多人数一括ＤＮＡプロファイリングのための

確率計算法に関する考察法数学勉強会

2011/09/10京都大学大学院医学研究科

統計遺伝学分野奈良原舞子　山田　亮

状況• 大災害が発生• 多数の行方不明者• 多数の身元不明遺体• 外見や所持品などから身元が特定された

遺体はすでに遺族に返還されている。• 残っている遺体の手がかりは、主に遺伝

情報

使えるデータ• 遺体– ジェノタイプ– 発見時の状況など

• 行方不明者– 家系情報– 家族のジェノタイプ

m1

b1

行方不明者　 Missing 身元不明者　

found Body

集団の誰か

個人の鑑定簡単に描くと

m1

.

..

..

.

m2

m3

..

..

..

mN

b1

b2

b3

bN

集団の鑑定行方不明者　 Missing

身元不明者　found Body

• N! = N×(N-1) ×(N-2) ×... ×2×1 通り– (m1,m2,...,mN)=(b(s1),b(s2),...,b(sN))– 割り付け方 :Si=(s1,s2,...,sN) が N! 通り

集団の鑑定N 人を N 体に割り付け

る

Si=(i1,i2,...,iN) という割り付け

m1 = b(s1) m2 = b(s2) m1 = b(s2)

mN = b(sN)

... ...

Si=(i1,i2,...,iN) という割り付けを

観察する確率は？

m1 = b(s1) m2 = b(s2) m1 = b(s2)

mN = b(sN)

... ...

P(m1=b(s1)) P(m3=b(s3))P(m2=b(s2))

P(mN=b(sN))

× ×

× × ×

N! 通りの確率• P(S1),P(S2),...,...,...,...,P(SN!)

• 最も大きな P(Si) となる Si は最尤推定割り付けがある

• N! 通りの割り付けのすべての確率を計算して、最大の場合を見つける？

N! 通りの確率• P(S1),P(S2),...,...,...,...,P(SN!)

• 計算する ...?– 1!=1– 2!=2– 3!=6– 4!=24– 5!=120– 6!=720– 7!=5040– 8!=40320– 9!=362880– 10!=3,628,800

• 3 百万

• 11!=39,916,800• 12!=479,001,600– 4.8 億

• 15!=1.3 x 1012

• 20!=2.4 x 1018

多すぎて N! 通りを計算できない

• N! 通りを計算しないで、最尤割り付けがわかる？– 重みづけ最適化・重みづけマッチング• ハンガリアン・アルゴリズムなど

最尤推定割り付けがわかればそれが「答え」なのか？

• P(Si) と P(Sj) とが第一位、第二位だとする– P(Si) と P(Sj) とが等しかったら…– P(Si) と P(Sj) とがほぼ等しかったら…– P(Si) と P(Sj) とが数倍の違いしかなかったら…

第１ , ２ ,…n 位割り付けがわかればそれが「答え」なのか？

• 「僅差」の割り付けがあったら、結局、どうしたらよいのかわからない

尤度が高い割り付けパターンを探すだけでは、解決しないかも

• ある家族– 「我が家の行方不明者 m は、遺体 b1,...,bN の

うちのどれか１体だと言えますか？それとも、言いかねますか？」

• ある遺体を保管しているところ– 「この遺体 b は、探されている行方不明者

m1,...,mN のだれか１人だと言えますか？それとも、言いかねますか？」

　 N=3 で考える• ３ 体の遺体と３人の不明者を割り付ける

場合の数

M1 M2 M3

仮説１

B1 B2 B3

仮説 2 B1 B3 B2

仮説 3 B2 B1 B3

仮説 4 B2 B3 B1

仮説 5 B3 B1 B2

仮説 6 B3 B2 B1

N=3 　の場合

確率行列

6 通りの割り付け

B1 B2 B3

M1 P （ M1=B1）

P （ M1=B2）

P （ M1=B2）

M2 P （ M2=B1）

P （ M2=B2）

P （ M2=B3）

M3 P （ M3=B1）

P （ M3=B2）

P （ M3=B3）

各仮説の尤度：３つのペア全てでジェノタイプ が一致する確率

仮説 2

M1 M2 M3

仮説１

B1 B2 B3

仮説 2 B1 B3 B2

仮説 3 B2 B1 B3

仮説 4 B2 B3 B1

仮説 5 B3 B1 B2

仮説 6 B3 B2 B1

N=3 　の場合

確率行列

6 通りの割り付け

B1 B2 B3

M1 P （ M1=B1）

P （ M1=B2）

P （ M1=B3）

M2 P （ M2=B1）

P （ M2=B2）

P （ M2=B3）

M3 P （ M3=B1）

P （ M3=B2）

P （ M3=B3）この仮説の尤度＝

P （ M1=B1 ） xP （ M2=B3 ） xP （ M3=B2 ）

M1 M2 M3

仮説１

B1 B2 B3

仮説 2 B1 B3 B2

仮説 3 B2 B1 B3

仮説 4 B2 B3 B1

仮説 5 B3 B1 B2

仮説 6 B3 B2 B1

N=3 　の場合

確率行列

6 通りの割り付け

B1 B2 B3

M1 P （ M1=B1）

P （ M1=B2）

P （ M1=B3）

M2 P （ M2=B1）

P （ M2=B2）

P （ M2=B3）

M3 P （ M3=B1）

P （ M3=B2）

P （ M3=B3）この仮説の尤度＝

P （ M1=B1 ） xP （ M2=B2 ） xP （ M3=B3 ）

M1=B1, それ以外の割り付けはなんでもあり仮説 1+2

M1 M2 M3

仮説１

B1 B2 B3

仮説 2 B1 B3 B2

仮説 3 B2 B1 B3

仮説 4 B2 B3 B1

仮説 5 B3 B1 B2

仮説 6 B3 B2 B1

N=3 　の場合

確率行列

6 通りの割り付け

B1 B2 B3

M1 P （ M1=B1）

P （ M1=B2）

P （ M1=B3）

M2 P （ M2=B1）

P （ M2=B2）

P （ M2=B3）

M3 P （ M3=B1）

P （ M3=B2）

P （ M3=B3）この仮説の尤度＝

P （ M1=B1 ） xP （ M2=B3 ） xP （ M3=B2 ）

M1=B1, それ以外の割り付けはなんでもあり仮説 1+2

行列式 (Determinant)

Wikipedia割り付けの場合ごとに掛け算をする「加える」要素と「引く」要素がある

パーマネント

割り付けの場合ごとに掛け算をする全部を「加える」

パーマネント• 行列式の計算は簡単で正確• この６通りの確率の和が３次正方行列の

パーマネント• パーマネントを求めるためのいくつかの

方法がある– 正確– 近似的

• 近似法を使うことでだいぶ速く計算できる。

パーマネントの計算方法• 今日は、割愛– 気になる方は• Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Permanent か

ら情報の入手は可能です

　近似法は速い

計算にかかる時間

近似法

正確法

（ sec ）

（ N: 行列サイズ）

Fluctuation of estimation• もとが N ｘ N 行列なら 2 ｘ N 個の L(All) が出る

– 各列和・各行和• その L(All) は推定値なので、誤差がある

– 最大値と最小値の差は 0.102

注：scale 調整後

パーマネント計算　近似法の精度

• 「真のパーマネント」を大きな行列で計算するのは非現実的なので、「真の精度」を評価するのは難しいのですが

これは別なパーマネント近似法ですが…

Approximating the Permanent with BeliefPropagation, by Bert Huang and Tony Jebara@ http://www.cs.columbia.edu/~bert/permanentTR.pdf

尤度の NxN 行列• 「 mi=bj 、あとは何でもあり」に対応する

(N-1)! 仮説の確率を合算する• この行列の各行の和は、どの行も等しい– 各行の和は以下の和• 「 mi=b1 、あとは何でもあり」• 「 mi=b2 、あとは何でもあり」• …• 「 mi=bN 、あとは何でもあり」

– これは「 mi も何でもあり、他も何でもあり」だから

尤度の NxN 行列• 「 mi=bj 、あとは何でもあり」に対応する

(N-1)! 仮説の確率を合算する• この行列の各列の和もやはり等しい• 各列の和は、各行の和とも等しい

行を列に入れ替えても同じこと家族が知りたいことにも、遺体保管者が知りたいことにも、答えられる• 行– ある家族

• 「我が家の行方不明者 m は、遺体 b1,...,bN のうちのどれか１体だと言えますか？それとも、言いかねますか？」

• 列– ある遺体を保管しているところ

• 「この遺体 b は、探されている行方不明者 m1,...,mN のだれか１人だと言えますか？それとも、言いかねますか？」

尤度割合の NxN 行列• 尤度の NxN 行列の各列の和、各行の和は

すべて等しいので、その値で、尤度の NxN行列のすべての成分を割ってやる

• それを「尤度割合の NxN 行列」とする– 各行、各列の和は、すべて１

２つの NxN 行列• 確率行列– P(mi = bj) の行列

• 尤度割合行列– 「 m1=b2 、あとは何でもあり」に対応する

(N-1)! 仮説の確率を合算

NxN の確率行列

B1 B2 B3 ・・・・

・・・・

・・・・

・・・・

・・・・

BN

M1 P （ M1=B1 ）

P （ M1=B2 ）

P （ M1=B2 ）

M2 P （ M2=B1 ）

P （ M2=B2 ）

P （ M2=B3 ）

M3 P （ M3=B1 ）

P （ M3=B2 ）

P （ M3=B3 ）

： ： ： ：

： ： ： ：

： ： ： ：

： ： ： ：

： ： ： ：MN P （ MN=B

1 ）P （ MN=B

2 ）P （ MN=B

3 ）

• 割り付けの計算のために正方行列がほしい。• 全ての遺体と行方不明者が１対１対応すると仮定• 仮定できなければ、足りない分を一般集団で補う

NxN 尤度割合行列• L(mi=bj) 　 / L(ALL) 　の　 NxN 行列ができ

る• 基準 v を満たしたペアの割り付けが決定

する– v = 0.99 としたら、

B1 B2 B3 B4 B5 ・・・・

・・・・

・・・・

BN

M1 0.9998 0.0000 0.0000

M2 0.0000 0.9953 0.0000

M3 0.0000 0.0000 0.7

M4 0.0000 0.0030 0.0000

M5 0.0001 0.0000 0.3

： ： ： ：

： ： ： ：

： ： ： ：MN 0.0000 0.0000 0.0000

行を列に入れ替えても同じこと家族が知りたいことにも、遺体保管者が知りたいことにも、答えられる• 行– ある家族

• 「我が家の行方不明者 m は、遺体 b1,...,bN のうちのどれか１体だと言えますか？それとも、言いかねますか？」

• 列– ある遺体を保管しているところ

• 「この遺体 b は、探されている行方不明者 m1,...,mN のだれか１人だと言えますか？それとも、言いかねますか？」

遺体引き取り　と　遺体引き渡し

• NxN 尤度割合行列のセルの値を使って、「遺体引き取り」「遺体引き渡し」の判断ができるだろう

• 閾値は…

処理フローMissings

血縁関係情報血縁者のＤＮＡ型

Bodies遺体のＤＮＡ型

確率行列

尤度割合行列

パーマネント計算

引き取り・引き渡し判定

simulation data

• 想定した全体– 全ての行方不明者： 104 人– 100 家系　＋　重複 4 家系

• 重複：行方不明者が複数いる家系• 手元のデータ– 100 家系のうち 68 家系（ incl. 重複３家系）

• 本当は全部使う予定だったが時間の関係で途中まで計算したところで割り付けをしたので家系も足りない状況になった。

– 104 人の不明者のうち、 54 人をランダムに選択– 家系も遺体も足りない状況

Simulation 　結果

• 正解のペア全： 30 ペア– v > 0.999 : 27 ペア　☆• 全て正解

– v > 0.9 : 1 ペア　！• 正解

– 家系として 0.999 を満たす• 1 家系ー２遺体　が該当

– 正解

0.999 で感度　27/30 　

ハズレなし

• permanent 計算後の確率（尤度比）が０でなかったペアの値を sort して plot したもの

同一家系の 2 人正解ペア

はずれペア

正解ペア

尤度比の自然対数　 vs 　 1/(1-p) の自然対数　（ p: 尤度割合）

可能性と課題• 可能性– 「事前確率」を取り込める

• 性別・所持品等の情報を容易に取り込める– 「一般化」

• 個人鑑定を同じ枠組みで考えることが (おそらく ) 可能• 課題– 申請のない行方不明者と発見されていない遺体の

とりあつかい– １家系に複数の行方不明者がいる場合

• 非独立な確率・・・行列を使った計算が苦手