О фракталах

Рябых Г.К.226 группа

Каф. биоинженерии

Бенуа Мандельброт(1924-2010)-основоположник фрактальной геометрии

«Фрактальная геометрия заставит вас на все смотреть другими глазами. Дальше читать опасно. Вы рискуете потерять свое детское видение облаков, лесов, галактик, листьев, перьев, цветов, скал, гор, бегущих ручьев, ковров, кирпичей и многого другого. Ваше восприятие этих вещей никогда больше не будет прежним» (с) Майкл Барнсли

Фракталы в природе

Капуста РоманескоКаждый фрактальный узор имеет вид спирали Фибоначчи.

Гималайские горы

Молнии

Броуновское движение

Т=30с

Т=0.3с

Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:• Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом

отличие от регулярных структур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к упрощению структуры, то есть на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

• Является самоподобным или приближённо самоподобным. • Обладает дробной метрической размерностью или метрической

размерностью, превосходящей топологическую.

Фрактал• Британский математик Кеннт Фальконер определяет фрактальную

структуру как структуру, обладающую одним из нижеперечисленных свойств:

1. Она слишком неравномерна, поэтому нельзя описать в терминах классической геометрии.

2. Ее детали заметны при любом масштабе наблюдений.3. Она обладает самоподобием в некотором смысле (точным,

примерным или статистическим).4. Ее размерность Хаусдорфа – Безиковича строго больше ее

топологической размерности.5. Она строится с помощью простого рекурсивного алгоритма.

• В 1982г Мандельброт определил фрактал как множество, у которого размерность Хаусдорфа строго больше, чем топологическая размерность.

• Джудит Седерберг: «Фрактал – это множество точек, обладающее самоподобием в строго детерминированном или строго стахастическом смысле.»

Самоподобие

Длина береговой линии\ эксперимент Ричардсона

S(раствор циркуля), км L(многогранника), км50 6-угольник, 30025,882 12-угольник, 310,58413,053 24- угольник, 313,2726,54 48- угольник, 313,923,272 96-угольник, 314,1121,636 192-угольник, 314,112

L(окр)=314,15 если d=100 км

S, км L(побережья), км28 362,214 416,77 467,73,5 524,8

 Угловой коэффициент d=0.17.Уравнение прямой можно выразить в виде log l = dlog(1/S) + k.Где l – это приближенное значение периметра для раствора циркуля S;d – рассчитанный угловой коэффициент прямой; k – некая постоянная.l = c/где c – основание логарифма в степени k.Итог работы Ричардсона таков: традиционное понятие длинны при измерении береговой линии не имеет смысла. Он предложил использовать некую величину, которую можно назвать «морщинистостью», определяемую значением углового коэффициента d из предыдущего примера.

Для реальных границ и побережий были получены следующие значения d:d = 0.25 для западного побережья Британии.d = 0,15 для границы Германии;d = 0,14 для границы Испании и Португалии;d = 0,13 для побережья Австралии;d = 0,02 для южноафриканского побережья.

Топологическая размерность • Покрытием подмножества S на является семейство открытых

множеств таких, что их объединение содержит множество S.

Множество имеет топологическую размерность n, если наименьшая возможная кратность его покрытия равна n+1. D(кривой) = 1D(области) = 2Точка является 0-мерной, линия – одномерной, плоскость – двумерной, а евклидово пространство является n-мерным.

Кривая Коха

δ – коэфф.масштаба N – количество частей, на которые делится исходный объект.

Канторово множество (канторова пыль)

Начинаем с единичного отрезка и удалим его среднюю треть. Затем удалим из каждой из двух полученных отрезков его среднюю часть (длиной 1/9)…N = 2 δ = 1/3По формуле размерности подобия получим: DS = log 2/log 3 = 0.6309В канторовом множестве отсутствует какая-либо связь между точками, следовательно, D = 0

Для кривой Пеано, которая состоит из девяти отрезков, N = 9, δ = 1/3 Следовательно ее размерность подобия равнаDS = log 32/log 3 = 2Двумерным аналогом канторова множества является так называемый ковер Серпинского.

Первые его 5 интераций

DS = log 8/log 3 = 1.8928

Треугольник Серпинского

Интеративное построение на основе кривойD = 1DS = log 3/log 2 = 1.5850

DS = log 20/log 3 = 2,7268

DS = log 4/log 2 = 2

Представим, что мы хотим найти формулу Ричардсона для берега воображаемого острова, который имеет форму снежинки Коха.Коэффициент уменьшения = 1/3Раствор циркуля с каждой интерацией будет S = 1/3k

l = (4/3)k где k – это номер интерации

Вспомним ур-е Ричардсона log3 l = dlog3(1/S)

log3(4/3)k = dlog33k

d = log3(4/3) = 0.2619

Вспомним, что размерность подобия для снежинки Коха равнялась DS = 1,2629Дробные части этих чисел совпадают. Можно показать, что для объекта, обладающим самоподобием, наклон прямой Р. d и размерность подобия связаны следующей простой формулой:

DS = 1 + d

Размерность Минковского

где N(ε) минимальное число множеств диаметра ε, которыми можно покрыть исходное множество.

Альтернативный способ ее определения.

Множество МандельбротаЭто множество бесконечно сложно, но строится по очень простым правилам.Каноническая формула множества Мандельброта – квадратичная комплексная функция  

1)Естественные науки

Сфера применения:

2)Радиотехника

3)Информатика

4)Экономика и финансы