Помехоустойчивое кодирование

Вероятность ошибочного декодирования

Модель двоичного симметричного канала

pp

pp

ppP

1

1

Чтобы гарантировать обнаружение до s ошибок, минимальное расстояние Хэмминга в

блоковом коде должно быть dmin = s + 1.

Замечание

Геометрическая интерпретация нахождения dmin при обнаружении ошибок

Чтобы гарантировать исправление до t ошибок, минимальное расстояние Хэмминга в

блоковом коде должно быть dmin = 2t + 1.

Замечание

Геометрическая интерпретация нахождения dmin при исправлении ошибок

Вероятность ошибки

• Вероятность ошибочного слова веса i равна

• Вероятность ошибки веса i равна

ini pp )1(

ini ppi

n

)1(

Вероятность ошибочного декодирования

• Ошибочное слово совпадает с некоторым

кодовым словом (то есть вектор ошибки -

кодовое слово)

221

Вероятность ошибочного декодирования

Вероятность ошибочного декодирования

где – число кодовых слов веса i.

inin

diiош ppAР

)1(min

iA

Пример

Данные кодируются (7,4)-кодом Хэмминга

Канал с АБГШ, отношение сигнал/шум – 6дБ – это

эквивалентно вероятности ошибки двоичного символа,

равной 0,023.

Скорость передачи – 16 кбит/сек

Пример

Решение. Кодовое слово будет передаваться без

ошибок, если все 7 двоичных символов переданы

верно.

85,0)023,01()1( 77 pPбезош

573443 109,7023,0977,0023,07977,0023,07 ошP

Вероятность ошибочного слова

•Пример. Рассмотрим код с повторением C = {000, 111}.Вероятность правильного декодирования

для слова 000 есть (1 - p)3 + 3p(1 - p)2,для слова 111 есть (1 - p)3 + 3p(1 - p)2.

Тогда Perr (C) = 1 - ((1 - p)3 + 3p(1 - p)2)есть вероятность ошибочного слова.

•Пример. Пусть p = 0.01, тогда Perr (C) = 0.000298 и лишь одно слово из 3555 дойдет до получателя с ошибкой.

Вероятность ошибочного слова

•Вероятность ошибочного слова

где - количество ошибочных слов веса i.

init

iierr ppBР

)1(11

iB