話題１タイプが同じならば、

同一人物由来の試料なのか？

法数学勉強会2012/03/24

京都大学　医学研究科統計遺伝学分野

山田

タイプが同じならば、同一人物由来の試料なのか？

• 「同一タイプ」の人がこの世に１人ならば、「同一人物」と判定される

• 「同一タイプ」の人がこの世に複数いれば、「同一人物」と判定するのは、確率的になる

消しゴム事件• ある小学校では、すべての男子生徒３００

人に「消しゴム屋」さんから１個ずつ消しゴムが配られた– 「ナルト」柄が５０個、「ワンピース」柄が

１００個、「ドラえもん」柄が１５０個

ある日、音楽室で• １個の消しゴムの落し物が発見された• 「ナルト」柄だった（５０個 / ３００個）

「ほなみたまちゃん♥」

• その消しゴムには– 「ほなみたまちゃん♥」と書かれていた！

• さあ、この消しゴムは誰のものか？– 女子児童たちの捜査が始まった

らぶ

• 「消しゴム屋さん、『ナルト』柄の消しゴムを配った男子のリストを出しなさいよー」– リストが得られれば、『ナルト』所有者 50 名

に絞られる– 50 名は、 1/50 の確率で「たまちゃん♥」

• 「消しゴム屋さん、『ナルト』柄の消しゴムを配った男子のリストを出しなさいよー」– 「あいにく、個人情報保護法の規定により、

リストをお出しすることはできません」

• 「消しゴム屋さん、『ナルト』柄の消しゴムを配った男子のリストを出しなさいよー」– 「あいにく、個人情報保護法の規定により、

リストをお出しすることはできません」– 「特定の児童さんを指名していただけば、そ

の児童さんにどのタイプを渡したかはお答えできます」

「たまちゃん♥」の『犯人』って誰だと思う？「やっぱり、同じクラスの男子？」「クラブが一緒？」「委員会つながりかも？」「以前に同じクラスだった・・・とか」「帰り道が一緒だからだったりして」

「事前確率なんて考えるのはやめなさい」「下手な考え、休むに似たりって言うじゃない」

「そうとも、限らないのだが…」

音楽の先生　曰く• 「音楽室はいつも鍵がかかっていて、鍵は

私しか持っていないから、その日、音楽室に出入りできた児童は、その日に音楽の授業があったクラスの子、だけよ」

• 「その日、音楽の授業があったのは、３クラス、１２０人のうち、男子は、６０人」

• 「３００人のうち、６０人」

• 「その日、音楽の授業があったのは、３クラス、１２０人のうち、男子は、６０人」

• 「音楽の授業は、３００人のうち、６０人」

• 「『ナルト』柄は、３００人のうち、５０人」

• 「じゃあ、音楽のあったクラスで、『ナルト』消しゴムを持っていたのは何人？」

• 「その日、音楽の授業があったのは、３クラス、１２０人のうち、男子は、６０人」

• 「音楽の授業は、３００人のうち、６０人」

• 「『ナルト』柄は、３００人のうち、５０人」

• 「じゃあ、音楽のあったクラスで、『ナルト』消しゴムを持っていたのは何人？」

• ６０ｘ５０ / ３００　＝１０人　くらいね！

• 「あいにく、個人情報保護法の規定により、リストをお出しすることはできません」

• 「特定の児童さんを指名していただけば、その児童さんにどのタイプを渡したかはお答えできます」

• 「あいにく、個人情報保護法の規定により、リストをお出しすることはできません」

• 「特定の児童さんを指名していただけば、その児童さんにどのタイプを渡したかはお答えできます」

絶対花輪君のを教えてもらうわ

誰も文句ないわよね！

「花輪君ですね、花輪君は、『ナルト』柄でした」

「花輪君ですね、花輪君は、『ナルト』柄でした」

• 「花輪君以外の男子 ( ５９人 ) が、『ナルト』柄である確率は 50/300 = 1/6→49/299 」

• 「そのうちの誰かが、落とし主だとすると、それが『ナルト』柄である確率は 1/6 」

• 「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　 1 」

• 「誰かが落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 1/6 」

• 「尤度比は 6 」• 「花輪君が落としたと考える方がよさそう

じゃない？」

• 「花輪君以外の男子 ( ５９人 ) が、『ナルト』柄である確率は 50/300 = 1/6→49/299 」

• 「そのうちの誰かが、落とし主だとすると、それが『ナルト』柄である確率は 49/299 」

• 「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　 1 」

• 「誰かが落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 1/6 」

• 「尤度比は 6 」• 「花輪君が落としたと考える方がよさそう

じゃない？」

• 「花輪君以外の男子 ( ５９人 ) が、『ナルト』柄である確率は 50/300 = 1/6→49/299 」

• 「そのうちの誰かが、落とし主だとすると、それが『ナルト』柄である確率は 49/299 」

• 「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　 1 」

• 「誰かが落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 1/6 」

• 「尤度比は 6 」• 「花輪君が落としたと考える方がよさそう

じゃない？」

• 「花輪君以外の男子 ( ５９人 ) が、『ナルト』柄である確率は 50/300 = 1/6→49/299 」

• 「そのうちの誰かが、落とし主だとすると、それが『ナルト』柄である確率は 49/299 」

• 「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　 1 」

• 「誰かが落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299 」

• 「尤度比は 6 」• 「花輪君が落としたと考える方がよさそう

じゃない？」

• 「花輪君以外の男子 ( ５９人 ) が、『ナルト』柄である確率は 50/300 = 1/6→49/299 」

• 「そのうちの誰かが、落とし主だとすると、それが『ナルト』柄である確率は 1/6 」

• 「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　 1 」

• 「誰かが落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299 」

• 「尤度比は 1/(49/299) = 299/49 = 6.10 」• 「花輪君が落としたと考える方がよさそう

じゃない？」

• 「花輪君以外の男子 ( ５９人 ) が、『ナルト』柄である確率は 50/300 = 1/6→49/299 」

• 「そのうちの誰かが、落とし主だとすると、それが『ナルト』柄である確率は 1/6 」

• 「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　 1 」

• 「誰かが落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299 」

• 「尤度比は 1/(49/299) = 299/49 = 6.10 」• 「花輪君が落としたと考える方がよさそう

じゃない？」

• 「尤度比は 6.10 」• 「花輪君が落としたと考える方がよさそう

じゃない？」

• 「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　 1 」

• 「誰かが落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299 」

• 「尤度比は 1/(49/299) = 299/49 = 6.10 」

• 「候補の男子が 59 人もいるのに、いきなり、『 6.10 倍』っていうのは、おかしいんじゃねーか？」

• 「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　 1 」

• 「誰か１が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299 」

• 「誰か２が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299 」

• …• 「誰か 59 が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は

49/299 」

• 「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　 1 」

• 「誰か１が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299 」

• 「誰か２が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299 」

• …• 「誰か 59 が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は

49/299 」

• 「花輪君 vs. その他 59 人 は 1: 59x49/299 = 0.103 」

• 「花輪君が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は　 1 」

• 「誰か１が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299 」

• 「誰か２が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は 49/299 」

• …• 「誰か 59 が落としたのなら、それが『ナルト』柄である確率は

49/299 」

• 「花輪君 vs. その他 59 人 は 1: 59x49/299 = 0.103 」

• 「音楽の授業は、３００人のうち、６０人」• 「『ナルト』柄は、３００人のうち、５０人」• 「じゃあ、音楽のあったクラスで、『ナルト』消しゴムを持っていたのは何人？• ６０ｘ５０ / ３００　＝１０人　くらいね！

• 「本当のところは、音楽授業の６０人中、何人が『ナルト』柄じゃったんかいのー」– １人、２人、…、５０人の場合がありえる– １人だけが『ナルト』柄で、それが花輪君なら、「たまちゃん

♥」は花輪君で確定– ２人が『ナルト』柄なら、花輪君かもしれないし、もう１人か

もしれなくて、確率は 1/2– …– k 人が『ナルト』柄で、花輪君がそのうちの１人なら、確率は

1/k

• 「音楽の授業は、３００人のうち、６０人」• 「『ナルト』柄は、３００人のうち、５０人」• 「じゃあ、音楽のあったクラスで、『ナルト』消しゴムを持っていたのは何人？• ６０ｘ５０ / ３００　＝１０人　くらいね！

• 「本当のところは、音楽授業の６０人中、何人が『ナルト』柄じゃったんかいのー」– １人、２人、…、５０人の場合がありえる– １人だけが『ナルト』柄で、それが花輪君なら、「たまちゃん

♥」は花輪君で確定– ２人が『ナルト』柄なら、花輪君かもしれないし、もう１人か

もしれなくて、確率は 1/2– …– k 人が『ナルト』柄で、花輪君がそのうちの１人なら、確率は

1/k

• 「音楽の授業は、３００人のうち、６０人」• 「『ナルト』柄は、３００人のうち、５０人」• 「じゃあ、音楽のあったクラスで、『ナルト』消しゴムを持っていたのは何人？• ６０ｘ５０ / ３００　＝１０人　くらいね！

• 「本当のところは、音楽授業の６０人中、何人が『ナルト』柄じゃったんかいのー」– １人、２人、…、５０人の場合がありえる– １人だけが『ナルト』柄で、それが花輪君なら、「たまちゃん

♥」は花輪君で確定– ２人が『ナルト』柄なら、花輪君かもしれないし、もう１人か

もしれなくて、確率は 1/2– …– k 人が『ナルト』柄で、花輪君がそのうちの１人なら、確率は

1/k

• 「音楽の授業は、３００人のうち、６０人」• 「『ナルト』柄は、３００人のうち、５０人」• 「じゃあ、音楽のあったクラスで、『ナルト』消しゴムを持っていたのは何人？• ６０ｘ５０ / ３００　＝１０人　くらいね！

• 「本当のところは、音楽授業の６０人中、何人が『ナルト』柄じゃったんかいのー」– １人、２人、…、５０人の場合がありえる– １人だけが『ナルト』柄で、それが花輪君なら、「たまちゃん

♥」は花輪君で確定– ２人が『ナルト』柄なら、花輪君かもしれないし、もう１人か

もしれなくて、確率は 1/2– …– k 人が『ナルト』柄で、花輪君がそのうちの１人なら、確率は

1/k

• 『ナルト』柄の確率 : p = 50/300 = 1/6• 音楽 50 人中、 k 人が『ナルト』柄の確率

• k が大きい方が『ナルト』柄を落としやすいからその分を上乗せして

• 花輪君が「たまちゃん♥」である確率– k 人の場合

• =

– k=1,2,...,50 の場合の合計

• 『ナルト柄』の人数が０人の可能性は、もう、ないことがわかっているので、その分を割り引いて考えよう– (

k 50-k 50

60-k 190+k 250

60 240 300

• p=50/300=1/6• N=60• 『ナルト』柄の

人数は、何人の可能性が１番高いか

『ナルト』柄人数

６０ｘ５０ / ３００　＝１０人　くらいね！

• 『ナルト』柄の人数は、何人の可能性が一番高いか

• 「花輪君」が犯人だ、とみなされる可能性は、『ナルト』柄の保有者が何人のときに一番高いか

Pr (𝑘 )× 1𝑘

• 花輪君が「たまちゃん♥」である確率は– 0.100

• 花輪君が「たまちゃん♥」である尤度と、他の誰かが「たまちゃん♥」である尤度の比は– 0.111

• 花輪君が「たまちゃん♥」である確率は– 0.100

• 花輪君が「たまちゃん♥」である尤度と、他の誰かが「たまちゃん♥」である尤度の比は– 0.111

花輪君 vs. 誰か１人

花輪君 vs. 誰か 59人

花輪君が、『ナルト』柄の持ち主である比率

1/(49/299) = 299/49 = 6.10

1/(59x49/299) = 0.103

0.111

• p 「タイプ」の割合　 1/6• N 「花輪君以外の対立候補者数」　５９

人

• p, N を振ってみよう

対立候補者数 N = 1 のままp= を変える

p が小さければ尤度比は高い２つの方法に差はない

p

尤度

比

p=1/6 のまま対立候補者数 N = 1,2,...,100

対立候補者数によらず一定

対立候補者数が増えると下がる対立候補者数 N

尤度

比

花輪君 vs. 誰か１人

花輪君 vs. 誰か 59人

花輪君が、『ナルト』柄の持ち主である比率

1/(1/6) = ６

1/(59x49/299) = 0.103

0.111

Pr (𝑘 )= 50 !250 !60 ! 240 !300 !𝑘! (50−𝑘 )! (60−𝑘 )! (190+𝑘 )!

• N=59• p を変える

この２つの違い

p=1/60.103 vs. 0.111

• 「おれの数字とばあさんの数字が近いってことは、お互い、悪い意見じゃないってことか？！」

この２つの違い• N=59• p を変える

p=1/60.103 vs. 0.111

p が大きいときは大差がないが、p が小さくなると、差が出てくる

• N を変える• p=1/6

この２つの違い

• N を変える• p=1/6

この２つの違い

N=590.103 vs. 0.111

• N を変える• p=1/6

この２つの違い

N=590.103 vs. 0.111

N が大きいときは大差がないが、N が小さくなると、差が出てくる

この２つの違い

N=590.103 vs. 0.111

N が大きいときは大差がないが、N が小さくなると、差が出てくる

p=1/60.103 vs. 0.111

p が大きいときは大差がないが、p が小さくなると、差が出てくる p が小さいとき、 N が小さいとき

２つの方法の差が大きくなる

P N

• 「ばあさんの意見では、『ナルト』を持っているのが２人以上いても、花輪君が犯人の可能性を捨てないってことだぜ」

• 「ぜーったい、花輪君しかありえねぇ、ってことにしないと、花輪君に悪いだろう」

• 「確かに、　　　　　さんに責められるのはかわいそうかもしれない」

• 「じゃあ、残りの５９人が全員、誰一人として、『ナルト』を持っていない確率を計算してみるよ」– 尤度比 6.9724e-05

• 「これは低すぎて、おかしいんじゃないかい？」

• 「　　　　　の意見と、ものすごく違うよ」

• 「ばあさんの意見では、『ナルト』を持っているのが２人以上いても、花輪君が犯人の可能性を捨てないってことだぜ」

めずらしいこと１• 町内会の福引、サイコロを振って１が出たらあたり

– p=1/6 　の確率で起きること

• 山田さんと佐藤さんが１回ずつ実施した• 両家でそろって当たる確率

– p^2• 山田さんで当たって、佐藤さんで当たらない確率

– p• 山田さんで外れて、佐藤さんで当たる確率

– p• 両家でそろって外れる確率

– (1-p)^2

めずらしいこと１• 山田さんが喜んでいるのを聞いて、佐藤さ

んが思うこと• 「山田さん、おめでとう。うちも当てよ

う」

めずらしいこと２• 町内会のくじ、６本あって、１本が当たり

– p=1/6 　の確率で起きること

• 山田さんと佐藤さんが１枚ずつ購入した• 両家でそろって当たる確率

– 0• 山田さんで当たって、佐藤さんで当たらない確率

– p• 山田さんで外れて、佐藤さんで当たる確率

– p• 両家でそろって外れる確率

– 1-2p

めずらしいこと２• 山田さんが喜んでいるのを聞いて、佐藤さ

んが思うこと• 「山田さん、おめでとう。うちは、もうだ

めだ」

消しゴム・ DNA鑑定はさてどっち

k 1000-k 1000

10-k 1億 -1010+k 1億 -1000

10 1億 -10 1億

集団には、そこそこ、同じタイプの人がいるかも

しれない

候補者数は場合によって増減する

フィッシャーの正確確率検定 ( とはちょっと違うけれど ) とかなり近い枠組み

人口を無限大にして、候補者数が少なすぎないという条件でなら、カイ自乗検定的な漸近近似計算も (多分 ) 可能

まとめ• 「容疑者のセット」の中に「同じタイプ

を持つ人数」を網羅する• その上で、特定の個人が「試料」を残し

た確率を計算する• 分割表的

分割表から正確確率を計算する

• 『ナルト』柄の確率 : p = 50/300 = 1/6• 音楽 50 人中、 k 人が『ナルト』柄の確率

• k が大きい方が『ナルト』柄を落としやすいからその分を上乗せして

• 花輪君が「たまちゃん♥」である確率– k 人の場合

• =

– k=1,2,...,50 の場合の合計

• 『ナルト柄』の人数が０人の可能性は、もう、ないことがわかっているので、その分を割り引いて考えよう– (

k 50-k 50

60-k 190+k 250

60 240 300

正確確率ではない、計算法も

• 『ナルト』柄の確率 : p = 50/300 = 1/6• 音楽 50 人中、 k 人が『ナルト』柄の確率

– • k が大きい方が『ナルト』柄を落としやすいからその

分を上乗せして–

• 花輪君が「たまちゃん♥」である確率– k 人の場合

• =

– k=1,2,...,50 の場合の合計

• 『ナルト柄』の人数が０人の可能性は、もう、ないことがわかっているので、その分を割り引いて考えよう– (