Курс: Общий физический практикум
DESCRIPTION
Сегодня: _________________ 2009 г. Склярова Елена Александровна. Курс: Общий физический практикум. Лекция № 13. Сегодня: ______________ 2009 г. Тема: Применение теории вероятности при обработке результатов физических экспериментов. Содержание лекции:. Вспомним! Ошибки измерения. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/1.jpg)
Курс: Общий физический практикумКурс: Общий физический практикум
Сегодня: _________________ 2009 г.
Склярова Елена Александровна
![Page 2: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/2.jpg)
Лекция № Лекция № 1313
Тема: Тема: Применение теории Применение теории вероятности при обработке вероятности при обработке результатов физических результатов физических экспериментовэкспериментов
1. Вспомним! Ошибки измерения.2. Показатели точности измерения.3. Средние значения и их оценки, проверка гипотез.4. Вычисление средних для интервального ряда.5. Оценки истинного значения измеряемой величины.6. Сравнение средних при неизвестной дисперсии.7. Отыскание параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов:
-- отыскание параметров линейной функции;-- отыскание параметров квадратичной функции.
Содержание лекции:
Сегодня: ______________ 2009 г.
![Page 3: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/3.jpg)
Ошибки измерения Ошибки измерения
Численное значение физической величины получается в результате ее измерения, т.е. сравнения ее с другой величиной того же рода, принятой за единицу. При выбранной системе единиц результаты измерений выражаются определенными числами.
Известно, что при достаточно точных измерениях одной и той же величины результаты отдельных измерений отличаются друг от друга, и, следовательно, содержат ошибки.
![Page 4: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/4.jpg)
Ошибки измеренияОшибки измерения
Ошибкой измерения называется
разность х – а между результатом измерения х и истинным значением а измеряемой величины.
Ошибка измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины.
Поэтому одной из основных задач математической обработки результатов эксперимента как раз и является оценка истинного значения измеряемой величины по получаемым результатам.
![Page 5: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/5.jpg)
Ошибки измеренийОшибки измерений
Ошибки бывают: систематические; случайные; грубые.
![Page 6: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/6.jpg)
Пример 1Пример 1
Таблица 1
Исходные данные
Расчет Контроль
х m u mu mu2 v mv mv2
35,6 1 –4 –4 16 –5 –5 25
35,9 3 –1 –3 3 –2 –6 12
36,1 3 1 3 3 0 0 0
36,2 2 2 4 8 1 2 2
36,6 1 6 6 36 5 5 25
Сумма 10 – 6 66 – –4 64
![Page 7: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/7.jpg)
Пример 1Пример 1
В табл. 1 первые два столбца дают результаты десяти измерений некоторой величины (х – результаты измерений, m – число получений соответствующего результата).
Выбирая за начало отсчета с = 36,0 и полагая h = 0,1, подсчитываем значения
для третьего столбца. Сумма чисел четвертого и пятого столбцов
дают все данные для расчета и s*. В последних трех столбцах проведены
контрольные расчеты при другом начале отсчета с1 = 36,1, что соответствует сдвигу u = v + 1.
1,0
0,36
ii
i
x
h
cxu
x
![Page 8: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/8.jpg)
Пример 1Пример 1
С помощью полученных сумм подсчитываем средние:
Контрольные расчеты дают те же результаты:
06,366,0 0,1 36,0 ;6,010
6 xu
.25,024,61,06,010
661,0 2* s
06,36)4,0( 0,1 36,0 0,4;10
4
xu
.25,024,61,04,010
641,0 2* s
![Page 9: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/9.jpg)
Пример 2Пример 2
Таблица 2
Интервалы х m u mu mu2 v mv mv2
8,2758,3258,3258,3758,3758,4258,4258,4758,4758,5258,5258,5758,5758,6258,6258,6758,6758,7258,7258,7758,7758,8258,258,8758,8758,9258,9258,975
8,308,358,408,458,508,558,608,658,708,758,808,858,908,95
124581018171297601
–6–5–4–3–2–101234567
–6–10–16–15–16–100172427283007
3650644532100
174881
112150
049
–7–6–5–4–3–2–10123456
–7–12–20–20–24–20–18
01218212406
4972
10080724018012366396036
Сумма 100 – 60 694 – –40 674
![Page 10: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/10.jpg)
Пример 2Пример 2
В табл. 2. приведен расчет средних значений и средних квадратичных отклонений для интервального ряда.
Здесь длина интервала h = 0,050. Для выбранного начала отсчета с = 8,600 имеем
Для контрольного начала отсчета с1 = 8,650 имеем
что убеждает в отсутствии ошибок в вычислениях.
050,0
600,8x
u 6,0100
60u 630,86,0 0,050 8,600 x
.128,058,6050,06,094,6050,0 2* s
050,0
650,8x
v 4,0100
40
v 630,8)4,0( 0,050 8,650 x
,128,058,6050,04,074,6050,0 2* s
![Page 11: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/11.jpg)
Пример 3Пример 3
Для ста измерений, результаты которых приведены в примере 2 (табл. 2), были подсчитаны значения х = 8,63 и s* = 0,128 причем длина интервала h = 0,05. Требуется приближенно оценить истинное значение а измеряемой величины по правилу трех сигм.
Подсчитываем сначала исправленный эмпирический стандарт
затем применяем правило трех сигм
Можно считать, что а лежит в интервале (8,592; 8,668).
,127,050,605,02/158,605,0 s
.038,0100/127,0363,8 axa
![Page 12: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/12.jpg)
Пример 4Пример 4
Пусть две серии 25 и 50 равноточных измерений дали средние значения соответственно и и средние квадратичные отклонения от них и .
Требуется сравнить средние значения и решить вопрос о значимости их расхождения с надежностью Р = 0,99.
Решение. Подсчитываем сначала величину
и затем отношение:
56,231 x 80,222 x
10,1*1 s
25,1*2 s
298,050
1
25
125,15010,125
73
111 22
21
nn
s
55,2298,0
80,2256,23
t
![Page 13: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/13.jpg)
Пример 4Пример 4
По табл. Стьюдента при заданной надежности Р = 0,99 и числе степеней свободы
k = 25 + 50 – 2 = 73 находим значение t (0,99; 73) = 2,65.
Так как вычисленное отношение оказалось меньше этого числа, то мы не можем считать расхождение средних значимым.
С другой стороны, по той же табл.Стьюдента, но при надежности 0,98 мы находим значение t (0,98; 73) = 2,38, которое уже меньше вычисленного отношения t.
Если бы нас могла удовлетворить надежность вывода 0,98, то мы могли бы считать расхождение средних значимым.
![Page 14: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/14.jpg)
Пример 4Пример 4
Если же нас такая надежность не удовлетворяет, то пробуем увеличить число измерений.
Например, если в первой серии довести число измерений с 25 до 28 и если при этом сохранятся те же значения и , то мы получим
что позволит сделать вывод о значимости расхождений средних с заданной надежностью Р = 0,99, так как t (0,99; 76) = 2,64.
1x*1s
286,005571,025,15010,12876
1
50
1
28
1 22 s
66,2286,0
80,2256,23
t
![Page 15: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/15.jpg)
Пример 4Пример 4
Примечание.
В табл. Стьюдента нет значений t ни для числа степеней свободы k = 73, ни для k = 76. Соответствующие значения вычислены с помощью линейной интерполяции.
При Р = 0,99 в таблице находим два значения:
для k = 70 имеем t = 2,648,
для k = 80 имеем t = 2,639.
С помощью этих значений вычисляем:
для k = 73 значение t = 2,648 – 0,30,009 = 0,645,
для k = 76 значение t = 2,648 – 0,60,009 = 0,643.
![Page 16: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/16.jpg)
Пример 5Пример 5
Пусть десять измерений, результаты которых приведены в таблице 1, выполнены для определенной точности измерений.
В той же таблице были подсчитаны средние
и . Оценить среднюю квадратичную ошибку измерений с надежностью Р = 0,99.
Решение. Рассмотрим сначала более простой случай, когда истинное значение измеряемой величины известно и равно а = 36. Тогда для дисперсии надо применить оценку , которую удобно рассчитать по формуле
что дает = (0,1)26,24 + (0,06)2 = (0,1)26,60.
06,36x 24,61,0 22* s
2*s
,1 22*
1
22* axsax
ns
n
ii
2*s
![Page 17: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/17.jpg)
Пример 5Пример 5
Отсюда получаем приближенное равенство
s* = 0,12,57 = 0,257.
Для оценки этого приближенного равенства с доверительной вероятностью 0,99 найдем из табл. Стьюдента при k = 10 коэффициенты z1 = 0,630 и z2 = 2,154, что дает
0,257 0,630 < < 0,257 2,154,т.е. доверительный интервал (0,162; 0,554).
Если истинное значение измеряемой величины неизвестно, то оценку дисперсии производим с помощью эмпирической дисперсии
.93,6)1,0(9
1024,6)1,0(
1222*22
n
nss
![Page 18: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/18.jpg)
Пример 5Пример 5
Отсюда получаем приближенное равенство
s = 0,12,63 = 0,263.
Для оценки этого приближенного равенства с доверительной вероятностью 0,99 воспользуемся снова табл. Стьюдента, но теперь уже при значении k = 9.
Это дает z1 = 0,618; z2 = 2,277 и, следовательно, доверительную оценку
0,163 = 0,263 0,618 < < 0,263 2,277 = 0,599.Отметим, что здесь ошибка в определении
может достигать 128 %.
![Page 19: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/19.jpg)
Пример 6Пример 6
Пусть одним и тем же измерительным прибором произведено m = 20 серий измерений по n = 10 измерений в каждой.
Эмпирическая дисперсия в i-й серии измерений равна (i = 1, 2, …, m). Требуется оценить среднюю квадратичную ошибку измерительного прибора с надежностью Р = 0,99.
Решение. Так как число измерений в каждой серии одно и то же, то применяем оценку для дисперсий. Отсюда получаем приближенное равенство
.20
11 20
1
2
1
2
i
i
m
ii ss
mS
![Page 20: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/20.jpg)
Пример 6Пример 6
Доверительная оценка этого приближенного равенства производится здесь при числе степеней свободы
k = mn – m = 180.
Поэтому при надежности Р = 0,99 по табл. Стьюдента находим q = 0,143 (что дает относительную ошибку в определении только 14 %).
Таким образом, доверительная оценка средней квадратичной ошибки имеет вид
0,857S < < 1,143S
с доверительной вероятностью 0,99.
![Page 21: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/21.jpg)
Пример 7. Пример 7. Отыскание параметров линейной функцииОтыскание параметров линейной функции
Пример расчета линейной зависимости. Во втором столбце приведенной далее таблицы 3. даны значения функции у.
![Page 22: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/22.jpg)
Пример 7Пример 7
Таблица 3
Номерточек
Значения функции
Расчет по семи точкам,N = 7, M = 4
Расчет по восьми точкам,N = 8, M = 4
k y l = k – 4 y+ – y– l(y+ –y–) l = 2k –9
y+ – y– l(y+ –y–)
12345678
2,352,412,602,732,903,113,253,45
–3–2–10123–
0,300700,90
–
0,301,402,70
–
–7–5–3–11357
0,170,510,841,10
0,171,534,207,70
(N = 7)Суммы(N = 8)
19,35
22,80
– – 4,40 – –
13,60
![Page 23: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/23.jpg)
Пример 7. Пример 7. Отыскание параметров линейной функцииОтыскание параметров линейной функции
График
![Page 24: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/24.jpg)
Пример 7. Пример 7. Отыскание параметров квадратичной функцииОтыскание параметров квадратичной функции
Пример расчета квадратичной зависимости. Во втором столбце приведенной далее таблицы 4 даны значения функции yk для равноотстоящих значений аргумента (сами значения аргумента в таблице не приведены, так как они не нужны для расчета). Для сравнения расчет выполнен по семи и по восьми точкам.
Для расчета квадратичной зависимости по семи точкам имеем
Найдя по табл. Х при N = 7 значения
H1(N) = 28; 3H2(N) = 252
,1,137
1
k
ky ,7,24)4(7
1
k
k ky .5,75)4(7
1
2 k
k ky
![Page 25: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/25.jpg)
Пример 8Пример 8
Таблица 4
Номерточек
Значения функции
Расчет по семи точкам,N = 7, M = 4
Расчет по восьми точкам,N = 8, M = 4
k y l = k – 4 y l y l2 l = 2k –9 y l y l2
12345678
0,50,10,40,91,73,46,19,8
–3–2–10123–
–1,5–0,2–0,4
01,76,8
18,3–
4,50,40,40
1,713,654,9
–
–7–5–3–11357
–3,5–0,5–1,2–0,91,710,230,568,6
24,52,53,60,91,7
30,6152,5480,2
(N = 7)Суммы(N = 7)
13,122,9
– 24,7 75,5 – 104,9 696,5
![Page 26: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/26.jpg)
Пример 8Пример 8
и вычислив (N2 – 1) / 4 = 12, получаем
следовательно, y = 0,275u2 + 0,882u + 0,771,
где
,275,01,13125,753252
11 a
,882,07,2428
11 b
;771,0275,041,137
11 c
,/ hxxu .2/ 471 xxxx
![Page 27: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/27.jpg)
Пример 8Пример 8
Для расчета квадратичной зависимости по восьми точкам имеем
Найдя по табл. Х при N = 8 значения
2H1(N) = 84; 12H2(N) = 2016,
получаем
следовательно, y = 0,321u2 + 1,249u + 1,178,
где
,9,228
1
k
ky ,9,104)92(8
1
k
k ky .5,696)92(8
1
2 k
k ky
,321,09,22635,69632016
11 a
,249,19,10484
11 b ;178,1321,0
8
429,22
8
11 c
,/hxxu .2/2/ 481 hxxxx
![Page 28: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/28.jpg)
Пример 8Пример 8
Обе рассчитанные параболы вместе с заданными точками изображены на рисунке.
![Page 29: Курс: Общий физический практикум](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022070401/568136d8550346895d9e7495/html5/thumbnails/29.jpg)
Лекция окончена
Нажмите клавишу <ESC> для выхода