«Вейвлет-технология анализа геомагнитных данных, выделения и идентификации возмущений в

периоды сильных магнитных бурь»

Авторы Мандрикова Оксана ВикторовнаСоловьев Игорь Сергеевич

Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН

Камчатский Государственный Технический Университет

Цели и задачи исследования

1. Разработка модели геомагнитного сигнала, описывающей его характерную компоненту и локальные структуры, формирующие его в периоды повышенной геомагнитной активности.

2. Разработка алгоритма выделения характерной компоненты геомагнитного сигнала и геомагнитных возмущений.

3. Разработка метода автоматического вычисления индекса геомагнитной активности K.

2

Модель геомагнитного сигнала

– базисные вейвлет-функции

kj ,

nm, –скэйлинг-функция

)()()()( tetgtftfвозм

возмj

jспок

,, ,, nmnm fc kjkj fd ,, ,

Ikj

kjkjn

nmnm tdtctf),(

,,,, )()()(

(1)

(2)

H, н

Тл

I –множество индексов

3

Критерии выбора базисной функции1. Rявляется - функцией:

2. Минимизация числа аппроксимирующих слагаемых;3. Минимизация погрешности аппроксимации.

Определяющие характеристики вейвлета:гладкость; число нулевых моментов; размер носителя.

Этапы построения аппроксимирующей схемы

1. Удаление шума

2. Идентификация компонентов схемы

3. Оценка погрешности

Zkj

kj fBffA),(

2

2

2

,

2

2,,

4

Метод выделения характерной компоненты модели(3)

Тогда погрешность оценки в вейвлет-пространстве логично определить

как :

,),( ,, kjkkj tfd ,),( ,, nmnnm tfc

Nnnmc

,1,

где

,,1, Nnnmm cc

Nkkjj dd,1,

(4)

тогда, минимальный риск: ),(inf)(min DrrD

),,(sup),( харf

fDrDrхар

0),( DffEfDr хархар

,~0Dff хар D - оператор решения

,11

2

,,

N

n

Sqnmnmm cc

NU

Максимальный риск на множестве :

Sqnmс , - коэффициенты Sq-кривой

на масштабном уровне

Ikj

kjkjn

nmnm tdtctf),(

,,,, )()()( 5

В качестве аппроксимирующей функции рассматривается ,спокfопределяемая набором коэффициентов

Функция- эталон – Sq-кривая

Оценка погрешности вычисляется по зашумленным данным и оптимизируется минимизацией

Шаг 1. геомагнитный сигнал делим на сегменты длины , равные одним суткам:

Алгоритм выделения характерной компоненты модели

Полученная оценка может быть улучшена путем определения «наилучшей» базисной функции

Шаг 2. выполняем отображение данных каждого сегмента на масштабный уровень :1 jj

nnjnjj ctf 0

,0,)(

f T N

TNnnT

TnnTnn

Nnn tftftftf ,...,, 2

111

Шаг 3. оцениваем погрешность :jU

Tn

nn

Sqnjnjj

j

j

ccT

U2

,,1

Шаг 4. выполняем шаги 2, 3, пока уменьшается погрешность. Выбираем уровень разложения , обеспечивающий наименьшую погрешность .*j min,jU

Оценим получаемый риск: хархар ffr ~,

0f хархар ffr ~,~

,)( 22

,

20

tftfE харjj погрешность оценивается величиной .2

,,0 tetftf

jjj хар где jjхархарj eeffffjjj

,,,,, ,00

je - белый шум с дисперсией .2

6

Выделение возмущенной компоненты модели

kjkkj tfd ,, ),( ,),( ,, nmnnm tfc Nnnmm cc

,1,

Nkkjj dd,1,

Корреляция сигнала с базисом:

Выделение возмущенных компонент может быть выполнено на основе проверки условия:

,,

,max2

2

,0

2

,02

),(

),(

eCf

ffC

Ikj

Ikj

kj

kj

20supinf DffEr

fD

,

~0Dff

0

,00 ,sup

f

ffC

kjNn

eС – нормированная корреляция белого шума.

Определим меру возмущенности поля в вейвлет-пространстве как kjkj dI ,max

1. Выбор информативных компонент

Ikj

kjkjn

nmnm tdtctf),(

,,,, )()()( 7

(3)

,max ,kjkj dI Мера возмущенности поля -

Выделение возмущенной компоненты модели

kjkkj tfd ,, ),( ,),( ,, nmnnm tfc Nnnmm cc

,1,

Nkkjj dd,1,

0 10 20 30 400

10

20

30

40

2,3

2,1,2

1,1

,

,,

,,

)(

jj

jjj

jj

j

TIеслиs

TITеслиs

TIеслиs

xD1,jT

2,jT

Апостериорный риск

jd

- поле спокойное- поле слабовозмущенное- поле возмущенное

1s2s

3s тогда набор решений – пороги

Совокупность возможных состояний:

Оптимальное решение – порог, обеспечивающий наименьшие потериВ качестве критерия наименьших потерь рассмотрим критерий наименьшей частоты ошибок.

2. Выбор порогов

,/)(

li

il xsPxJ x - наблюдение где

(3)

Ikj

kjkjn

nmnm tdtctf),(

,,,, )()()(

8

0 500 1000 15002.135

2.136

2.137

2.138

2.139 x 104

Модель геомагнитного сигнала

возм

возм

возм

возм

jj

jj

Znnn

tgtf

tgtctf

)(

)()(

6

,6,6

g6g7 g8

g2 g4g5

g1

g3

g9f-6

0f

)(6 tf

0 500 1000 15002.135

2.1355

2.136

2.1365

2.137

2.1375

2.138

2.1385 x 104

)(6 tf )(0 tf0 20 40 60 80 100

-8

-6

-4

-2

0

2

4

)(6 tg

)(6 tf

)(tgвозмj

- характерная компонента модели (аппроксимирующая компонента 6 уровня разложения)

- возмущенные компоненты модели

(4)

9

Интенсивность возмущения в момент времени на анализируемом масштабе определим как:

Анализ интенсивности возмущений на основе непрерывного вейвлет-преобразования

(5)

(6)

,1)(),(

dts

uts

tfusWf

baRus ,),( 2/1,, AsusWf

Положим, функция в окрестности некоторой точки содержит локальную особенность, если не удовлетворяет условию (8).

f usWf ,

,),(),( usWfE usf ut

sАнализ временной динамики интенсивности возмущений поля по масштабам оценим, как:

0

0

0 ,),(

uu

uuusfusf duEE

Оценка распределения возмущений поля и выделение масштабов, вносящих основной вклад в полную энергию : fE duEE usff s ),(

Анализ изменения интенсивности возмущений поля во времени в различных временных диапазонах:

,),( dsEE usffu

0

0

0

uu

uufuf duEEu

(7)

(8)

(9)

10

амплитуда шума

масштабный уровень разложения

5 6 7 810 1,12 1 1,77 5,9720 2,25 1,71 2,03 6,0330 3,2 2,46 3,39 6,0850 5,4 3,47 3,21 6,19

График зависимости погрешности от уровня вейвлет-разложения

Погрешность:

Модельный сигнал:

Эксперименты с модельными сигналами по выделению характерной компоненты

погр

ешно

сть

уровень

спокойная вариация сигнала

вариация и локальные особенности

вариация, особенности и шум

)()()( tetgftfj

jспок спокf

)(tgj

j)(te

- спокойная вариация- локальные особенности

- шум

N

n

Sqnjnjj cc

ТU

1

2

,,1

11

Таблица 1: Оценка погрешности

0 5 10 15 20 250

20

40

60

80

100

график зависимости вероятности обнаружения особенности от ее

длительности

Выделение особенностей:

Модельный сигнал:

Эксперименты с модельными сигналами по выделению возмущенной компоненты

веро

ятно

сть

длительность особенности

модельный сигнал

возмущенная компонента сигнала

jk

kjkj Ttd )(,,

длительность особенностей

кол-во выявлен-ных (%)

кол-во ложных

(%)

5 67 1715 92 1325 97 8

результаты оценки погрешности выделения локальных

особенностей

)()()( tetgftfj

jспок

12

11.02.2010 12.02.2010 13.02.2010

21 340

21 380

11.02.2010 12.02.2010 13.02.2010-10

0

10

11.02.2010 12.02.2010 13.02.2010

21 340

21 380

Выделение характерной и возмущенной компоненты

H, н

Тл

возмущенная компонента

геомагнитный сигнал (H-компонента)

аппроксимирующая компонента 6-го масштабного уровня

13

Мас

шт

абны

е ур

овни

Анализ выделенных возмущенной компоненты 14

0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2

возмущенная компонента

возмущенная компонента

геомагнитный сигнал (H-компонента)K-индекс

H, н

Тл

геомагнитный сигнал (H-компонента)

Результаты обработки данных за период 09.04.2002 – 16.04.2002

возмущенная компонента

оценка интенсивности возмущений

геомагнитный сигнал (H-компонента)

выделение периодов слабых геомагнитных возмущений*

выделение периодов сильных геомагнитных возмущений

H, н

Тлs

* Слабые возмущения выделяются, в среднем, за 2 дня до начала бури.

15

Результаты обработки данных за период 22.05.2002 – 29.05.2002H

, нТл

s

возмущенная компонента

оценка интенсивности возмущений

геомагнитный сигнал (H-компонента)

выделение периодов слабых геомагнитных возмущений

выделение периодов сильных геомагнитных возмущений

16

методы Погрешность

Ручной/Предлагаемый 16%

Ручной/INTERMAGNET 40%

Предлагаемый метод

Определение возмущенности поля за сутки:

Выбираются 5 дней с минимальным значением

Расчет K-индекса по методике Дж. Бартельса

j

kjkdI ,max

I

Магнитные данные

Оценка эффективности работы предлагаемого метода по вычислению K-индекса

Определение возмущенности поля за сутки:

По выбранным дням строится спокойная суточная вариация

Погрешность вычисления K-индекса (обс. «Паратунка»)

kjkj возмвозм

gI ,,max

0 720 1 440

21 320

21 400

0 720 1 440

21 320

21 400

17

Оценка эффективности работы предлагаемого метода по вычислению K-индекса

Kp-индекс за период с 2002 г. по 2008 г.

Погрешность вычисления K-индекса (обс. Паратунка)

18

Оценка Sq-кривых рассчитанных ручным и программным способами

H, н

Тл

ручным способом (по данным The International Service of Geomagnetic Indices (I.S.G.I.));

программным способом;

Февраль 2002 г.

Апрель 2002 г.

Май 2002 г.

Июнь 2002 г.

0 360 720 1 080 1 44021 330

21 375

21 420

0 360 720 1 080 1 44021 330

21 375

21 420

0 360 720 1 080 1 440

21 375

21 420

0 360 720 1 080 1 440

21 375

21 420

19

Определение степени возмущенности поля за сутки

Геомагнитные данные

Расчет K-индекса в режиме реального

времени

Расчет K-индекса по методике Дж.

Бартельса

Расчет спокойной суточной вариации по пяти спокойным дням

за текущий месяц

Расчет спокойной суточной вариации по пяти спокойным дням за последние суток

Возможности алгоритма по расчету K-индекса

n

20

Выводы

1.Предложена модель геомагнитного сигнала, описывающая его характерную компоненту и локальные структуры, формирующие процесс в периоды повышенной геомагнитной активности.

2.Разработан алгоритм выделения характерной и возмущенных компонент геомагнитного сигнала и оценки их параметров, основанный на конструкции вейвлет-пакетов и пороговых функциях.

3.Разработан алгоритм выделения периодов повышенной геомагнитной активности и оценки возмущений, формирующих геомагнитный сигнал накануне и во время развития магнитной бури, основанный на непрерывном вейвлет-преобразовании.

4.Предложен автоматический метод вычисления K-индекса, основанный на конструкции вейвлет-пакетов и пороговых функциях, позволяющий воспроизвести методику Дж. Бартельса.

21