Министерство образования Республики БеларусьУчреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

Институт информационных технологий

Специальность ооооооооооо ИСИТ рррррррррррррр

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По курсу Исследование операций в экономике

Вариант № б 2 ь

Студент-заочник б 3 т курсаГруппы № эщ 082322 лллл л ФИО Пушнегина Ольга о Вввввв Викторовна ооо о

Минск, 2013

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

Задача 1 3

Задача 2 5

Задача 3 7

Задача 4 11

Задача 5 13

Задача 6 15

Список использованных источников 18

3

Практические задания

Задача 1. Производственная функция фирмы имеет вид: X=F(x1,x2)= A ln(x1/x2 ), xi >.xi

0 >1, i =1,2. Найти функции спроса на ресурсы xi (p,w1,w2), если p – цена продукции, wi – цены ресурсов.

Как изменятся выпуск и спрос на ресурсы при возрастании цены продукции?

Какова реакция производителя на изменение цен ресурсов?Каковы предельные продукты в оптимальной точке?

Решение:

1. Найдем функции спроса на ресурсы xi (p, w1, w2) и максимальную прибыль фирмы в оптимальных точках.

Воспользуемся уравнением П=p∙f(х1, х2,…,хn) −¿

∑i=1

n

wi x iдля определения

прибыли фирмы: П=pF ( x1 , x2)−w1 x1−w2 x2→ max

Учитывая условия Куна-Таккера, запишем частные производные функции прибыли по xi, i =1, 2 и приравняем их 0.

{p∂ F ( x1 , x2 )

∂ x1

−w1=0 ;

p∂ F ( x1 , x2 )

∂ x1

−w2=0.

⟹ {pAx2

x1 x2

−w1=0 ;

pAx1

x1 x2

−w2=0.

⟹ { pAx1

−w1=0 ;

pAAx2

−w2=0.

Решая совместно уравнения, получим

x1=pAw1

, x2=pAw2

;

X=F ( x1 , x2 )=ALn ( x1 x2)=A lnp2 A2

w1 w2

.

2. Определим влияние изменения цены продукции на выпуск и спрос на ресурсы.

2.1. Влияние изменения цены продукции на выпуск ресурсов:∂q∂ p

=Aw1 w2

p2 A2

A2

w1 w2

2 p=2 Ap

.

Учитывая, что ∂ q¿

∂ p>0, возрастание цены на продукцию фирмы будет

приводить к увеличению её выпуска.

4

2.2. Влияние изменения цены продукции на спрос на ресурсы:

∂ x1

∂ p= A

w1

;

∂ x2

∂ p= A

w2

.

В данном случае можно сделать вывод, что цена продукции не влияет на спрос на ресурсы.

3. Определим реакцию производителя на изменение цен ресурсов:∂ q

∂ w1

=−Aw1 w2

p2 A2

p2 A2

w2

1w1

2 =−Aw1

;

∂ q∂ w2

=−Aw1 w2

p2 A2

p2 A2

w1

1w2

2=−Aw2

.

Учитывая следствия из основных соотношений, в частности

, можно утверждать, что увеличение платы на затраты приводит к уменьшению выпуска продукции.

Определим влияние изменения цен ресурсов на их потребление:∂ x1

∂ w1

=−pAw1

2 ;

∂ x2

∂ w2

=−pAw2

2 .

Так как то повышение цены на затраты приводит к сокращению потребления этих затрат.

4. Определим предельные продукты в оптимальной точке:dF ( x1 , x2 )

d x1

=w1

p;

dF ( x1 , x2 )d x2

=w2

p.

Задача 2.

5

Пекарня печет хлеб на продажу магазинам. Себестоимость одной булки составляет 30 пенсов, ее продают за 40 пенсов. В таблице приведены данные о спросе за последние 50 дней:

x Спрос в день, тыс. шт 10 12 14 16 18р Вероятность 0,5 0,1 0,1 0,2 0,1

Если булка испечена, но не продана, то убытки составляют 20 пенсов за штуку. Используя каждое из правил, определите, сколько булок нужно выпекать в день.

Решение:

Учитывая условие, с каждой проданной булки будем получать 10 пенсов прибыли.

Составим платежную матрицу.a11=10∗40−10∗30=100 пенсов

a21=10∗40−12∗30−2∗20=0

и т.д.

ПредложениеСпрос

10 12 14 16 18 min max10 100 100 100 100 100 100 10012 0 120 120 120 120 0 12014 -100 20 140 140 140 -100 14016 -200 -80 40 160 160 -200 16018 -300 -180 -60 60 180 -300 180

Составим матрицу рисков с элементами:

rij = βij — aij, где βij = max aij (1 ≤ i ≤ m)

ПредложениеСпрос

12 10 14 18 16 max12 0 20 40 60 80 8010 100 0 20 40 60 10014 200 100 0 20 40 20018 300 200 100 0 20 30016 400 300 200 100 0 400

6

Условия полной неопределённости связаны с отсутствием информации о вероятностях состояний природы. В этих случаях используют критерии:

критерий максимакса – основывается на максимизации максимума возможных доходов: М = maxi maxj aij, где 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

критерий максимина – основывается на максимизации минимума возможных доходов: W = maxi minj aij, где 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

критерий минимакса – основывается на минимизации максимума возможных потерь: S = mini maxj rij, где 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Определим оптимальную стратегию по критериям: критерий максимакса: М = maxi maxj aij = 180 - стратегия 5. критерий максимина: W = maxi minj aij = 0 - стратегия 2. критерий минимакса: S = mini maxj rij = 80 - стратегия 1.Рассмотрим позиционные игры с использованием численных значений

вероятностей исходов. Решения обычно принимают на основе критерия: максимума ожидаемого среднего выигрыша:

max∑j=1

n

p j∗aij , i=1…m=max (100 , 60 , 8 ,−56 ,−144 )=100−стратегия1

минимума ожидаемого среднего риска:

m∈∑j=1

n

p j∗rij , i=1 …m=m∈(26 , 66 ,11 8 ,182 , 270 )=26−стратегия 1

Общий вывод – с точки зрения всех критериев оптимальной является стратегия 1 – выпечка 10 тыс. булок в день.

Задача 3.

7

Планируется деятельность трёх промышленных предприятий на очередной год. Начальные средства: s0 = 8 у.е. Размеры вложений в каждое предприятие кратны 2 у.е. Средства x, выделенные предприятию i приносят в конце года прибыль f i (x), i = 1,2,3.

Прибыль fi(x) не зависит от вложения средств в другие предприятия. Прибыль от каждого предприятия выражается в одних и тех же условных единицах; суммарная прибыль равна сумме прибылей от каждого предприятия.

Найти оптимальное распределение средств между предприятиями при условии, что прибыль f(x), полученная от каждого предприятия, является функцией от вложенных в него средств x, вложения кратны x, а функция f(x) задана таблично.

x 2 4 6 8f1(x) 9 14 18 24f2(x) 9 13 19 22f3(x) 10 15 18 22

s0 = 8, n= 3, x = 2

Решение:

Обозначим через xk количество средств, выделенных k–му предприятию. Суммарная прибыль равна:

Z=∑k=1

3

f k ( xk )

Переменные xk удовлетворяют ограничениям:

∑k =1

3

xk=8 , xk ≥ 0 , k=1,2,3

Требуется найти переменные x1, x2, x3 удовлетворяющие вышеописанным условиям и обращающие в максимум функцию.

Схема решения задачи ДП: процесс решения распределения средств s0 = 8 можно рассматривать как трехшаговый, номер шага совпадает с номером предприятия; выбор переменных x1, x2, x3 – управление соответственно на 1, 2 и 3 шагах; s – конечное состояние процесса распределения – равно 0, т.к. все средства должны быть вложены.

Уравнения состояний в данной задаче имеют вид sk = sk–1 – xk, k=1, 2, 3, где sk – параметр состояния – количество средств, оставшихся после k–го шага, т.е. средства, которые остается распределить между оставшимися 3–k предприятиями.

Zk*(sk–1) – условная оптимальная прибыть, полученная от k–го, (k+1)–го, …, 3 предприятий, если между ними оптимальным образом распределялись

8

средства sk–1. Допустимые управления на k–м шаге удовлетворяют условию 0 хk sk–1.

I этап. Условная оптимизация.1-й шаг: k = 3.Предположим, что все средства в количестве s3 = 8 отданы третьему

предприятию. В этом случае максимальный доход, как это видно из таблицы 1*, составит 22, следовательно:

Z3 ( s3 )=f 3( x¿¿3)¿

Таблица 10 x1 0 2 4 6 8

x3f0(x0) / Z3(x3)

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 02 10 0 0 0 10 04 15 0 0 15 0 06 18 0 18 0 0 08 22 22* 0 0 0 0

Таблица 1*s1 0 2 4 6 8

Z0(s1) 0 10 15 18 22x1 0 2 4 6 8

2-й шаг: k = 2.Определяем оптимальную стратегию при распределении средств между

остальными предприятиями. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:

Z2 ( s2 )=max ¿

Таблица 20 x2 0 2 4 6 8

x2f3(x3) / Z2(x2)

0 10 15 18 22

0 0 0 10* 15 18 222 9 9 19* 24* 27 04 13 13 23 28 0 06 19 19 29* 0 0 08 22 22 0 0 0 0

Заполняем таблицу 2*. Для этого на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение x2.

Таблица 2*s2 0 2 4 6 8

Z3(s2) 0 10 19 24 29

9

x2 0 0 2 2 63-й шаг: k = 1.Определяем оптимальную стратегию при распределении средств между

остальными предприятиями. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:

Z1 ( s1 )=max ¿

Таблица 3

0 x3 0 2 4 6 8

x1f4(x4) / Z1(x1)

0 10 19 24 29

0 0 0 10* 19 24 292 9 9 19* 28* 33 04 14 14 24 33* 0 06 18 18 28 0 0 08 24 24 0 0 0 0

Заполняем таблицу 3*. Для этого на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение x3.

Таблица 3*

s3 0 2 4 6 8Z4(s3) 0 10 19 28 33

x3 0 0 2 2 4

II этап. Безусловная оптимизация.1-й шаг: k = 1.По данным таблицы 3* максимальный доход при распределении 8

между предприятиями составляет s1 = 8, Z1(8) = 33. При этом 1-му предприятию нужно выделить x1 = 4.

2-й шаг: k = 2.Определим величину оставшихся денежных средств, приходящихся на

долю остальных предприятий.

s2=s1−x1=8−4=4

По данным таблицы 2* максимальный доход при распределении 4 между предприятиями составляет s2 = 4, Z2(4) = 19. При этом 2-му предприятию нужно выделить x2 = 2.

3-й шаг: k = 3.

10

Следовательно, 3-му предприятию нужно выделить x3 = 2.

Таким образом, оптимальное распределение средств между предприятиями:

x1 = 4x2 = 2x3 = 2которое обеспечивает максимальную прибыль, равной:

Z (8 )=f 1 (4 )+ f 2 (2 )+ f 3 (2 )=14+9+10=33 у.е.

Ответ: максимальная прибыль на трех предприятиях при распределении между ними 8 у.е. составляет 33 у.е. и будет получена, если первому предприятию выделить 4 у.е., второму – 2 у.е., а третьему – 2 у.е.

Задача 4.

11

Решить задачу о поиске максимального потока в сети (в скобках указана пропускная способность дуги), если начальный поток wo = 7.

Решение:Каждой дуге сети приписана пара чисел (Сij, (0)

ij), первое из них соответствует пропускной способности дуги, второе — величине начального потока по данной дуге. В качестве источника выступает вершина x0= s, в качестве стока — вершина x8 = t. Начальный поток w0=7.

Согласно свойствам потока, распределим начальный поток w0=7 по дугам источника таким образом, чтобы он был распределен по сети с соблюдением всех свойств потока.

Найдем увеличивающий поток.

Перераспределение потока w1 = w0+t = w0+3 = 7+3=10.

12

Перераспределение потока w2 = w1+t = w1+4 =10+4=14.

Перераспределение потока:w3 = w2+t = w2+1 =14+1=15.

Следовательно, поток w3=15 является максимальным. Окончательный вид сети:

Задача 5.

13

Число вкладов частных лиц в сберегательный банк за любой определенный промежуток времени не зависит от начала этого промежутка, а зависит лишь от его продолжительности. Вклады в банк в любые два непересекающиеся промежутка времени делаются независимо. В промежутки времени достаточно малой длины вклады в банк поступают по одному. Средний интервал времени между двумя соседними вкладами равен 3-м часам. Найти вероятность, с которой:

1) за 2 дня в банк будет сделано 5 вкладов;2) за день в банк не будет сделано ни одного вклада;3) промежуток времени между двумя соседними вкладами

составит меньше 3-х часов;4) за 3 дня в банк будет сделан хотя бы один вклад.

Решение:

Рассмотрим простейший (стационарный пуассоновский) поток с интенсивностью = const. Одной из важных характеристик потока является дискретная случайная величина Х(), представляющая собой число событий, наступающих за промежуток времени . В простейшем потоке с интенсивностью случайное число событий Х(), наступающих за промежуток времени , распределено по закону Пуассона:

pm() =

( λτ )m

m ! e–, (m = 0, 1, 2,…).Важной характеристикой простейшего потока является непрерывная

случайная величина Т – промежуток времени между двумя любыми соседними событиями потока.

Обозначим поток вкладов, поступающим в сберегательный банк, через П. По условию число вкладов частных лиц в сберегательный банк за любой промежуток времени не зависит от начала этого промежутка, а зависит лишь от его продолжительности. Поэтому поток П будет стационарным.

Поскольку вклады за любые два непересекающиеся интервала времени поступают в банк независимо, то поток П обладает свойством отсутствия последействия.

Так как в достаточно малые промежутки времени в банк поступает по одному вкладу, то поток ординарен.

Таким образом, поток П является стационарным пуассоновским, т.е. простейшим потоком.

14

В условиях данной ситуации за единицу времени естественно принять неделю. По условию примера интенсивность потока П равна двум требованиям в неделю.

Пусть Х() – число вкладов, поступающим в сберегательный банк за промежуток (часов), и Т – промежуток времени между любыми двумя

соседними вкладами. Интенсивность λ = 13 часа.

После проведенной математической формализации можем ответить на поставленные вопросы.

1. В первом вопросе =2 дня = 16 часов и m=5. Тогда вероятность поступления за два дня пяти вкладов вычисляем по закону распределения Пуассона:

p5 (16 )= (1/3∗16 )5

5 !e−1 /3∗16 ≈ 0,174

Следовательно вероятность того, что в течении 2-х дней в банк будет сделано 5 вкладов равна 0,174.

2. Во втором вопросе =1 день = 8 часов. Вероятность того, что за день в банк не будет сделано ни одного вклада:

p0 (8 )=e−1/3∗8≈ 0,069

Следовательно вероятность того, что в течении дня в банк не будет сделано ни одного вклада равна 0,069.

3. Вероятность того, что промежуток времени между двумя соседними вкладами составит меньше 3-х часов, находим при t = 3 часа:

p (T<3 )=1−e−1 /3∗3≈ 0,632

Следовательно вероятность того, что промежуток времени между двумя соседними вкладами составит меньше 3-х часов равна 0,632.

4. В четвертом вопросе =24 (часа). Вероятность того, что за 3 дня в банк будет сделан хотя бы один вклад:

p ( X (24 )≥ 1 )=1−e−1/3∗24 ≈ 0,9996

Следовательно вероятность того, что что за 3 дня в банк будет сделан хотя бы один вклад равна 0,9996.

15

Задача 6. Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения

профилактического осмотра автомашин с четырьмя каналами (четырьмя группами проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,5 ч. На осмотр поступает в среднем 36 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний – простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт осмотра необслуженной. Определить вероятности состояний и характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра. Найти число каналов, при котором относительная пропускная способность пункта осмотра будет не менее 0,9.

Решение:

Имеется 4 канала, на которые поступает поток заявок интенсивности :

λ=36=3624

=1,5

Поток обслуживаний каждого канала имеет интенсивность :

μ= 1t об

t об=0,5 ч

μ= 10,5

=2

Интенсивность нагрузки канала :

ρ=λ/ μ=1,5/2=0,75

т.е. за время среднего (по продолжительности) осмотра каждой

машины = 0,5 часа поступает в среднем 0,75 заявки на обслуживание.

Определим вероятности состояний:

вероятность, что канал свободен:

0 = (1+ +ρ2

2! + …+ρk

k ! +…+ ρn

n ! )–1,

π0=(1+075+ 0,752

2 !+ 0,753

3 !+ 0,754

4 ! )−1

≈ 0,47

вероятность того, что обслуживанием:

16

занят 1 канал:

π1=ρ∗π0=0,75∗0,473 ≈ 0,36

заняты 2 канала:

π2=ρ2

2!∗π

0

=0,752

2 !∗0,473 ≈ 0,13

заняты 3 канала:

π3=ρ3

3 !∗π

0

=0,753

3 !∗0,473≈ 0,033

заняты 4 канала:

π4=ρ4

4 !∗π

0

=0,754

4 !∗0,473 ≈ 0,006

Определим характеристики обслуживания профилактического пункта

осмотра:

вероятность отказа в обслуживании:

Вероятность отказа в обслуживании определяется вероятностью того,

что поступившая заявка на обслуживание найдет все 4 канала занятыми,

система будет находиться в состоянии π4:

πотк=π4 ≈ 0,006

Значит, 1% из числа поступивших заявок не принимаются к

обслуживанию.

относительная пропускная способность:

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют

полную группу событий, поэтому:

πотк+πобс=1

На этом основании относительная пропускная способность

определяется по формуле:

Q=π обс=1−πотк=1−0,006 ≈ 0,99

Следовательно, 99% из числа поступивших заявок будут обслужены.

абсолютная пропускная способность:

Абсолютную пропускную способность СМО можно определить по

формуле:

17

A=λ∗π обс=1,5∗0,99=1,49 заявок /час

среднее число занятых каналов:

Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием можно

определить по формуле:

K= Aμ=1,49

2=0,75 канала

коэффициент занятости каналов обслуживанием:

Коэффициент занятости каналов обслуживанием определятся

отношением среднего числа занятых каналов к их общему числу:

K з=Kn

=0,7454

=0,2

Следовательно, система на 20% занята обслуживанием.

Значит, для того чтобы относительная пропускная способность пункта

осмотра была не менее 0,9 необходимо в пункте проведения

профилактического осмотра автомашин установить 4 группы проведения

осмотра (в этом случае Q = 0,99).

При этом в час будут обслуживаться в среднем 1 заявка (А = 1,49), а

среднее число занятых каналов 0,75.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике:

модели, задачи, решения: Учеб. пособие. – М.: ИНФРА-М 2003. -444c.

18

2. Г.Я. Горбовцов, Н.Ю. Грызина, И.Н. Мастяева, О.Н. Семенихина

Исследование операций в экономике: Учебное пособие, руководство по

изучению дисциплины / Московский государственный университет

экономики, статистики и информатики. М.: МЭСИ, 2005. – 119 с.

3. Давыдов Э. Г. Исследование операций: Учеб. пособие для студентов

вузов. М., 1990.

4. Ермольев Ю.М., Ляшко И.И., Михалевич В.С., Тюптя В.И.

Математические методы исследования операций: Учеб. пособие для вузов.

Киев, 1979.

5. Исследование операций в экономике: Учеб. Пособие для вузов/Н.Ш.

Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. Проф. Н.Ш.

Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2003. – 407 с.

6. Конюховский П. В. К65 Математические методы исследования

операций в экономике — СПб.: Издательство «Питер», 2000. – 208 с. –

(Серия «Краткий курс»).

7. Таха X. Введение в исследование операций/ Пер. с англ. М.,1985.