі розрахованого ОГО, то вона сприймає очікувану корисність як пропорційну ОГО; вважаючи U = 62. З огляду на те, що U – індивідуальне число, яке характеризує ОПР, нулі, що відповідають розрахунку ОГО, можна відкинути. У цьому випадку функція корисності U(v), де v – прибуток, одержуваний при різних результатах, є прямою з позитивним схилом. Нижче буде показано, що U можна задавати з точністю до деякого монотонного перетворення.

Для ухвалення рішення у випадку небайдужості ОПР до ризику необхідно вміти оцінювати значення корисності кожного з припустимих результатів. Дж. Нейман і О. Моргенштерн запропонували процедуру побудови індивідуальної функції корисності, що полягає в наступному: ОПР відповідає на ряд питань, виявляючи при цьому свої індивідуальні

64

переваги, що враховують її ставлення до ризику. Значення корисностей можуть бути знайдені за два кроки.

Крок . Привласнюються довільні значення корисностей виграшам для гіршого і кращого наслідків, причому першій величині (гірший результат) ставиться у відповідність менше число. Наприклад, для наведеної вище задачі U(-50 000 грн) = 0, а U(930 000 грн) = 50. Тоді корисності проміжних виграшів будуть знаходитися в інтервалі від 0 до 50. Корисність результату навіть для одного індивіда визначається не однозначно, а з точністю до монотонного перетворення. Нехай, наприклад, маємо x1, x2,..., хn – корисності, приписувані n очікуваним значенням виграшів. Тоді a + bx1, a + bx2,..., a + bхn (де b > 0) також будуть корисностями. Якщо в прикладі 5.1 під час обчислення корисності відкинути останні нулі, це буде еквівалентно лінійному перетворенню функції корисності при a = 0 і b = 0,001.

Крок 2 Гравцеві пропонується на вибір: одержати деяку гарантовану грошову суму v, що знаходиться між кращим і гіршим значеннями S і s, або взяти участь у грі, тобто одержати з імовірністю р найбільшу грошову суму S і з імовірністю (1 -р) – найменшу суму s. При цьому ймовірність варто змінювати (знижувати або підвищувати) доти, поки ОПР стане байдужою щодо вибору між одержанням гарантованої суми і грою. Нехай зазначене значення ймовірності дорівнює р0. Тоді корисність гарантованої суми визначається як середнє значення (математичне сподівання) корисностей найменшої і найбільшої сум, тобто

U(v) = p0U(S) + (1-p0)U(s). (5.1)

Розрахуємо корисність результатів кожного з можливих наслідків для

прикладу 5.1. Нехай для ОПР байдуже, втратити 20 000 грн, чи взяти участь у грі (виграш 930 000 грн з імовірністю 0,1 або програш 50 000 грн з імовірністю 0,9). Відповідно до формули (5.1) маємо:

U(-20) = 0,1 U (930) + 0,9 U (-50) = 5,

при цьому за визначенням прийнято, що U(-50) = 0, U(930) = 50,

тобто U(-20) = 5. Таким чином, якщо визначена шкала виміру, то може бути побудована функція корисності ОПР (рис. 5.2).

65

U(x)

50

45

40

35

30

25

-50 150 930ОГО

Рисунок 5.2 – Графік корисності для прикладу 5.1

У загальному випадку графік функції корисності може бути трьох

типів (рис. 5.3, 5.4, 5.5): ОПР не схильна до ризику тоді і тільки тоді, коли її функція

корисності строго увігнута, у якої кожна дуга кривої лежить вище від своєї хорди:

Рисунок 5.3 – Функція корисності для ОПР, яка є не схильною до ризику

ОПР схильна до ризику тоді і тільки тоді, коли функція корисності строго опукла вниз, у якої кожна дуга кривої лежить нижче від своєї хорди:

U(x)

Х, Дохід

66

Рисунок 5.4 – Функція корисності для ОПР, яка є схильною до ризику

ОПР нейтральна до ризику тоді і тільки тоді, коли функція

корисності – пряма лінія:

Рисунок 5.5 – Функція корисності для ОПР, яка є нейтральною до ризику Існує також функція схильності-несхильності до ризику (див.

рисунок 5.6). На різних рівнях доходу (багатства) ставлення ОПР до ризику може мінятися. Досить реалістичною гіпотезою є схильність до ризику при невеликих сумах загального статку і несхильність до ризику при значних сумах.

Рисунок 5.6 – Функція схильності-несхильності до ризику

U(x)

Х, Дохід

U(x)

Х, Дохід

U(x)

Х, Дохід

67

5.2 Вимірювання ставлення до ризику Дослідимо графік функції корисності, представленої на рис. 5.7. Для

такого типу ОПР корисність середнього виграшу (корисність ОГО) більше очікуваної корисності гри: з імовірністю р виграти М1 і з імовірністю (1 - р) виграти М2.

Формально ми маємо графік увігнутої функції, про яку відомо, що ордината будь-якої точки кривої більше ординати крапки хорди кривої. Визначимо співвідношення, що характеризує ОПР, не схильну до ризику. Неважко бачити, що:

U(М1) – значення корисності в точці А; U(M2) – значення корисності в точці В; U(pM1 + (1-р)М2) – значення корисності в точці С. Рівняння хорди АВ має вид

U1 = a + bМ, де U1 – сукупність точок, що лежать на відрізку прямої.

Рисунок 5.7 – Графік функції корисності ОПР, не схильної до ризику

Знайдемо значення параметрів рівняння прямої. У точці А маємо U(M1) = а + b M1.

68

У точці В маємо U(M2) = а + b M2. Віднімаємо з першого рівняння друге:

U(M1)-U(M2) = b(M1 - M2),

звідки одержуємо:

;MM

)M(U)M(Ub21

21−−

=

.MM

)M(UM)M(UM

MM)M(UM)M(UM)M(UM)M(UM

MMM

)M(U)M(U)M(UMb)M(Ua

21

1221

21

21111211

121

21111

−−−

=

=−

+−−=

=−−

−=−=

Після підстановки значень для параметрів а і b рівняння хорди АВ має

вигляд:

,MMM

)M(U)M(UMM

)M(UM)M(UMU12

12

12

21121 −

−+

−−

=

де MMM 21 ≤≤ .

Припустімо 101 21 ≤≤−+= p,M)p(MpM , тоді у точці С є

правильною нерівність

.)M)p1(Mp(ba)M)p1(Mp(U 2121 −++>−+

Підставивши до цієї нерівності визначені значення a i b, отримаємо:

,)M)p1(Mp(MM

)M(U)M(U

MM)M(UM)M(UM)M)p1(Mp(U

2112

12

12

211221

−+−−

+

+−−

>−+

69

або

.)M(U)p1()M(pU)M)p1(Mp(U 2121 −+>−+ (5.2)

Нерівність (5.2) характерна для функцій корисності ОПР, не схильних

до ризику. Вона дійсно показує, що корисність середнього виграшу (корисність ОГО) більше очікуваної корисності гри: з імовірністю р виграти М1 і з імовірністю (1 - р) виграти М2.

Аналогічно можна показати, що для функцій корисності ОПР, схильних до ризику, справедлива нерівність

.)M(U)p1()M(pU)M)p1(Mp(U 2121 −+<−+ (5.3)

Для функцій корисності ОПР, байдужних (нейтральних) до ризику,

має місце рівність .)M(U)p1()M(pU)M)p1(Mp(U 2121 −+=−+ (5.4)

Схильність або несхильність ОПР до ризику, як уже відзначалося,

залежить від її поточного фінансового становища та інших факторів. Інакше кажучи, ця характеристика ОПР не є абсолютною, притаманною їй за будь-яких обставин.

Припустімо, що має місце гра (лотерея) з альтернативами а та b, тобто G(a, b, p). Дослідимо проблему, як доцільніше діяти ОПР: грати або одержати гарантований виграш, що дорівнює очікуваному виграшу. Нехай функція корисності гравця визначена як U(W) = ln(W), де W - величина добробуту. Нехай гра полягає у виграші 5 грн з імовірністю 0,8 і у виграші 30 грн з імовірністю 0,2. Очікувана величина виграшу (ОГО):

E(W) = 5 * 0,8 + 30 * 0,2 = 10 грн.

Для зазначеної логарифмічної функції корисності маємо залежність,

виражену в табл. 5.1.

Таблиця 5.1 – Логарифмічна функція корисності

W 1 5 10 20 30

U(W) 0 1,61 2,30 3,00 3,40

70

Обчислимо корисність ОГО для даної гри:

U(E(W)) = U( 10) = ln( 10) = 2,3,

тобто корисність відмови від гри у разі одержання гарантованого виграшу, який дорівнює 10 грн (ОГО даної гри), оцінюється в 2,3 ютиля (умовна одиниця корисності). Якщо ОПР віддасть перевагу грі, то

E(U(W)) = 0,8 U (5) +0,2 U (30)= 0,8 * 1,61 + 0,2 * 3,40 = 1,97 ютиля.

Для розглянутої логарифмічної функції корисності більшу корисність

має варіант одержання гарантованого виграшу, рівного E(W) = ОГО, а не участь у грі (2,3 > 1,97). Така особа, що приймає рішення, не схильна до ризику.

Висновки. Зі співвідношень (5.2)-(5.4) випливає: − якщо U(E(W)) > E(U(W)), гравець не схильний до ризику; − якщо U(E(W)) = E(U(W)), гравець нейтральний (байдужий) до

ризику; − якщо U(E(W)) < E(U(W)), гравець схильний до ризику. У даному випадку Е и U – відповідно символи математичного

сподівання і функції корисності.

5.3 Страхування від ризику Нехай, як і раніше, корисність виражається логарифмічною

залежністю U(W) = ln(W) (див. табл. 5.1). Визначимо, яку максимальну суму побажає заплатити ОПР, щоб уникнути гри, у якій з імовірністю 0,8 він виграє 5 грн (зменшення виграшу на 5 грн порівняно з ОГО = 10 грн) і з імовірністю 0,2 виграє 30 грн (збільшення виграшу на 20 грн порівняно з ОГО). Значення очікуваної корисності гри складає 1,97 ютиля, що відповідає гарантованому виграшу 7,17 грн (ln7,17 = 1,97). З іншого боку, сума очікуваного виграшу у випадку гри (ОГО) дорівнює 10 грн Тому, щоб уникнути гри, ОПР погодиться заплатити максимальну суму, рівну: 10 - 7,17 = 2,83 грн.

Отже, якщо ОПР пропонують застрахуватися від гри і просять за це суму, меншу, ніж 2,83 грн, їй вигідно прийняти пропозицію. У даному

71

випадку величина, яка дорівнює 2,83 грн, – премія (максимальна плата) за ризик.

Розглянемо деякі додатки теорії корисності. Приклад 5.2 Оптимальна величина страхування. Ювелір володіє

діамантом вартістю 100 000 грн і бажає застрахувати його від крадіжки. Страховка купується за правилом: ціна страховки складає 20 % від суми, що страхують. Наприклад, якщо діамант страхується на всю вартість (100 000 грн), страховка коштує 20 000 грн, якщо на половину ціни (50 000 грн), то страховка обходиться в 10 000 грн. Якщо ювелір буде знати (побудує) свою функцію корисності, він зможе розрахувати, на яку оптимальну суму варто застрахувати дорогу річ.

Ювелір може виявитися в одній із двох ситуацій: 1) діамант украдений; 2) діамант не украдений. Чим більше сума страхування, тим більше його капітал, якщо діамант украдений, але тем менше його стан, якщо діамант не украдений.

Наприклад, якщо діамант застрахований на 50 000 грн, мають місце два випадки.

1 Діамант украдений. При цьому втрати ювеліра обчислюються в таким чином:

-100 000 (діамант) - 10 000 (страховка) + 50 000 (компенсація) = -60 000 грн., а капітал 50 000 - 10 000 = 40 000 грн.

2 Діамант не украдений. У цьому випадку капітал ювеліра складе: 100 000 (діамант) - 10 000 (страховка) = 90 000 грн. Якщо діамант застрахований на 100 000 грн, то у випадку його

крадіжки капітал складе 100 000 - 20 000 = 80 000 грн. Якщо діамант не украдений, капітал також складе 80 000 грн. Позначимо капітал ювеліра у випадку, якщо діамант не украдений,

через Yn:

Yn =100 000-0,2K (5.5)

де К – сума страхування. Якщо діамант украдений, то капітал ювеліра визначимо як Yt: Yt =

0,8К. Відповідний графік, що відбиває бюджетне обмеження,

представлений на рис. 5.8. Припустімо, що можна експертно визначити ймовірність р того, що

діамант буде украдений. Тоді корисність капіталу Yt дорівнює U(Yt).

72

Імовірність того, що діамант не украдений, складає (1 - р) і U(Yn) – корисність капіталу Yn у цьому випадку.

Очікувана корисність U "гри" (з імовірністю р діамант украдений і з імовірністю (1-р) – не украдений) визначається відповідно до формули (5.1) вираженням

.)Y(U)p1()Y(pUU nt −+=

Значення Yt і Yn варто вибирати таким чином, щоб очікувана

корисність була максимальною, тобто

max)Y(U)p1()Y(pUU nt →−+= .

Рисунок 5.8 – Графічне розв’язання прикладу 5.2. Нехай точка дотику кривої байдужості (лінія однакової корисності)

на рис. 5.8 відповідає Yn = 86 000 грн, Yt = 56 000 грн. Тоді відповідно до формули (5.5) маємо 86 000 = 100 000 - 0,2К,

звідки оптимальна величина страхування К = 70 000 грн. Приклад 5.3 Попит на страхування. Нехай фінансовий стан індивіда

оцінюється заданим значенням W. Передбачається, що можна обчислити

73

імовірність р утрати деякої частини цього стану, обумовленої сумою L < W (наприклад, у результаті пожежі). Індивід може купити страховий поліс, відповідно до якого йому відшкодують завданий збиток у розмірі q. Плата за страхування складає π q, де π - частка страхування в обсязі завданого збитку. Проблема складається у визначенні значення q.

Дослідимо задачу максимізації очікуваної корисності фінансового стану індивіда в ситуації, коли з імовірністю р страховий випадок відбувається і з імовірністю (1 - р) – не відбувається. Тоді задача зводиться до пошуку максимуму по q очікуваної корисності капіталу індивіда:

[ ])qW(U)p1()qqLW(pUmax

qπ−−++π−− .

Застосуємо необхідну умова оптимальності – знайдемо похідну

виразу в квадратних дужках за q і прирівняємо похідну нулю (функція U при цьому передбачається увігнутої – споживач не схильний до ризику):

0))(qW(U)p1()1)(qqLW(Up *** =π−π−′−+π−+π−−′ ,

де q* – оптимальне значення q. У результаті одержуємо

)1(p)p1(

)qW(U)qqLW(U

*

**

π−π−

=π−′

+π−−′. (5.6)

Припускаючи, що вигляд функції U відомий, зі співвідношення (5.6)

знаходимо значення q*. Розрахуємо очікуваний прибуток страхової компанії, враховуючи, що

страховий випадок має ймовірносний характер. Якщо страховий випадок відбувся, компанія одержує дохід πq - q.

Якщо страховий випадок не наступив, компанія одержує дохід πq. Тому очікуваний прибуток компанії

)p(qqpqpqqpq)p1()qq(p −π=π−π+−π=π−+−π ,

де р – імовірність настання страхового випадку.

74

Конкуренція між страховими компаніями зменшує прибуток, який в умовах досконалої конкуренції збігається до нуля, тобто з умови q(π-p) = 0 випливає, що pр → .

Це означає, що частка платежу від суми π, що страхується, наближається до імовірності нещасного випадку р. Якщо співвідношення π = р ввести в умову максимуму очікуваної корисності, то одержимо

)pW(U)p)1(LW(U ** π−′=π−+−′ .

Якщо споживач не схильний до ризику, то U"(W) < 0 і з рівності

перших похідних випливає рівність аргументів, відтак,

W - L + (1 - π)q* = W - πq*, або

-L + q * -πq* = -πq*, отже,

q* = L.

Висновок. Страхуватися доцільно на суму, яку можна втратити в результаті нещасного випадку.

Приклад 5.4 Маємо логарифмічну функцію корисності U(W) = LnW і поточний рівень вашого добробуту W = 5000 грн. Можливі дві ситуації:

1. З імовірностями р = 0,5, q = 0,5 можна виграти і програти 1000 грн. Якщо ви можете купити страховий поліс, що цілком усуває ризик, за 125 грн, купите його чи віддасте перевагу грі?

2. Ви грали в лотерею і програли 1000 грн. Чи погодилися б ви зіграти вдруге, купити лотерейний білет за ту ж суму 125 грн?

Розв’язання. 1. Поточний добробут гравця Wпот = 5000 грн.

⎩⎨⎧

−==+=+

p.1q0,5;qзгрн10000,5;pзгрн1000

:Гра

Таким чином, якщо гра відбудеться, то в результаті матеріальний стан

гравця матиме вигляд:

⎩⎨⎧

==

.5,0.40000,5;6000

qюімовірністзгрнpюімовірністзгрн

75

Відповідно до формули (5.1), очікувана корисність гри

дорівнюватиме:

E(U( W)) = 1/2[(U(6000) + U(4000)]= 1/2[ln(6000) + ln (4000)] = = 1/2(8,699 + 8,294) = 8,497 (ютиля).

Очікувана грошова оцінка гри:

Е( W) = 1/2 (6000 + 4000) = 5000 (грн). Оцінимо рівень добробуту W*, який відповідає очікуваній корисності

гри E(U(W *)):

E(U(W*)) = ln W* = 8,497 (ютиля).

Потенціюючи останній вираз, одержуємо:

W*=e8,497=4899 (грн).

4899 грн – сума, еквівалентна грі у тому плані, що корисність цієї суми і корисність гри дорівнюють одна одній.

Отже, премія за ризик, тобто та максимальна сума, що може бути сплачена за відмову брати участь у грі, а одержати напевно без ризику 4899 грн, дорівнює 5000 - 4899 =101 грн.

Це менше, ніж вартість страхового поліса, яка дорівнює 125 грн. Тому вигідніше не ризикувати і страховий поліс не купувати.

2 Беручи до уваги сказане вище, в результаті факту вже програної суми 1000 грн. поточний матеріальний добробут індивіда може складати:

⎩⎨⎧

==

.5,030000,5;5000

qюімовірністзгрнpюімовірністзгрн

Застосовуючи нові зазначені цифри матеріального добробуту, маємо

наступне: відповідно до формули (5.1) з урахуванням висновків (див. розд. 5.2), очікувана корисність гри буде дорівнює:

E(U( W)) = 1/2[(U(500) + U(300)]= 1/2[ln(500) + ln (300)] =

= 1/2(8,517 + 8,006) = 8,261 (ютиля).

76

Очікувана грошова оцінка гри тепер складатиме:

Е( W) = 1/2 (5000 + 3000) = 4000 (грн). Рівень добробуту W*, що відповідає очікуваної корисності гри за

нових умов, визначається за формулою: E(U(W*))= ln W* = 8,261 (ютиля), звідки W* = е8,261 = 3870 (грн). Тепер премія за ризик визначатиметься за формулою:

4000 - 3870 = 130 (грн.).

Ця сума більше, ніж 125 грн, – незмінна сума страхового поліса – на 5 грн. Хоча очікуваний виграш і незначний, але має сенс купити страховий поліс, тому що премія за ризик (130 грн) більше ціни страхового поліса (125 грн). Отже, можна ризикувати, купувати страховий поліс і брати участь у грі з заданими умовами.

Приклад 5.5 Нехай функція корисності Неймана – Моргенштерна для бізнесмена А має вид U = 10 + 2М, де М – грошовий виграш (тис. грн). Він має можливість інвестувати 25 тис. грн. у будівництво бару і грилю. З імовірністю 0,5 він втратить весь свій капітал і з тією же ймовірністю 0,5 виграє 32 тис. грн. Потрібно визначити:

1 Чи варто інвестувати взагалі? 2 Яка очікувана корисність інвестування? Розв’язання. 1 Якщо взагалі не інвестувати, то виграшу немає (М = 0) і корисність

U(0) = 10+2 * 0 = 10. 2 Якщо інвестувати, то з імовірністю 0,5 (за умовою задачі) М = -25,

тобто U(-25) = 10 – 2 * 25 = -40, і з імовірністю 0,5М = 32 (також за умовою задачі). Корисність U(32) виявляється рівною U(32) = 10 + 2 * 32 = 74.

Отже, очікувана корисність під час інвестування:

Uінв = 1/2(U(-25) + U(32)) = 1/2(-40 + 74) = 17. Висновок. Потрібно інвестувати, тому що

Uнеінв = 17 > U(0) = 10.

77

5.4 Питання для самоконтролю 1 Яке співвідношення між безумовним грошовим еквівалентом та

очікуваною грошовою оцінкою для суб’єктивіста, особи не схильної до ризику та особи схильної до ризику?

2 Яким чином заможність особи відбивається на її схильності до ризику?

3 Сформулюйте аксіоми, на які спирається методологія раціонального прийняття рішень в умовах невизначеності (наведіть приклади).

4 Накресліть типовий графік корисності особи, що схильна до ризику.

5 Накресліть типовий графік корисності особи, що не схильна до ризику.

6 Накресліть типовий графік корисності особи, що байдужа до ризику.

7 Накресліть графік корисності схільності-несхільності до ризику.

5.5 Завдання для самостійного розв’язання Задача 1 Припустімо, що ваша функція корисності визначається

логарифмічною залежністю U(W) = ln(W) і ви зіштовхуєтеся із ситуацією, коли можете з рівними шансами виграти і програти 1 тис. грн. Скільки ви готові заплатити, щоб уникнути ризику, якщо поточний рівень вашого добробуту дорівнює 10 тис. грн? Скільки б ви заплатили, якби ваш капітал становив 1 млн грн?

Задача 2 Бізнесмен зіштовхується із ситуацією, коли з імовірністю 10

% пожежа може знищити все його майно, з імовірністю 10 % – зменшити його нерухомість до 50 тис. грн, з імовірністю 80 % вогонь не зашкодить йому і вартість його майна залишиться рівною 100 тис. грн. Яку максимальну суму він готовий заплатити за страховку, якщо його функція корисності має вигляд U(W) = ln(W), а страхові виплати складають 100 тис. грн для першого випадку і 50 тис. грн для другого випадку?

Задача 3 У професійному тенісі нерідко має місце практика поділу

призів за перше і друге місця нарівно між фіналістами (таємна змова до початку змагання). Наприклад, якщо перший приз дорівнює 100 000 грн, а

78

другий – 32 000 грн, то кожний одержує по 66 000 грн (66 000 = (100 000 + 32 000)/2). Визначте:

Якщо гравець схильний до ризику й упевнений, що його виграш і програш рівноймовірні (50 %), то чи погодиться він брати участь у розподілі?

Припустімо, що функція корисності одного з гравців має вигляд, представлений на рис. 5.9. Чи побажав би такий гравець брати участь у розподілі призів, якщо шанс виграти складає 50 %?

Як правило, гравці, що потрапили у фінал, не погоджуються на попередній розподіл призів, оскільки вони упевнені у своїй перемозі. Яка повинна бути мінімальна ймовірність виграшу, щоб із представленої на рис. 5.9 функції корисності обчислити одержання призу за перше місце?

U

Сумапризу

32 66 1000

Рисунок 5.9 – Функція корисності одного з гравців (задача 3)

79

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 1 Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб.

пособие / Под ред. Б.А. Галоши. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 224 с. 2 Глущенко В.В. Управление рисками. Страхование. – М.:

«Крылья», 1999. – 134 с. 3 Князевский Н.В., Князевская В.С. Принятие рискованных решений

в зкономике и бизнесе. – М: Контур,1998. – 220 с. 4 Лапуста М.Г., Шаршунова Л.Г. Риски в предпринимательской

деятельности. – М.: ФиС, 2000. – 156 с. 5 Андрійчук В., Бауер А. Менеджмент: прийняття рішень і ризик:

Навчальний посібник. – К.: КНЕУ, І 998. – 220 с. 6 Кандинская О.А. Управление финансовыми рисками. – М.: АО

«Консалтбанкир», 2000. – 230 с. 7 Хохлов Н.В. Управление риском. – М.:ЮНИТИ, 1999. – 124 с. 8 Рздхед К., Хьюс С, Управление финансовыми рисками. – М.:

ИНФРА-М, 1996. – 350 с. 9 Нейман Дж., Монгерштерн О. Теория игр и экономическое

поведение. – М.: Наука, 1970. – 300 с. 10 Чернов В.А. Анализ коммерческого риска. – М.: ФиС, 1998. – 180

с. 11 Глущенко В.В. Управление рисками: страхование. – М.:

Железнодорожный, 1999. – 156 с. 12 Ющенко В.А., Міщенко В.І. Управління валютними ризиками. –

К., 1998. – 135 с. 13 Вітлінський В., Верченко П., та ін. Економічний ризик, ігрові

моделі: Навч. посібник /.– К.: КНЕУ,1998. – 120 с. 14 Программа, методічні вказівки та контрольні завдання з

дисциплини «Менеджмент ризику» для студентів магістерської програми «Фінансовий менеджмент» денної та заочної фоорм навчання / Вітлінський В.В., Верченко П. І., та ін. – К.: КНЕУ, 1999. – 132 с.

80

ЗМІСТ ВСТУП ................................................................................................................. 2 РИЗИК ЯК ЕКОНОМІЧНА КАТЕГОРІЯ, ЙОГО СУТНІСТЬ ....................... 6

1.1 ПОНЯТТЯ РИЗИКУ, ЙОГО ОСНОВНІ ЕЛЕМЕНТИ Й ОЗНАКИ ......................... 6 1.2 КЛАСИФІКАЦІЯ РИЗИКІВ .......................................................................... 8 1.3 МЕТОДИ МІНІМІЗАЦІЇ РИЗИКУ ................................................................ 10 1.4 ПІДПРИЄМНИЦЬКИЙ РИЗИК: ОЦІНКА ФАКТОРІВ РИЗИКУ І СПОСОБИ ЙОГО

МІНІМІЗАЦІЇ........................................................................................... 11 1.4.1 ВТРАТИ У ВИРОБНИЧОМУ ПІДПРИЄМНИЦТВІ....................................... 14 1.4.2 ВТРАТИ В КОМЕРЦІЙНОМУ ПІДПРИЄМНИЦТВІ..................................... 16 1.4.3 ВТРАТИ У ФІНАНСОВОМУ ПІДПРИЄМНИЦТВІ ...................................... 17 1.4.4 ФУНКЦІЇ ПІДПРИЄМНИЦЬКОГО РИЗИКУ............................................... 17 1.5 ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ .......................................................... 17

СИСТЕМА КІЛЬКІСНИХ ОЦІНОК СТУПЕНЯ РИЗИКУ ............................ 19 2.1 ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ТА МЕТОДИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТІ ....................... 19 2.2 ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ............................................................ 27 2.3 ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ ...................................... 28 2.4 ОБЧИСЛЕННЯ ПОКАЗНИКІВ РИЗИКУ ....................................................... 29 2.5 ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ............................................................ 33 2.6 ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ ...................................... 34 2.7 МІРИ РИЗИКУ ......................................................................................... 35 2.8 ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ............................................................ 39 2.9 ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ ...................................... 39

ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ ТА РИЗИКУ (ГРИ З ПРИРОДОЮ) ........................................................................ 41

3.1 ПОНЯТТЯ ГРИ З ПРИРОДОЮ.................................................................... 41 3.2 ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ В УМОВАХ ПОВНОЇ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ .................... 43 3.3 ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ В УМОВАХ РИЗИКУ ................................................ 46 3.4 ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ............................................................ 47 3.5 ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ ...................................... 48

ВИБІР РІШЕНЬ ЗА ДОПОМОГОЮ ДЕРЕВА РІШЕНЬ (ПОЗИЦІЙНІ ІГРИ)............................................................................................................................. 50

4.1 ОСНОВНІ ЕТАПИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ .................................................... 50 4.2 ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ............................................................ 57 4.3 ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ ...................................... 57

ФУНКЦІЯ КОРИСНОСТІ НЕЙМАНА – МОРГЕНШТЕРНА ...................... 60 5.1 ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ ТА АКСІОМИ ..................................................... 60

81

5.2 ВИМІРЮВАННЯ СТАВЛЕННЯ ДО РИЗИКУ ................................................ 67 5.3 СТРАХУВАННЯ ВІД РИЗИКУ.................................................................... 70 5.4 ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ............................................................ 77 5.5 ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ ...................................... 77

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ .................................................. 79

82

Навчальне видання

НОВОЖИЛОВА Марина Володимирівна СОЛОДОВНИК Ганна Валеріївна


Навчально-методичний посібник

Роботу до видання рекомендував А.І. Кононенко

Редактор Л.І. Христенко

План 2006, поз. 29 Підп. до друку __________ Надруковано на ризографі. Тираж 100 прим.

Форм. 60х84.1/16 Обл.-вид. арк. Умовн. друк. арк. _____ Зам. № 1100

Папір друк. №2 Безкоштовно.

ХДТУБА. УКРАЇНА. 61002, Харків, вул. Сумська, 40

Підготовлено та надруковано РВВ Харківського державного технічного університету будівництва та архітектури

КОМЕРЦІЙНИЙ РИЗИК

Documents