東京大学 大学院情報理工学系研究科
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点素パス問題に対するアルゴリズム. 東京大学 大学院情報理工学系研究科. 小林 佑輔. 組合せ最適化セミナー 2012 年 7 月 13 日. 講演内容. イントロダクション 効率的に解けるケース 2点素パス問題 k 点素パス問題 ( Robertson-Seymour のアルゴリズム) その他の結果 最短点素パス問題 演習 近年の発展(最大点素パス問題). イントロダクション. 問題の定義 歴史. 点素パス問題. パスが頂点を共有しない. Input: 頂点対 ( s 1 , t 1 ),…, ( s k , t k ) - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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東京大学 大学院情報理工学系研究科
組合せ最適化セミナー 2012 年 7 月 13 日
点素パス問題に対するアルゴリズム
小林 佑輔
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講演内容 イントロダクション 効率的に解けるケース
2点素パス問題 k 点素パス問題 ( Robertson-Seymour のアルゴリズ
ム) その他の結果
最短点素パス問題 演習 近年の発展(最大点素パス問題)
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イントロダクション
問題の定義 歴史
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点素パス問題
s1
t1
s2
s3
t2
t3
Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)
Find: 点素なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )
パスが頂点を共有しな
い
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点素パス問題
s1
t1
s2
s3
t2
t3
Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)
Find: 点素なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )
パスが頂点を共有しな
い
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点素(辺素)パス問題
様々な類似問題 有向グラフ or 無向グラフ 頂点対数 k が 定数 or 入力の一部 辺素パス or 点素パス etc.
多くの応用を持つ ( 例 : VLSI の設計 )
s1
t2
t1
s2
s1
t2
s2
t1
Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)
Find: 点素(辺素)なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )
パスが頂点(辺)を共有
しない
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特殊ケース(1): s-t 辺素パス問題
ts
Input: 頂点対 (s, t)
Find: 辺素なパス P1,…, Pk (Pi : s → t )
Menger の定理 (最大流・最小カット定理)
k 本の辺素パスが存在 すべての s ∊ X ⊆V – t で δ(X) ≧ k
X と V-X を結ぶ辺
の数
X V - X最大流アルゴリズムで多項式時間で解ける
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特殊ケース(2): t1 = t2 = ・・・ = tk の時
ts3
Input: 頂点対 (s1, t) ,…, (sk, t)
Find: 辺素なパス P1,…, Pk (Pi : si → t )
最大流アルゴリズムで多項式時間で解ける
sk
s2
s1
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特殊ケース(2): t1 = t2 = ・・・ = tk の時
ts3
Input: 頂点対 (s1, t) ,…, (sk, t)
Find: 辺素なパス P1,…, Pk (Pi : si → t )
最大流アルゴリズムで多項式時間で解ける
sk
s2
s1
s
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特殊ケース(2): t1 = t2 = ・・・ = tk の時
ts3
Input: 頂点対 (s1, t) ,…, (sk, t)
Find: 辺素なパス P1,…, Pk (Pi : si → t )
最大流アルゴリズムで多項式時間で解ける
sk
s2
s1
s
ts3
sk
s2
s1
s t3
tk
t2
t1
一般の場合にはうまくいかない
結ぶ頂点の組を指定されるから難しい
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目的:理論的計算量の解明 様々なバリエーションに対して
多項式時間で解けるか? NP 困難か? より効率の良いアルゴリズムは?
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目的:理論的計算量の解明 様々なバリエーションに対して
多項式時間で解けるか? NP 困難か? より効率の良いアルゴリズムは?
有向グラフ 無向グラフk : 定数 NP- 困難
多項式時間 ( 平面グラフ )
多項式時間 ( 非巡回的 )
多項式時間線形時間 ( 平面グラ
フ )
k : 変数 NP- 困難 NP- 困難k : 頂点対数
点素パス問題の計算量
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各問題の帰着(演習) 下記のように帰着可能であることを示せ.また,それぞれの帰着は平面性を保つか?
無向点素パス問題
有向辺素パス問題無向辺素パス問題
有向点素パス問題
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辺素パスと点素パスの関係 辺素パス問題は線グラフ上の点素パス問題に帰着可
能s1
s2 t2
t1
s1
s2
t1
t2
辺素パス 点素パス
1 2
3 4
5
6
7
81
2
34
5
6
7
8
定義 ( 線グラフ ) 元のグラフの辺が線グラフの頂点に対応 元のグラフで同じ端点を持つ 線グラフで
隣接
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有向グラフ 無向グラフk : 定数 NP- 困難
多項式時間 ( 平面グラフ )
多項式時間 ( 非巡回的 )
多項式時間線形時間 ( 平面グラ
フ )
k : 変数 NP- 困難 NP- 困難k : 頂点対数
点素パス問題の計算量
有向グラフ 無向グラフk : 定数 NP- 困難
多項式時間 ( 非巡回的 )
多項式時間
k : 変数 NP- 困難 NP- 困難
辺素パス問題の計算量
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点素・辺素パス問題の歴史1927 最大最小定理 ( s-t パス) Menger
1956 最大流アルゴリズム Ford-Fulkerson
1970s 頂点対数 k が入力の一部の時 NP 困難 Karp など
1980 k=2, 無向グラフの時のアルゴリズム Seymour, Thomassen,
Shiloach
k=2, 有向グラフの時 NP 困難 Even-Itai-Shamir1994 k: 定数,平面有向グラフの時のアルゴリズム
1995 k: 定数,無向グラフの時のアルゴリズム Robertson-Seymour
近年 k: 入力の一部の時の近似アルゴリズム
特殊ケースに対するアルゴリズム など
(点素のみ) Schrijver
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効率的に解けるケース
2点素パス問題 k 点素パス問題 その他のケース
![Page 18: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/18.jpg)
講演内容 イントロダクション 効率的に解けるケース
2点素パス問題 k 点素パス問題 ( Robertson-Seymour のアルゴリズ
ム) その他の結果
最短点素パス問題 演習 近年の発展(最大点素パス問題)
![Page 19: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/19.jpg)
無向点素パス問題Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)
Find: 点素なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )
パスが頂点を共有しな
い
k=2 多項式時間アルゴリズム
k :定数 多項式時間アルゴリズム
k :変数 NP 困難
Robertson-Seymour (1995)
Karp (1975)
Seymour, Thomassen, Shiloach (1980)
s1
t1
s2
s3
t2
t3
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無向点素パス問題Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)
Find: 点素なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )
パスが頂点を共有しな
い
k=2 多項式時間アルゴリズム
k :定数 多項式時間アルゴリズム
k :変数 NP 困難
Robertson-Seymour (1995)
Karp (1975)
Seymour, Thomassen, Shiloach (1980)
s1
t1
s2
s3
t2
t3
難しいポイント カット条件 幾何的な条件
の両方を同時に扱う必要がある
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無向点素パス問題Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)
Find: 点素なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )
パスが頂点を共有しな
い
k=2 多項式時間アルゴリズム
k :定数 多項式時間アルゴリズム
k :変数 NP 困難
Robertson-Seymour (1995)
Karp (1975)
Seymour, Thomassen, Shiloach (1980)
s1
t1
s2
s3
t2
t3
![Page 22: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/22.jpg)
2点素パス問題の解法 性質
1
s1
t1
s2
t2
平面グラフで s1, s2, t1, t2
がこの順番に同じ面上
2点素パス無し
![Page 23: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/23.jpg)
2点素パス問題の解法 性質
1
s1
t1
s2
t2
平面グラフで s1, s2, t1, t2
がこの順番に同じ面上
2点素パス無し
性質2小さいカットがあると問題を帰着可能
サイズ3連結
s1t1
s2
t2
サイズ3
s1t1
s2
t2
![Page 24: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/24.jpg)
2点素パス問題の解法 性質
1
s1
t1
s2
t2
平面グラフで s1, s2, t1, t2
がこの順番に同じ面上
2点素パス無し
性質2小さいカットがあると問題を帰着可能
サイズ3連結
s1t1
s2
t2
サイズ3
s1t1
s2
t2
![Page 25: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/25.jpg)
2点素パスの存在条件
s1
t1
s2
t2
性質2 の帰着を繰り返すと,性質1 の形になる
サイズ3
s1t1
s2
t2
2点素パスが存在しない
![Page 26: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/26.jpg)
2点素パスの存在条件
s1
t1
s2
t2
性質2 の帰着を繰り返すと,性質1 の形になる
サイズ3
s1t1
s2
t2
2点素パスが存在しない定理 (Seymour, 1980)
![Page 27: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/27.jpg)
2点素パス問題は多項式時間で解ける
2点素パスの存在条件
s1
t1
s2
t2
性質2 の帰着を繰り返すと,性質1 の形になる
サイズ3
s1t1
s2
t2
2点素パスが存在しない定理 (Seymour, 1980)
カットを見つけるアルゴリズム 平面性判定アルゴリズム
現在: 線形時間( Kapadia et al., 2010 )
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理解のために 帰着を繰り返すと,性質1 の形
2点素パスが存在しない定理
グラフが 「4点連結」 かつ 「平面的でない」 2点素パスが存在
命題
Shiloach (1980) の方針
平面的でない or をマイナーに持つ( Kuratowski の定理)
縮約を繰り返すと部分グラフに持つ
K5 K3,3
![Page 29: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/29.jpg)
理解のために 帰着を繰り返すと,性質1 の形
2点素パスが存在しない定理
グラフが 「4点連結」 かつ 「平面的でない」 2点素パスが存在
命題
Shiloach (1980) の方針
平面的でない をマイナーに持つ( Kuratowski の定理)
t1
s2
t2
s1
4点連結
K5 K3,3
K5 K3,3or を使って繋げる
or
![Page 30: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/30.jpg)
演習 平面性判定のアルゴリズムを用いて,
をみたすかどうかを判定できることを示せ.
平面グラフで s1, s2, t1, t2
がこの順番に同じ面上
![Page 31: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/31.jpg)
講演内容 イントロダクション 効率的に解けるケース
2点素パス問題 k 点素パス問題 ( Robertson-Seymour のアルゴリズ
ム) その他の結果
最短点素パス問題 演習 近年の発展(最大点素パス問題)
![Page 32: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/32.jpg)
無向点素パス問題Input: 頂点対 (s1, t1),…, (sk, tk)
Find: 点素なパス P1,…, Pk (Pi : si → ti )
パスが頂点を共有しな
い
k=2 多項式時間アルゴリズム
k :定数 多項式時間アルゴリズム
k :変数 NP 困難
Robertson-Seymour (1995)
Karp (1975)
Seymour, Thomassen, Shiloach (1980)
s1
t1
s2
s3
t2
t3
![Page 33: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/33.jpg)
Robertson-Seymour のアルゴリズム
頂点対数 k :定数,無向グラフ 点素(辺素)パス問題に対する多項式時間アルゴリズム
グラフマイナー理論に基づく
計算時間は O(n3)n: グラフの頂点
数
Graph Minors 13 (1995)
1983 年~現在 23 本の論文にわたる大理論
グラフ理論・アルゴリズムにおける大きな成果
Robertson & Seymour: Graph Minors 1 ~ 23
k に依存する非常に大きな係数がかかる
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Graph minors. I. Excluding a forest, JCTB, 35 (1983), 39-61 Graph minors. II. Algorithmic aspects of tree-width, J. Algorithms, 7 (1986), 309-322 Graph minors. III. Planar tree-width, JCTB, 36 (1984), 49-64 Graph minors. IV. Tree-width and well-quasi-ordering, JCTB, 48 (1990), 227-254 Graph minors. V. Excluding a planar graph, JCTB, 41 (1986), 92-114 Graph minors. VI. Disjoint paths across a disc, JCTB, 41 (1986), 115-138 Graph minors. VII. Disjoint paths on a surface, JCTB, 45 (1988), 212-254 Graph minors. VIII. A Kuratowski theorem for general surfaces, JCTB, 48 (1990), 255-288 Graph minors. IX. Disjoint crossed paths, JCTB, 49 (1990), 40-77 Graph minors. X. Obstructions to tree-decomposition, JCTB, 52 (1991), 153-190 Graph minors. XI. Circuits on a surface, JCTB, 60 (1994), 72-106 Graph minors. XII. Distance on a surface, JCTB, 64 (1995), 240-272 Graph minors. XIII. The disjoint paths problem, JCTB, 63 (1995), 65-110 Graph minors. XIV. Extending an embedding, JCTB, 65 (1995), 23-50 Graph minors. XV. Giant steps, JCTB, 68 (1996), 112-148 Graph minors. XVI. Excluding a non-planar graph, JCTB, 89 (2003), 43-76 Graph minors. XVII. Taming a vortex, JCTB, 77 (1999), 162-210 Graph minors. XVIII. Tree-decompositions and well-quasi-ordering, JCTB, 89 (2003), 77-108 Graph minors. XIX. Well-quasi-ordering on a surface, JCTB, 90 (2004), 325-385 Graph minors. XX. Wagner's conjecture, JCTB, 92 (2004), 325-357 Graph minors. XXI. Graphs with unique linkages, JCTB, 99 (2009), 583-616 Graph minors. XXII. Irrelevant vertices in linkage problems, JCTB, 102 (2012), 530-563. Graph minors. XXIII. Nash-Williams' immersion conjecture, JCTB, 100 (2010), 181-205.
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RS アルゴリズムの概要
( 1 ) 木幅≦(定数): 動的計画法で解く( 2 ) 木幅 > (定数): 大きなウォールを含む
グラフの木幅を計算グラフの複雑さの
指標
ウォール
GM5 など
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RS アルゴリズムの概要
( 2-1 ) 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
( 2-2 ) 大きなクリークマイナーを含む
( 1 ) 木幅≦(定数): 動的計画法で解く( 2 ) 木幅 > (定数): 大きなウォールを含む
グラフの木幅を計算
クリークマイナー
ウォール 連結な
部分グラフ
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RS アルゴリズムの概要
( 2-1 ) 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
( 2-2 ) 大きなクリークマイナーを含む
( 1 ) 木幅≦(定数): 動的計画法で解く( 2 ) 木幅 > (定数): 大きなウォールを含む
グラフの木幅を計算
クリークマイナー 連結な
部分グラフ
中央の頂点を取り除く
s1
s3
t3 t1
s2
t2
ウォール
GM22 の結果
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RS アルゴリズムの概要
( 2-1 ) 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
( 2-2 ) 大きなクリークマイナーを含む
中央の頂点を取り除く
点素パスが見つかる 頂点を取り除く
以上を繰り返す
( 1 ) 木幅≦(定数): 動的計画法で解く( 2 ) 木幅 > (定数): 大きなウォールを含む
グラフの木幅を計算
t1
s3
s2
t2
t3
s1
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RS アルゴリズムの概要
( 2-1 ) 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
( 2-2 ) 大きなクリークマイナーを含む
中央の頂点を取り除く
点素パスが見つかる 頂点を取り除く
以上を繰り返す
O(n2)
O(n) 回
O(n2)
O(m)
n: グラフの頂点数m: グラフの辺数
合計 O(n3) 時間
( 1 ) 木幅≦(定数): 動的計画法で解く( 2 ) 木幅 > (定数): 大きなウォールを含む
グラフの木幅を計算
![Page 40: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/40.jpg)
少しだけ各ステップの説明
( 2-1 ) 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
( 2-2 ) 大きなクリークマイナーを含む
中央の頂点を取り除く
点素パスが見つかる 頂点を取り除く
以上を繰り返す
( 1 ) 木幅≦(定数): 動的計画法で解く( 2 ) 木幅 > (定数): 大きなウォールを含む
グラフの木幅を計算
(1) 木幅とは?(2) 木幅小さい →動的計画法(3) 木幅大きい →ウォール(4) ほぼ平面的?
(5) (2-1) の正当性
(6) (2-2) の正当性
![Page 41: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/41.jpg)
グラフがどれくらい木に近いか? を表す指標木幅 = 1 森定義は置いておいて...
木幅とは
木幅 = 2
G
木幅 = 1
G
木幅 = 2
G
木幅 = 3
G
![Page 42: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/42.jpg)
グラフがどれくらい木に近いか? を表す指標木幅 = 1 森定義は置いておいて...
“部品” を “木のように” 組み合わせることでグラフを作る木幅 := “ 部品” の最大頂点数 – 1
木幅とは
木幅 = 2
G
木幅 = 1
G
木幅 = 2
G
木幅 = 3
G
![Page 43: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/43.jpg)
(T, W) が G = (V, E) の 木分解
T が木 , W , 各枝に対して, Wt が存在して両端点を含
む
t が T の上で t’ と t’’ の間にあるならば
木幅の定義
VWTVt
t
)(
)}(|{ TVtVWt
木幅 = 2
TG
ttt WWW '''
![Page 44: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/44.jpg)
(T, W) が G = (V, E) の 木分解
T が木 , W , 各枝に対して, Wt が存在して両端点を含
む
t が T の上で t’ と t’’ の間にあるならば
木幅の定義
VWTVt
t
)(
)}(|{ TVtVWt
木幅 = 2
TG
ttt WWW '''
![Page 45: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/45.jpg)
(T, W) が G = (V, E) の 木分解
(T, W) の幅 := maxt |Wt| - 1
G の木幅 := すべての木分解の中で最小の幅
T が木 , W , 各枝に対して, Wt が存在して両端点を含
む
t が T の上で t’ と t’’ の間にあるならば
木幅の定義
VWTVt
t
)(
)}(|{ TVtVWt
木幅 = 2
TG
ttt WWW '''
![Page 46: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/46.jpg)
演習サイクルの木幅が 2 であることを示せ
.
![Page 47: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/47.jpg)
少しだけ各ステップの説明
( 2-1 ) 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
( 2-2 ) 大きなクリークマイナーを含む
中央の頂点を取り除く
点素パスが見つかる 頂点を取り除く
以上を繰り返す
( 1 ) 木幅≦(定数): 動的計画法で解く( 2 ) 木幅 > (定数): 大きなウォールを含む
グラフの木幅を計算
(1) 木幅とは?(2) 木幅小さい →動的計画法(3) 木幅大きい →ウォール(4) ほぼ平面的?
(5) (2-1) の正当性
(6) (2-2) の正当性
![Page 48: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/48.jpg)
定理 ( RS 1995, Arnborg-Proskurowski 1989 など) 木幅が w 以下のグラフ G=(V, E) において, k 点素パス問題は, (k+w)O(k+w) |V|O(1) 時間で解ける
木幅小さい → 動的計画法
木幅 = 2
TG
… …
G
…
s1
t1
s2
r1 r2
r3
で, s1, t1, s2, r1, r2, r3 がどのように繋げるか,を列挙
部分問題
例: { s1 t1 , s2 r2 }, { s1 r2 , s2
r3 }, …
![Page 49: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/49.jpg)
定理 ( RS 1995, Arnborg-Proskurowski 1989 など) 木幅が w 以下のグラフ G=(V, E) において, k 点素パス問題は, (k+w)O(k+w) |V|O(1) 時間で解ける
木幅小さい → 動的計画法
木幅 = 2
TG
… …
G
…
s1
t1
s2
r1 r2
r3
で, s1, t1, s2, r1, r2, r3 がどのように繋げるか,を列挙
部分問題
葉から順に,繰り返し解く
![Page 50: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/50.jpg)
少しだけ各ステップの説明
( 2-1 ) 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
( 2-2 ) 大きなクリークマイナーを含む
中央の頂点を取り除く
点素パスが見つかる 頂点を取り除く
以上を繰り返す
( 1 ) 木幅≦(定数): 動的計画法で解く( 2 ) 木幅 > (定数): 大きなウォールを含む
グラフの木幅を計算
(1) 木幅とは?(2) 木幅小さい →動的計画法(3) 木幅大きい →ウォール(4) ほぼ平面的?
(5) (2-1) の正当性
(6) (2-2) の正当性
![Page 51: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/51.jpg)
定理 ( RS 1986 ) 任意の r に対してある f(r) が存在して以下が成立. 木幅が f(r) 以上の任意のグラフはサイズ r のウォールを含む
木幅大きい → ウォール
f(r) =2 , f(r) =Ω(r2 log r)
G : planar f(r) = O(r) G : bounded genus f(r) = O(r) G : H-minor-free f(r) = cH ・ r
G : K3,k-minor-free f(r) = 204k ・ r
O(r5) (Robertson-Seymour-Thomas [1994], Diestel et al. [1999])
(Robertson-Seymour-Thomas [1994])
(Demaine et al. [2005])
(Demaine-Hajiaghayi [2008])
(Demaine et al. [2009])
Known results
![Page 52: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/52.jpg)
定理 ( RS 1986 ) 任意の r に対してある f(r) が存在して以下が成立. 木幅が f(r) 以上の任意のグラフはサイズ r のウォールを含む
木幅大きい → ウォール
f(r) =2 , f(r) =Ω(r2 log r)
G : planar f(r) = O(r) G : bounded genus f(r) = O(r) G : H-minor-free f(r) = cH ・ r
G : K3,k-minor-free f(r) = 204k ・ r
G : H-minor-free f(r) = |V(H)|O(|E(H)|) ・ r
G : general f(r) = 2
O(r5) (Robertson-Seymour-Thomas [1994], Diestel et al. [1999])
(Robertson-Seymour-Thomas [1994])
(Demaine et al. [2005])
(Demaine-Hajiaghayi [2008])
(Demaine et al. [2009])
Known results
Our results
O(r2 log r)(Kawarabayashi-K [2012])
![Page 53: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/53.jpg)
少しだけ各ステップの説明
( 2-1 ) 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
( 2-2 ) 大きなクリークマイナーを含む
中央の頂点を取り除く
点素パスが見つかる 頂点を取り除く
以上を繰り返す
( 1 ) 木幅≦(定数): 動的計画法で解く( 2 ) 木幅 > (定数): 大きなウォールを含む
グラフの木幅を計算
(1) 木幅とは?(2) 木幅小さい →動的計画法(3) 木幅大きい →ウォール(4) ほぼ平面的?
(5) (2-1) の正当性
(6) (2-2) の正当性
![Page 54: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/54.jpg)
( 2-1 ) 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
( 2-2) 大きなクリークマイナーを含む
ほぼ平面的なウォール( 2 ) tw(G) > (定数) なら大きなウォールを含む
ウォール内部がほぼ平面的(高々 9k2 個の頂点を取り除くと)対角の頂点を結ぶ2本の点素パスがウォール内部に取れない
def
![Page 55: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/55.jpg)
ほぼ平面的な大きなウォール 大きなクリークマイナー大きなウォール
ウォールがほぼ平面的
def
目標:
が無い(定数個頂点除くと)
![Page 56: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/56.jpg)
ほぼ平面的な大きなウォール 大きなクリークマイナー大きなウォール
ウォールがほぼ平面的
def
目標:
が無い(定数個頂点除くと)
![Page 57: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/57.jpg)
![Page 58: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/58.jpg)
( 2-1 ) 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
( 2-2) 大きなクリークマイナーを含む
ケース (2) の場合分け( 2 ) tw(G) > (定数) なら大きなウォールを含む
ポイント
がたくさんあると,クリークマイナーを作れる
![Page 59: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/59.jpg)
少しだけ各ステップの説明
( 2-1 ) 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
( 2-2 ) 大きなクリークマイナーを含む
中央の頂点を取り除く
点素パスが見つかる 頂点を取り除く
以上を繰り返す
( 1 ) 木幅≦(定数): 動的計画法で解く( 2 ) 木幅 > (定数): 大きなウォールを含む
グラフの木幅を計算
(1) 木幅とは?(2) 木幅小さい →動的計画法(3) 木幅大きい →ウォール(4) ほぼ平面的?
(5) (2-1) の正当性
(6) (2-2) の正当性
![Page 60: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/60.jpg)
少しだけ各ステップの説明
( 2-1 ) 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
( 2-2 ) 大きなクリークマイナーを含む
中央の頂点を取り除く
点素パスが見つかる 頂点を取り除く
以上を繰り返す
( 1 ) 木幅≦(定数): 動的計画法で解く( 2 ) 木幅 > (定数): 大きなウォールを含む
グラフの木幅を計算
(1) 木幅とは?(2) 木幅小さい →動的計画法(3) 木幅大きい →ウォール(4) ほぼ平面的?
(5) (2-1) の正当性
(6) (2-2) の正当性
GM22 の結果
![Page 61: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/61.jpg)
少しだけ各ステップの説明
( 2-1 ) 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
( 2-2 ) 大きなクリークマイナーを含む
中央の頂点を取り除く
点素パスが見つかる 頂点を取り除く
以上を繰り返す
( 1 ) 木幅≦(定数): 動的計画法で解く( 2 ) 木幅 > (定数): 大きなウォールを含む
グラフの木幅を計算
(1) 木幅とは?(2) 木幅小さい →動的計画法(3) 木幅大きい →ウォール(4) ほぼ平面的?
(5) (2-1) の正当性
(6) (2-2) の正当性
![Page 62: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/62.jpg)
クリークマイナーの処理 サイズ 2k のクリーク C があるとする
ターミナルから C へ 2k 個の点素パスが存在
ターミナルと C を分けるサイズ 2k – 1 以下の点カットが存在
t1
s3
s2
t2
t3
s1
(本当はクリークマイナーだが簡単のため)
t1
s3
s2
t2
t3
s1
サイズ ≦ 2k - 1
Menger の定理
![Page 63: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/63.jpg)
クリークマイナーの処理 サイズ 2k のクリーク C があるとする
ターミナルから C へ 2k 個の点素パスが存在 C を使ってターミナルを任意に繋ぐことが
できる
ターミナルと C を分けるサイズ 2k – 1 以下の点カットが存在
t1
s3
s2
t2
t3
s1
(本当はクリークマイナーだが簡単のため)
t1
s3
s2
t2
t3
s1
サイズ ≦ 2k - 1
Menger の定理
![Page 64: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/64.jpg)
クリークマイナーの処理 サイズ 2k のクリーク C があるとする
ターミナルから C へ 2k 個の点素パスが存在 C を使ってターミナルを任意に繋ぐこと
ができる
ターミナルと C を分けるサイズ 2k – 1 以下の点カットが存在
C の中に“点素パスに無関係”な頂点が存在
(本当はクリークマイナーだが簡単のため)
t1
s3
s2
t2
t3
s1
サイズ ≦ 2k - 1 無関係!
t1
s3
s2
t2
t3
s1
サイズ 3k
Menger の定理
![Page 65: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/65.jpg)
少しだけ各ステップの説明
( 2-1 ) 内部がほぼ平面的な大きなウォールを含む
( 2-2 ) 大きなクリークマイナーを含む
中央の頂点を取り除く
点素パスが見つかる 頂点を取り除く
以上を繰り返す
( 1 ) 木幅≦(定数): 動的計画法で解く( 2 ) 木幅 > (定数): 大きなウォールを含む
グラフの木幅を計算
(1) 木幅とは?(2) 木幅小さい →動的計画法(3) 木幅大きい →ウォール(4) ほぼ平面的?
(5) (2-1) の正当性
(6) (2-2) の正当性
![Page 66: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/66.jpg)
講演内容 イントロダクション 効率的に解けるケース
2点素パス問題 k 点素パス問題 ( Robertson-Seymour のアルゴリズ
ム) その他の結果
最短点素パス問題 演習 近年の発展(最大点素パス問題)
![Page 67: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/67.jpg)
その他の結果(1)
t2
t3
tk
平面的
s1
s2
s3
sk
t1
グラフが平面的で,ターミナルが高々 1 つの面の周上のとき, 点素パス問題は多項式時間で解ける
観察
![Page 68: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/68.jpg)
その他の結果(1)
グラフが平面的で,ターミナルが高々 2 つの面の周上のとき, 点素 パス問題は O(n) 時間で解ける
定理 (Suzuki-Akama-Nishizeki, 1988)
t2
t3
tk
平面的
s1
s2
s3
sk
t1
グラフが平面的で,ターミナルが高々 1 つの面の周上のとき, 点素パス問題は多項式時間で解ける
観察
t2
t3
tk
平面的
s1s2
s3
sk
t1
![Page 69: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/69.jpg)
その他の結果(2)
t2
t3
tk
平面的
s1
s2
s3
sk
t1t2
t3
tk
平面的
s1
s2
s3
sk
t1
グラフが平面的で,ターミナルが高々 1 つの面の周上のとき, 点素パス問題は多項式時間で解ける
観察
グラフが平面的で,ターミナルが 1 つの面の周上, オイラー条件を満たすとき,辺素パス問題は
定理 (Okamura-Seymour, 1981)
![Page 70: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/70.jpg)
その他の結果(2)
t2
t3
tk
平面的
s1
s2
s3
sk
t1t2
t3
tk
平面的
s1
s2
s3
sk
t1
グラフが平面的で,ターミナルが高々 1 つの面の周上のとき, 点素パス問題は多項式時間で解ける
観察
グラフが平面的で,ターミナルが 1 つの面の周上, オイラー条件を満たすとき,辺素 パス問題は 多項式時間で解ける
定理 (Okamura-Seymour, 1981)
各頂点に接続する需要+供給 の枝数が偶
数
現在: O(n) 時間(Wagner-Weihe [1993])
![Page 71: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/71.jpg)
その他の結果(2)
グラフが平面的で,ターミナルが高々 1 つの面の周上のとき, 点素パス問題は多項式時間で解ける
観察
グラフが平面的で,ターミナルが 1 つの面の周上, オイラー条件を満たすとき,辺素 パス問題は 多項式時間で解ける
定理 (Okamura-Seymour, 1981)
各頂点に接続する需要+供給 の枝数が偶
数
現在: O(n) 時間(Wagner-Weihe [1993])
グラフが平面的で,ターミナルが 1 つの面の周上, 内点が偶数次数のとき,辺素パス問題は多項式時間で解ける
定理 (Frank, 1985)
現在: O(n) 時間
(Weihe [1999])
![Page 72: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/72.jpg)
その他の結果(2)
グラフが平面的で,ターミナルが高々 1 つの面の周上のとき, 点素パス問題は多項式時間で解ける
観察
グラフが平面的で,ターミナルが 1 つの面の周上, オイラー条件を満たすとき,辺素 パス問題は 多項式時間で解ける
定理 (Okamura-Seymour, 1981)
各頂点に接続する需要+供給 の枝数が偶
数
現在: O(n) 時間(Wagner-Weihe [1993])
グラフが平面的で,ターミナルが 1 つの面の周上, 内点が偶数次数のとき,辺素パス問題は多項式時間で解ける
定理 (Frank, 1985)
現在: O(n) 時間
(Weihe [1999])
難しいポイント カット条件 幾何的な条件
の両方を同時に扱う必要がある
どれも幾何的な条件が扱いやすい形
![Page 73: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/73.jpg)
演習枝集合 s1t1, s2t2, …, siti をもつグラフを H とする.
グラフが平面的,ターミナルが 1 つの面の周上, オイラー条件 (G+H の次数がすべて偶数 ) を満たすとき,
定理 (Okamura-Seymour, 1981)
Demand graph
任意のカットに対して,G の枝数 ≧ H の枝数
「オイラー条件」を除くと,この関係が成り立たなくなることを示せ.
「 1 つの面の周上」という条件を除くと,成り立たなくなることを示せ.
辺素 パスが存在 カット条件が成立
![Page 74: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/74.jpg)
第一部,第二部 まとめ 点素パス問題の難しさ
未解決問題有向平面グラフ上の辺素パス問題有向平面グラフ上の点素パス問題の FPT3点素パスの存在の特徴づけ
カット条件 幾何的な条件
の両方を同時に扱う必要がある
![Page 75: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/75.jpg)
![Page 76: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/76.jpg)
t4
点素パスを見つけよ
例題
s1
t1
s2
s3
t2t3
s4
![Page 77: 東京大学 大学院情報理工学系研究科](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081503/56814015550346895dab5d4f/html5/thumbnails/77.jpg)
s2
s1
点素パスを見つけよ
t4
例題2
t1
s3
t2
t3
s4