變異數分析 ( 二 )

15 - 15 - 11

銘傳應用統計系銘傳應用統計系

變異數分析變異數分析 (( 二二 ))

Analysis of Variance (Analysis of Variance ( 二二 ) )

15 - 15 - 22


學習目標學習目標

1.1. 因子實驗設計因子實驗設計 (factorial design)(factorial design)

2.2. 解說因子間的交互作用項解說因子間的交互作用項3.3. 兩因子變異數分析兩因子變異數分析 analysis of variance (analysis of variance (

ANOVA)ANOVA)

4.4. ANOVAANOVA 假設之檢驗假設之檢驗常態分配之檢驗常態分配之檢驗變異數一致性之檢驗變異數一致性之檢驗

15 - 15 - 33


實驗設計與資料分析實驗設計與資料分析

實驗設計實驗設計 : : 由研究者設定條件後由研究者設定條件後 , , 執行實驗以執行實驗以觀察結果是否受該條件之影響觀察結果是否受該條件之影響設定條件稱為「處理」方式設定條件稱為「處理」方式 (treatments)(treatments) 同類型處理方式稱為一個「因子」同類型處理方式稱為一個「因子」 (factor)(factor) 每因子內之處理方式亦稱為「水準」每因子內之處理方式亦稱為「水準」 (levels)(levels)

變異數分析變異數分析 : : 檢定不同處理對實驗結果產生的檢定不同處理對實驗結果產生的差異或效應差異或效應

15 - 15 - 44


各種實驗設計各種實驗設計

CompletelyRandomized

Two-WayANOVA

Other

ExperimentalDesigns

One-WayANOVA

FactorialCompletely

Randomized

Two-WayANOVA

Other

ExperimentalDesigns

One-WayANOVA

Factorial

15 - 15 - 55


實驗設計專有名詞實驗設計專有名詞

1. 1. 實驗單位實驗單位 (experimental units/subjects)(experimental units/subjects)

2. 2. 處理處理 (treatments): (treatments): 實驗中所設定或選取之實驗中所設定或選取之條件條件

3. 3. 控制因子控制因子 (factors)(factors):: 由數種處理或水準組成由數種處理或水準組成4. 4. 處理效應處理效應 (effect): (effect): 每一種處理對實驗結果每一種處理對實驗結果

產生之影嚮產生之影嚮5. 5. 觀測結果觀測結果 (observations)(observations)

15 - 15 - 66


實驗設計三原則實驗設計三原則

1. 1. 隨機隨機 (randomization)(randomization) 取樣取樣不同實驗模型不同實驗模型 ,, 設計不同隨機方式取得樣本設計不同隨機方式取得樣本

2. 2. 複製複製 (replications)(replications) 樣本樣本在相同處理下在相同處理下 , , 重複實驗以取得的重複樣本重複實驗以取得的重複樣本

3. 3. 區集區集 (blocking)(blocking) 技巧技巧在不同處理下選取同質性高之實驗單位在不同處理下選取同質性高之實驗單位實驗中實驗中 ,, 僅處理方式不同外僅處理方式不同外 ,, 其它因素無法影其它因素無法影

嚮實驗結果嚮實驗結果

15 - 15 - 77


多因子實驗設計多因子實驗設計

1.1. 實驗中使用兩個或以上的因子實驗中使用兩個或以上的因子 ((factorsfactors)) 每一個因子有每一個因子有 22 個以上的水準個以上的水準 ((levelslevels))

2. 2. 實驗單位隨機指派到不同處理實驗單位隨機指派到不同處理任何水準之組合任何水準之組合 ((level combinationlevel combination)) 成為一個處理成為一個處理

3. 3. 主效應主效應 ((main effectmain effect)﹕)﹕ 各別因子之效應各別因子之效應4. 4. 交互交互 ((interactinteract)) 效應﹕因子之間交互效應效應﹕因子之間交互效應5. 5. 使用使用 ANOVAANOVA 分析檢定交互效應及主效應之不分析檢定交互效應及主效應之不

同與否同與否

15 - 15 - 88


多因子實驗設計的優點多因子實驗設計的優點

1.1. 節省時間並可了解每單一因子的主要影響節省時間並可了解每單一因子的主要影響或主要效應或主要效應 (main effects)(main effects)

2.2. 引進多因子變數模型，可控制混淆影響引進多因子變數模型，可控制混淆影響 ((confounding effects)confounding effects)

3.3. 可檢測各個因子之間的交互作用可檢測各個因子之間的交互作用 (interacti(interaction effects)on effects)

15 - 15 - 99


兩因子實驗設計範例兩因子實驗設計範例

因子因子 2 2 （訓練方式）（訓練方式）因子因子水準水準

Level 1Level 1 Level 2Level 2 Level 3Level 3

Level 1Level 1 19 hr.19 hr. 20 hr.20 hr. 22 hr.22 hr.因子因子 11

(( 高高 ))11 hr.11 hr. 17 hr.17 hr. 31 hr.31 hr.

( ( 動機動機 ))Level 2Level 2 27 hr.27 hr. 25 hr.25 hr. 31 hr.31 hr.(( 低低 ))

29 hr.29 hr. 30 hr.30 hr. 49 hr.49 hr.

15 - 15 - 1010


兩因子變異數分析兩因子變異數分析

Two-Way ANOVATwo-Way ANOVA

15 - 15 - 1111


圖示兩因子反應變數圖圖示兩因子反應變數圖

第一種狀況第一種狀況兩條反應線重疊且平行兩條反應線重疊且平行於於 XX 軸軸AA 因子對於反應變數無因子對於反應變數無效應效應BB 因子對於反應變數無因子對於反應變數無效應效應

0

2

4

6

8

10

12

B1 B2 B3

A1

A2

15 - 15 - 1212


圖示兩因子反應變數圖圖示兩因子反應變數圖 ((續續 ))

第二種狀況第二種狀況兩條反應線平行且平行兩條反應線平行且平行於於 XX 軸軸AA 因子對於反應變數有因子對於反應變數有效應效應BB 因子對於反應變數無因子對於反應變數無效應效應

0

2

4

6

8

10

12

14

16

B1 B2 B3

A1

A2

15 - 15 - 1313



第三種狀況第三種狀況兩條反應線重疊但不平兩條反應線重疊但不平行於行於 XX 軸軸AA 因子對於反應變數無因子對於反應變數無效應效應BB 因子對於反應變數有因子對於反應變數有效應效應

0

2

4

6

8

10

12

14

16

B1 B2 B3

A1

A2

15 - 15 - 1414



第四種狀況第四種狀況兩條反應線平行但不平兩條反應線平行但不平行於行於 XX 軸軸AA 因子對於反應變數有因子對於反應變數有效應效應BB 因子對於反應變數有因子對於反應變數有效應效應

0

5

10

15

20

25

B1 B2 B3

A1

A2

15 - 15 - 1515




0

2

4

6

8

10

12

14

16

B1 B2 B3

A1

A2

15 - 15 - 1616




0

5

10

15

20

25

B1 B2 B3

A1

A2

15 - 15 - 1717



第五種狀況第五種狀況兩條反應線不平行兩條反應線不平行A BA B 兩因子間有交互作兩因子間有交互作用用AA 因子對於反應變數有因子對於反應變數有效應效應BB 因子對於反應變數有因子對於反應變數有效應效應 0

5

10

15

20

25

B1 B2 B3

A1

A2

15 - 15 - 1818


什麼是交互作用項什麼是交互作用項 ??

欲解釋欲解釋 AA 因子的效應需透過因子的效應需透過BB 因子的水準因子的水準如如 :: 在在 B1B1 下下 A2-A1=2A2-A1=2 在在 B2B2 下下 A2-A1=5A2-A1=5 在在 B3B3 下下 A2-A1=8A2-A1=8或欲解釋或欲解釋 BB 因子的效應需透因子的效應需透過過 AA 因子的水準因子的水準如如 :: 在在 A1A1 下下 B2-B1=5B2-B1=5 在在 A2A2 下下 B2-B1=8B2-B1=8 在在 A1A1 下下 B3-B1=10B3-B1=10 在在 A2A2 下下 B3-B1=16B3-B1=16 等等

0

5

10

15

20

25

B1 B2 B3

A1

A2

15 - 15 - 1919




5

10

15

20

25

B1 B2 B3

A1

A2

15 - 15 - 2020




5

10

15

20

25

B1 B2 B3

A1

A2

15 - 15 - 2121




5

10

15

20

25

B1 B2 B3

A1

A2

15 - 15 - 2222


兩因子實驗資料列表兩因子實驗資料列表

XXiijjkk

因素Ａ因素Ａ之水準之水準 ii

因素Ｂ因素Ｂ之水準之水準

jj

第第 kk 個觀察值個觀察值因素因素 BB因素因素 AA 11 22 ...... cc

11 XX111111 XX121121 ...... XX1c11c1

XX112112 XX122122 ...... XX1c21c2

22 XX211211 XX221221 ...... XX2c12c1

XX212212 XX222222 ...... XX2c22c2

:: :: :: :: ::

rr XXr11r11 XXr21r21 ...... XXrc1rc1

XXr12r12 XXr22r22 ...... XXrc2rc2 水準組合稱為 Cell

15 - 15 - 2323


兩因子兩因子 ANOVAANOVA 之理論之理論

1. 1. 模式模式 (model)(model) ﹕ ﹕ xxijkijk 代表代表觀測值必須是連續變數觀測值必須是連續變數 xx 值值 == 總平均總平均 +A+A 因素主效應因素主效應 +B+B 因素主效因素主效

應應 ++ 交互效應交互效應 ++ 誤差項誤差項 xxijijkk = µ + A = µ + Aii + B + Bjj + AB + ABijij + + IjIjkk

(A(A 因子水準因子水準 ii=1, …,r B﹔=1, …,r B﹔ 因子水準因子水準 jj=1, …, c ;=1, …, c ; 樣本數樣本數 kk=1, …,n’ )=1, …,n’ )

15 - 15 - 2424


兩因子實驗資料列表兩因子實驗資料列表

XXiijjkk

因素Ａ因素Ａ之水準之水準 ii

因素Ｂ因素Ｂ之水準之水準

jj

第第 kk 個觀察值個觀察值因素因素 BB因素因素 AA 11 22 ...... cc

11 XX111111 XX121121 ...... XX1c11c1

XX112112 XX122122 ...... XX1c21c2

22 XX211211 XX221221 ...... XX2c12c1

XX212212 XX222222 ...... XX2c22c2

:: :: :: :: ::

rr XXr11r11 XXr21r21 ...... XXrc1rc1

XXr12r12 XXr22r22 ...... XXrc2rc2 水準組合稱為 Cell

15 - 15 - 2525


兩因子兩因子 ANOVAANOVA 之理論之理論 (( 續續))

2. 2. 假設條件假設條件 (assumptions)﹕(assumptions)﹕ 誤差項為常態機率分配誤差項為常態機率分配 ,, 期望值為期望值為 0 ﹔0 ﹔ 誤誤

差值之間獨立差值之間獨立 ijkijk ~ N(0, ~ N(0, 22) ) ，， ijijkk independent independent ijkijk

22 須要估計須要估計誤差項以上的假設條件誤差項以上的假設條件 , , 必須正式以統計必須正式以統計

量檢定量檢定 , , 或以殘差分析檢查其是否符合或以殘差分析檢查其是否符合

15 - 15 - 2626


Total VariationTotal VariationTotal VariationTotal Variation

兩因子變異數分析兩因子變異數分析總變異量的分割總變異量的分割

因為Ａ因子水準間差因為Ａ因子水準間差異所產生的變異量異所產生的變異量 VaVariation due to Treatriation due to Treat

ment A ment A (SSA)(SSA)

因為Ａ因子水準間差因為Ａ因子水準間差異所產生的變異量異所產生的變異量 VaVariation due to Treatriation due to Treat

ment A ment A (SSA)(SSA)

因為隨機樣本取樣間差異因為隨機樣本取樣間差異所產生的變異量所產生的變異量 Variation Variation due to Random Samplindue to Random Samplin

g g (SSE)(SSE)

因為隨機樣本取樣間差異因為隨機樣本取樣間差異所產生的變異量所產生的變異量 Variation Variation due to Random Samplindue to Random Samplin

g g (SSE)(SSE)

因為Ａ、Ｂ因子水準間交互因為Ａ、Ｂ因子水準間交互所產生的變異量所產生的變異量 Variation dVariation due to AB Interaction ue to AB Interaction (SSA(SSA

B)B)

因為Ａ、Ｂ因子水準間交互因為Ａ、Ｂ因子水準間交互所產生的變異量所產生的變異量 Variation dVariation due to AB Interaction ue to AB Interaction (SSA(SSA

B)B)

總變異量總變異量 SS(Total)SS(Total)

因為Ｂ因子水準間差因為Ｂ因子水準間差異所產生的變異量異所產生的變異量 VaVariation due to Treatriation due to Treat

ment ment ＢＢ (SSB)(SSB)

因為Ｂ因子水準間差因為Ｂ因子水準間差異所產生的變異量異所產生的變異量 VaVariation due to Treatriation due to Treat

ment ment ＢＢ (SSB)(SSB)

15 - 15 - 2727


Two-Way ANOVA Total Two-Way ANOVA Total Variation PartitioningVariation Partitioning

'

the number of levels of factor A

the number of levels of factor B

the number of values (replications) for each cell

the total number of observations in the experiment

the value of the -th oijk

r

c

n

n

X k

bservation for level of

factor A and level of factor B

i

j

15 - 15 - 2828


Total VariationTotal Variation

' '

' 2

1 1 1

1 1 1 1 1 1

'

Sum of Squares Total

= total variation among all

observations around the grand mean

the overall or grand mean

r c n

ijki j k

r c n r c n

ijk ijki j k i j k

SST X X

X X

Xrcn n

15 - 15 - 2929


Factor A VariationFactor A Variation

2'

1

r

i

i

SSA cn X X

Sum of Squares Due to Factor A = the difference among the various levels of factor A and the grand mean

15 - 15 - 3030


Factor B VariationFactor B Variation

2'

1

c

j

j

SSB rn X X

Sum of Squares Due to Factor B = the difference among the various levels of factor B and the grand mean

15 - 15 - 3131


Interaction VariationInteraction Variation

2'

1 1

r c

ij i j

i j

SSAB n X X X X

Sum of Squares Due to Interaction between A and B = the effect of the combinations of factor A and factor B

15 - 15 - 3232


Random ErrorRandom Error

Sum of Squares Error = the differences among the observations within

each cell and the corresponding cell means

' 2

1 1 1

r c n

ijijki j k

SSE X X

15 - 15 - 3333


Source ofSource ofVariationVariation

Degrees ofDegrees ofFreedomFreedom

Sum ofSum ofSquaresSquares

MeanMeanSquareSquare

FF

A A 因子因子(Row)(Row)

r - 1r - 1 SS(A)SS(A) MS(A)MS(A) MS(A)MS(A)MSEMSE

B B 因子因子(Column)(Column)

c - 1c - 1 SS(B)SS(B) MS(B)MS(B) MS(B)MS(B)MSEMSE

AB AB 交互作用交互作用(Interaction)(Interaction)

(r-1)(c-1)(r-1)(c-1) SS(AB)SS(AB) MS(AB)MS(AB) MS(AB)MS(AB)MSEMSE

Error Error 誤差誤差 N - rcN - rc SSESSE MSEMSE

C. Total C. Total 總和總和 N - 1N - 1 SS(Total)SS(Total)

兩因子兩因子 ANOVAANOVA 表表

Same as Same as other designsother designs

15 - 15 - 3434


兩因子變異數分析檢定假設兩因子變異數分析檢定假設

1.1. Ａ和Ｂ因素間無交互作用Ａ和Ｂ因素間無交互作用 HH00: AB: ABijij = 0 = 0 for any (i, j) for any (i, j)

2.2. 因素Ａ各水準間平均數無差異因素Ａ各水準間平均數無差異 HH00:: 11.... = = 22.... =... = =... = rr....

3. 3. 因素因素 BB 各水準間平均數無差異各水準間平均數無差異 HH00:: ..11.. = = ..22.. =... = =... = ..cc..

15 - 15 - 3535


Two-Way ANOVA:Two-Way ANOVA:The The FF Test Statistic Test Statistic

F Test for Factor B Main Effect

F Test for Interaction Effect

H0: 1 .= 2 . = ••• = r .

H1: Not all i . are equal

H0: ij = 0 (for all i and j)

H1: ij 0

H0: 1 = . 2 = ••• = c

H1: Not all . j are equal

Reject if F > FU

Reject if F > FU

Reject if F > FU

1

MSA SSAF MSA

MSE r

F Test for Factor A Main Effect

1

MSB SSBF MSB

MSE c

1 1

MSAB SSABF MSAB

MSE r c

15 - 15 - 3636


F-F- 檢定檢定統計量之臨界值統計量之臨界值

若是各處理母體間平若是各處理母體間平均數差異大均數差異大 , , 則則 FF = = MSTMST / / MSEMSE 1. 1.

總是使用單尾檢定呦總是使用單尾檢定呦Always One-Tail!Always One-Tail!

FF pp nn pp(( ,, )) 1100

Reject HReject H00

Do NotDo NotReject HReject H00

FF

15 - 15 - 3737


例題﹕店面大小和架上位置例題﹕店面大小和架上位置的周銷售額的周銷售額

你是銘傳行銷公司的分析你是銘傳行銷公司的分析師，你想要了解產品在架師，你想要了解產品在架上不同位置會對產品的銷上不同位置會對產品的銷售產生何種的影響。今隨售產生何種的影響。今隨機抽選了三種大小的店面機抽選了三種大小的店面、配合了四種不同的架位、配合了四種不同的架位。並選取架位配合店面大。並選取架位配合店面大小各重複兩店。使用小各重複兩店。使用 = = .05.05 ，檢定所有各種效應，檢定所有各種效應並下結論。並下結論。

AloneAlone GroupGroup Class Class

VO

-5

VO

-5

VO

-5

SU

AV

E

SU

AV

E

PE

RT

PE

RT

PE

RT

15 - 15 - 3838


例題例題 (( 續二續二 ) - ) - 資料展示資料展示

架上位置 (B)

店的大小 (A) 1 2 3 4

小型 45 50

56 63

65 71

48 53

中型 57 65

69 78

73 80

60 57

大型 70 78

75 82

82 89

71 75

架上位置 (B)

店的大小 (A) 1 2 3 4

小型 45 50

56 63

65 71

48 53

中型 57 65

69 78

73 80

60 57

大型 70 78

75 82

82 89

71 75

15 - 15 - 3939


平均銷售量之交互作用圖平均銷售量之交互作用圖

0

10

20

30

4050

60

70

80

90

B1 B2 B3 B4

A1

A2

A3

15 - 15 - 4040


例題例題 (( 續三續三 ) - ANOVA) - ANOVA 表（表（僅展示部份）僅展示部份）





FF

AA(( 店面大小店面大小 ))

1,828.091,828.09

BB(( 擺設位置擺設位置 ))

367.447367.447 17.0917.09

ABAB(( 交互作用交互作用 ))

88.9188.91

Error(Error( 誤差誤差 )) 1212 21.50021.500

C. TotalC. Total 3,277.343,277.34

15 - 15 - 4141


例題例題 (( 續四續四 ) - ANOVA) - ANOVA 表表





FF

AA(Store size)(Store size)

3 - 1 = 23 - 1 = 2 1,828.091,828.09 914.045914.045 42.5142.51

BB(Shelf loc.)(Shelf loc.)

4 - 1 = 34 - 1 = 3 1,102.341,102.34 367.447367.447 17.0917.09

ABAB(Interaction)(Interaction)

66 88.9188.91 14.81814.818 0.690.69

ErrorError 1212 258.00258.00 21.50021.500

C. TotalC. Total 2323 3,277.343,277.34

15 - 15 - 4242


FF00 3.003.00

例題例題 (( 續五續五 ) - ) - 交互作用交互作用 ((店面與架位店面與架位 ))

1. H1. H00: : ABABijij = 0 ( = 0 ( 交互效應交互效應))

2. H2. Haa: : ABABijij ≠≠00

= = .05.05

11 = = 6 6 22 = = 12 12

4. Critical Value(s):4. Critical Value(s):

5. 5. 在在 HoHo 的的 test statistic: test statistic:

6. Decision:6. Decision:

在在 = .05= .05 下不拒絕Ｈ下不拒絕Ｈoo

結論結論 :: 並無證據顯示並無證據顯示店面與架位有交互作用有交互作用

= .05= .05

F*F*MS(AB)MS(AB)

MSEMSE 0.690.69

15 - 15 - 4343


FF00 3.893.89

1. H1. H00: : 1..1.. = = 2..2.. = = 3..3..

2. H2. Haa: : Not all equalNot all equal

= = .05.05

11 = = 2 2 22 = = 12 12


5. 5. 在在 HoHo 的的 test statistic:test statistic:

6. Decision:6. Decision: 在在 = .05= .05 下拒絕Ｈ下拒絕Ｈ oo

結論結論 :: 有充分證據顯示店有充分證據顯示店面大小會影響銷售額面大小會影響銷售額

= .05= .05

F*F*MS(A)MS(A)

MSEMSE 42.5142.51

例題例題 (( 續六續六 ) - ) - 主效應主效應 (( 店店面面 ))

15 - 15 - 4444


FF00 3.493.49

例題例題 (( 續七續七 ) - ) - 主效應主效應 (( 架架位位 ))

1. H1. H00: : .1..1. = = .2..2. = = .3..3.

2. H2. Haa: : Not all equalNot all equal

= = .05.05

11 = = 3 3 22 = = 12 12


5. 5. 在在 HoHo 的的 test statistic:test statistic:

6. Decision:6. Decision:在在 = .05= .05 下拒絕Ｈ下拒絕Ｈoo

結論結論 :: 有充分證據顯示架有充分證據顯示架位不同會影響銷售額位不同會影響銷售額

= .05= .05

F*F*MS(B)MS(B)

MSEMSE 17.0917.09

15 - 15 - 4545


兩因子兩因子 ANOVAANOVA 分析分析利用利用 EXCELEXCEL

工具工具 | | 資料分析資料分析 | | 雙因子變異數分析雙因子變異數分析 :: 重重複試驗複試驗

Example in excel spreadsheetExample in excel spreadsheet

Microsoft Excel Worksheet

15 - 15 - 4646


15 - 15 - 4747


15 - 15 - 4848


15 - 15 - 4949


15 - 15 - 5050


15 - 15 - 5151


15 - 15 - 5252


15 - 15 - 5353


例題二例題二




(( 高高 ))11 hr.11 hr. 17 hr.17 hr. 31 hr.31 hr.


29 hr.29 hr. 30 hr.30 hr. 49 hr.49 hr.

15 - 15 - 5454


兩因子兩因子 ANOVAANOVA 分析分析利用利用 EXCELEXCEL

工具工具 | | 資料分析資料分析 | | 雙因子變異數分析雙因子變異數分析 :: 重重複試驗複試驗



15 - 15 - 5555


15 - 15 - 5656


15 - 15 - 5757


變異數分析假設之檢定—變異數分析假設之檢定—殘差分析殘差分析

Residual analysisResidual analysis

15 - 15 - 5858


變異數分析的假設變異數分析的假設

1.1. 常態假設常態假設 (normality)(normality) 各母體均為常態分配各母體均為常態分配

2.2. 變異數為同質（變異數為同質（ homogeneityhomogeneity ））各母體的變異數皆相等各母體的變異數皆相等

3.3. 觀測值及誤差項為隨機且獨立的觀測值及誤差項為隨機且獨立的隨機樣本抽選時亦為獨立隨機樣本抽選時亦為獨立

15 - 15 - 5959


The Normal DistributioThe Normal Distributionn

““Bell shaped”Bell shaped”SymmetricalSymmetricalMean, median and Mean, median and

mode are equalmode are equalInterquartile rangeInterquartile range

equals 1.33 equals 1.33 Random variableRandom variable

has infinite rangehas infinite range

Mean Median Mode

X

f(X)

15 - 15 - 6060


The Mathematical ModeThe Mathematical Modell

21

2

2

1

2

: density of random variable

3.14159; 2.71828

: population mean

: population standard deviation

: value of random variable

X

f X e

f X X

e

X X

15 - 15 - 6161


Many Normal DistributiMany Normal Distributionsons

By varying the parameters and , we obtain different normal distributions

There are an infinite number of normal distributions

15 - 15 - 6262


常態分配之評估常態分配之評估

Not all continuous random variables are Not all continuous random variables are normally distributednormally distributed

It is important to evaluate how well the It is important to evaluate how well the data set seems to be adequately data set seems to be adequately approximated by a normal distributionapproximated by a normal distribution

15 - 15 - 6363


常態分配之評估常態分配之評估 (( 續續 ))

利用圖表利用圖表小中樣本小中樣本 :: 莖葉圖莖葉圖 , , 箱型圖箱型圖大樣本大樣本 :: 直方圖直方圖 , , 折線圖折線圖最常用最常用 :: 常態機率繪圖常態機率繪圖

(continued)

15 - 15 - 6464



常態機率繪圖常態機率繪圖先將資料排序先將資料排序計算相對應的標準常態分配的計算相對應的標準常態分配的 quantile quantile 值值將相對應的值畫散佈圖將相對應的值畫散佈圖評估是否為一條直線評估是否為一條直線

(continued)

15 - 15 - 6565



Normal Probability Plot for Normal Distribution

Look for Straight Line!

30

60

90

-2 -1 0 1 2

Z

X

(continued)

15 - 15 - 6666


常態機率繪圖之狀況常態機率繪圖之狀況

Left-Skewed Right-Skewed

Rectangular U-Shaped

30

60

90

-2 -1 0 1 2

Z

X

30

60

90

-2 -1 0 1 2

Z

X

30

60

90

-2 -1 0 1 2

Z

X

30

60

90

-2 -1 0 1 2

Z

X

15 - 15 - 6767


例題例題 (( 續八續八 ) – ) – 殘差資料殘差資料

架上位置 (B)

店的大小 (A) 1 2 3 4

小型 -2.5 +2.5

-3.5 +3.5

-3.0 +3.0

-2.5 +2.5

中型 -3.5 +3.5

-4.5 +4.5

-3.5 +3.5

+1.5 -1.5

大型 -4.0 +4.0

-3.5 +3.5

-3.5 +3.5

-3.0 +3.0

架上位置 (B)

店的大小 (A) 1 2 3 4

小型 -2.5 +2.5

-3.5 +3.5

-3.0 +3.0

-2.5 +2.5

中型 -3.5 +3.5

-4.5 +4.5

-3.5 +3.5

+1.5 -1.5

大型 -4.0 +4.0

-3.5 +3.5

-3.5 +3.5

-3.0 +3.0

15 - 15 - 6868


例題例題 (( 續九續九 ) – ) – 殘差排序殘差排序

-4.5, -4.0, -3.5, -3.5, -3.5, -3.5, -3.5, -3.0,-4.5, -4.0, -3.5, -3.5, -3.5, -3.5, -3.5, -3.0,

-3.0, -2.5, -2.5, -1.5, +1.5, +2.5, +2.5, +3.0-3.0, -2.5, -2.5, -1.5, +1.5, +2.5, +2.5, +3.0

+3.0, +3.5, +3.5, +3.5, +3.5, +3.5, +4.0,+3.0, +3.5, +3.5, +3.5, +3.5, +3.5, +4.0,

+4.5+4.5

15 - 15 - 6969


例題例題 (( 續十續十 ) – quantile ) – quantile 值值

求求 p(N(0,1)<Qp(N(0,1)<Qii)=i/(N+1) )=i/(N+1) 之之 QQi i 值值-1.7, -1.4, -1.175, -0.95, -0.84, -0.705,-1.7, -1.4, -1.175, -0.95, -0.84, -0.705,

-0.58, -0.47, -0.2, -0.1, 0, 0.1, 0.2, 0.47,-0.58, -0.47, -0.2, -0.1, 0, 0.1, 0.2, 0.47,

0.58, 0.705, 0.84, 0.95, 1.175, 1.4,1.70.58, 0.705, 0.84, 0.95, 1.175, 1.4,1.7

15 - 15 - 7070


例題例題 (( 續十一續十一 ) – ) – 相對應相對應值值

-4.5, -4.0, -3.5, -3.5, -3.5, -3.5, -3.5, -3.0,-4.5, -4.0, -3.5, -3.5, -3.5, -3.5, -3.5, -3.0,

-3.0, -2.5, -2.5, -1.5, +1.5, +2.5, +2.5, +3.0-3.0, -2.5, -2.5, -1.5, +1.5, +2.5, +2.5, +3.0

+3.0, +3.5, +3.5, +3.5, +3.5, +3.5, +4.0,+3.0, +3.5, +3.5, +3.5, +3.5, +3.5, +4.0,

+4.5+4.5

-1.7, -1.4, -1.175, -0.95, -0.84, -0.705,-1.7, -1.4, -1.175, -0.95, -0.84, -0.705,

-0.58, -0.47, -0.2, -0.1, 0, 0.1, 0.2, 0.47,-0.58, -0.47, -0.2, -0.1, 0, 0.1, 0.2, 0.47,

0.58, 0.705, 0.84, 0.95, 1.175, 1.4,1.70.58, 0.705, 0.84, 0.95, 1.175, 1.4,1.7

15 - 15 - 7171


例題例題 (( 續十二續十二 ) – ) – 繪圖繪圖

Quantiles of Standard Normal

x

-2 -1 0 1 2

-4-2

02

4

15 - 15 - 7272


常態機率繪圖常態機率繪圖利用利用 EXCELEXCEL

PHStat | Probability Distributions | Normal PHStat | Probability Distributions | Normal Probability Plot…Probability Plot…



15 - 15 - 7373


15 - 15 - 7474


15 - 15 - 7575


15 - 15 - 7676


15 - 15 - 7777


例題二例題二




(( 高高 ))11 hr.11 hr. 17 hr.17 hr. 31 hr.31 hr.


29 hr.29 hr. 30 hr.30 hr. 49 hr.49 hr.

15 - 15 - 7878


例題二例題二 :: 殘差殘差

15 - 15 - 7979


15 - 15 - 8080




2.2. 變異數為同質（一致性變異數為同質（一致性 homogeneityhomogeneity ））各母體的變異數皆相等各母體的變異數皆相等


15 - 15 - 8181


變異數為同質之檢定變異數為同質之檢定

Hartley F-max testHartley F-max test Battlet’s testBattlet’s test Box subsample testBox subsample test Levene’s testLevene’s test

15 - 15 - 8282


Hartley F-max testHartley F-max test

22 22

Fmax=SFmax=Smaxmax/S/Sminmin

2 2

SSmax max 最大的樣本變異數最大的樣本變異數 22

SSmin min 最小的樣本變異數最小的樣本變異數F-maxF-max 分配分配 , , 第一自由度第一自由度 c (c ( 處理數處理數 ) , ) ,

第二自由度第二自由度 n-1(n-1( 樣本數樣本數 ))

15 - 15 - 8383


F-max F-max 分配之部份表格分配之部份表格

n-1/cn-1/c 22 33 44 55 66 77 88 99

22 39.039.0 87.587.5 142142 202202 266266 333333 403403 475475

33 15.415.4 27.827.8 39.239.2 50.750.7 62.062.0 72.972.9 83.583.5 93.993.9

44 9.609.60 15.515.5 20.620.6 25.225.2 29.529.5 33.633.6 37.537.5 41.141.1

55 7.157.15 10.810.8 13.713.7 16.316.3 18.718.7 20.820.8 22.922.9 24.724.7

66 5.825.82 8.388.38 10.410.4 12.112.1 13.713.7 15.015.0 16.316.3 17.517.5

15 - 15 - 8484


機器裝填的例子機器裝填的例子

請檢定各個機請檢定各個機器的變異數是器的變異數是否相同否相同 ??

Machine1 Machine2 Machine325.40 23.40 20.0026.31 21.80 22.2024.10 23.50 19.7523.74 22.75 20.6025.10 21.60 20.40

15 - 15 - 8585


機器裝填的例子機器裝填的例子 (( 續續 ))

計算結果計算結果機器一之樣本變異數機器一之樣本變異數 1.06481.0648

機器二之樣本變異數機器二之樣本變異數 0.7780.778

機器三之樣本變異數機器三之樣本變異數 0.92050.9205

Fmax=1.0648/0.778=1.1568Fmax=1.0648/0.778=1.1568

C=3, n=5, C=3, n=5, 查表查表 Fmax(0.05,3,4)=15.5Fmax(0.05,3,4)=15.5

∵∵1.1568<15.5 ∴1.1568<15.5 ∴ 不拒絕不拒絕 HH00

15 - 15 - 8686




2.2. 變異數為同質（一致性變異數為同質（一致性 homogeneityhomogeneity ））各母體的變異數皆相等各母體的變異數皆相等


15 - 15 - 8787


獨立性之檢定獨立性之檢定

必須知道資料觀察的先後順序必須知道資料觀察的先後順序用時間序列的方式檢查殘差是否有自我相用時間序列的方式檢查殘差是否有自我相

關性或偏自我相關性關性或偏自我相關性最常用最常用 Durbin Watson’s testDurbin Watson’s test 無母數方法—利用無母數方法—利用 Run test Run test 來檢驗獨立性來檢驗獨立性請參考更深入的變異數分析方法之書籍請參考更深入的變異數分析方法之書籍

15 - 15 - 8888


違背違背 ANOVAANOVA 假設之處理假設之處理

當違背當違背 ANOVAANOVA 假設時假設時通常會將反應變數做轉換通常會將反應變數做轉換經常使用的轉換函數為經常使用的轉換函數為 √ √, , ln, 1/x ln, 1/x 或或 Box-Cox Box-Cox 轉換轉換牽涉較深的統計方法牽涉較深的統計方法不多述不多述

15 - 15 - 8989


結論結論

1.1. 因子實驗設計因子實驗設計 (factorial design)(factorial design)

2.2. 解說因子間的交互作用項解說因子間的交互作用項3.3. 兩因子變異數分析兩因子變異數分析 analysis of variance (Aanalysis of variance (A

NOVA)NOVA)

4.4. ANOVAANOVA 假設之檢驗假設之檢驗常態分配之檢驗常態分配之檢驗變異數一致性之檢驗變異數一致性之檢驗

15 - 15 - 9090


關於本課程關於本課程 ......

1.1. 你此堂課學到的最重要的觀念為何你此堂課學到的最重要的觀念為何 ??

2.2. 是否還有相關問題與疑問是否還有相關問題與疑問 ??

3.3. 如何改善今後的學習如何改善今後的學習 ??

請你靜下來想一想並回答下列問題請你靜下來想一想並回答下列問題 ::

變異數分析 ( 二 )

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