第四章 态和力学量的表象
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第四章 态和力学量的表象. 量子态的不同表象 力学量算符的矩阵表示 量子力学公式的矩阵表示. 4.1 态的表象. 表象 : 量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象. 一个粒子的态完全可由归一化的波函数 ψ ( r , t ) 来描述, 将 ψ ( r , t ) 称为 坐标表象 。下面将讨论用动量为 变量 描述波函数。. c ( p , t ) 为展开系数, ψ p ( x ) 是动量的本征函数. 表示在. 所描写的态中测量粒子动量所. 结果在 范围内的几率. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
第四章 态和力学量的表象
1.量子态的不同表象
2.力学量算符的矩阵表示
3. 量子力学公式的矩阵表示
2
表象 : 量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象
4.1 态的表象
一个粒子的态完全可由归一化的波函数 ψ(r, t) 来描述, 将 ψ(r, t) 称为坐标表象。下面将讨论用动量为变量描述波函数。
)exp()2(
1)(
2/1px
ixp
dpxtpctx p )(),(),(
c(p, t) 为展开系数, ψp(x ) 是动量的本征函数
3
c(p, t) 和 (r, t) 描述的是粒子态同一个状态, (r, t) 是这个状态在坐标表象中的波函数,而 c(p, t) 为同一状态在动量表象中的波函数。
)(),(),( dxxtxtpc p
),(2dptpc ),( tx表示在 所描写的态中测量粒子动量所
结果在 范围内的几率 dppp
如果 (x,t) 描述的状态是具有动量 p 的自由粒子的状态
4
)exp()(),( 'tEi
xtx pp
tEi
p
tEi
p
pp
eppdxxextpc'
)'()()(),( '
在动量表象中,具有确定动量 p 的粒子波函数是 函数。
同样,在坐标表象中,具有确定坐标 x 的粒子波函数也是 函数。
)()( xxxxxx
)()( pppppp
5
解:首先对波函数进行归一化
1)(22 dxAxedxx x
32
0
22 4 1
AdxexA x
0 ,0
0 ,)(
x
xAxex
x
例题:一维粒子运动的状态是
求:( 1 )粒子动量的几率分布;
( 2 )粒子的平均动量
6
)()()( dxxxpc p
2
0
/3
dxexe xipx x
)(
1
2
2
33
ip
动量的几率分布为
)(
1
2)(
2222
332
ppcw xp
7
动量的平均值为
)(ˆ)(* xpxp
0)(0
222 dxexxAi x
另一种解法
)()()(ˆ)( ** xx
xixpxp
pxx
xi
)()( *
0p
8
考虑任意力学量 Q 本征值为 1, 2,…, n…, 对应的本征函数 u1(x), u 2 (x),… u n (x) …, 则任意波函数( x )按 Q 的本征函数展开为
),(),( xuatx nn
n
,),()()( dxtxxuta mm
dxxuxutatadxtx nmnm
mn )()()()(),( *
,
*2
)()()()( *
,
* tatatatan
nnmnnm
mn
如果( x )和 un (x) 都是归一化的,则
9
1)()(* tatan
nn所以
2
na 在( x )所描写的量子态中测量力学量 Q 所得的
结果为 Qn 的几率
... ),( ..., ),( ),( ),( 321 tatatata n数列
就是( x )所描写的量子态中在 Q 表象中的表示
10
)(
)(
)(
2
1
ta
ta
ta
n
共轭转置矩阵 ... ),( ..., ),( ),( **2
*1 tatata n
1波函数的归一化表示成
11
如果力学量 Q 除了有分立的本征值,还有连续的本征值,则
dxxtaxtatx qqn
nn )()()()(),(
其中 dxxtxta nn )(),()( *
dxxtxta qq )(),()( *
归一化可表示为
1)()()()( ** dqtatatata qqn
nn
12
直角坐标系中,矢量 A 的方向由 i, j, k 三个单位矢量基矢决定,大小由 Ax, Ay, Az 三个分量(基矢的系数)决定。
在量子力学中,选定一个 F 表象,将 Q 的本征函数 u1(x), u2(x),
… un(x),… 看作一组基矢,有无限多个,大小由 a1(t), a2(t), …a
n(t),… 系数决定。
常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象
所以,量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的空间函数,基矢是正交归一的波函数。数学上称为希尔伯特( Hil
bert )空间 .
13
例 质量为 m 的粒子在均匀力场 V(x) = Fx (F>0) 中运动,试在
动量表象中粒子的波函数。
解:Fx
m
PVTH
2
2
在动量表象中,坐标 x 的算符表示为dp
dix ˆ
dp
dFi
m
PFx
m
PH
22ˆ
22
14
定态的薛定谔方程
)()()(2
2
pEpdp
dFip
m
p
)
6(exp)(
3
Epm
p
F
iAp
动量表象中粒子的函数
变到坐标表象中,则波函数为
dpepx ipx
/)(
2
1)(
15
dpp
F
Ex
mF
piAp )(
6(exp
2)(
3
0
3
)(6
(cos2
2dp
p
F
Ex
Fm
pA
0
3
3cos duu
uA
3/12
3/1 )2
)(/( ,)2(
mF
FExmFpu
其中
( Ariy 函数)
16
4. 2 算符的矩阵表示
),(),(ˆ txtxF
在 Q 表象中, Q 的本征值分别为 Q1 , Q2 , Q3 ,… Qn…, 对
应的本征函数分别为 u1(x), u2(x),… un(x),….
将 (x,t) 和 (x,t) 分别在 Q 表象中按 Q 的本征函数展开
)(),( xuatx mn
m
)(),( xubtx mm
m
17
)(ˆ )( xuaFxub mm
mmm
m
dx )()(* xuxub mm
nm )()(ˆ)(* dxxutaFxu mm
mn
)( )(ˆ)()( * tadxxuFxutb mmm
nn
两边同乘以 , 并在整个空间积分)(* xun
利用本征函数 un(x) 的正交性 nmmn dxxuxu )()(*
18
引进记号 )(ˆ)(* dxxuFxuF mnnm
这就是 ),(),(ˆ txtxF 在 Q 表项中的表述方式
表示成矩阵的形式:
)(
)(
)(
)(
2
1
2221
1211
2
1
ta
ta
FF
FF
tb
tb
m
mnmn taFtb )(ˆ)(得
19
矩阵 Fnm 的共轭矩阵表示为
)](ˆ)[( ** dxxuFxuF mnnm 因为量子力学中的算符都是厄米算符,
dxxuxuFdxxuFxuF nmmnnm )()](ˆ[ )](ˆ)[( ***
)(ˆ)(* dxxuFxu nm
mnnm FF *即
将满足该式的矩阵称为厄密矩阵
20
**)~
( nmmnmn FFF
若在转置矩阵中,每个矩阵元素用它的共轭复数来代替,得到的新矩阵称为 F 的共轭转置矩阵,简称为共扼矩阵
nmmn FF ~Fnm 的转置矩阵为
mnnm FF *
根据厄密矩阵的定义
所以mnmn FF
21
例 求一维无限深势阱中(宽度为 a )粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元
解:在能量表象中
)()( xExH
能量的本征值及本征函数为
xa
n
ama
nE nn
sin
2 ,
2 2
222
22
)(ˆ)(* dxxupxup mnnm
a
nm xdxa
m
xix
a
n
ap
0)sin()()sin(
2
a
nm xdxa
mxx
a
n
ax
0)
2sin()
2sin(
2
)(ˆ)(* dxxuxxux mnnm
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(x)dxu(x)Qu(x)dx(x)QuuQ mmnmnnm
Q 在自身表象中的矩阵元
)()( xuQxQu mmm
Qm 为 Q 在自身空间中的的本征值
nmmmnm δQ(x)dx(x)uuQ
结论:算符在自身的表象中是一个对角矩阵
24
如 x 在坐标空间中可表示为
)'(' xxxxmn
)'(')(')( pp' pppdxxpxp
动量 p 在动量空间中表示为
一维谐振子能量表象中能量的矩阵元
............
0500
0030
0001
2
1 mnE
25
如果 Q 只具有连续分布的本征值 q ,那么算符 F 在 Q 表象中依然是一个矩阵:
)(ˆ)(* dxxuFxuF qqqq 这个矩阵的行列不再可数,而是用连续变化的下标来表示
在动量表象中,算符 F 的矩阵元为:
dxxxi
xFxF pppp )(),(ˆ)(*
)exp()2(
1)(
2/1px
ixp
其中 ψp(x ) 是动量的本征函数
26
4.3 量子力学公式的矩阵表述1. 平均值公式
nnn xutatx )()(),(
m
mm xutatx )()(),( ***
dxxutaFxutatxFtxF nnm
nm
m )()(ˆ)()(),(ˆ),( *
,
**
)()(ˆ)()(,
** tadxxuFxuta nnm
nmm
27
写成矩阵形式
)()(
),...(),( 2
1
2221
1211*2
*1
tata
FF
FF
tataF
简写为 FF
nm
nmnm taFtaF,
* )()(
28
2. 本征值方程
在量子力学中最重要的问题是找算符的本征值和本征函数。
首先,算符 F 的本征函数满足
)()(ˆ xxF
)()(
)()(
2
1
2
1
2221
1211
tata
tata
FF
FF
0)()(
2
1
2221
1211
tata
F
FF
FF
nn
29
0)()( n
nmnmn taaF
有非零解的条件是其系数行列式为零
0)det( knkn aA
这是一个线性齐次代数方程组
0
21
22221
11211
nnnn
n
n
FFF
FFF
FFF
这是一个久期( secular )方程。将有 1 , 2 …. n n 个解,就是 F 的本征值。
30
3. 矩阵形式的薛定谔方程
薛定谔方程 H
ti ˆ
不显含时间的波函数的能量表象 nn EH ˆ
波函数根据哈密顿本征函数展开
n
nn xutatx )()(),(代入薛定谔方程
)()(ˆ)( xutaHxut
ai nn
nn
n
n
31
两边同乘以 mu 并积分
)()(
taHt
tai mmn
n
m
)()(ˆ)()()( ** tadxxuHxudxxuxut
ai n
nnmnm
n
n
)(
)()()(
2
1
2221
1211
2
1
tata
HH
HH
tata
dt
di
Hdt
di 简写为 H, 均为矩阵元。
32
例题: 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数
线性谐振子的总能量为
222
2
1
2xm
m
pH x
解法一:在动量表象中,x 的算符表示为: dp
dix ˆ
则 H 算符表示为 2
22
22
22ˆ
dp
dm
m
pH
定态的薛定谔方程写为
)()(2
1)(
2 2
222
2
pEcpcdp
dmpc
m
p
33
c(p) 是动量表象中的本征函数
0)()2
(1
)(2
2
222
22
pcm
pE
mpc
dp
d
m
仿照一维谐振子坐标空间的求解方法可解出 c(p) 。
34
例:设已知在 和 的共同表象中,算符 的矩阵为:2L̂ xL̂zL̂
010
101
010
2
2xL
求 的本征值和归一化的本征函数,最后将矩阵 对角化 xL̂ xL̂
解:设 的本征态为 xL̂
3
2
1
a
a
a
其本征方程为:
3
2
1
3
2
1
ˆ
a
a
a
a
a
a
Lx
35
3
2
1
010
101
010
2
2
a
a
a
即
32
231
12
2
2
)(2
2
2
2
aa
aaa
aa
分别有
36
321 ,, aaa欲求 的非零解,其系数行列式为零:
0
2
20
2
2
2
2
02
2
023 得
37
;;0
是 的本征值 xL̂
把解得的值代入本征方程,可以得到 a1 , a2 , a3 值
本征态为
1
2
1
2
1
0 本征态为
1
0
1
2
1
38
1
2
1
2
1本征态为
矩阵 对角化矩阵为 xL̂
100
010
000
2
2
39
习题:第 130 页
1 、 2 、 3 、 4