שיטת החילוץ של גאוס

לפתרון מערכת משואות לינאריות

הילה מושיוב

המטרה : לעבור ממערכת המשוואות הנתונה •למערכת שקולה שהפיתרון שלה מיידי.

הדרך: ע"י ביצוע פעולות אלמנטריות שיביאו •למערכת שקולה בה כל נעלם יופיע במשוואה

אחת בלבד.

פעולות אלמנטריות

החלפת מקומן של שתי משוואות במערכת זו •בזו

החלפת אחת המשוואות של המערכת בכפולה •של אותה משוואה בסקלר שונה מאפס

הוספת כפולה של משוואה אחת למשוואה •אחרת של המערכת

משואה אחת עם נעלם אחד

6 = 2 + X4

שתי משואות עם שני נעלמים

0 = Y2 + X

3 = Y + X2

ככל שיש יותר משתנים כך נחוצה דרך יותר שיטתית לפתרון.

מערכת משוואות

2 3 1

2 3 2

3 1

x y z

x y z

x y z

Xהמטרה: לאפס את המקדם של במשוואה השנייה

- פעמים המשוואה הראשונה למשוואה 2נוסיף •השניה:

2 3 1

0 3 3 0

3 1

x y z

x y z

x y z

2 3 1

2 3 2

3 1

x y z

x y z

x y z

Xהמטרה: לאפס את המקדם של במשוואה השלישית

- פעמים המשוואה הראשונה למשוואה 3נוסיף •השלישית:

2 3 1

0 3 3 0

0 5 8 2

x y z

x y z

x y z

2 3 1

0 3 3 0

3 1

x y z

x y z

x y z

בכל המשוואות פרט לראשונה:Xביטלנו את •

2 3 1

3 3 0

5 8 2

x y z

y z

y z

במשוואה Yהמטרה: המקדם של 1השנייה יהיה

-1/3נכפול את המשואה השנייה ב •

2 3 1

3 3 0

5 8 2

x y z

y z

y z

2 3 1

0

5 8 2

x y z

y z

y z

Yהמטרה: לאפס את המקדם של במשוואה הראשונה

- פעמים המשוואה השנייה למשוואה 2נוסיף •2הראשונה: 3 1

0

5 8 2

x y z

y z

y z

0 1

0

5 8 2

x y z

y z

y z

Yהמטרה: לאפס את המקדם של במשוואה השלישית

פעמים המשוואה השנייה למשוואה 5נוסיף •השלישית:

1

0

3 2

x z

y z

z

0 1

0

5 8 2

x y z

y z

y z

במשוואה Zהמטרה: המקדם של 1השלישית יהיה

-1/3נכפול את המשואה השלישית ב •

1

0

2 3

x z

y z

z

1

0

3 2

x z

y z

z

Zהמטרה: לאפס את המקדם של במשוואה הראשונה

- פעמים המשוואה השלישית למשוואה 1נוסיף •הראשונה:

1

0

2 3

x z

y z

z

130

2 3

x

y z

z

Zהמטרה: לאפס את המקדם של במשוואות הראשונה והשניה

- פעמים המשוואה השלישית למשוואה 1נוסיף •הראשונה והשניה:1

0

2 3

x z

y z

z

132 3

2 3

x

y

z

ניתן להציג את המקדמים של מערכת Aהמשוואות כמטריצת מקדמים

1 2 3

2 1 3

3 1 1

A

הפעולות שביצענו יצרו •מטריצת יחידה

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

2

1

B ניתן להציג את •

המקדמים החופשיים של המשוואות כווקטור

Bעמודה

ואת הפתרון של •Xהמשוואות כוקטור

פתרון המשוואות יתקבל •ע"י

x

X y

z

A X B

מטריצת היחידה

Iמטריצת יחידה מסומנת בעזרת האות •מטריצת היחידה משמשת כאיבר נטרלי ביחס לכפל מטריצות •

כפי שהמספר אחד משמש כאיבר נטרלי ביחס לכפל סקלרים:

מסומנת:Aמטריצה הופכית למטריצה •

לא לכל מטריצה יש הופכית.•.רגולריתמטריצה הפיכה נקראת –.סינגולריתמטריצה לא הפיכה נקראת –

1A

1 1A A A A I

AIAAI

נחזור למערכת המשוואות הלינאריות.•נכפול את שני הצדדים ב - •ונקבל•

במטלאב מסמנים זאת: •

1A

\X A B

bXA

bAXAA 11

bAX 1

דרך נוספת לפתרון היא באמצעות rrefהפונקציה

יוצרים מטריצת מקדמים ומוסיפים לה, בעמודה נוספת, את וקטור המקדמים החופשיים ומפעילים

rrefעליה את הפונקציה