第八章 多元函数微分法 及其应用
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第八章 多元函数微分法 及其应用. 返回. 典型例题. 练习题. 定理结论. 习题课结构. 重点难点. 基本概念. 计算方法. 练习题 解答. 一 . 本章的重点、难点、此次习题课达到的目的. 重点:偏导数的概念;全微分的概念;多元函数求偏导数;多元 函数求极值。. 难点:二元函数极限的计算;多元符合函数的求导法则、隐函数 求导法则的运用;条件极值的概念与拉格朗日数乘法的意义。. 习题课达到的目的:使学生理解偏导数、全微分的概念,熟练掌 握偏导函数的计算方法。. 是曲线. 的切线与. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第八章第八章
多元函数微分法多元函数微分法及其应用及其应用
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高等数学( XAUAT)
练习题解答练习题解答
重点难点重点难点
基本概念基本概念
计算方法计算方法 练习题
典型例题
定理结论
习题课结构
高等数学( XAUAT)
一 . 本章的重点、难点、此次习题课达到的目的
重点:偏导数的概念;全微分的概念;多元函数求偏导数;多元 函数求极值。
难点:二元函数极限的计算;多元符合函数的求导法则、隐函数 求导法则的运用;条件极值的概念与拉格朗日数乘法的意义。
习题课达到的目的:使学生理解偏导数、全微分的概念,熟练掌 握偏导函数的计算方法。
高等数学( XAUAT)
2.二元函数偏导数
0 0 0 00 0 0 0
, ,, lim limx
x x x
f x x y f x yzf x y
x x
记
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
, ,
, lim , ,
, , .
x xy y
f x y D P x y D
P D f x y f x y
f x y P x y
设函数 在区域 内有定义, 是 的内点
或边界点,且 如果 则称函数
在点 连续
0 0 0
0 0 0 00 0
0 0
, , .
, ,lim ,
,
x
z f x y P x y y
f x x y f x yy z f x y
xx y x
设函数 在点 的某一邻域内有定义当 固定在
而极限 存在,称 在
关于 的偏导数存在.
1.二元函数连续.二基本概念
高等数学( XAUAT)
0 0 0 00 0
0 0
, ,, lim limy
yy y
z f x y y f x yf x y
y y
0 0 0 00 0
0
, ,, lim x x
xyy
f x y y f x yf x y
y
二元函数偏导数的几何意义。
同理有
轴 0 0 0 0. , ,x y f x y x 0 0,xf x y 是曲线 在点 的切线与
tan x正向夹角的正切 (即切线对
0
,{z f x yy y
轴的斜率)
3. 全微分 若函数 ,z f x y 在点 ,x y 的全增量 z 可表为
( , ) ( , ) ( )z f x x y y f x y A x B y o
其中,A B 与 ,x y 无关,仅与 有关,,x y 2 2x y
高等数学( XAUAT)
'
0
2
0
'
2
( , ) ( , ) ( ) (lim l
( , ) ( , ) ( )
,
( , )
imf x x y y f
z f x y P x y p
p l x l
p x x
x y f p f p
y y l
x y
设函数 在点 的某一邻域U
内有定义。自点 引射线 设 轴正向到射线的转角
为 ,并设 为上另一点
若
存在
)
,( = )
( , ) , )z f x y x y x B y 在点( 的微分 dz=Ay z
dz dx dyx y
全微分公式:
4.方向导数
称函数 .f
f x y P ll
( , )在 点沿方向的方向导数存在,记为
, )x y称函数在点( 可微,而函数
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x
y
y
x
'p
p
l
0
0
'lim
f p f pf
l
既
cos si
, ,
nf f f
l x
z f y y
y
x p x
方向导数计算公式: 若 在 是可微的
则
,
1 2
1 2
, , . ,
{1,0}, {0,1}
' { 1,0} ' {0, 1}
x yf x y p x y f f f x y p
x e y e x
e y e
若 在点 的偏导 存在则 在点
沿 轴正向 轴正向 , 轴负方向
, 轴负方向 的方向导数存在
1 1
2 2
x x
y
f ff f
e e
f ff f
e e
且
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( , ) D
( , ) ( , )
z f x y
f fi j z f x y p x y
x y
设函数 在平面区域 内具有一阶连续偏导
数,称 为函数 在点 的梯度.
22
( , )f f
f x yx y
梯度的模:grad
( , )f f
f x y i jx y
gra d 记
5.梯度
22
max
( , )f f f
f x yl x y
grad
梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致,它的模为方向导数的最大值,
即
tan
fxx f
y
梯度与 轴正向转角的正切为
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z f u f v f w
x u x v x w x
Z W y v U x
三.计算方法
,z f x y1.多元显函数 偏导数的计算
2.多元复合函数求偏导
注意:分段表示的函数求偏导数时,各段上用公式求, 分段点 一般而言,分段函数的偏 导数仍为
处用定义求.
分段函数.
. . . , . , . ,
[ , , , , , ]
z f u v w u u x y v v x y w w x y
xz f u x y v x y w x y
若 其中
那么. 的偏导公式为
x y y x对(或 )求偏导.把(或 )看成常量。
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(1) 先画出复合函数的连锁图(如上页图)
3
d
dx x
( ) 公式中的复合函数的中间变量、自变量只有一个时.
求导记号用 ,多于一个时用 。
求多元复合函数的偏导数时,可用连锁规则:具体做法
(2) 连线图中从复合函数到达某自变量的路线有几条, 公式中就有几项相加.每条线有几段则该项就有几 个偏导数(或导数)因子相乘。
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' ' ', , ,x y zF F F x y z求 、 、 时,将 看作注意: 相互独立的。
3. 隐函数求导
( ) ( ) ( )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
u v w
u x y v x y w x y
dz f du f dv f dw
f u dx u dy f v dx v dy f w dx w dy
g x y dx h x y dy
u ug x y h x y
x y
则
(4) 利用一阶全微分形式的不变性质
''
' '
yx
z z
FFz z
x F y F
( , , ) 0
( , , ) 0 , ( , )
F x y z
F x y z z x y z f x y
a. 如果方程 满足隐函数存在定理的条件 可由方程 确定 是 的函数:
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( , ) 0
( , ) 0 x
y
F x y
FdyF x y
dx F
b. 方程 满足隐函数存在定理的条件
确定函数 y=f(x)且
F X Y z X
Y
以上公式可利用复合函数求导推得
{ , , ( , )} 0 ,
'' ' ' 0 '
'
'' ' ' 0 '
'
xx z x x
z
xy z y y
y
F x y f x y x y
FzF F f f
x F
FzF F f f
y F
方程 两边分别对 求偏导
有 得
得
''
'
.
xxy x
z
xy
Ff f y
F
z y f
2.求二阶偏导数 时,方程 继续对
求偏导, 是x, 的函数,解出 其他同理。
1. , , .x y z x y注意:方程两边求导时, 相互独立, 是 的函数
高等数学( XAUAT)
0 0 0 0
1 , ,
( , , )
x t y t z w t
t t M x y z
()若向量曲线 由方程 给出
则曲线 上对应于 的点 的切向量为
, ,
( , )0
( , )u v
u v
u v x y
F FF GG GU V
F(x,y,u,v)=0c. 如果方程组 满足隐函数存
G(x,y,u,v)=0
在定理条件则方程组可确定 是 的函数,这时,
若 J =
, ,
x
u v u v
x x y y
则:方程组中的每个方程两边对 求偏导数,
得到新方程组,解出 同理可得
4. 空间曲线的切线和法平面方程
高等数学( XAUAT)
0{ }T t ��������������
0 0(t), (t), ( )
0 0
0 0) ( ) 0
y y z z
t z z
0
0 0 0
0 0 0
x-x切线方程:
(t) (t) (t)法平面方程:( )(x-x)+ (t )(y-y
( , , ) 0
( , , ) 0
F x y z
G x y z
若曲线 为
曲线 的切向量为
, ,y z x yz x
y z x yz x MM M
F F F FF FT
G G G GG G
高等数学( XAUAT)
5. 曲面的切平面与法线
0 0 0
z xy z x y
z xy z x yMM M
x x y y z zF FF F F F
G GG G G G
切线:
0 0
0 0
0 0
0
( , , ) 0 ( , ,
, ,
)
x y zn F M F
F x y z M x y z
M F M
若曲面 由方程 给出,则曲面 在点
法向量为 处的
0 0 0 0y z x yz x
y z x yz x MM M
F F F FF Fx x y y z z
G G G GG G 法平面:
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0 0 00 0 0( , ) , , , , 1x yn f x y f x yM x y 在点 处的法向量:
0 0 0 0 0 0x y zF M x x F M y y F M z z 切平面:
0 0 0
0 0x y z
x x y y z z
F M F M F M
法 线:
0 0( , ) ( , )z f x y M x y 特殊:若 由 给出,则 在点 处
0 0 0
0 0 0 0, , 1x y
x x y y z z
f x y f x y
法 线 :
0 0 0 0 0 0 0, , 0x yf x y x x f x y y y z z 切平面:
高等数学( XAUAT)
+ +注意:根号前要取“ ” 号都取“ ” 号,表示法线的一个方向。 根号前要取“ -” 号都取“ -” 号,表示法线的另一个方向。
0 0 0 0 0
0 0
0
0
0
( , ) ,
, ( , )
, , , , ,xx xy yy
z f x y x y
x y f x
f x y B f x f x y
y
y C
1 设 在点 的某邻域内存在直到二阶连续偏导,
且 为 的驻点
A= 记
2 2 2 2
2 2 2
2 2
cos ,cos1 1
1cos cos cos cos 1
1
yx
x y x y
x y
ff
f f f f
r rf f
有
法向量的方向余弦为
6. 求多元函数极值
高等数学( XAUAT)
该驻点处的函数值即为所求的最值。
2) 0ACi i Bi 时,不能判断。
20 0) 0 ,AC B fii x y 时, 处不取极值。
20 00 ,
0
)i AC B f x y
A
时, 在点 处取极限。且A< 0时为极大
值, 时为极小值。
,
D
f x y D D
f
注:把函数 在定义 内所有驻点处的函数值与 的边
界上的最值进行比较,可得 在 上的最值。
Df D
在实际问题中,可根据该问题的实际意义判断,若已知目标函数 的最值一定再 内取得,又 内的驻点唯一,
则可直接下结论:
高等数学( XAUAT)
0 0) ,iii x y f判断 是否为 的极值点。一般实际问题中往往由
问题本身性质来判断
,) , ,F x y x y x yi f 作辅助函数
, , 0y f x y x y 用拉格朗日数乘法求函数 在条件
限制下的极值。
(2)求条件极值
0 0
0
, 0
,0)
x x
y y
Ff
xF
ii x yfy
Fx y
解方程组 求出可能的极值点
高等数学( XAUAT)
. 四 定理及结论:
连续
可微
可偏导 偏导连续
二重极限存在
0 0, ,f x y x y在点 处
高等数学( XAUAT)1
22 2 3 2 2 2
(2, )
cos 2 2 sin 2u
e e ex y
1sin cos .x xu x x
e ex y y y
解:
2 1sin . 2x x u
u ey x y
1. 设 求 在点 , 处的
. 五 典型例题
2
2 2 2
2 3 2
2 3
1 1cos . sin . . cos
cos sin cos
1 cos sin
x x x
x x x
x x
u x x x x xe e e
x y y y y y y y y
xe x xe x e x
y y y y y y
e x xe xx
y y y y
=
=
高等数学( XAUAT)
2
2
2
1 1( ) ( ) ( )
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
zf xy f xy y y x y
x x x
zf xy x f xy f xy x y x y
x y x x x
y x y
yf xy x y y x y
解:
sin sin
sin
cos cos
cos
xy xy
xy
z zdz dx dy
x y
e xy y dx e xy x dy
e xy y dx x dy
解:
sin2. ,xyz e dz设 求
213. ( ) ( ), .
zz f xy y x y f
x x y
设 具有二阶连续导数,求
高等数学( XAUAT)
2 2 2( , , ) 2 0F x y z xyz x y z 解:令
2 2 2
2 2 2
( )
)(
2 2
yxz
z zx y zxyy x y z
z z zdz dx dy dx dy
x x y
(1, 0, -1)
由轮换对称性知:
2 2 2 2 ( , )xyz x y z z z x y 4. 由方程 所确定的函数
在点(1, 0, -1)处的全微分。
1z
x
(1, 0, -1)
2 2 2
2 2 2
( )
)(x
z
xyz
Fz zx y zxyx F x y z
高等数学( XAUAT)
2 '
0,1, 1
2
2
0,1, 1
: , , , 0,1, 1
2
, , 0
11
2 1
1
1
xx
x x
x
z
xx
uu f x y z e yz f
x
u f f z ze yz yze
x x z x xF x y z x y z xyz
Fz yzxyx F
yze yzue yz
x xy
u
x
解 令 则 即为
令
uf
x
y
zx
y
=
2
'
, , , ,
0 , 0,1, 1 .
x
x
f x y z e yz z z x y
x y z xyz f
5. 设 其中 是由方程
确定的隐函数 求
高等数学( XAUAT)
2
1 2
1 2
1 2
y
z
vcz v y
u vy a bu z v z
ac bcz za b c
x y a b
u
v
x
z
z
y
, ,
, .
u v cx az cy bz
z zz f x y a b c
x y
6. 设 具有连续偏导数,证明方程 =0
所确定的函数 满足
1 1
1 2 1 2
x
z
uz u x
u vxu z v zc c
a b a b
, , ,x y z cx az cy bz 解: =0
高等数学( XAUAT)
, ,x y t
y x
y x t x
分析:题目中两个方程组成的方程组中含有三个未知量 而两个方程只能确定两个未知量. 因此,这两个未知量 是第三未知量的函数,而题目的证明结论中出现了 对 的导数,说明应确定方程组 是 的函数,是 的函数.
, , , , 0 , ,
, ,
y f x t t F x y t x y
f F
f F f Fdy x t t x
f F Fdxt y t
7. 设 而是由 所确定的 的函数
其中 都具有一阶连续偏导数 试证明
高等数学( XAUAT)
F f Fdt x x y
f F Fdxt y t
也可得:
,dy dt
dx dx 将 看成未知量
0
0
y x t x
x
dy f f dt f F f Fdydx x t dx x t t x
f F FF F dy F dt dxt y tx y dx t dx
y- f (x, t)=0 方程组 确定了 、 ,方程
F(x, y, t)=0
两端对 求导
- 得
解:
高等数学( XAUAT)
1 1
1
z y x
z y x
x edz dx dy
xe
所以
, 0
.
z y xz f x y z y x xe
dz
8. 设 是由方程 所确定的
二元函数,求
0z y x z y xdz dy dx dxe xe dz dy dx
将方程两端取微分,得:
解:
1 1 1z y x z y x z y x z y xxe dz xe e dx xe dy
整理后得:
高等数学( XAUAT)
2
12 2 222 2
2 12 222 2 3
1 1cos sin
1cos sin
z x xxy yx xy
x y y y y y
x xxy xy xy
y y y
2
9. sin , ,
.
x zz xy x u v
y x y
设 ,求 ,其中
有二阶偏导数
11 2cos y
zy xy
x
解:
高等数学( XAUAT)
3 2
4 3 6 20
y z
x
法线为:
2
0
2 1210.
0
, 2
yy
z
M
23x求由曲线 绕 轴旋转一周得到的旋转面
在 0, 3 处的法线方程.
0 0
2 2 2
0
3 2 3 12 0
6 ,4 ,6 0,4 3,6 2M M
x y z
M
n x y z
旋转曲面的方程为 曲面在 点的法向量为
解:
高等数学( XAUAT)
1
2
1 1 1:
1 2 31 11
3 1 9 1 27 13 274:2 11 1 6 93 3
x y zl
x zy x y zl
即
2 311. , , 2 4x t y t z t x y z 曲线 的所有切线中,与平面 平行的切线有几条?写出这几条切线的方程.
0
0
2 20 01, 2 ,3 1, 2 ,3
t t
t
T t t t t
曲线对应于 处的切线的方向向量为
解:
2 4
1,2,1
x y z
T n
因为切线与平面 平行
所以 与该平面的法向量 垂直
20 0 0 0
10 4 3 1
3t n t t t t 有 即1 =0 解出 或
故,与平面平行的切线有两条,方程分别为:
高等数学( XAUAT)
2212. 4 1
4
xx y y 求直线 与椭圆 之间的最短距离.
22 1
4
xy
1
1
4x y
2o x
y
2 2 1 1 4 14 1 , ,
5 5 5 5y y y y x y ( 舍去)得:
2 02 4
x xyy y
y
解一:先求椭圆各点的切线斜率:
1 4 .4
xx y
y
直线 x+y=4 的斜率为-1,椭圆上与该直线距离最短的点处的切线必与该直线平行.因而有:
即: 代入椭圆方程得
4 14
55 5 2 222
d
由几何图形可以看出这是椭圆与直线最近的一点,最短
距离为:
高等数学( XAUAT)
2
2 2
2
, , 4 14
(
xx y x y y
d
d
作拉格朗日函数:
为了计算方便,将求 的取得最大值的点转化为求
2 的取得最大值的点.)
,
22
4, 4
2
4
2
14
x y
x yx y x y d
x yd
xy
解二:点 到直线 的距离为:
问题转化为求直线 在条件
下的条件极值.
高等数学( XAUAT)
2 2
2 4
1 14 1
5 5
x y
y y y y
由 1 得 代入 3 得
( 舍去)
2
2
, , .
2 4 0 12
2 4 2 0 2
1 0 34
x y
xx y
x y y
xy
求出 并令它们皆为零
()
得 ( )
( )
4 14
4 55 5 2 225 2
x d
得:
高等数学( XAUAT)
六 . 练 习 题
2 2 2 2
2 2
2 2
4 1z= ln arcsin
x +y x +y
0f(x,y)=
0 0
0 0 f(x) 0 0
U=sinxsinysinz x+y+z=2
x y
x y
2 22 2
3 3
1. 求二元函数 的定义域。
1(x +y )si n
x +y2. 求函数
在( ,)点的两个偏导数,并判断 在( ,)点 的连续性。
3. 求二元函数 z=3(x+y)-x -y 的极值。
4. 求函数 满足条件 (x>0, y>0
z>0)的条件极值。 极值。
高等数学( XAUAT)
2
u
1 2 ( , )
dU.
, f
.
=e cos , sin , , , .
13 4 5
u
x y
z
x y
z zv y e v z uv
x y
x y z
l ny
y
5. 求下列函数的一阶偏导数
() z=x ( )U=f (x, xy, xyz), z=
6. 设 U=f (x, z), z(x, y)是有方程z=x+y (z)确定 的隐函数,求
7. z=f (u, x, y), u=xe 其中 具有连续的二阶偏导
数,求
8. 设 x 求
9. 求平面 和 2 2柱面 X +Y =1的交线上
到 XOY平面距离最短的点。
高等数学( XAUAT)
七 . 练习题答案
2 2
2 22 2 2 2 2 2
2 2
ln 1 ln
1 2 3
2 3
1.1 4
1 2 12 sin cos 0
2. ( , )
0 0
( , ) 0
14.
8ln
5. (1) (ln )
(2) ( )
( )
y yx y
x x
y y
x y
xx x y
x y x y x yf x y
x y
f x y
xz y x z x
y
U f yf yz xyz f
U f xz xyz f
在( ,0)点连续.
3. z(1, 2)=0
高等数学( XAUAT)
2 21
22
( )6. ( )
( ) 1 ( ) 1
7.
8. ( cos sin )
( cos sin )
4 3 359.( , , )
5 5 12
y y y yuu uy xu u
u
u
f f zdu f dx dy
y z y z
zxe f e f xe f e f
x y
zv v u v e
xz
u v v v ey