Числовые ряды

Вып.: ст. ХК ГУТ гр. СО-11

Миронюк Сергей

- Определение числового ряда- Сумма ряда- Примеры числовых рядов- Определение частичной суммы- Сходящиеся и расходящиеся

ряды- Признак Даламбера,

исследование на сходимость

Еще в древности ученые встречались с понятием бесконечных

последовательностей: U1, u2, u3, un, …,

и с понятием бесконечных рядов u1 + u2 + u3 + … + un + …

числа u1, u2 , u3, … – члены ряда.

Пользуясь введенным Эйлером знаком суммы ,рассмотрим частичные суммы данного ряда.

s1 = u1 – первая частичная сумма,

s2 = u1 + u2 – вторая частичная сумма,

s3 = u1 + u2 + u3 – третья и т.д.

Сумма sn = u1 + u2 + u3 + … + un - частичная сумма ряда.

1nnu

u1, u2 , u3, …, un, …

s1, s2 , s3, …, sn, … , где

s1 = u1,

s2 = u1 + u2,

s3 = u1 + u2 + u3, ……………………………

sn = u 1+ u2 + u3 + … + un, ……………………………

При частичная сумма имеет предел n SnS

n

lim

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Ряд называется сходящимся, еслипоследовательность его частичных суммимеет конечный предел

Этот предел называется суммой сходящегося ряда.

Если последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, то ряд называется расходящимся.

SnSn

lim

Пример 1 Выражение

1 + (–1) + 1 + (–1) + … + (–1)n+1 + …

является рядом.

Составим частичные суммы

s1 = 1, s2 = 1 – 1 = 0, s3 = 1 – 1 + 1 = 1, …,

2

)1(1)1(...11

11

n

nns

Пример 2

Выражение

является рядом.

Из членов

составляют частичные суммы

...2

1...

8

1

4

1

2

11

1

n

,...2

1,...,

4

1,

2

1,1

1

n

,...2

12,...,

4

31,

2

11,1

1

321

n

nssss

Пример 3

Ряд

1 + 2 + 3 + 4 + … + n + … -

расходящийся, т.к. последовательность его

частичных сумм

s1 = 1, s2 = 3, s3 = 6, … ,

имеет бесконечный предел.

,...2

)1(

nnsn

Пример 4 Ряд

1 – 1 + 1 – 1+ … +(-1)n+1 + … - расходящийся, т.к. последовательность его частичных сумм

не имеет никакого предела.

,...2

)1(1,...,1,0,1

1

321

n

nssss

.)1(

1

1

n nn

,...).3,2,1(1

11

)1(

1

n

nnnn

.1

11

1

11...

4

1

3

1

3

1

2

1

2

11

nnnSn

.11

11limlim

nnS

nn

n

Поэтому

Ряд

u1 + u2 + … + un + … может сходится, когда общий член

ряда un стремится к нулю:

.0lim n

nu

Пример 5 Ряд

0,4 + 0,44 + 0,444 + 0,4444 + … - расходится, т.к. общий член ряда не стремиться к нулю.

Пример 6 Ряд

1 – 1 + 1 – 1 + … - расходится, т.к. общий член

ряда не стремится к нулю.

Если знаменатель прогрессии удовлетворяет неравенству:

|q| < 1,то последовательность частичных сумм (Sn) имеет предел:

который называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии (т.е. суммой ряда).

,1 q

aS

Признак Даламбера

Если члены положительного ряда

а1+а2+ …+ аn+…

таковы, что существует ,

то при ряд сходится,

а при ряд расходится.

n

n

n a

a 1lim

1

1

Применение признака Даламбера

Примеры

Исследовать на сходимость следующие ряды: 1.

2.

Решение: воспользуемся признаком Даламбера:

ряд сходится.

...10

!...

10

321

10

21

10

1

...3

...3

3

3

2

3

1

32

32

n

n

n

n

11 3

13

nn

nn

na

na токт

nn

a

a

n

n

n

nnnn

n

n

,13

1..,

3

1

3:

3

1

3

1limlimlim 1

1

Применение признака Даламбера

Решение второго примера:

т.к. , то ряд расходится.

11 10

!110

!

nn

nт

na

nа

10

1

10!

10!1

10

!:

10

!1limlimlimlim 11

1 n

n

nnn

a

a

nn

n

nnn

nn

n

n

Краткая историческая справка

Жан Лерон Д'Аламбер (1717-1783) — французский математик, механик и философ-просветитель, иностранный почетный член Петербургской АН (1764). В 1751-57 вместе с Дени Дидро редактор «Энциклопедии». Сформулировал правила составления дифференциальных уравнений движения материальных систем (см. ниже Д'Аламбера принцип). Обосновал теорию возмущения планет. Труды по математическому анализу, теории дифференциальных уравнений, теории рядов, алгебре.