벡터의 내적과 외적

20060811 강정훈20060835 김병주20060961 정윤경

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벡터의 내적

운동과 벡터의 내적

백터의 내적 형태로 표현 할 수 있는 일의 양 .

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벡터의 내적

내적의 정의 스칼라 곱 (scalar product), 점곱 (inner

product), dot product 등이라고도 불린다

벡터의 성분에 의한 내적

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벡터의 내적

벡터 A(Ax,Ay) 와 벡터 B(Bx,By) 의 내적 A·B = Ax·Bx + Ay·By A·B = llAll·llBll·cosθ

Ex) 벡터 A(1, 1) 벡터 B(1, 0) 벡터 A(2, 3) 벡터 B(2, 0)

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벡터의 활용

두 벡터의 각도 관계

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내적의 활용

벡터의 분해

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내적의 활용

벡터의 투영

a

b

c

a 와 b 의 사잇각을 Θ 라 할때

cosΘ = b / a

sinΘ = c / a

tanΘ = c / b

[P] = (A 를 B 에 투영한 길이 ) * (B 의 단위벡터 )

투영된 벡터 [P]

(A 를 B 에 투영한 길이 ) = ||A||cosΘ

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내적의 활용

내적의 투영A dot B = ||A|| ||B|| cosΘ (A dot B) / ||A|| ||B|| = cosΘ(A 를 B 에 투영한 길이 )

= ||A|| * ( (A dot B) / ||A|| ||B|| ) = (A dot B) / ||B||

(B 의 단위 벡터 ) = B / ||B|| ( ( A dot B ) / ||B||*||B|| ) * B[P] = ( (A dot B)/(B dot B) )* B

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벡터의 외적

외적의 정의 벡터 곱셈의 또 다른 형태 컴퓨터 그래픽스 및 물리에서 매우 빈번히 사용 한 표면에 수직한 법선 벡터를 구하는 데 사용 AxB 로 표기 교환법칙이 성립하지 않음 !

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벡터의 외적

외적

* 그림1

* 그림2

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벡터의 외적

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벡터의 외적

ABC 가 벡터고 k 가 스칼라일 때 , 기본 연산AxB = -BxAAx(B+C) = (AxB)+(AxC)(A+B)xC = (AxC)+(BxC)k(AxB) = (kA)xB = Ax(kB)Ax0 = 0xA=0AxA = 0

A·(AxB) =0 B·(AxB) = 0

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벡터의 외적

( A + B ) X C = A X C + B X C

기호 설명 : 지면을 뚫고 들어가는 방향을 뜻함 .

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벡터의 외적

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외적의 활용

표면의 법선 벡터법선 벡터 = 수직 벡터

접선 벡터어떤 표면에 접한 벡터

A

B C

한 평면 위에 세 점을 통해 평면의 법선 벡터를 구하는 방법

A

B C

U VV A

B C

U VV

N

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외적의 활용

앞에 그림에 대한 식 좌표 A(Ax,Ay,Az), B(Bx,By,Bz), C(Cx,Cy,Cz) 성분으로 계산 U=B(Bx,By,Bz)-A(Ax,Ay,Az)=[Bx-Ax,By- Ay,Bz-Az] V=C(Cx,Cy,Cz)-A(Ax,Ay,Az)=[Cx-Ax,Cy- Ay, Cz-Az]

주어진 평면에 대한 법선 벡터는 위에서 계산한 두 벡터 U,V 간의 외적

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외적의 활용

삼각형의 면적 계산A X B = (||A|| ||B|| sinθ)E [ 식 1](E 는 A X B 방향의 단위 섹터이다 ) ||N|| = ||U X V|| = ||U|| ||V||sinθ [ 식 2]