第二十章 曲线积分
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第二十章 曲线积分. §1 第一型曲线积分. §2 第二型曲线积分. §1 第一型曲线积分. 一、问题的提出. 二、对弧长的曲线积分的概念. 三、对弧长曲线积分的计算. 四、几何与 物理意义. 一、问题的提出. 实例 : 曲线形构件的质量. 匀质之质量. 分割. 近似值. 求和. 精确值. 取极限. 二、对弧长的曲线积分的概念. 1. 定义. 被积函数. 积分和式. 积分弧段. 曲线形构件的质量. 2. 存在条件:. 3. 推广. 注意:. 4. 性质. (4). ( 5 ). 三、对弧长曲线积分的计算. 定理. 证略。. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第二十章 曲线积分第二十章 曲线积分§1 §1 第一型曲线积分第一型曲线积分
§2 §2 第二型曲线积分第二型曲线积分
§1 §1 第一型曲线积分第一型曲线积分
一、问题的提出一、问题的提出
二、对弧长的曲线积分的概念三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算
四、几何与物理意义四、几何与物理意义
一、问题的提出一、问题的提出实例 : 曲线形构件的质量
o x
y
A
B1nM
iM
1iM2M
1M
),( ii L
.sM 匀质之质量
分割 ,,,, 121 in sMMM
,),( iii s取 .),( iiii sM
求和 .),(1
n
iiii sM
取极限 .),(lim1
0
n
iiii sM
近似值
精确值
二、对弧长的曲线积分的概念
,),(
,),(
,
),(,.
,,,.
),(,
1
121
n
iiii
iii
iii
n
sf
sf
i
si
nLMMMLL
yxfxoyL
并作和
作乘积点个小段上任意取定的一
为第又个小段的长度为设第个小段分成把上的点用上有界在
函数面内一条光滑曲线弧为设
1. 定义
o x
y
A
B1nM
iM
1iM2M
1M
),( ii L
.),(lim),(
,),(,
),(,
,0
10
n
iiiiL
L
sfdsyxf
dsyxf
L
yxf
即记作线积分
第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在
时长度的最大值如果当各小弧段的
被积函数
积分弧段
积分和式
曲线形构件的质量 .),(L
dsyxM
2. 存在条件:
.),(
,),(
存在对弧长的曲线积分
上连续时在光滑曲线弧当
L dsyxf
Lyxf
3. 推广
曲线积分为上对弧长的在空间曲线弧函数 ),,( zyxf
.),,(lim),,(1
0i
n
iiii sfdszyxf
注意:
)(,)(.1 21 LLLL 是分段光滑的或若
.),(),(),(2121
LLLL
dsyxfdsyxfdsyxf
.),(
),(.2
L dsyxf
Lyxf
曲线积分记为
上对弧长的在闭曲线函数
4. 性质 .),(),()],(),([)1(
LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf
).(),(),()2( 为常数kdsyxfkdsyxkfLL
.),(),(),()3(21
LLL
dsyxfdsyxfdsyxf
).( 21 LLL
且在 L上 ( , ) ( , )f x y g x y ,
则 ( , )L
f x y ds ( , )L
g x y ds .
( , ) g( , )L L
f x y ds x y ds 与 都存在,(4)
L L( ) ( , ) .f x y ds f x y ds 且 ,
.
( 5)
( , y) s ( , )L L
f x d f x y ds 若 存在,则 也存在,
6 ( , y) sL
f x d ( )若 存在,L的弧长为s,
则存在常数c,使得
( , y) s=csL
f x d
三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算定理
且上有一阶连续导数在其中
参数方程为
的上有定义且连续在曲线弧设
, ],[ )( ),(
)( ),(
),(
,),(
tt
tty
tx
LLyxf
dtttttfdsyxfL
)()()]( ),([),( 22
)( 证略。
).(),(
:tytx
L这里, . t
. )()( 22 dtttds
曲线积分 定积分
(1) L : y=y(x), a≤x≤b
假设 y(x)C1([a, b]). 有
xxyxyxfsyxfb
aLd)('1))(,(d),( 2
( a < b )
xxys d)('1d 2
计算:
(2) L : x=x(y), c≤y≤d
假设 x(y)C1([c, d]). 有
yyxyyxfsyxfd
cLd)('1)),((d),( 2
( c < d )
yyxs d)('1d 2
例 1. 计算 .dsyL 其中 L 为 y2=2x 自点 (0, 0) 到点 (2,
2)的一段弧 .
xx
xsyL
d2
112d
2
0
解 1: 0≤x≤2,2 : xyL
xx
ys d
d
d1d
2
x
xd
2
11
y2=2x
0 2
2
y
x
xx d122
0 + )155(3
1
(3) L : x=(t), y=(t), ≤t≤
ttts d)(')('d 22
tttttfsyxfL
d)(')('))(),((d),( 22
( < )
注意 :
;.1 一定要小于上限定积分的下限
.,,),(.2 而是相互有关的不彼此独立中 yxyxf
.)(:)2( dycyxL
.)(1]),([),( 2 dyyyyfdsyxfd
cL )( dc
. .
),(: dyc
yyyx
L
. )(1 2 dyyds
特殊情形
.)(:)1( bxaxyL
. ).(
,: bxa
xyxx
L
. )(1 2 dxxds
.)(1)](,[),( 2 dxxxxfdsyxfb
aL )( ba
).(),(
:tytx
L
1. 曲线 . t
对弧长曲线积分的计算公式
dtttttfdsyxfL
)()()]( ),([),( 22
则
2. 曲线 .)(: bxaxyL
.)(1)](,[),( 2 dxxxxfdsyxfb
aL
.)(: dycyxL 3. 曲线
.)(1]),([),( 2 dyyyyfdsyxfd
cL
则
则
推广 : )().(),(),(: ttztytx
)(
)()()()](),(),([
),,(
222
dtttttttf
dszyxf
例 1. 计算 .dsyL 其中 L 为 y2=2x 自点 (0, 0) 到点 (2,
2)的一段弧 .
xx
xsyL
d2
112d
2
0
解 1: 0≤x≤2,2 : xyL
xx
ys d
d
d1d
2
x
xd
2
11
y2=2x
0 2
2
y
x
xx d122
0 + )155(3
1
解 2: 0≤y≤2,2
:2y
xL
yyysyL
d1d 2
0
2
yy
xs d
d
d1d
2
yy d1 2
)155(3
1
0 2
2
y
x
2
2yx
例 2. 计算 L
syx d)(
L: 连接 O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2) 的闭折线 OABO.
解: L 分段光滑
BOABOAL
ds=dx
2
1d)0(d)(
1
0 xxsyx
OA
OA: y=0, 0≤x≤1
O
2
A
By
x1
1
0d5))22((d)( xxxsyx
AB
AB: y=22x, 0≤x≤1
xys d'1d 2 xd55
2
3
2
0dd)( yysyx
BO
BO: x=0, 0≤y≤2
ds=dy
=2
252
3
2
1d)( Lsyx
)535(2
1
O
2
A
By
x
1
例 3. 计算 L
syx d)( 22 其中 L: x2+y2=a2.
L: x=acos t, y=asin t, 0≤t≤2
L
syx d)( 22
ttatatata d)cos()sin()sincos( 22222
0
22
taa d2
0
2
32 a
(4) 空间 R3 中的曲线: x=(t), y=(t), z=(t),
≤t≤
szyxf d),,(
xy
z
O
tttttttf d)()()()](),(),([ 222
( < )
例 4. 计算 .d)( 23 szyx
其中:从点 A(3, 2, 1) 到点 O(0, 0, 0) 的直线段 .
解:直线段 AO 方程:123
zyx
化成参数方程: x=3t, y=2t, z=t, 0≤t≤1.
ttttszyx d123))2()3((d)( 22221
0
323
tt d14311
0
3 144
31
例 52
,
: , (0,0) (1,1) .
LI yds
L y x
求
其中 从 到 一段
解
dxxxI )(1 21
0
2
.10: 2 xxyL
dxxx 21
041
)155(12
1
例 6
)20(.
,sin,cos:,)( 222
的一段
其中求
kz
ayaxdszyxI
解
).43(3
2 22222 kaka
dkaa
kaa
222
222222
)cos()sin(
sincos
2
0I
2
0
22222 )( dkaka
例 7
.0
,
,
2222
2
zyx
azyx
dsxI
为圆周其中
求
解 由对称性 , 知 .222 dszdsydsx
dszyxI )(31 222故
dsa3
2
.3
2 3a ),2( 球面大圆周长 dsa
例 8 ).(,sin
,cos: , 象限第椭圆其中求
tby
taxLxydsI
L
解
dttbtatbta 2220
)cos()sin(sincos
dttbtattab 222220
cossincossin
)(sin sin)(2
220
2222 tdbtbaab
,cos)( tatx .sin)( tbty
x
y
o a
b,sin)( tat .cos)( tbt
.2
0 t
L xyds
.)(3
)( 22
bababaab
]sin)[( sin)()(2
222220
222222
btbadbtbaba
ab
2
0
23222222
sin)(32
)(2
btba
baab
dttbtatbta 2220
)cos()sin(sincos
dttbtattab 222220
cossincossin
)(sin sin)(2
220
2222 tdbtbaab
L xyds
例 9 其中计算 . )( L
dsyx
解 .0)( x
的直线;到点点 )0,2( )0,0( : )1( AoL
的直线;到点点 )3,2( )0,2( : )2( BAL A
x
y
o 2
3B
(1) L: .20 ,0)( xxy
L dsyx )( dxx 2
0201 )0(
dxx2
0 .2
.0)( x(2) L: .30 ,2)( yyx
L dsyx )( dyy 3
0201 )2(
dyy 3
0 )2( .
221
例 10
.)2,1()2,1(,4:
,
2 一段到从其中
求
xyL
ydsIL
解
dyy
y 22
2)
2(1
.0
xy 42
x
y
o 1
2
2
.22 ,4
)( :2
yy
yxL
.2
)(y
y
L ydsI
dyy
y4
12
2
2
例 11
解
直其中曲线计算 , . 222
22
ayxdseL
yx
形边界。在第一象限中所围的图线 ,0 xyx
dseL
yx
22
x
y
o
2 2 a
AB
.0 ,0 : ayxoA .0x
dseoA
yx 22
dyea y 01 20
0 22
dyea y0
.1 ae
dsedsedseoB
yxAB
yxoA
yx 222222
x
y
o
2 2 a
AB
.0 ,0 : ayxoA .0x
dseoA
yx 22
dyea y 01 20
0 22
dyea y0
.1 ae
dttatae tata )sin()cos( 222
4)sin()cos( 22
.24
,sin ,cos : ttaytaxAB
dseAB
yx 22
.cos ,sin taytax
dttatae tata )sin()cos( 222
4)sin()cos( 22
dtaea2
4
.
6aea
.24
,sin ,cos : ttaytaxAB
dseAB
yx 22
.cos ,sin taytax
.2
20 , : axxyoB .1y
dseoB
yx 22
dxea xx 11 222
0
22
x
y
o
2 2 a
AB
于是, dseL
yx
22
dsedsedseoB
yxAB
yxoA
yx 222222
)1(4
)1( aaa eeae
.2)4
2( aea
.1 ae
dxea x 2
22
0 2
.2
20 , : axxyoB .1y
dseoB
yx 22
dxea xx 11 222
0
22
四、几何与物理意义四、几何与物理意义,),()1( 的线密度时表示当 Lyx
;),(L
dsyxM
;,1),()2( LdsLyxf 弧长时当
,),(
),()3(
处的高时柱面在点
上的表示立于当
yx
Lyxf
.),(L
dsyxfS柱面面积
s
L
),( yxfz
对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用
,)1( 曲线弧的转动惯量
., 22 LyLx dsyIdsxI
曲线弧的质心坐标)2(
.,
L
L
L
L
ds
dsyy
ds
dsxx
,)( 220
LdsyxI
例 9
).(,sin
,cos:
ttRy
tRxL
解 : 如图设置坐标系
dttRtRtR 2222 cos)sin(sin
.1(
2,
)设线密度为它的对称轴的转动惯量对于的圆弧中心角为计算半径为 LR
x
y
Lx dsyI 2
tdtR
23 sin ).cossin(3 R
1 、对弧长曲线积分的概念
2 、对弧长曲线积分的计算
3 、对弧长曲线积分的应用
五 小结与思考判断题五 小结与思考判断题
思考判断题
( 1 ) 对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗?
iS
( 2 ) 对弧长的曲线积分是否与曲线方向有关?
思考题
对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗?
iS
思考题解答
iS 的符号永远为正,它表示弧段的长度 .