Да, путь познания не гладок.

Но знайте вы со школьных лет:

Загадок больше, чем разгадок.

И поискам предела нет.

Задачи на построение сечений

Цель урокаНаучиться строить сечения в правильных многогранниках и решать задачи по данной теме.

Актуальность

Построение сечений широко используется в строительном

деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во

многих других областях науки и техники.

Какое тело называется многогранником?

Многогранником называется ограниченное тело, поверхность

которого состоит из конечного числа плоских многоугольников(граней многогранника, а стороны и вершины

многоугольников называются соответственно рёбрами и вершинами

многогранника).

– это многогранник расположенный по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Выпуклый многоугольник

Секущей плоскостью называется плоскость, по обе

стороны от которой имеются точки данного

многогранника

Что такое сечение Сечением многогранника плоскостью

является многоугольник, представляющий собой множество всех

точек пространства принадлежащих одновременно данным многограннику и

секущей плоскости.

Секущая плоскость пересекает грани

многогранника .по отрезкам , Многоугольник сторонами

которого являются этиотрезки, называется сечением .многогранника

Найдите ошибку в построении сечения

Методы построения

сечений1. Метод параллельных

прямых 2.Метод следов

3. Метод дополнения 4. Метод деления

5. Метод переноса секущей плоскости

Метод параллельных

прямыхВ основу метода положено

свойство параллельных плоскостей «Прямые, по которым плоскость пересекает данные параллельные плоскости, параллельны между собой».

План построения сечений методом параллельных прямых

• Соединить точки, принадлежащие одной грани многогранника.

• В параллельных гранях построить линии, параллельные данным

Решение задач на метод

параллельных прямых

1111 DCBABCDAДано: -куб с основаниями

Р Є AD ; AP=PD;T Є DC; DT=TCПостроить: сечение плоскостью, проходящей через точки Р,Т. Построение:1.Соединяем точки Е и Р, т.к. они лежат в одной грани2.Строим RF Є параллельно ЕР3.Соединяем F и Т, т.к. они принадлежат одной грани4.Соединяем Т и Р, т.к. они принадлежат одной грани5.Строим RK параллельно ТР6.Соединяем К и Е, т.к. они принадлежат одной грани.

1111 DCBABDCиB

1A 1B

1C1D

A B

CD

P

E

T

R

F11CBCB

K

11BABA

Дано: -кубТ и М-середины рёбер .Построить: сечение плоскостью, проходящей через точки Т,М и .Построение: 1.Соединяем точки и Т, М и , т.к. они лежат в одной грани по отношению друг к другу.2.Через точку Т проведём прямую ТЕ параллельную .плоскости .3.Соединяем точки Е и М.5. -искомое сечение.

1111 DCBABCDAиADBA 11

1A

1B 1C

1D

A

B

C

DT

1D

1D

M

1D

E1D M

TEMD1

Метод следовСначала строят на основной

плоскости след секущей плоскости (причем за основную плоскость

принимают большей частью плоскость основания

геометрического тела).Затем, используя след секущей плоскости,

находят точки встречи ребер многогранника с секущей плоскостью.

Используя полученные ( и данные ) точки, получают следы секущей

плоскости на гранях многогранника.

План построения сечений

• Способ следов• Вначале строят на основной

плоскости след секущей плоскости (причем за основную плоскость принимают плоскость основания геометрического тела)

План построения сечений• Используя полученные ( и

данные ) точки, получают следы секущей плоскости на гранях многогранника

• Затем используя след секущей плоскости, находят точки встречи ребер многогранника с секущей плоскостью.

1) В параллелепипеде:1. Построить

проекции точек M, N, K

наплоскость ABC.

2. MK∩M1K1=S, MN∩M1N1=T.

3. ST- искомый.след

2) В тетраэдре:

A

C

B

D

QM

P

N

E

1. Построим прямую МЕ, по которой пересекаются плоскости МNР и АВС.2. Точка М является их общей точкой.3. Продолжим отрезки NР и ВС до их пересечения в точке Е.4. Прямая МЕ пересекает ребро АС в точке Q.5.Четырёхугольник МNРQ- искомое сечение.

Задача

В параллелепипеде с верхней гранью на ребрах отмечены соответственно точки P, Q, N. Постройте сечение плоскостью, проходящей через данные точки.

1111 DCBABCDAABCD 1,, AAABBC

Решение задачи

1A

1B 1C

А

В С

D

1D

PQ

N

L

M

KO

PQ||KMNK||PLQN||LM

В призме:1. Двух точек принадлежащих одной грани нет.2. Точка R лежит в плоскости основания. Найдем след прямой KQ на плоскости основания: - KQ∩K1Q1=T1, T1R-след

сечения.3. T1R∩CD=E.4. Проведем EQ.

EQ∩DD1=N.5. Проведем NK.

NK∩AA1=M.6. Соединяем M и R.

Задача

В тетраэдре ABCD на ребрах CD, DA и AB отмечены точки P, N, Q. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки.

А

С

В

D

N

P

Q

ACDNPQ

ABDNPQ

ABCNPQ

BCDNPQ

R

Решение задачи

Задача 2 В тетраэдре ABCD на ребре АВ отмечена

точка М. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, параллельной AC и BD и проходящей через точку М.

Решение задачи

A

B

C

D

M

Задача

В параллелепипеде через точки проведена плоскость, а на грани обозначена точка М. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М и параллельной плоскости

1111 DCBABCDA11 ,,, DDBBBBAA 11

DBDB 11

.

№3№3

Решение задачи

A

B

C1

D

A1

B1

D1

C

M

Самостоятельная работа1 вариант

2 вариант

P

N

M

N

P

MN

PM

Решения варианта 1.

Решения варианта 2.

M

N

P

M

NP M

N

P

Домашнее задание:Придумайте по две задачи на построение сечения куба и тетраэдра плоскостью.