지수함수와 로그함수

지수함수와 로그함수지수함수와 로그함수

지수함수와 로그함수의 도함수

로그함수의 미분법칙 자연로그함수 y=lnt 의 도함수는 다음과 같음 .

= lnt=

- 이것을 증명하기 위해 , 변수 t 의 증분 ⊿ t 에

대응하는 y 의 증분을 ⊿ y 라 하면 , 로그법칙에 의해

= = ln = ln 1+

dydt

1t

⊿y⊿t

ln(t+ t)-lnt⊿⊿t

1⊿t

t+ t⊿t

1⊿t

⊿tt

ddt



로그함수의 미분법칙 - 그런데 , 여기서 h= t/t⊿ 라 하면 , 로그법칙에 의해

ln 1+ = ln(1+h)= ln(1+h)1/h

- 또한 ⊿ t 가 0 에 무한히 접근하면 , h 도 0 에 접근

함 .

= = ln(1+h)1/h= lne=

즉 , = (t0)

dydt

⊿y⊿t

dlntdt

1t

1⊿t

⊿tt

1t

1h

1t

lim

⊿t0

lim

h0

1t

1t

1t



로그함수의 미분법칙 로그함수의 미분공식은 다음과 같음 .

lnt= , logbt= , lntk=

미분법칙의 일반화 - 주어진 함수 y=lnf(t) 에서 연쇄관계를 형성하도록 우선 , v=f(t) 라 하면 , y=lnv 가 됨 . - 그러면 연쇄법칙에 의해 다음을 얻음 .

lnf(t)= lnv= = f(t)=

ddt

dlnvdv

ddt

1t

1tlnb

kt

f(t)f(t)

ddt

ddt

ddt

1f(t)

dvdt



로그함수의 미분법칙 예 1 : 함수 y=ln(at) 의 도함수 (dy/dt)

= ln(at)= =

실제로 , 미분법칙에 의하면 ln(at)=lna+lnt

이고 , lna 는 상수임 .

이것은 로그식 안에 있는 t 에 곱해진 상수는

미분 연산과정에서 없어짐 .

dydt

1t

ddt

aat



로그함수의 미분법칙 예 2 : 함수 y=klnt 의 도함수 (dy/dt)

klnt=k lnt=

로그식 밖에서 곱해진 상수는

미분연산과정에서 그대로 남음 . 예 3 : 함수 y=lntc 의 도함수 (dy/dt) 여기서 f(t)=tc 이면 , f(t)=ctc-1 이므로 , 공식에 의해

lntc= = =

kt

ddt

ddt

ddt

ct

ctc-1

tc

f(t)f(t)



로그함수의 미분법칙 예 4 : 함수 y=t3lnt2 의 도함수 (dy/dt) 이 함수는 2 개의 인수 t3 과 lnt2 의 곱으로 이루어져 있기 때문에 , 곱의 미분공식에 적용하면 ,

=t3 lnt2+(lnt2) t3

=t3 +(lnt2)(3t2) =2t2+(2lnt)(3t2) [ 로그법칙 3 에 의해 ] =2t2+6t2lnt=2t2(1+3lnt)

dydt

ddt2tt2

ddt



로그함수의 미분법칙 미분법칙의 일반화 : 밑수가 b 인 경우

- 함수 y=logbf(t)= 이면 , = 가 됨 .

예 5 : 함수 y=log10(t2+4) 의 도함수 (dy/dt) 여기서 f(t)=t2+4 라 하면 , f(t)=2t 이므로 ,

= dydt

1ln10

2tt2+4

lnf(t)lnb

dydt

1lnb

f(t)f(t)



로그함수의 미분법칙

예 6 : 함수 y=tlog5(t2/1+t) 의 도함수 (dy/dt)

여기서 v=log5 이라면 , = (tv)=v+t

로그법칙에 의하여 v=log5 =log5t2-log5(1+t)

그러므로 = -

= =

따라서 =log5 +

dvdt

dydt

t2

1+tdydt

ddt

dvdt

t2

1+t1

ln52tt2

1ln5

11+t

1ln5

2(1+t)-tt(1+t)

2+tt(1+t)ln5

t2

1+t2+t

t(1+t)ln5



지수함수의 미분법칙 자연지수함수 y=et 의 도함수는 다음과 같음 .

= et=et

- 이것을 증명하기 위해 , 우선 정의식에 의하여 y=et t=lny - 앞에서 자연로그함수의 미분공식에 의하여

= =

dydt

dtdy

d(lny)dy

1y

ddt



지수함수의 미분법칙 - 따라서 역함수의 미분법칙에 의해 다음이 성립함 .

= et= = =y=et

지수함수의 미분법칙은 다음과 같음 .

et=et, bt=btlnb

dydt

ddt

1dt/dy

11/y

ddt

ddt



지수함수의 미분법칙 미분법칙의 일반화

- y=ef(t) 일 때 , = ef(t)=f(t)ef(t)

- y=bf(t)=ef(t)lnb 일 때 , = bf(t)=f(t)bf(t)

예 1 : 함수 y=ert 의 도함수 (dy/dt) 여기서 f(t)=rt 라고 하면 , 따라서 f(t)=r 임 .

= ert=rert

dydt

ddt

dydt

ddt

dydt

ddt



지수함수의 미분법칙 예 2 : 함수 y=Aert 의 도함수 (dy/dt) 여기서 f(t)=rt 라고 하면 , 따라서 f(t)=r 임 .

= Aert=rAert

예 3 : 함수 y=e-t 의 도함수 (dy/dt) 여기서 f(t)=-t 라고 하면 , 따라서 f(t)=-1 임 .

= e-t=-e-t

dydt

ddt

dydt

ddt



지수함수의 미분법칙 예 4 : 함수 y=21-t 의 도함수 (dy/dt) 여기서 b=2, f(t)=1-t 이며 , 따라서 f(t)=-1 임 .

= 21-t=-21-tln2

예 5 : 함수 y=121-t 의 도함수 (dy/dt) 여기서 b=12, f(t)=1-t 이며 , 따라서 f(t)=-1임 .

= 121-t=-121-tln12

dydt

ddt

dydt

ddt



고계도함수 (higher derivatives) 지수함수의 고계도함수는 다른 함수형태의 도함수와 마찬가지로 미분을 반복하여 얻어진 결과임 . - 지수함수 y=bt (b1) 일 때 , 1 계도함수는 앞에서 살펴본 바와 같이 y(t)=btlnb( 여기서 lnb 는 상수 ) 임 . - 따라서 2 계도함수는 t 에 관하여 한번 더 미분하면 ,

y(t)= y(t)=( bt)lnb=(btlnb)lnb=bt(lnb)2

ddt

ddt



고계도함수 (higher derivatives) - 한편 , y=et 일 때 , 1 계도함수는 다음과 같음 . y(t)=et

- 따라서 2 계도함수는 t 에 관하여 한번 더 미분하면 ,

y(t)= y(t)=( et)=et

- 결국 , et 의 고계도함수는 항상 그 자체가 도함수임 .

ddt

ddt



고계도함수 (higher derivatives) 로그함수의 고계도함수는 다른 함수형태의 도함수와 마찬가지로 미분을 반복하여 얻어진 결과임 . - 로그함수 y=lnt 일 때 , 1 계도함수는 앞에서 살펴본 바와 같이 y(t)=1/t=t-1 임 . - 따라서 2 계도함수는 t 에 관하여 한번 더 미분하면 ,

y(t)= y(t)= t-1=-t-2=

ddt

ddt

-1t2



고계도함수 (higher derivatives)

예 1 : y=logbt 의 1 계도함수 (dy/dt) 와 2 계도함수

(d2y/dt2)

y(t)= logbt=

y(t)= = ( )= =

ddt

1 tlnb

1t

d2ydt2

1 lnb

ddt

1 lnb

-1t2

-1 t2lnb



응용 (an application) 로그의 주요한 특징 중의 하나는 곱셈을 덧셈으로 , 나눗셈을 뺄셈으로 바꿀 수 있다는 점임 .



응용 (an application) 예 1 : 다음의 함수에서 도함수 dy/dx 를 구하면 ,

y=

- 우선 , 양변에 자연로그를 취하면 다음과 같은 함수가

됨 . lny=lnx2-ln(x+3)-ln(2x+1)

- 좌변을 x 에 대해 미분하면 , ( 좌변 )=

- 우변은 ( 우변 )= - - =

ddx

1y

x2

(x+3)(2x+1)

dydx

ddx

2xx2

7x+6x(x+3)(2x+1)

1 x+3

2 2x+1



응용 (an application) - 앞의 두 결과를 같게 놓으면 ,

( 좌변 )= ( 우변 )

=

- 이제 , 양변에 y 를 곱하면 , = y

= =

ddx

1y

x2

(x+3)(2x+1)

dydx

dydx

7x+6x(x+3)(2x+1)

ddx

7x+6x(x+3)(2x+1)

7x+6x(x+3)(2x+1)

x(7x+6)(x+3)2(2x+1)2



응용 (an application) 예 2 : 다음의 함수에서 도함수 dy/dx 를 구하면 , y=xaekx-c

- 우선 , 양변에 자연로그를 취하면 다음을 얻음 . lny=alnx+lnekx-c=alnx+(kx-c)lne=alnx+kx-c - 좌변을 x 에 대해 미분하면 , ( 좌변 )=

- 우변을 x 에 대해 미분하면 , ( 우변 )= +k

- 즉 , =( +k)=( +k)xaekx-c

ddx

1y

dydx

ddx

ax

dydx

ax

ax


최적시점의 선택 (optimal timing)

포도주 저장의 문제 (a problem of wine storage) - 포도주 업자가 특정량의 포도주를 보유하고 있고 , 현시점 (t=0) 에서 이것을 K 원에 팔거나 , 또는 일정 기간 저장 후 더 높은 가격에 판매한다고 가정함 . - 그리고 포도주 가치 (V) 는 다음과 같이 시간의 증가함수임 . V=Ke [=Kexp(t1/2)] - 만약 t=0 이면 ( 현시점에서 판매하면 ), V=K 임 . - 그러나 문제는 저장비용 (storage cost) 이 0 일 때 , 이윤 극대화를 위한 포도주의 판매시점을 결정하는 것임 .

√t



포도주 저장의 문제 (a problem of wine storage) - 포도주 업자는 이미 포도주 대금을 지불하였고 , 저장 비용은 없다고 하였기 때문에 , 이윤극대화는 곧 판매 수익 또는 포도주의 가치를 극대화하는 것임 . - 이제 연속복리 계산의 기준이 되는 이자율을 r 이라고 하면 , 포도주가치 (V) 의 현재가치는 다음과 같음 . A(t)=Ve-rt=Ke e-rt=Ke 여기서 현재가치 A 는 그 자체가 t 의 함수임 . - 그러므로 문제는 A 를 극대화하는 t 값을 찾는 것과 같음 .

√t √t- rt



극대화조건 (maximization conditions) - 앞에서 다룬 현재가치의 극대화조건은 1 계도함수와 2 계도함수로 구할 수 있음 . - 이를 위해 , 우선 앞의 식 A(t)=Ke 양변에 자연로그를 취하면 , lnA(t)=lnK+lne =lnK+(t1/2-rt) - 이제 , 양변을 t 에 관해서 미분하면 ,

= t-1/2-r 또는 =A( t-1/2-r)

√t- rt

t- rt√

1A

dAdt

12

dAdt

12



극대화조건 (maximization conditions)

- 앞의 식에서 A0 이기 때문에 , 1 계조건인 =0 을

만족

하기 위한 필요충분조건은 다음과 같음 .

t-1/2=r 또는 =r 또는 =√ - 포도주의 최적저장기간은 다음과 같음 .

t*=( )2=

- 만약 r=0.10 이면 t*=25 이므로 포도주업자는

포도주를 25 년간 저장한 후 , 판매해야 이윤을 극대화할 수 있음 .

t

12

dAdt

t1

2√12r

12r

14r2



극대화조건 (maximization conditions) - 앞의 식에서 , 이자율 ( 할인율 ) 과 최적저장기간 간에는 반비례함을 알 수 있음 . - 즉 , 이자율 ( 할인율 ) 이 높으면 높을수록 이윤을 극대화 하는 포도주의 저장기간은 짧아지게 됨을 의미함 . - 여기서 이윤극대화의 1 계조건 1(2/√)=r 의 경제적 의미 는 , 이 식의 좌변은 단순히 포도주가치 V 의 증가율을 나타냄 .

t



극대화조건 (maximization conditions) - [ 그림 10.4] 에 예시된 바와 같이 , 포도주의 저장이익이 완전히 없어질 때까지 포도주를 보유하는 것 , 즉 ( 체감 하는 ) 포도주가치의 증가율이 현금판매수입액에 대한 ( 일정한 ) 이자율과 같게 되는 시점까지 기다리는 것임 .



극대화조건 (maximization conditions)



극대화조건 (maximization conditions) - 이제 , t* 의 값이 A 가 극대이기 위한 2 계조건을 구하기 위하여 , A 의 2 계도함수는 다음과 같음 .

= A( t-1/2-r)=A ( t-1/2-r)+( t-1/2-r)

- 그러나 1 계조건에서 dA/dt=0 이므로 , 위 식의

마지막 항은 0 이 됨 . 결국 , 다음과 같이 됨 .

=A ( t-1/2-r)=A(- t-2/3)=-

- 위 식에서 A0, t0 이므로 , 0 임 .

d2Adt2

ddt

12

ddt

dAdt

12

12

d2Adt2

ddt

12

14

14√t3

d2Adt2



재목 벌채의 문제 (a problem of timber cutting) ( 어떤 토지에 육성된 ) 재목의 가치는 다음과 같이 시간 t 의 증가함수라고 가정하면 , V=2 여기서 단위는 1,000 만원 , 할인율은 r, 재목이 성장하는 기간동안 유지비는 없을 때 , 재목 벌채의 최적시점 ? - 우선 , V 를 현재가치로 나타내면 다음과 같음 . A=Ve-rt=2 e-rt

√t

√t



재목 벌채의 문제 (a problem of timber cutting) - 앞의 식의 양변에 자연로그를 취하면 , lnA=ln2 +lne-rt=√ ln2-rt=t1/2ln2-rt - A 를 극대화하기 위해서 1 차조건 dA/dt=0 을 구하면 ,

(lnA)= t-1/2ln2-r

= t-1/2ln2-r

=A( t-1/2ln2-r)=0

√t t

ddt

12

1A

dAdt

12

dAdt

12



재목 벌채의 문제 (a problem of timber cutting) - A0(A0) 이기 때문에 , dA/dt=0 이 만족하기 위해서는

t-1/2ln2-r=0 t-1/2ln2=r

- 따라서 최적시점은 다음과 같이 구할 수 있음 .

t*=( )2

ln22r

12

12



재목 벌채의 문제 (a problem of timber cutting) - 한편 , A 를 극대화하기 위한 2 차조건은 다음과 같음 .

=( t-1/2ln2-r) +A ( t-1/2ln2-r)

=( t-1/2ln2-r) - At-3/2ln2

- 위 식의 첫 번째 항은 앞에서의 1 차조건에서 0

이므로 , 2 차조건은 다음과 같이 쓸 수 있음 .

=- At-3/2ln20

- 따라서 앞에서 구한 t* 는 최적시점이 됨 .

ddt

14

dAdt

12

12

12

d2Adt2

dAdt

d2Adt2

14



재목 벌채의 문제 (a problem of timber cutting) - 예를 들어 , 만약 r=0.05 일 때 최적시점과 현재가치는 다음과 같음 .

t*=( )2=(6.931)2=48.0 년

A*=26.931e-0.05(48.0)=(122.0222)e-2.40

=122.0222(0.0907)=11.0674 원 ( 단위 1,000 만 )

- 따라서 식목비용이 A* 보다 작은 경우에만 비로소

식목 할 가치가 있음 ( 유지비용은 없다고 가정 ).

0.69310.10


지수 및 로그의 도함수에 관한 기타 응용

성장률을 구하는 방법 만약 변수 y 가 시간의 함수 , 즉 y=f(t) 일 때 순간성장률 ( 일정시점에서의 성장률 ) 은 다음과 같이 정의됨 .

ry = =

- 위 식은 lnf(t) 와 같음 . - 즉 , 변수 y 의 성장률은 함수식에 자연로그를 취한 후 , 이를 시간 t 에 관하여 미분함으로써 구할 수 있음 .

dy/dty

f(t)f(t)

한계함수총함수

ddt



성장률을 구하는 방법 예 1 : V=Aert 의 성장률을 구하라 . ( 단 , t 는 시간 ) - 우선 , 위 식의 양변에 자연로그를 취하면 , lnV=lnA+rtlne=lnA+rt (A 는 상수 ) - 그러므로 다음과 같은 결과를 얻음 .

rV= lnV=0+ rt=r

- 따라서 V 의 성장률은 r 이 됨을 알 수 있음 .

ddt

ddt



성장률을 구하는 방법 예 2 : y=4t 의 성장률을 구하라 . ( 단 , t 는 시간 ) - 마찬가지로 , 위 식의 양변에 자연로그를 취하면 , lny=ln4t=tln4 - 그러므로 다음과 같은 결과를 얻음 .

ry= lny=ln4

- 이 식은 eln44 이므로 , 따라서 y=4t 은 y=e(ln4)t 로

다시 쓸 수 있음 . 이로부터 y 의 성장률은 (ln4) 임 .

ddt



함수들이 결합된 경우의 성장률 ( 복합함수의 성장률 ) 시간의 함수인 두 함수의 곱 , 즉 y=uv 단 , u=f(t), v=g(t) 임 . - 두 함수 곱의 성장률을 얻기 위해 , 양변에 자연로그를 취하면 , lny=lnu+lnv - 따라서 성장률은 다음과 같음 .

ry= lny= lnu+ lnvddt

ddt

ddt



함수들이 결합된 경우의 성장률 ( 복합함수의 성장률 ) - 그러나 우변의 두 항은 각각 u 와 v 의 성장률임 . - 그러므로 다음과 같은 법칙을 얻음 .

r(uv)=ru+rv

- 즉 , 함수들의 곱의 순간성장률은 각각의 함수에 대한 순간성장률들의 합과 같음을 의미함 . - 마찬가지 방법으로 , 함수들의 몫의 순간성장률은 각 함수들의 성장률간의 차와 같음을 의미함 .

r(u/v)=ru-rv



함수들이 결합된 경우의 성장률 ( 복합함수의 성장률 ) 예 3 : 소비 C 의 증가율은 이고 , 인구 H 의 증가율은 라고 하면 , 1 인당 소비증가율은 얼마인가 ? - 1 인당 소비는 C/H 이므로 그 증가율은 다음과 같음 .

r(C/H)=rC-rH=-



함수들이 결합된 경우의 성장률 ( 복합함수의 성장률 ) 다음으로 , 시간의 함수인 두 함수의 합 , 즉 z=u+v 단 , u=f(t), v=g(t) 임 . - 두 함수 합의 순간성장률을 구하기 위해 , 양변에 자연 로그를 취하면 , lnz=ln(u+v) (lnu+lnv) - 따라서 성장률은 다음과 같음 .

ry= lnz= ln(u+v)= (u+v)= [f(t)

+g(t)]

ddt

ddt

1u+v

ddt

1u+v



함수들이 결합된 경우의 성장률 ( 복합함수의 성장률 ) - 그러나 앞에서 순간성장률은 총함수에 대한 한계함수

이므로 , 즉 ru=f(t)/f(t) 이므로 f(t)=f(t)ru=uru 임 .

- 마찬가지로 g(t)=g(t)rv=urv 임 .

- 결과적으로 다음과 같은 법칙을 얻음 .

r(u+v)= ru+ rv

- 함수들의 합의 성장률은 각 함수의 성장률들의 가중 평균 (weight average) 임 .

uu+v

uu+v



함수들이 결합된 경우의 성장률 ( 복합함수의 성장률 ) - 그 뿐만 아니라 , 다음과 같이 함수들의 차의 성장률을 얻을 수 있음 .

r(u-v)= ru- rv

uu-v

uu-v



함수들이 결합된 경우의 성장률 ( 복합함수의 성장률 ) 예 4 : 한 국가의 재화수출 G=G(t) 의 증가율이 a/t이고 , 용역수출 S=S(t) 의 증가율은 b/t 라고 하면 , 총수출의 증가율은 얼마인가 ? - 총수출은 합계 X(t)=G(t)+S(t) 이므로 , 증가율은 다음과 같음 .

rX= rG+ rS

= + =

Ga+SbXt

GX

SX

GX

at

SX

bt



점탄력성을 구하는 방법 앞에서 살펴본 바와 같이 자연로그함수의 미분공식

=

- 위 식을 변형하면 , 즉 lny 의 미분은 다음과 같음 .

dlny= dy

- 마찬가지로 , lnx 의 미분은 다음과 같음 .

dlnx= dx

dlnyy

1y

1y

1y



점탄력성을 구하는 방법 - 한편 , 어떤 함수 y=f(x) 의 점탄력성 (point elasticity)은 다음과 같음 .

yx= =

- 이를 다시 정리하면 , 다음과 같음 .

yx=

d(lny)d(lnx)

dydx

xy

dyy

xdx



점탄력성을 구하는 방법 예 5 : 주어진 함수 Q=k/P( 단 , k 는 양의 상수 ) 에서 수요의 점탄력성을 구하라 . - 우선 , 수요함수의 양변에 자연로그를 취하면 , lnQ=lnk-lnP - 따라서 (P 에 대한 Q 의 ) 수요의 점탄력성은 다음과 같음 .

d= =-1

- 직각쌍곡선형태의 수요곡선은 항상 단위탄력적임 .

d(lnQ)d(lnP)

지수함수와 로그함수

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