《 高等数学 》 教学课件
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《 高等数学 》 教学课件. 山东信息职业技术学院基础部. 第六节 微分及其应用. 一、微分的定义. 二、微分的几何意义. 三、微分公式与法则. 四、微分在近似计算中的应用. 一、微分的定义. 时为. 的高阶无穷小. 称为函数在 处的微分. 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其. 引例 :. 边长由. 变到. 问此薄片面积改变了多少 ?. 设正方形面积为 A , 则. 关于△ x 的 线性主部. 故. 时 ,. 而 称为. 在点 x 处的增量可表示为. 定义 : 若函数. 则称函数. 在点. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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山东信息职业技术学院基础部山东信息职业技术学院基础部
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第六节 微分及其应用第六节 微分及其应用
二、微分的几何意义三、微分公式与法则四、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
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引例 : 问此薄片面积改变了多少 ? 0x 变到 ,0 xx 边长由设正方形面积为 A , 则
xx 02 2)( x关于△ x 的线性主部
故称为函数在 处的微分0x
0x
x
xx 02
的高阶无穷小0x 时为 x
一、微分的定义一、微分的定义
0x 时 ,
xx 0
一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其
4
处的微分 ,
在点 x 处的增量可表示为则称函数 )(xfy 而 称为 xA
记作 即xAyd
定理 : 函数 在点 x 处可微的充要条件是
)( xoxA
即xxfyd )(
在点 处可微 ,
定义定义 : : 若函数若函数
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时,当 xy
则有 xdxfyd )(
从而 )(xfxdyd
导数也叫作微商
dy xx)( xdx
已知导数求微分已知微分求导数
若 则
))((limlim00 x
xoAxy
xx
A
故
)( xoxA 在点 x 处可微,
A
若)(lim
0xf
xy
x
)(xfxy )0lim(
0
x
xxxfy )(故 )()( xoxxf 线性主部
即
则
xxfyd )(
必要性 充分性
定理 : 函数 在点 x 处可微的充要条件是 即xxfyd )(
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例 1 求函数 当 x 由 1 改变到 1.01时的微分 .
2xy 解 函数的微分为dxxdy )( 2
,, 01.0101.11 dxx由已知02.001.012 dy所以例 2 求下列函数的微分:
xy sin1 )( xxexy 22)(解 )(sin1 xddy )()2(2 xxexddy )(dxxex x )2( dxxee xx )2(
dxx)(sin xdxcos
xdx2
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二、微分的几何意义二、微分的几何意义切线纵坐标的增量
xxfdy )( 0 x tan
xx 0
x
y
o
)(xfy
0x
y
yd)()( 00 xfxxfy
实例M
NTP故 0x 时 ,
设 2
41)( xxf ,
则 x =2 时切线方程为
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三、 微分公式与法则三、 微分公式与法则
)(uvd
(二)设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数 )
vdud
vduudv
(一)基本初等函数的微分公式 ( 见 P61 表 )
例证: dxuv)( dxvuvu )(
dxdxdvuv
dxdu )( udvvdu
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例 3 设 ,求 .05ln yxe y dy
解法一 应用微分和导数的关系方程两边同时求关于 x 的导数得
01 y
yyxee yy
y
y
xyeyey
1
dxxye
yedy y
y
1
解得所以
10
例 3 设 ,求 .05ln yxe y dy
解法二 应用微分法则方程两边分别求微分得
01 dy
ydyxedxe yy
dxxye
yedy y
y
1
即所以
dxedyxey
yy )1(
11
分别可微 ,的微分为xdxuf )()( ud
udufyd )(
微分形式不变性
(三)复合函数的微分则复合函数
例 4 设例 5 求
,求2bxaxey
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例 4 设 ,求2bxaxey
解法一 dxedy bxax )(2
dxbxaxe bxax )( 22
dxebxa bxax 2
)2(
解法二 )(2bxaxeddy
)( 22
bxaxde bxax
dxebxa bxax 2
)2(
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例 5 求
解法二
解法一 dxxdy ])2[ln(sin dxxx
)2(sin2sin
1
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四、 微分在近似计算中的应用四、 微分在近似计算中的应用)()( 0 xoxxfy
当 x 很小时 ,)()( 00 xfxxfy xxf )( 0
xxfxfxxf )()()( 000
xxx 0令
使用原则 : ;)(,)()1 00 好算xfxf
.)2 0 靠近与xx
))(()()( 000 xxxfxfxf
得近似等式 :
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xx ,00 很小时 ,xffxf )0()0()(
常用近似公式 :x1很小 )x(
xxx
x1
证明 :令 )1()( xxf 得 ,1)0( f )0(f
,很小时当 x
特别当
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180d x
的近似值.解 : 设 ,sin)( xxf
取则
18029sin
6sin
6cos
21
23 )0175.0(
)180
( 29sin
例 6 求
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的近似值.解 :
24335
51
)2243(
51
)24321(3
3 )2432
511(
0048.3
xx 1)1(
例 7 计算
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为了提高球面的光洁
解 : 已知球体体积为镀铜体积为 V 在 时体积的增量
01.01
R
R RR 2401.0
1
R
R
)(cm13.0 3因此每只球需用铜约为16.113.09.8 ( g )
只球需用铜多少克 . 估计一下 , 每度,要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,
例 8 有一批半径为 1cm 的球 ,
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内容小结内容小结1 . 微分概念
• 微分的定义及几何意义• 可导 可微
2 . 微分运算法则微分形式不变性 : udufufd )()(
( u 是自变量或中间变量 )3 . 微分的应用近似计算
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思考与练习思考与练习1. 设函数 的图形如下 , 试在图中标出的点
0x 处的 ydy , 及 ,ydy 并说明其正负 .
yd 0
xx 00x x
y
o
y 0
0yy d
21
xx eded )(arctan xe 211
xd x
x
ee
21
xdxd
sintan.3 x3sec
dxxd 2sin) (.4 Cx 2cos21
2.2.
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由方程 确定 ,
解 :方程两边求微分 ,得dxx23
当 0x 时 ,0y 由上式得 dxdyx 2
10
求dyy23 dxx3cos3 06 dy
6. 设 ,0a 且 ,nab 则n n ba 1 nan
ba
5. 设
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P66
4 (1) , (3 ) , (5 ) , (7 ) ,( 9)
作业作业
谢谢!