Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем...
DESCRIPTION
Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики. Мотив введения обыкновенных дробей. Не хватает чисел для выполнения простейших вычислений. Натуральные числа и число 0. Определение обыкновенной дроби. Основное свойство дроби. Равные обыкновенные дроби. Сравнение дробей. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/1.jpg)
Место темы Место темы «Обыкновенные дроби» «Обыкновенные дроби» среди других тем курса среди других тем курса
математикиматематики
Натуральные числа и число 0
Мотив введения
обыкновенных дробей
Не хватает чисел для выполнения
простейших вычислений
![Page 2: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/2.jpg)
Определение обыкновенной дроби
Основное свойство дроби
Равные обыкновенные
дроби
Сравнение дробей
Сократимые дроби
Несократимые дроби
Способы доказательства
равенства дробей
Изображение на координатной
прямой
Действия с обыкновенными дробями
Действия со смешанными числами
Перевод в де-сятичную дробь Умножение Деление Сложение Вычитание
Нахож
дени
е
части
от
чи
сл
а
Разн
ые
способ
ы
ум
нож
ени
я
Законы
Нахож
дени
е
чи
сл
а п
о е
го
части
Распр
ед
ел
и-
тел
ьны
й
закон
Законы
сл
ож
ени
я
Рац
ионал
ьн
ые п
ри
ем
ы
вы
чи
тани
я
Рациональные числа
![Page 3: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/3.jpg)
⅓⅓
⅔⅔⅛⅛
ООббыыккннооввеенннныыее ддррооббии
ООббыыккннооввеенннныыее ддррооббии
Итоговый урок по темеИтоговый урок по теме
⅝⅝⅜⅜
![Page 4: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/4.jpg)
2
История История вопросавопроса
В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах...
13
...!?
![Page 5: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/5.jpg)
Но с развитием Но с развитием цивилизациицивилизации
человеку человеку потребовались потребовались всё большие и всё большие и большие числа...большие числа...
35835810241024106620100
10100
![Page 6: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/6.jpg)
Процесс этот Процесс этот продолжался продолжался
несколько столетийнесколько столетий
и потребовал и потребовал большого большого
умственного трудаумственного труда
![Page 7: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/7.jpg)
С зарождением обменаС зарождением обмена
>><<??==??
![Page 8: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/8.jpg)
Действия над числамиДействия над числами
==??
![Page 9: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/9.jpg)
Развитие наукиРазвитие наукиВозникновению и развитию
науки арифметикиарифметики способствовало её
практическое применениемореплаваниемореплаваниеторговляторговлястроительствостроительство
![Page 10: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/10.jpg)
Много вековМного вековв арифметике имели дело с относительно небольшими числами.Например, в системе счисления Древней Греции самыми боль-шим числом, которое имело название, была «мириада» - 10000.
![Page 11: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/11.jpg)
Долгое времяДолгое время
для записи чисел люди для записи чисел люди пользовались только пользовались только
целыми числамицелыми числами
104104 2672675385388754
8754 970970
![Page 12: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/12.jpg)
Но числа бывают и...Но числа бывают и...
дробными,дробными,
то есть то есть неполныминеполными
151577
8833
2211
![Page 13: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/13.jpg)
Обыкновенной Обыкновенной дробьюдробью
называется
часть единицычасть единицыили несколько частей или несколько частей единицыединицы
22112211
44114411
4433
![Page 14: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/14.jpg)
Название долей Название долей зависитзависит
от того, на сколько равных от того, на сколько равных частей разделена единица частей разделена единица
(предмет, фигура)(предмет, фигура)
44114411
8811
![Page 15: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/15.jpg)
Пять шестых
Одна шестая
1166
5566
![Page 16: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/16.jpg)
ОпределениеОпределение
ррппрп Число, показывающее, на
сколько долей разделена единица (целое),
называется знаменателем дроби
Число, показывающее количество взятых долей,
называется
числителем дроби
Если числитель меньше знаменателя (p < n), то
дробь называется
правильнойправильной
Если числитель не меньше знаменателя (p ≥ n), то
дробь называется
неправильнойнеправильной
Здесь p – целое число, n – натуральное число
![Page 17: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/17.jpg)
Смешанное числоСмешанное число
Запись вида
np
a называется
смешанным числомсмешанным числом ,
где aa – целая часть, - дробная часть – целая часть, - дробная частьnp
![Page 18: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/18.jpg)
Выделение целой Выделение целой части из части из
неправильной дробинеправильной дробиПусть дробь неправильная. n
b
b : n = a (остаток p)
nb
=
a
aa
p
pp
n
nn
![Page 19: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/19.jpg)
Всякую дробь можно Всякую дробь можно отобразить на числовом отобразить на числовом
лучелуче
О 1
Х
Луч с заданным единичным отрезком называют числовымчисловым
![Page 20: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/20.jpg)
О 1
Х
2 3 4
A P
Единичный отрезок
Р(3)Р(3)
AA((11))
Координата точки P равна 3
Координатный лучКоординатный луч
- второе название числового - второе название числового лучалуча
![Page 21: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/21.jpg)
Отображение Отображение обыкновенных дробей на обыкновенных дробей на
числовом лучечисловом луче
О 1
ХA
Чтобы отобразить на числовом луче дробное число, единичный отрезок делят на части
6622
6655
3311
2211
![Page 22: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/22.jpg)
Отображение Отображение обыкновенных дробей на обыкновенных дробей на
числовом лучечисловом луче
О 1
Х
2
6688
66
1111
3344
=331111
![Page 23: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/23.jpg)
С помощью С помощью числового числового
(координатного) (координатного) лучалуча
можноможно
сравнивать дробные числасравнивать дробные числа
np
qt
>><<==?? выполнять выполнять
арифметические действияарифметические действия
++сложенисложени
ее
––вычитаниевычитание
××умножениумножени
ее
::делениеделение
![Page 24: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/24.jpg)
Сравнение дробейСравнение дробейСравнение дробей выполняется Сравнение дробей выполняется по правилу:по правилу:
если числам соответствует одна и та если числам соответствует одна и та же точка числового луча, то числа же точка числового луча, то числа считаются равнымисчитаются равными
О 1
Х6622
3311
6622
==3311
![Page 25: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/25.jpg)
Сравнение дробейСравнение дробейТеоремаТеорема
Для того чтобы две дроби были равны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство натуральных чисел.
п
pp==
q
tt, , еслиесли pq = ntpq = nt
![Page 26: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/26.jpg)
Эквивалентные Эквивалентные дробидроби
Две дроби
п
pp
q
ttи
называются эквивалентнымиэквивалентнымикогда они выражают длину одного и того же отрезка
,
![Page 27: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/27.jpg)
Несократимые Несократимые дробидроби
Если числитель и знаменатель дроби
п
pp
числа взаимно простые*, то дробь называется
несократимойнесократимой
* - взаимно простыми называются числа, не имеющие общего делителя
![Page 28: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/28.jpg)
Несократимые Несократимые дробидроби
ТеоремаТеоремаДля любого положительного
рационального числа (т.е. для множества эквивалентных
дробей) найдется одна и только одна представляющая его
дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты.
![Page 29: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/29.jpg)
Сравнение дробейСравнение дробейСравнение дробей выполняется Сравнение дробей выполняется по правилу:по правилу:
на числовом луче большему из двух на числовом луче большему из двух чисел соответствует точка, расположенная чисел соответствует точка, расположенная правееправее
О 1
ХA
3311
6655
6655
>>3311
![Page 30: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/30.jpg)
Основное свойство Основное свойство дробидроби
Величина дроби не изменится, если её числитель и
знаменатель одновременно умножить (разделить) на одно и то же число, не равное нулю.
п
pp
n · a
p p ·· a a==
a ≠ 0a ≠ 0
п
pp
n :a
p p : : aa==
![Page 31: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/31.jpg)
Арифметические Арифметические действия с дробямидействия с дробями
СложениеСложение
пп
pp++
пп
tt==
nn
pp ++ tt
ВычитаниеВычитание
────
n ≠ 0n ≠ 0
![Page 32: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/32.jpg)
Арифметические Арифметические действия с дробямидействия с дробями
УмножениеУмножение
пп
pp··
tt==
nn
pp
··tt
ДелениеДеление
::
n ≠ 0n ≠ 0; ; q ≠ 0q ≠ 0
n ≠ 0n ≠ 0; ; q ≠ 0; t q ≠ 0; t ≠ ≠ 00
tt
![Page 33: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/33.jpg)
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на сложение дробейсложение дробей
Дроби с одинаковыми Дроби с одинаковыми знаменателямизнаменателями
88
33
88
11==
88
33 11++ ++ ==
88
44==
22
11
Числители дробей складываютсяЧислители дробей складываются
Знаменатели остаются без изменения!Знаменатели остаются без изменения!
![Page 34: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/34.jpg)
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на сложение дробейсложение дробей
Смешанные числа с одинаковыми Смешанные числа с одинаковыми знаменателямизнаменателями
++8833
118811
22 ==8833
22++ ++(( 11))8811
++ ==
== 338844 ==33
2211
![Page 35: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/35.jpg)
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на сложение дробейсложение дробей
Смешанные числа с одинаковыми Смешанные числа с одинаковыми знаменателямизнаменателями
++8855
118855
22 ==8855
22++ ++(( 11))8855
++ ==
==33881100 ==44
4411
При получении в сумме неправильной При получении в сумме неправильной дроби из неё всегда выделяется целая дроби из неё всегда выделяется целая
частьчасть
![Page 36: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/36.jpg)
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на сложение дробейсложение дробей
Дроби с разными знаменателямиДроби с разными знаменателями
44
11
88
33++ ==????
![Page 37: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/37.jpg)
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на сложение дробейсложение дробей
Дроби с разными знаменателямиДроби с разными знаменателями
О 1
Х
О 1
Х
О 1
Х88
55
88
55
44
11
88
33++ ==????
![Page 38: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/38.jpg)
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на вычитание дробейвычитание дробейДроби с одинаковыми Дроби с одинаковыми
знаменателямизнаменателями
88
33
88
11==
88
33 11–– –– ==
88
22==
44
11
Из числителя уменьшаемого вычитается Из числителя уменьшаемого вычитается числитель вычитаемогочислитель вычитаемого
Знаменатели остаются без изменения!Знаменатели остаются без изменения!
![Page 39: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/39.jpg)
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на вычитание дробейвычитание дробей
Смешанные числа с одинаковыми Смешанные числа с одинаковыми знаменателямизнаменателями
––8855
558822
22 ==
8855
55 ––
++
(( 22))
8822––
++
==338833
При невозможности выполнить вычитание дробных частей При невозможности выполнить вычитание дробных частей смешанных чисел одну единицу целой части уменьшаемого смешанных чисел одну единицу целой части уменьшаемого
дробят и «присоединяют» к его дробной частидробят и «присоединяют» к его дробной части
(( ))
![Page 40: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/40.jpg)
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на вычитание дробейвычитание дробей
Дроби с разными знаменателямиДроби с разными знаменателями
88
77
44
11==
88
77 22–– ––
==88
55
88
77
88
22–– ==
Перед началом выполнения действия с дробями, Перед началом выполнения действия с дробями, имеющими разные знаменатели, необходимо имеющими разные знаменатели, необходимо
выполнить приведение дробей к одному знаменателювыполнить приведение дробей к одному знаменателю
![Page 41: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/41.jpg)
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на вычитание дробейвычитание дробей
Дроби с разными знаменателямиДроби с разными знаменателями
О 1
ХО 1
Х
О 1
Х88
33
88
33
88
55
44
11–– ==????
![Page 42: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/42.jpg)
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на умножение дробейумножение дробей
88
55
33
22==
88
55 22·· ·· ==
2424
1010==
1122
55
Числители дробей перемножаютсяЧислители дробей перемножаются
Знаменатели дробей перемножаютсяЗнаменатели дробей перемножаются
Первое произведение делится на второеПервое произведение делится на второе
33··
![Page 43: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/43.jpg)
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на умножение дробейумножение дробей
==88
5522··
88
55 22·· ==88
1010==
Умножение дроби на натуральное Умножение дроби на натуральное числочисло
nn
ррtt ==
nnpp tt
·· ··
44
1111
В этом случае достаточно умножить числитель на В этом случае достаточно умножить числитель на натуральное число и поделить произведение на знаменательнатуральное число и поделить произведение на знаменатель
![Page 44: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/44.jpg)
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на деление дробейделение дробей
==88
5522::
88
55
22··==
16161616
5555
Деление дроби на натуральное Деление дроби на натуральное числочисло
nn
ррtt ==
nnnnpp
tt::
··
В этом случае достаточно умножить знаменатель на В этом случае достаточно умножить знаменатель на натуральное число и поделить числитель на произведениенатуральное число и поделить числитель на произведение
![Page 45: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/45.jpg)
Взаимно обратные Взаимно обратные дробидроби
Дроби Дроби называются называются
взаимно взаимно обратными, обратными,
если их если их произведенипроизведени
е равно е равно единицеединице
nn
рр··
pp
nn==11
![Page 46: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/46.jpg)
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на деление дробейделение дробей
Деление дроби на дробьДеление дроби на дробь
==
В этом случае достаточно заменить деление дробей В этом случае достаточно заменить деление дробей умножением делимого на дробь, обратную делителюумножением делимого на дробь, обратную делителю
nn
рр::
tt
nn
рр··
tt
tt
qq::
![Page 47: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/47.jpg)
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на деление дробейделение дробей
Деление дроби на дробьДеление дроби на дробь
==55
11::
44
33
55
11··
33
44
44
33:: ==
1155
44
![Page 48: Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/568136cb550346895d9e664c/html5/thumbnails/48.jpg)
Желающие могут Желающие могут проверить свои знания проверить свои знания
арифметических арифметических действий с действий с
обыкновенными дробямиобыкновенными дробями