Ν. ΚαστάνηΝ. Καστάνη

Ακαδημαϊκό έτος, 2010-2011

Πολλές φορές, για την εξοικείωση στον τεχνοκρατικό μηχανισμό τεχνοκρατικό μηχανισμό ενός επιστημονικού θέματος, όπως π.χ. του Διανυσματικού Λογισμού, είναι αναγκαίεςαναγκαίες κάποιες διευκρινήσειςδιευκρινήσεις ή κάποια κατανόηση της της εννοιολογικής και μεθοδολογικής προέλευσης τουπροέλευσης του.

Με τον τρόπο αυτό επιδιώκεται η δικαιολόγησηδικαιολόγηση του κι όχιόχι, μόνο, η τυφλή αποδοχήαποδοχή του ως υπερφυσικό δεδομένο ως υπερφυσικό δεδομένο ή ως ουρανοκατέβατη φαεινή ιδέαως ουρανοκατέβατη φαεινή ιδέα.

Το ζητούμενο, λοιπόν, είναι η κατανόησηκατανόηση, έστω σ’ ένα βαθμό, της αναγκαιότηταςαναγκαιότητας, του λόγου ύπαρξης και της αξία τουτου νέουνέου μαθηματικού τρόπου σκέψης τρόπου σκέψης και τηςτης νέαςνέας μαθηματικής πρακτικήςπρακτικής.

Εισαγωγή-Προβληματισμός

Στην προκειμένη περίπτωση το ενδιαφέρον εστιάζεται στην ψηλάφηση της προέλευσης και καθιέρωσης των διανυσμάτων και του Διανυσματικού λογισμού, για μια στοιχειώδη κατανόηση της ιστορία τους.

Οι πρώτες, απλές, ερωτήσεις είναι: πότεπότε και γιατίγιατί πρόβαλλαν τα διανύσματαπρόβαλλαν τα διανύσματα;

Και για να γίνει πιο προκλητικό ένα τέτοιο ενδιαφέρον, θα μπορούσαν νατεθούν τα εξής αβανταδόρικα ερωτήματα :

- Οι Αρχαίοι ΈλληνεςΑρχαίοι Έλληνες, οι οποίοι άνοιξαν μια λαμπρή σελίδα στα Μαθηματικά, ανάπτυξανανάπτυξαν και χρησιμοποίησαν τα διανύσματατα διανύσματα;- Ο ΓαλιλαίοςΟ Γαλιλαίος, που η συμβολή του στη επιστήμη ήταν αξιοσημείωτη, ασχολήθηκε με ανάλογα θέματαασχολήθηκε με ανάλογα θέματα;

Η απάντηση και στα δύο, είναι: όχι.

Και σίγουρα, δεν τους έλειπαν οι διανοητικές ικανότητες και η εξυπνάδα.

Μάλλον, δεν ήταν ώριμες οι συνθήκεςδεν ήταν ώριμες οι συνθήκες. Μ’ άλλα λόγια, δεν είχαν τεθεί προβλήματα που να είναι απαραίτητη η γνώση των διανυσμάτων και των διανυσματικών μεθόδων.

Φαίνεται ότι μια τέτοια ανάγκη εκδηλώθηκε, επιτακτικά, μέσα στις προσπάθειες ανάπτυξης της θεωρίας του ηλεκτρομαγνητισμού στο 2ο μισό του 19ου αιώνα.Και ήταν επιτακτική η ανάγκη αυτή, γιατί η ανάπτυξη της εν λόγω θεωρίας ήταν στενά εξαρτώμενη από προσανατολιστικές καταστάσεις και χειρισμούς.

Αλλά υπήρχε και ένας επίσης σημαντικός, “εξωτερικός”, λόγος: η ώθησηώθηση του ηλεκτρομαγνητισμού άνοιγε νέους ορίζοντες στην αντίστοιχη τεχνολογίααντίστοιχη τεχνολογία,π.χ. στους ηλεκτροκινητήρες.

Ένας από τους πρωτοπόρους του ηλεκτρομαγνητισμού ήταν ο James Clerk MaxwellMaxwell (1831-1879).

James Clerk Maxwell

Ένα ισχυρό κίνητροκίνητρο

O Maxwell έδωσε, χωρίς αμφιβολία, μια ισχυρή ώθηση για την ανάπτυξητων διανυσμάτων στη Μαθηματική Φυσική.

Στο βιβλίο του, όπως είδαμε, επισήμανε τη μέθοδο του μέθοδο του HamiltonHamilton, ως ένα διαθέσιμο θεωρητικό υπόβαθρο για την προώθηση των διανυσμάτων στον Ηλεκτρομαγνητισμό.Αυτή η μέθοδος του μέθοδος του Hamilton Hamilton μοιάζει να σηματοδοτεί ένα είδος “προζύμης”

για τα διανύσματα και το Διανυσματικό Λογισμό.

Περί τίνος πρόκειται;

Οι διαθέσιμες μαθηματικές γνώσεις

Sir William Rowan HamiltonHamilton

(1805 – 1865)

Περί ενός νέου είδους φανταστικώνποσοτήτων που σχετίζονται με μια θεωρία των τετράδωντετράδων (1843)

Ο HamiltonHamilton έχοντας υπ’ όψη του τη γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικώναριθμών, που πρότεινε, το 1831, ο Carl Friedrich GaussGauss (1777-1855), ανάπτυξε την ιδέα ότι οι μιγαδικοί αριθμοί, z=a+bi, μπορούν να αντιμετωπιστούν ωςδιατεταγμένα ζεύγη (a,b) και να συστηματοποιηθούν ως μια άλγεβρα διατεταγμένων ζευγών, ορίζοντας τις πράξεις τους ως εξής:

Carl F. Gauss

(6,3) (α,β)

Μετά απ’ αυτή την παρέμβαση, ο Hamilton σκέφτηκε να γενικεύσει την ιδέα των ζευγών σε τριάδες, αλλά δενδεν μπόρεσε να ορίσει τις πράξεις τους.Παρά την αποτυχία του αυτή, συνέχισε να προσπαθεί με τετράδες και πέτυχε να ορίσει τις πράξεις τους, ως εξής:

Και πρότεινε την εξής αναπαράσταση για κάθε τετράδα (a,b,c,d):

όπου

αριθμητικό μέγεθος διανυσματικό μέγεθος

Ο Hamilton καλλιέργησεκαλλιέργησε την ιδέα τουγια τις τετράδες, προσπαθώντας νατην αναπτύξει σε μια καλά οργανωμένη θεωρία και προβάλλοντας μια ποικιλίαεφαρμογών τους εφαρμογών τους σε διάφορους τομείς των Μαθηματικών και της Φυσικής.

Peter Guthrie Tait(1831-1901)

Ο Peter Tait,καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Belfast, που είχε φιλικές σχέσειςμε τον Hamilton και αλληλογραφούσε με τον Maxwell, προώθησεπροώθησε τη θεωρίατων τετράδων του Hamilton.

Αξίζει να αναφερθεί ότι η θεωρία των τετράδων προέκυψε από τα φιλοσοφικάενδιαφέροντα του Hamilton.

Δηλαδή προήλθε από μια εσωστρεφή τάση γενίκευσηςεσωστρεφή τάση γενίκευσης, εμπνεόμενη από τηφιλοσοφία του Καντ. Δεν είχε εξωτερικά Δεν είχε εξωτερικά κίνητρα, π.χ. κάποιο

πρόβλημα της πραγματικότητας έξω απότα Μαθηματικά. Το ίδιο συνέβη, τότε, και με τον Γερμανό,Hermann GrassmannGrassmann (1809-1877), πουεξέδωσε το 1844 “Την Επιστήμη των Εκτεταμένων Μεγεθών”.

Hermann Grassmann

Σύμφωνα με τον Grassmann, τα Μαθηματικά είναι η επιστήμηεπιστήμηαφηρημένων μορφώναφηρημένων μορφών, δηλ. ένα σύστημα συμβόλων. Έτσι τα γεωμετρικάστοιχεία αντιμετωπίζονται ως συμβολικές μορφές οι οποίες είναι δομημένες με εσωτερικές σχέσεις και πράξεις.

Κεντρική θέση στο γεωμετρικό του σύστημα έχουν τα εκτεταμένα εκτεταμένα μεγέθημεγέθηόπως π.χ. τα προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήμαπροσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήμα. Κάθε εκτεταμένο μέγεθος μπορεί να αναπαρασταθεί ως αλγεβρικό άθροισμα μοναδιαίων μεγεθών, ως εξής:

Τα εκτεταμένα μεγέθη μπορεί να είναι οποιουδήποτε βαθμού, δηλ οποιασδήποτε διάστασης, με τη σημερινή ορολογία. Αυτό σημαίνει ότι o Grassmann υπέθαλπευπέθαλπε έναν λογισμό για Γεωμετρία με περισσότερες διαστάσειςΓεωμετρία με περισσότερες διαστάσεις.

Το έργο του, γενικά, ήταν πολύ αφηρημένο και με αρκετά φιλοσοφικά στοιχεία. Ως συνέπεια ήταν δυσνόητο και δεν είχε μεγάλη απήχηση, για αρκετά χρόνια.

Και δεν είναι καθόλου τυχαίο ότιμια από τις πρώτες εφαρμογέςτης νέας του θεωρίας, που έκανεo Grassmann, ήταν στηνΗλεκτροδυναμικήΗλεκτροδυναμική.

Mέχρι το 1870, οι ιδέες του Grassmann δεν βρήκαν ανταπόκριση δεν βρήκαν ανταπόκριση στους μαθηματικούς, της περιόδου εκείνης.

Γιατί;

1ο Η παρουσίαση της θεωρίας του ήταν δυσνόητη. Κι αυτό γιατί οι πρωτότυπες σκέψεις του ήταν διαποτισμένεςδιαποτισμένες με υπονοούμενες ιδέες της Γερμανικής Φιλοσοφίας και Θεολογίας, των αρχών του 19ου αιώνα.

2ο Ο Grassmann ήταν καθηγητής μέσης εκπαίδευσης καθηγητής μέσης εκπαίδευσης και κατά συνέπεια δεν μπορούσε να υπερβεί εύκολα την υπεροψία του τότε ακαδημαϊκού κατεστημένου της Γερμανίας.

3ο Η ανάπτυξη της ηλεκτροδυναμικής και του ηλεκτρομαγνητισμού στη Γερμανία δεν ήταν μεγάληδεν ήταν μεγάλη, μέχρι τη δεκαετία του 1880. Κι αυτό, ίσως, να οφείλονταν στην επικράτηση των εμπειρικών μεθόδων κι όχι στην ευρύτερη αξιοποίηση της μαθηματικό-θεωρητικής σκέψης (όπως π.χ. έκανε ο Maxwell).

Hermann Hankel

Ένας από τους πρώτους που πρόβαλε και απλοποίησε τη σκέψη του Grassmann ήταν ο Hermann Hankel (1839-1873), που έγινε καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Erlangen και του Tübingen.

Την ίδια περίοδο στη Βρετανία, οι τετράδες του Hamilton είχαν μια σημαντικήαπήχηση, που οφείλονταν τόσο στην ισχυρή προσωπικότητα του Hamilton, όσοκαι στην προώθηση και την αξιοποίησή τους από τον Tait και τον Maxwell.

Παρ’ όλα αυτά ο Maxwell είχε σοβαρότατες αντιθέσεις σοβαρότατες αντιθέσεις με τις τετράδες του Hamilton.

Κι αυτό γιατί παρουσίαζαν εγγενείς αδυναμίεςαδυναμίες στο λειτουργικό τους ρόλο μέσα στην ηλεκτροδυναμική θεωρία.

Για παράδειγμα, το τετράγωνο μιας τετράδας ήταν αρνητικό και αυτό είχε σα συνέπεια η κινητική ενέργεια, με την αναπαράσταση των τετράδων, ναγίνεται αρνητική.

Έτσι η ανάγκη τροποποίησης ανάγκη τροποποίησης της θεωρίας των τετράδων, ως θεωρητικόεργαλείο της ηλεκτροδυναμικής, ήταν επιτακτική.

Ένα τέτοιο βήμα έκανε, το 1878, ο William Clifford, καθηγητής στο πανεπιστήμιο τουΛονδίνου.

William Clifford (1845 -1879)

Επηρεασμένος από τον Hankel, προσπάθησε να συνδυάσει τις τετράδες του Hamilton με τις ιδέεςτου Grassmann.

Στις αρχές της δεκαετίας του 1880, ο Εγγλέζος Oliver Heaviside κι ο ΑμερικάνοςJosiah Gibbs έδωσαν τη νέα μορφή στο Διανυσματικό Λογισμό, αναπροσαρμόζονταςτις ιδέες του Hamilton και του Grassmann.

Oliver Heaviside (1850-1925)

Josiah Willard Gibbs (1839-1903)

Η επιστημονική δραστηριότητα και του Heaviside και του Gibbs ήταν στο χώροτων ηλεκτρολόγων-μηχανολόγωνηλεκτρολόγων-μηχανολόγων, που τότε ήταν σ’ άνθηση.

Με την έκδοση του εγχειριδίουVector AnalysisVector Analysis, το 1901, από τουςΑμερικάνους Gibbs και Wilson, άρχισε να καθιερώνεται ομαθηματικός αυτός κλάδος, διεθνώς.

Η οριστική καθιέρωση του Διανυσματικού Λογισμού έγινε κατά τη μετάβαση στον20ο αιώνα, όταν σημαντικές προσωπικότητες των Μαθηματικών και της Φυσικής, όπως π.χ. ο Guiseppe Peano (1858-1932) τον υποστήριξε και τον ώθησε. Και οFelix Klein (1849-1925) τον αποδέχθηκε, αλλά δεν ήταν και πολύ ενθουσιώδης με τον συγκεκριμένο κλάδο.

Felix KleinGuiseppe Peano

Ποια η τύχη του Διανυσματικού Λογισμού στην Ελλάδα;

Ιωάννης Ν. Χατζιδάκης (1844-1921)

Στην Ανωτέρα Άλγεβρα (1879) του Ιωάννη Χατζιδάκη, καθηγητή τότε στη Σχολή Ευελπίδων, υπάρχουν κάποια στοιχεία των τετράδων του Hamilton και κάποια ίχνη των iδεών του Grassmann.

Κυπάρισσος Στέφανος (1857-1917)

Το 1883, ο Κυπάρισσος Στέφανος,ένας σημαντικός καθηγητής του Τμήματος Μαθηματικών της Αθήνας στα τέλη του 19ου και στις αρχές του 20ου αιώνα, δημοσίευσε,στο περίφημο Γερμανικό περιοδικό Mathematische Annalen,μια εργασία για Τις τετράδες του Hamilton.

Νείλος Σακελλαρίου (1882-1955)

Δυστυχώς αυτές οι νύξεις στις τετράδεςτου Hamilton δεν αναπτύχθηκαν, διδακτικά και ερευνητικά, στοΤμήμα Μαθηματικών της ΑθήναςΤμήμα Μαθηματικών της Αθήνας.Άρχισε η διδασκαλία του ΔιανυσματικούΛογισμού, το 1948!!!

Νικόλαος Β. Γεννηματάς (1875-1931)

Ο Νικόλαος Γεννηματάς δίδαξε, στο ΕΜΠ,ΕΜΠ, Διανυσματική Ανάλυση, από το 1918.

Ο Όθων Πυλαρινός (1903-1990), που ήταν επιστημονικός συνεργάτης του Γεννηματά, δίδαξε, όταν το1932 έγινε καθηγητής στο Τμήμα Μαθηματικών της ΘεσσαλονίκηςΤμήμα Μαθηματικών της Θεσσαλονίκης, Θεωρητική Μηχανική χρησιμοποιώνταςΔιανυσματικό Λογισμό. Όθων Πυλαρινός

Γεώργιος Καζαντζίδης (1911-2001)

Ο Γεώργιος Καζαντζίδης ως επιστημονικόςσυνεργάτης στη Θεωρητική Μηχανική, δίδαξε Διανυσματικό Λογισμό στο Τμήμα Τμήμα Μαθηματικών Μαθηματικών και στο Τμήμα Φυσικής Τμήμα Φυσικής του ΑΠΘ, από το 1957 μέχρι το 1966.

Ιωάννης Αναστασιάδης(1912-1988)

ΓεώργιοςΓεωργανόπουλος

Από το 1967 και εξής ο ΔιανυσματικόςΛογισμός έγινε οργανικό μέρος τουςΠρογράμματος του Τμήματος Μαθηματικών του ΑΠΘ.

Φαίνεται ότι τα Ελληνικά Τμήματα Μαθηματικών είχαν μια υποτονικότηταστο ζήτημα της ενσωμάτωσης αυτού του νέου κλάδου των Μαθηματικών.

Ποια ήταν η ερευνητική στάση των Ελλήνων μαθηματικών στο θέμα αυτό;

Έγιναν σχετικές δημοσιεύσεις στο Δελτίο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας;

Μήπως οι μηχανολόγοι και οι φυσικοί ήταν πιο ένθερμοι με τον ΔιανυσματικόΛογισμό;

Διαφαίνονται διαφορετικές νοοτροπίες;

Ποια η ανάπτυξη του Διανυσματικού Λογισμού στην Ελληνική Φυσική (Ηλεκτροδυναμική ή Θεωρητική Μηχανική);

Eίχε μια αδράνεια η Γαλλική επιστήμη στην αρχική φάση της ανάπτυξης αυτού του κλάδου; Γιατί; Για παράδειγμα, ποια ήταν η στάση του Poincare;

Jules Henri Poincaré (1854–1912)

Ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή (1873-1950) τι στάση είχε;

Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή

Επιμύθιο Επιμύθιο

ο επίλογος ενός μύθου, που συμπυκνώνει ωςδίδαγμα το περιεχόμενοτης διήγησης.

Μαρία Παντέκη (1955–2008)

Στο μάθημα που παρακολουθήσατε, πρωταρχική έμφαση δόθηκε στηνπραγματική αναγκαιότητα πραγματική αναγκαιότητα για την ανάπτυξη του Διανυσματικού Λογισμού, ηοποία ωθήθηκε από την ηλεκτροδυναμική ή τον ηλεκτρομαγνητισμό μεπρωταγωνιστή τον Maxwell κι όχικι όχι στις μεταφυσικές επινοήσεις κάποιων στις μεταφυσικές επινοήσεις κάποιων““εμπνευσμένωνεμπνευσμένων”” σοφών, με ισχυρά ερείσματα στο επιστημονικό κατεστημένο σοφών, με ισχυρά ερείσματα στο επιστημονικό κατεστημένο.

Επισημάνθηκε ότι η ανάδυση των σχετικών ιδεών δεν ήταν μια αποκλειστικότηταδεν ήταν μια αποκλειστικότηταενός “εμπνευσμένου” ακαδημαϊκού, αλλά κι ενός εκπαιδευτικού με περιορισμένηέως μηδενική απήχηση στους πανεπιστημιακούς κύκλους.

Αναφέρθηκε ότι οι νέες αυτές ιδέες είχαν μια “γερή δόση” φιλοσοφικού στοχασμούκαι δεν ήταν απλά μια γενίκευση καθιερωμένων γνώσεων.

Υπογραμμίστηκε ότι μετά το στάδιο των πρώτων εκφάνσεων και εφαρμογώντων ιδεών του Διανυσματικού Λογισμού, υπήρξε μια περίοδος αναγνώρισης,συνύφανσης και αναδόμησης τους.

Θίχθηκε η εκπαιδευτική νομιμοποίηση της αναμορφωμένης πλέον θεωρίαςτου κλάδου αυτού και στη συνέχεια η ευρύτερη νομιμοποίηση του στην αρχήτου 20ου αιώνα.

Τέλος, έγιναν κάποιες νύξεις ή τέθηκαν κάποια ερωτήματα για την ευρύτερη αποδοχή ή “δυστοκία” σε διάφορα πολιτισμικά πλαίσια ή σε κάποιεςπροσωπικότητες, όπως αυτό της ελληνικής πραγματικότητας ή του Poincare.

Έγινε, δηλαδή, μια απόπειρα να μηνμην παρουσιαστεί παρουσιαστεί το θέμα ως μια γραμμική εξέλιξη γραμμική εξέλιξη “φαεινών ιδεών” επιφανών επιστημόνων και ναφωτιστούν κάποιες πολιτισμικές παράμετροι του.

Βασική ΒιβλιογραφίαΒασική Βιβλιογραφία

Hans-Joachim Petsche