第二节 偏导数与全微分
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多元函数微分学. 第二节 偏导数与全微分. 设 z=f(x,y) 在点 的某邻域内有定义 , 当 y 固定在 时 , 得一元函数 ,. z=f(x,y) 在点 处对 x 的偏导数. 类似的 , z=f(x,y) 在点 处对 y 的偏导数. 第二节 偏导数与全微分. 一 . 偏导数. 1. 偏导数的定义. 定义. 例如 : 求 时 , 只要将 y 视为常数 , 求 f(x,y) 关于 x 的导数. 注 :. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第二节 偏导数与全微分
第二节 偏导数与全微分一 .偏导数1. 偏导数的定义定义设 z=f(x,y) 在点 的某邻域内有定义 , 当 y 固定在 时 ,
得一元函数 ,
),( 00 yx 0y
),( 0yxf
x
yxfyxxfx
),(),(lim 0000
0
z=f(x,y) 在点 处对 x 的偏导数 ),( 00 yx
),( 00 yxf x),( 00 yxx
z
),( 00 yxx
f
类似的 , z=f(x,y) 在点 处对 y 的偏导数 ),( 00 yx
y
yxfyyxfy
),(),(lim 0000
0),( 00 yxf y
),( 00 yxy
z
),( 00 yx
y
f
注 :(1). 若二元函数 z=f(x,y) 在 D 内每一点都有偏导数 , 则此偏 导数也是 x,y 的函数 -------- 偏导函数 .
,......,,, yxyx zzff ,......,,,y
f
y
z
x
f
x
z
(2). 二元函数偏导数定义可以推广到更多元 .
例如 : u=f(x,y,z)
x
zyxfzyxxfzyxf
xx
),,(),,(lim),,( 000000
0000
(3). 由偏导数定义 , 一元函数的求导法则可用于求偏导数 .
例如 : 求 时 , 只要将 y 视为常数 , 求 f(x,y) 关于 x 的导数 .xf
例 1.22),( yxyxyxf 求 )2,0(yf)1,0(xf
221
yx
xf x
221
yx
yf y
,1)1,0( xf 0)2,0( yf
例 2.xyzu 求偏导数
y
u
z
u
x
u
yzz xy )(ln xzz xy )(ln 1 xyxyz
0,0
0,),(
22
2222
yx
yxyx
xyyxf例 3. 求 )0,0(yf)0,0(xf
分段点处偏导数要用定义求
)0,0(xf 0)0,0()0,0(
lim0
x
fxfx
)0,0(yf 0)0,0()0,0(
lim0
y
fyfy
例 4. ||||),( yxyxf 在 (0,0) 点是否连续 ? 是否有偏导数 ?
)0,0(0),(lim00
fyxfyx
故在 (0,0) 点连续 .
由定义易知在 (0,0) 点偏导数不存在 .
注意 :对于一元函数 , 可导必连续 . 而对于多元函数 , 从以上两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系 .
2. 偏导数的几何意义),( 00 yxf x 表示曲面 z=f(x,y) 与平面 的交线 L 在点 处的切线 对 x 轴的斜率
0yy )),(,,( 00000 yxfyxM xTM 0
tan
),( 00 yxf y 表示曲面 z=f(x,y) 与平面 的交线 L 在点 处的切线 对 y 轴的斜率
0xx )),(,,( 00000 yxfyxM yTM 0
tan
二 .高阶偏导数
二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 仍为 x, y 的函数 .yx ff ,
它们的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数 .
;)(2
2
xxxx fzx
z
x
z
x
;)(2
xyxy fzyx
z
x
z
y
;)(2
yxyx fzxy
z
y
z
x
.)(2
2
yyyy fzy
z
y
z
y
混合偏导数
类似的定义三阶以上偏导数
定理 若 z=f(x,y) 的二阶混合偏导数 在 (x,y) 连续 ,则
yxxy ff ,
yxxy ff ( 适用于三阶以上 )
例 5.x
yz arctan 求
yx
z
xy
z
22
,
)()(1
12
2 x
y
xyx
z
222
222
)( yx
xy
xy
z
yx
z
2
xxyy
z 1
)(1
1
2
,22 yx
y
,22 yx
x
例 6. 13 323 xyxyyxz
求 3
3
2
222
2
2
,,,,x
z
y
z
yx
z
xy
z
x
z
,33 322 yyyxx
z
xxyyxy
z
23 92
22
2
6xyx
z
xyxy
z182 3
2
2
196 222
yyx
xy
z
23
3
6yx
z
yx
z
2
三 . 全微分的概念
1. 全增量 :设 z=f(x,y) 在点 P(x,y) 的某邻域内有定义 ,
),(),( yxfyyxxfz 全增量2. 定义 : 如果 z=f(x,y) 在点 (x,y) 的全增量
),(),( yxfyyxxfz 可以表示为)( yBxAz
仅与 x,y 有关 22 )()( yx
则称 z=f(x,y) 在点 (x,y) 可微分
yBxA 称为 z=f(x,y) 在点 (x,y) 的全微分dz
注 :(1). 若函数在区域 D 内处处可微分 , 则称它在 D 内可微分 .
(2). 可微分一定连续 .
0)]([limlim00
00
yBxAzyx
yx
(3). 全微分特征 :
全微分是自变量增量的线性函数 ;
全微分与全增量之差是比 高阶的无穷小 )0(
注 : (1). 与一元函数类似 : dyy
zdx
x
zdz
(2). 此定理反之不然 , 这是与一元函数的区别 .
例如 :
0,0
0,),(
22
22
22
yx
yxyx
xy
yxf
0)0,0()0,0( yx ff 但是函数在 (0,0) 不可微 .
22 )()(])0,0()0,0([
yx
yxyfxfz yx
)0).((
四 . 全微分与偏导数的关系定理 1( 可微的必要条件 )
若函数 z=f(x,y) 在点 (x,y) 可微分 , 则称它在该点的偏导数必存在 , 且
yy
zx
x
zdz
以上所有的全微分定义及定理都可以推广到二元以上
定理 2( 可微的充分条件 )
若函数 z=f(x,y) 的偏导数在点 (x,y) 连续 , 则函数在该点可微 .
注意 : 反之不然 .
例如 :
0,0
0,1
sin)(),(
22
2222
22
yx
yxyx
yxyxf
在点 (0,0) 处可微 , 但偏导数不连续 . ( 证明略 )
例 6. 求 在 (2,1) 点的全微分xyez
,xyyex
z
例 7. 求 的全微分yzey
xu 2
sin
xyxey
z
,2
12
ex
z
yx
,2 2
12
ey
z
yx
dyedxedz 22 2
,1
x
u,
2cos
2
1 yzzey
y
u
yzye
z
u
dzyedyzey
dxdu yzyz )2
cos2
1(
注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别
一元函数 : 可导 可微
连续
多元函数 :
可偏导
可微
连续
偏导数连续
练习
2
22222
2
2222
2
223
2
223
2
2222
2
2232
cos)(2sin3
,cos2sin2
,cos2sin
z
yxyxxy
z
yxzxy
z
u
z
yxzxy
z
yxxyz
y
u
z
yxzyx
z
yxzy
x
u
z
u
y
u
x
u
z
yxzxyu
,,,sin.12
2232 求
.cossin1
sin
,sincossin
,cos1
sin1
,sin1
cos
322
2
2
22
2
x
y
x
y
x
y
xx
y
x
y
yx
z
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
z
x
y
xx
y
xy
z
x
y
xx
y
y
z
yx
z
y
z
x
y
x
yxz
2
2
2
,,cossin.2 求
.dlnddd
.ln
,
,1
1
2
1
1
22
1
11
zy
x
y
xy
y
x
y
xzx
y
x
y
zz
y
x
y
x
z
u
y
x
y
xz
y
x
y
xz
y
u
y
x
y
z
yy
xz
x
u
zzz
z
zz
zz
zy
xz
z
d,.3 求