Интегрированный урок по алгебре и началам анализа и...
DESCRIPTION
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. (В14 из ЕГЭ) Усовершенствование знаний, умений и навыков при работе с презентацией. Интегрированный урок по алгебре и началам анализа и информатике. «… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. (В14 из ЕГЭ)
Усовершенствование знаний, умений и навыков при работе с презентацией.
Интегрированный урок по алгебре и началам анализа и
информатике.
«… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»
Н.И. Лобачевский.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:
• находим ООФ и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [а,в];
• находим критические точки, т.е. f'(x)=0;• вычислим значение функции на концах отрезка и во всех критических точках принадлежащих отрезку [а,в];
• из полученных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значение функции.
Виды функций:
• Целые рациональные • Дробно-рациональные • Иррациональные• Тригонометрические• Показательные• Логарифмические• Решение задач методом математического моделирования
Найдём наименьшее значение функции
y=3x2-2x3+1 на отрезке [-4;0]. Решение:1.ООФ: х R2.Найдем производную:у‘(х)=(3х2)`- (2х3)`+1`у‘(х)=6х-6х2
3.Найдём критические точкиу‘(х)=0 т.е. 6х-6х2=0;6х2-6х=0; 6х(х-1)=06х=0 или х-1=0 х=0 х=10 ϵ [-4;0]1 ϵ [-4;0]
4.Вычислим значение функции на концах отрезка и во всех критических точках принадлежащих отрезку [-4;0]
y(-4)=3 . (-4)2-2(-4)3+1=48+64+1=113 y(0)=3.0-2.0+1=1 Наименьшее значение функции-1 Ответ:1
РЕШЕНИЕ
1.ООФ: х R2.у‘(х)=(x3)`+(5x2)`+(3x)` у‘(х)=3x2+10x+33.у‘(х)=0 т.е. 3x2+10x+3=0D=b2-4ac=102-4.3.3=100-36=64
x1= x2=-3
a
Dbx
22,1
32
64102,1
x
3
1
]1;4[3
1
4.y(-1)=(-1)3+5(-1)2+3(-1)=1 y(-3)=(-3)3+5(-3)2+3(-3)=-27+45-9=9 y(-4)=(-4)3+5(-4)2+3(-4)=-64+80-11=5Наибольшее значение функции 9. Ответ:9
Находим допустимую область значения,производную от y и приравниваем к 0
0
0)4)(4(,
0
0160
16)16()16()
)16((
0:)(
2
2
2
2
2
222
x
xx
x
xy
x
x
x
xxxx
x
xy
xyD
C учетом ОДЗ:х-4=0 или х+4=0х=4 х=-4
0
0)7)(7(,
0
0490
49
49772497)72(
)497()497()497(
0:)(
2
2
2
2
2
22
2
2
222
x
xx
x
xy
x
x
x
xxxx
x
xxxx
x
xxxxxx
x
xxy
xyD
x-7=0 или х+7=0x=7 x=-7
]1;14[7 ]1;14[7
Находим наибольшее значение функцииy(x)
.7:
]1;14[
7)7((max)
431
4971
1
49)1(7)1()1(
77
494949
7
49)7(7)7()7(
5,1014
147
14
4998196
14
49)14(7)14()14(
2
2
2
Ответ
yy
y
y
y
Найти наибольшее значение функции на отрезке:
0;
6
5
19,1;9,1cos
14,3;6
cos
0
36cos6
736
sin6
x
x
y
xy
xxy
Т.к. cosx ϵ [-1;1]
О.Д.З : x ϵ R cosx ϵ [-1;1]
14.
1315
1412
14455
12
012
0..0
0120
12
12
111
111
1212
12
12
12
12
12
Ответ
y
y
y
x
x
кт
xy
xy
xy
xy
xy
xx
x
x
x
x
x
.7.
25128287989
718)1(87686
827
48
4848)4(87383
9;366
06
0..,0..
060
6
71
7
671
:
9;378
5369
066
33363
66
6
6
6
66
66
6
функциизначениенаименьшееОтвет
y
y
y
x
x
кткт
xy
xy
xy
xy
xxy
xyД
xy
xx
x
x
x
xx
xx
x
5.Показательная функция (II)
Различные способы исследования показательной функции на наибольшее и наименьшее значение.
(Выполнила Лидяева Е.)
I способ решения:
420484
42
8
2
)(208)(
20
0
2
y
a
bx
вверхветвипараболаграфикхxxf
41216122)4( 4 yзначениеНаименьнее
RхЗДОy xx :..122 2082
II способ решения:
4
82
082
..,0)('
82)('
)'208()('
208)(2
2
x
x
x
етxf
xxf
xxxf
xxxf
функциизначениенаименьшееНайдём
RхЗДОy xx :..122 2082
Подсчитаем знаки
min4
41216122(min)
420484(min)
,..,,4
4
2
y
f
значениенаименьшеесвоёполучитфункцияней
втоточкааяединственнонактфункцииминимуматочках
)(' xf
)(xf
8802)0(' f
III способ решения:
aaа
формулепофункцииюпроизводнуНайдёмxх ln)'(
208
2208
208
2
2
2
22ln)82('
)'208(2ln2'
)'122('
xx
xx
xx
xy
xxy
y
Найдём критические точки
4
82
082
02..,0202ln
..022ln)82(..,0)('208
208
2
2
x
x
xзначит
кт
ктxетxytxx
xx
•y( ) ≈ 0,3
•y( )=7- 1 + 0 = 6
•ymax= 6•Ответ:6
3
1
7
1
21
7
21
3
7
1
13
1
91
13
91
7
3
1;
13
1
7
1
13
1
7
1
• ОДЗ: x>0• y`=(x2-2lnx+1)`• y`=2x-• 2x- =0• 2x2-2• x• 2x2-2=0 2x2=2 x2=1 x=-1 или x=1• x≠0 x≠0 x≠0 x≠0• -1 не подходит т.к. X>0• 1 [0,3; 3,3]⊂
x
2
0
x
2
• y(1)=12-2ln1+1=1-2.0+1=2
• y(0,3)=0,32-2ln3 +1=0,09+2+1=3,09
• y(3,3)=3,32-2ln33+1=10,89-2+1=9,89
• ymin=y(1)=2
• Ответ:2
3
1
Задача
• Найти размеры автомобильной стоянки прямоугольной Найти размеры автомобильной стоянки прямоугольной формы, имеющую наибольшую площадь.формы, имеющую наибольшую площадь.
A B
D C
X
y
PABCD=200 М,
AD=x
DC=y
Решение
PPABDCABDC=(x+y) 2 = 200=(x+y) 2 = 200
x+y=100, x+y=100, отсюдаотсюда y=100-x, 0<x<100 y=100-x, 0<x<100
S=xy=x(100-x)=100x-xS=xy=x(100-x)=100x-x22
• Найдём производную:• S|(x)=(100x-x2)|=100-2x.
• Найдём наибольшее значение функции S(x)=100x-x2 на интервале (0;100)
• S(x)=0• Найдём критические точки функции (f(x)=0):• 100-2x=0• x=50
• Найдём значение функции на концах отрезка и в критических точках:
• S(0)=0 S(50)=2500 S(100)=0
• Значит, стороны стоянки 50м и 50м.
Задача: Точка Р означает Задача: Точка Р означает местонахождение буровой вышки, местонахождение буровой вышки, прямаяпрямая l l – шоссе, В – населенный – шоссе, В – населенный пункт, РА=9км, АВ=15км. РМ пункт, РА=9км, АВ=15км. РМ велосипедист проехал со велосипедист проехал со скоростью 8кмскоростью 8км//ч, а МВ со ч, а МВ со скоростью 10кмскоростью 10км//ч.ч.
Нужно найти расстояние АМ и МВ Нужно найти расстояние АМ и МВ
Решение:Решение:
Пусть Пусть tt –– время движения курьера из точки Р время движения курьера из точки Р в точку В.в точку В.
Нужно найти Нужно найти tt наименьшее. наименьшее.Обозначим АМ через х, где 0≤х≤15, так как 15 Обозначим АМ через х, где 0≤х≤15, так как 15 эта вся длинна прямой АВ. эта вся длинна прямой АВ.
По рисунку мы видим что прямоугольник (РАПо рисунку мы видим что прямоугольник (РАMM) прямоугольный,) прямоугольный,Т.е по теореме Пифагора можно найтиТ.е по теореме Пифагора можно найти
Этот путь велосипедист проезжает со скоростью 8кмЭтот путь велосипедист проезжает со скоростью 8км//ч.ч.Т.е. время которое он затратил на этот путь равноТ.е. время которое он затратил на этот путь равно
Это время движения по отрезку дороги РМЭто время движения по отрезку дороги РМ
222 81 xАМРАРМ
8
81 2
1
xt
МВ=15-х, этот путь велосипедист проезжает МВ=15-х, этот путь велосипедист проезжает со скоростью 10кмсо скоростью 10км//чч
На этот отрезок пути велосипедист затратил На этот отрезок пути велосипедист затратил временивремени
Т.е. Т.е. 10
152
xt
2t
)10
15()
8
81(
2 хxt
Суммарное время движения велосипедиста равно
Найдем производную:
)( 21 tt
10
15
8
81 2| хxt
Найдем критические точки, т.е. Найдем критические точки, т.е. t =0t =0
Значения х принадлежит отрезку Значения х принадлежит отрезку [0;15][0;15]
12
3*4
81*169
)81(*1625
8145
010
1)81*8/(
)1(*10
12*)81(*
2
1*
8
1
2
22
2
2
2
12|
х
х
х
хх
хх
хх
ххt
Найдем значение Найдем значение tt от 0, 12, 15 от 0, 12, 15
Т.е. АМ=12 км.Т.е. АМ=12 км.МВ=15-12=3 км.МВ=15-12=3 км.Ответ: АМ=12 км. а МВ=3 км.Ответ: АМ=12 км. а МВ=3 км.
40
3065
10
1515
8
1581)15(
)12(40
87
10
3
8
15
10
1215
8
1281)12(
40
105
80
12090
10
15
8
9
10
15
8
81
10
015
8
081)0(
2
2
2
t
t
t
t
- - наименьшее значениенаименьшее значение функциифункции
Домашнее задание
• Площадь прямоугольного участка земли 64 см2. Каковы его стороны, если периметр наименьший?
Оценка самого себя.1) На уроке мне было интересно:
o да o нет o затрудняюсь ответить
2) Я присутствовал в хорошем настроении:o да o нет o затрудняюсь ответить
3) На уроке я больше люблю работать:o с помощью учителя o самостоятельно o с помощью одноклассника
4) Мне нравится выполнять задания:o простые и понятные o сложные и интересные o творческие и оригинальные
5) Большую часть времени на уроке:o активная работа o думаю о своем o ждал окончания урока
6)Темп работы на уроке был для меня:o слишком быстрым o нормальным o слишком медленным