Теория Задачи

Теория Задачи

МЕТОД ПЛОЩАДЕЙ

Метод площадей. Теория.

1S 2S

nm

Теорема 1.Если треугольники имеют общую вершину и их основания лежат на одной прямой, то площади треугольников пропорциональны длинам их оснований :

n

m

hn

hm

S

S

5,0

5,0

2

1

h

Доказательство:n

m

S

S

2

1


1S 2S

m n

Теорема 2.Если треугольники имеют общую сторону, то их площади пропорциональны длинам отрезков, высекаемых продолжением их общей стороны на прямой, соединяющей их вершины:

n

m

S

S

2

1

Доказательство:

n

m

yxn

yxm

nynx

mymx

SS

SS

S

S

)(

)(

46

35

2

1

mxS 5 nxS 6

myS 3 nyS 4


1S 2S

B

A

D

C

Теорема 3.Если основания треугольников совпадают, а вершины лежат на прямой, параллельной основанию, то площади треугольников – одинаковы.(Обратная) Если площади треугольников АВС и АВD равны, то прямые АС и ВD параллельны.

H K


DKBHSS ADCABC

Прямая BD параллельна прямой АС.


m n

ab

A

B

C

MN

Теорема 4.Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведения сторон, содержащих этот угол.

BMBN

BCAB

S

S

BMN

ABC


mn

ab

Bmn

Bab

S

S

BMN

ABC sin5,0

sin5,0


1S2S

Теорема 5.Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

a b

ka kb

Доказательство:Углы треугольников равны, поэтому по предыдущей теореме получаем

22

1 1

kkbka

ba

S

S

Метод площадей.Задачи-иллюстрации.

A

B

C

M1A

1B

В треугольнике АВС проведены медианы, М – точка их пересечения. Найти площадь треугольника АВМ, если площадь исходного треугольника равна 9.

Решение:

5,495,01:1:)1111

ABAACAABA SSS

M

x

x2

35,43

21:2:2:)2

1 ABMBMAABM SxxSS


101 S

152 S

243 S

?4 S

Диагонали разделили четырехугольник на треугольники, площади трех из которых равны 10, 15 и 24.Найти площадь четвертого треугольника. Решение:

152 S

101 S

m

n

mnSS :3:215:10:)1 21

16243

23:2::)2 434 SmnSS


А

В

СN

PM

12 18

10

5

24

?

? В треугольнике АВС проведены чевианы, которые пересекаются в одной точке и высекают на стороне АВ отрезки 5 и 10, а на стороне АС отрезки 12 и 18. Найти длины отрезков, высекаемых на стороне ВС, если ее длина 24.

x2 x3

Решение:

3:218:12::)1 NCANSS BKCABK

y

y2

1:25:10::)2 PBAPSS BKCACK

xyxy 623)3

x6

3:16:2::)4 xxSSMCBM AKCABK

Ответ: ВМ=6, МС=18.

К


A

B C

D

x2

x3

?

?

?

?

В трапеции проведены обе диагонали. Ее основания относятся как 2:3. Площадь всей трапеции равна 75. Найти площади ее кусочков.O

Решение:

y4

y9

O

1) ΔАОD подобен ΔСОВ с коэффициентом 2:3. Следовательно,

9:4: AODBOSC SS

O

2) Площади треугольников ABD и ACD одинаковы, треугольник AOD – их общая часть, поэтому площадитреугольников АОВ и СOD равны.

y9

zz

3) Используем отношение площадей:z

y

y

z

S

S

OC

AO

S

S

DOC

AOD

BOC

ABO 9

4

Тогда .694 yyyz Таким образом,

y6 y6

75259664 yyyyy

,18363 CODABO SSy .1234,2739 COВADO SS


A

B C

D

M

N P

Q

?S

Площадь параллелограмма ABCDравна 10. Найти площадь четырехугольника MNPQ.

a

a2a2

a2a2

K Решение:1) Найдем площадь треугольника ВКС:

.5,24:105,0 BDCBKC SS

Р

2) Найдем площадь треугольника BPL:

.25,28,05

4 BPC

BKC

BPC SBK

BР

S

S

2S

3) Аналогично, площади треугольников ABN, ADM и CQD равны 2.

QM

N

2S2S

2S

4) Тогда 22410 MNPQS

Теория Задачи

Documents