Кодирање, детекција и корекција грешака

Кодирање, детекција и корекција грешака

Увод Тежински кодови Нетежински кодови Детекција грешака Детекција и корекција

грешака

Увод

Информације у окружењу постоје у различитим облицима.

Оне могу бити неелектричног и електричног типа.

Величине електричног типа могу бити аналогне и дигиталне.Притиснут одређени тастер

на тастатури, температура, притисак, напон, струја, ...

Увод

Све неелектричне величине морају се претворити у електричне помоћу разних врста сензора, давача, и сл.

Аналогне електричне величине морају се претворити у дигиталне.

У крајњој линији, подаци којима барата рачунарски систем су у бинарном облику.

Увод

Стога је зе коришћење у рачунарским системима најпогоднији бинарни бројни систем.

Људи су навикнути на рад са децималним бројевима.

Компромис између ове две потребе је да се изврши бинарно кодирање децималних бројева.

Увод

Како постоји десет декадних цифара (0, 1, ..., 9) за кодирање сваке цифре потребна су четири бита.

Са четири бита можемо да направимо 24 комбинација, док нам је потребно свега 10.

Последица: постоји велики број кодова.

Увод

Бинарни кодови могу бити: Тежински (пондерисани). Нетежински (непондерисани).

Осим наведених разлога, бинарни кодови се користе и у сврху детекције и корекције грешака насталих у преносу података.

Тежински кодови

Код тежинских кодова свакој цифри се додељује тежина t.

Збир тежина оних цифара које имају вредност 1 еквивалентна је децималном броју који се представља помоћу четири бита.

00112233 tdtdtdtd


У случају када је

t0=20=1, t1=21=2, t2=22=4, t3=23=8

добијамо већ познати BCD код, или ’’8421’’.

Тежински кодовиДекадна цифра

8421 7421 4221

0 0000 0000 0000 0000

1 0001 0001 0001 0111

2 0010 0010 0010 0110

3 0011 0011 0011 0101

4 0100 0100 1000 0100

5 0101 0101 0111 1011

6 0110 0110 1100 1010

7 0111 1000 1101 1001

8 1000 1001 1110 1000

9 1001 1010 1111 1111

842 1


Неки кодови имају особину да се код деветичног комплемента неке цифре добија као јединични комплемент њене кодне презентације.

То су аутокомплементарни кодови.


Најчешће се користи BCD код. Сабирање бројева је исто као и

код бинарних све док сума не прелази 9.

децимални BCD

5 0101

+ 4 + 0100

9 1001


Када сума прелази 9, врши се децимално подешавање додавањем броја 6.

декадни BCD

8 1000

+ 6 + 0110

14 1110 (14 није легални BCD број)

+ 0110 dodaje se 6

0001 0100


Подешавање се врши и када постоји пренос са једног цифарског места на друго.

0110

децимални BCD

9 1001

+ 7 + 0111

16 0001 0000

0001 0110


Када је у питању операција одузимања, подешавање се врши одузимањем броја 6.

Нетежински кодови

Код нетежинских кодова не постоји одговарајућа тежина придружена појединим битовима у кодној речи.


Код ’’вишак 3’’Добија се додавањем броја три децималном броју.

Добијени код је аутокомплементаран.


децимални вишак 3

0 0011

1 0100

2 0101

3 0110

4 0111

5 1000

6 1001

7 1010

8 1011

9 1100


Подешавање за случај појаве преноса се врши додавањем броја три на оба цифарска места.

Децимални Вишак 3

8 1011

+ 6 1001

14 1 0100

0011 0011

0100 0111


Када збир не прелази 9 подешавање вршимо одузимањем броја три.

децимални Вишак 3

5 1000

+ 3 + 0110

8 1110

0011 одузима се 3

1011


Код одузимања се подешавање врши додавањем броја три.

децимално Вишак 3

17 0100 1010

- 11 - 0100 0100

6 0000 0110

+ 0011 додаје се 3

1001


Циклични кодУзастопне кодне речи разликују се само на једној бит-позицији.


децимални циклични

0 0000

1 0001

2 0011

3 0010

4 0110

5 0100

6 1100

7 1110

8 1010

9 1000


Грејов кодЈош један тип цикличног кода је рефлективни код или Грејов код.Једна од особина овог кода је да су, осим MS цифре све колоне рефлективне (симетричне) у односу на средњу тачку.


Дек. Бин. Грејов

0 0000 0000

1 0001 0001

2 0010 0011

3 0011 0010

4 0100 0110

5 0101 0111

6 0110 0101

7 0111 0100

8 1000 1100

9 1001 1101

10 1010 1111

11 1011 1110

12 1100 1010

13 1101 1011

14 1110 1001

15 1111 1000

• На MS позицији у горњој половини су нуле а у доњој јединице.


Децимални број се конвертује у Грејов код најпре конверзијом у бинарни.

Бинарни број се конвертује у Грејов код формирањем суме по модулу 2 између текуће цифре (почевши од LS цифре) и суседне цифре веће тежине.

Нетежински кодови Ако је бинарна презентација

децималног броја дата у облику

b3b2b1b0,

тада се одговарајућа кодна реч из Грејовог кода, G3G2G1G0, одређује као

G3= b3

G2= b3 b2

G1= b2 b1

G0= b1 b0


Пример:Наћи Грејов код децималног броја 11.

Одговор:Бинарна презентација броја 11 је 1011.

G3= b3 = 1; G2= b3b2 = 10 = 1;

G1= b2b1 = 01 = 1; G0= b1b0 = 11 = 0;

Одговарајући Грејов код је 1110.


Конверзија Грејовог кода у децимални еквивалент такође се изводи најпре конверзијом у бинарни.


Пример:Одредимо децимални еквивалент Грејове кодне речи 1110.

Одговор:b3 = G3= 1; G2= b3b2 = 1b2 = 1 b2 = 0;

G1= b2b1 = 0b1 = 1 b1 = 1;

G0= b1b0 = 1b0 = 0 b0 = 1;


Бинарни еквивалент је 1011 што одговара декадном броју 11.

Детекција грешака

Број позиција на којима се два низа разликују назива се Хемингово растојање.

n-коцка има 2n чворова при чему сваки чвор одговара једном n-тобитном низу.


Два чвора n-коцке су повезана потегом акко је Хемингова дистанца између одговарајућих низова једнака 1.


0 11-коцка

10

11 2-коцка

00

01


100 110 3-коцка

000 010

101 111

001

011


4-коцка

1000

1100

0000

0100

1010

1110

0010

0110

1001

1101

0001

0101

1011

1111

0011

0111


У оквиру n-коцке постоји више m-субкоцки са по 2m чворова.

Код сваке од m-субкоцки n-m битова једног чвора има исту вредност, док осталих m битова представља једну од 2m бинарних комбинација.


n-коцка представља геометријску интерпретацију појма Хемингове дистанце.


Било који n-тобитни код може се посматрати као подскуп свих могућих n-тобитних низова.

Они низови који припадају том подскупу зову се кодне речи.

Остале низове ћемо звати не-кодним речима.


Ако, приликом преноса података, примимо не-кодну реч, то је знак да је дошло до грешке.

Да би се успешно детектовала грешка на једној бит позицији, кодне речи морају да имају растојање не мање од 2.


То значи да избор кодних речи из одговарајуће n-коцке мора да буде такав да се бирају кодне речи које одговарају несуседним чворовима.


Ако изаберемо да тробитни код чине кодне речи

000, 011, 100, 111,

онда грешка на једној бит позицији може да промени кодну реч 100 у 000 или 110 па овај код не може детектовати све грешке.

100 110

000 010

101 111

001

011


Ако би из кода изоставили кодну реч 100, и уместо ње узмемо кодну реч 101 добијамо код који може да детектује све грешке на једној бит позицији.


100 110

000 010

101 111

001

011

Код парне парности


100 110

000 010

101 111

001

011

Код непарне парности


Кодови за проверу парности Да би се у произвољном коду

очувало растојање 2, на n информационих битова додаје се 1 редудантни бит.

Тако добијамо (n+1)-битни код за проверу парности:

Код парне парности. Код непарне парности.


На претходним сликама кодови имају 2 MS бита информације и LS бит парности.


Кодови m од n.Ово је још једна класа кодова који могу да детектују једноструку грешку.

Овде све важеће кодне речи имају n битова од којих је m увек постављено на 1.


За представљање декадних цифара погодан је код 2 од 5 (C5

2), јер има тачно 10 комбинација.

Детекција грешакадецимални 2 од 5

тежина 63210

0 01001

1 00011

2 00101

3 00110

4 01010

5 01100

6 10001

7 10010

8 10100

9 11000


Дводелни (biquinary) кодови.Ради се о 7-битном коду који се састоји из два дела.

Први део је тежински код 1 од 2, а други је такође тежински 1 од 5.

Детекција грешакадецималн

и50 43210

0 01 00001

1 01 00010

2 01 00100

3 01 01000

4 01 10000

5 10 00001

6 10 00010

7 10 00100

8 10 01000

9 10 10000


Кодови са остаткомЗаснивају се на аритметици по модулу. Остатак при дељењу броја N бројем p је

R = N mod p

Остаци броја могу се искористити за његову идентификацију тј. презентацију.

Детекција грешакаN Остатак по модулу

2 3 5 7

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

2 0 2 2 2

3 1 0 3 3

4 0 1 4 4

5 1 2 0 5

6 0 0 1 6

7 1 1 2 0

8 0 2 3 1

9 1 0 4 2

10 0 1 0 3

N Остатак по модулу

2 3 5 7

11 1 2 1 4

12 0 0 2 5

13 1 1 3 6

14 0 2 4 0

15 1 0 0 1

16 0 1 1 2

17 1 2 2 3

18 0 0 3 4

19 1 1 4 5

20 0 2 0 6


Над бројевима са остатком могуће је вршити операције.

Код сабирања врши се само сабирање одговарајућих остатака при чему се игноришу преноси.


2 3 5 7 модуо

13 1 1 3 6

7 1 1 2 0 остаци по модулу

13 + 7 = 20 0 2 0 6


2 3 5 7 модуо

9 1 0 4 2

8 0 2 3 1 остаци по модулу

9 + 8 = 17 1 2 2 3


Множење се обавља тако што се по модулу множе одговарајући остаци игноришући преносе.

Детекција и корекција грешака

Бергерови кодови – користе се за пројектовање логичких кола која могу да детектују сопствене грешке (self-cheking circuits).


Формирају се на следећи начин:1. Формира се бинарни број који је

једнак броју јединица у податку.2. Формира се комплемент сваког

бита у овом броју.3. Резултујући бинарни број се састоји

од битова провере који се придружују битовима податка и тако формирају кодну реч.


Ако је у податку n битова, потребно је K = log2(n+1) битова провере.

Такође, ако имамо K битова провере, онда број битова податка може највише бити једнак

n = 2K – 1.


Ако n = 2K – 1, онда се битови провере могу добити и као бинарни еквивалент броја 0 битова у податку.


Помоћу Бергерових кодова могуће је детектовати све једносмерне грешке, тј. промене нула у јединице или промене јединица у нуле.


Пример:Нека је N=101011, тада је

K = log2(6+1) = 3,

па одговарајућа Бергерова кодна реч има 6+3=9 битова.


Пример:Три бита провере одређују се на следећи начин:

Број јединица у битовима податка = 4

Бинарни еквивалент од 4 = 100

Комплемент од 100 је 011Кодна реч = 101011 011

Битови податк

а

Битови провер

е


Ако у податку имамо 7 битоваN = 1000110

три бита провере могу се добити и као бинарни еквивалент броја нула.

1000110 100Битови податка


е


Нека су два бита погрешна у оквиру податка

1011110 100

Битови податка


е


Тада ће битови провере бити 010 што се разликује од 100 и грешка ће бити детектована.

Очигледно је да на овај начин не могу бити детектоване грешке двосмерног типа.


Кодови за корекцијуСа једним редудантним битом (битом парности) може се само детектовати грешка на једној бит позицији.Да би могли да утврдимо где је грешка потребни су додатни битови.


100 110

000 010

101 111

001

011

Пример кода који има 1 информациони бита и два редудантна бита.

Кодно растојање је 3.

Ако се појави грешка, некодна реч је на растојању 2 од друге кодне речи.


На овај начин могу се детектовати и кориговати једноструке грешке или само детектовати двоструке.

Да би кориговали x грешака код мора да има растојање 2x+1.


Хемингови кодови.Ово је најчешћи тип кода за корекцију грешака код RAM-а.

Кодна реч се формира тако што се n-тобитном податку додаје k битова парности (2k ≥ n + k + 1).

Битови парности налазе се на позицијама које су степен броја 2 а остали битови чине податак.


Опште правило за бит на позицији n: прескочи n−1 битова, провери n битова, прескочи n битова, провери n битова итд.

Другим речима, бит парности на позицији 2p проверава битове на оним позицијама које имају постављен бит p у њиховој бинарној презентацији.


Примера ради, бит 13, тј. 11012, проверавају битови 10002 = 8, 01002 = 4 и 00012 = 1.

Детекција и корекција грешакаОпште правило се може приказати на следећи начин:

Бит позиција 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Битови кодираног податка p1 p2 d1 p3 d2 d3 d4 p4 d5 d6 d7 d8

Покривање битова

парности

p1 X X X X X X

p2 X X X X X X

p3 X X X X X

p4 X X X X X


Пример:Одредити Хемингов код за 8-битну реч

1100 0100Одговор:

Сваки од битова парности рачуна се на следећи начин:


P1=ExOR(3, 5, 7, 9, 11) = 1 1 0 0 0 = 0

P2=ExOR(3, 6, 7, 10, 11) = 1 0 0 1 0 = 0

P4=ExOR(5, 6, 7, 12) = 1 0 0 0 = 1

P8=ExOR(9, 10, 11, 12) = 0 1 0 0 = 1


Заменом вредности за P1, P2, P4 и P8 добијамо следећу 12-тобитну информацију.

Бит позиција

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0


Оваква 12-битна информација би се уписала у меморију а када се врши њено читање поново се врши провера ради детекције грешака.

Проверава се парност речи над истом групом битова укључујући и бит парности.


Сва четири бита проверавају се на следећи начин:

C1 = ExOR(1, 3, 5, 7, 9, 11)

C2 = ExOR(2, 3, 6, 7, 10, 11)

C4 = ExOR(4, 5, 6, 7, 12)

C8 = ExOR(8, 9, 10, 11, 12)


Како су битови уписани са парном парношћу, резултат C1C2C4C8 = 0000 указује да до грешке није дошло.

Ако се деси да се приликом провере установи да је C1C2C4C8 ≠ 0000 тада се на основу четворобитног бинарног броја који формирају битови провере може установити где је грешка.


Бит позиција

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 Нема грешке

1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 Грешка у биту 1

0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 Грешка у биту 5


C8 C4 C2 C1 коментар

0 0 0 0 Грешка не постоји

0 0 0 1 Грешка на бит позицији 1

0 1 0 1 Грешка на бит позицији 5

Кодирање, детекција и корекција грешака

Documents