Вычисление площадей плоских фигур
DESCRIPTION
Алгебра 11 класс. Вычисление площадей плоских фигур. Республика Башкортостан г. Уфа МАОУ лицей № 155 Ивушкина Л. Д. y=f (x) непрерывная f(x) ≥0 на [ a; b ]. y. Найти площадь фигуры. y=f(x). a. x. b. 0. Найти площадь фигуры. y=f(x) непрерывная f(x) ≤0 на [ a; b ]. y. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Республика Башкортостан г. Уфа МАОУ лицей № 155
Ивушкина Л. Д.
Найти площадь фигуры
y=f (x) непрерывная f(x)≥0 на [a; b]
b
a
dxxfS )(
a 0 b x
y=f(x)
y
b
a
b
a
dxxfdxxfS )()(
y=f(x) непрерывная f(x)≤0 на [a; b]
a 0 b
y=f(x)
y
x
Найти площадь фигуры
0
y
x
y=g (x)
y=f (x)
ba
b
a
dxxgxfS ))()((
y = f (x), y = g (x) – непрерывные,f (x) ≥ g (x) на [a; b]
Найти площадь фигуры
y=f (x)
a
y=g (x) b
0
y
x
Найти площадь фигуры
y = f (x), y = g (x) –непрерывные, f (x) ≥ g (x) на [a; b]
b
a
dxxgxfS ))()((
c x
y=f (x)
a
y=g (x)
b0
y
Найти площадь фигуры
y = f (x), y = g (x) – непрерывные на [a; b]f (x) ≥ g (x) на [c; b]
f (x) ≤ g(x) на [a; c], где с [a; b]
( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
c
a
b
c
S g x f x dx
f x g x dx
c x
y=f (x)
a
y=g (x
)
b0
y
Найти площадь фигуры y = f (x) – непрерывная на [a; c]
y = g (x) – непрерывная на [b; c] f (x) ≥ g (x) на [a; c], где с [a; b]
( ) ( )c c
a b
S f x dx g x dx
c x
y=f (x)
a
y=g (x)
b0
y
Найти площадь фигуры
y = f (x) – непрерывная на [a; c] y = g (x) –непрерывная на [c; b], где с [a; b]
в
с
с
a
dxxgdxxfS )()(
y
x
0-1 1
y=x2 3
2S
(четность функции)
Разминка Найти площадь изображенной фигуры
y
x1-1
-1
y=f(x)
0
2
1
2
1)( xxf
Разминка Найти площадь изображенной фигуры
4S(площадь прямоугольного треугольника)
y
x
y=sin x
20
Разминка Найти площадь изображенной фигуры
4S
(равенство фигур)
y
x
2
20-2
Разминка Найти площадь изображенной фигуры
S = 2(площадь полукруга)
24)( xxf
)(xfу
y
x
1
-1
0
1y=x-1
y=1-x
Разминка Найти площадь изображенной фигуры
S = 1
(площадь треугольника)
Задачи1) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
xy )2(
3 xy0y
1y
y
C
xy
D1 x0
1BF
E A-1-2
)2(3 xy
1 способ S = S1 + S2 + S3
S = 19/12
2 способ S = S1 + SABCD - SOCD
3 способ S = SEFCD - SEFB - SOCD
xy )2(3 xy 0y 1y
S1
S2
S3
2) Фигура, ограниченная линиями
y=x+6,
x=1,
y=0, делится параболой
y=x2 + 2x + 4 на две части.
Найти площадь каждой части.
y=x2+2x+4
y
xD
C
B
S2
S1
0 1-1-2-3-4-5-6
34
67
x=1
y=x+
6S1 = 4,5 S2 = 20
5,24772
1BCDS
5,4)]42()6[(1
2
21
dxxxxS
12 SSS BCD
1
Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми
y
K9
7
5
1
0-1 2 4 9x
y=9-x
C
B
A
y=x+1
y=3x+1 y=3x + 1
y=9 - x
y=x + 1
Интересные задачи1. Найти сумму площадей бесконечного количества фигур,
изображенных на рисунке.
y
x
y=sin x
y
x
y=sin2x
y
x
y=sin4x
y
x
y=sin8x
0 0 0 0
(аргумент каждой следующей функции увеличивается в 2 раза)
Указания к решению: sin nx=0
y
x
y=sin x
y
x
y=sin 2x
y
x
y=sin 4x
y
x
y=sin 8x
0 0 0 0
Ответ: 4.
, где n=1,2,4,8,...sin nx=0 , nx= π, x =
n
n nnxdxS
/
0
2sin
Решение
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
1
1
4
0 x
y
y=x2 y = 1
y = 4
x =0
у = x2 , при x ≥ 0
Данная фигура симметрична криволинейной трапеции,ограниченной прямыми x=1, x=4, y=0, графиком функции, обратной y=x2, x≥0, т. е. Поэтому фигуры
4
1
dxxS
1
4
1 4
xy
0 x
y
y=xy=x2
имеют равные площади
xy
y
x
d
c
0
x= 1
(y)
x= 2
(y)
Если фигура ограничена линиями x=1(y), x=2(y), y=c; y=d, где c<d и 2(y)≥1(y), на [c; d], то ее площадь может быть вычислена по формуле
2 1( ( ) ( ))d
c
S y y dy
Используемая литература
• Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений.2002г.
• Звавич Л.И., Рязановский А.Р., Поташник А.М. Сборник задач по алгебре и математическому анализу для 10-11 кл. Вып.1 «Интеграл и площадь» 1996г.
• Галицкий М.Л. и др. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. 10-11.Пособие для учителя. 1997г.