Монгол улсын боловсролын их сургууль

Математик статистикийн сургууль

Сэдэв : Олон гишүүнтийн цагираг дахь ХИЕХ ба ХБЕХ , шугаман тавил

Гүйцэтгэсэн : ……………/Э.Бямбацэцэг/

Шалгасан : ……………../Ш.Батхишиг/

Оршил

Энэхүү бие даалтанд “олон гишүүнтийн цагираг дахь ХИЕХ ба ХБЕХ, шугаман тавил” гэсэн сэдвийн хүрээнд энэ сэдэвтэй холбогдолтой теорем,чанар,лемм тэдгээрийн баталгааг тусгасан болно.Мөн энэхүү сэдвийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд сэдэвтэйгээ холбогдох жишээ бодлогууд оруулж өгсөн. Энэ бие даалт нь олон мэдээллийн эх сурвалжаас түүж авсан тул та бүхэнд хүртээмжтэй ойлгомжтой байна гэдэгт найдаж байна.

Олон гишүүнтийнцагираг

x1 , x2 ,. ... . xn гэсэнүл мэдэгдэгчтэмдэг ,дурынФталдээрөгөгдсөн байг . x1 , x2 ,. ... . xnтэмдгийг цагаантолгойболгон авч

x i1∗x i2∗x i3 . . . xℑ (1 )

хэлбэрийн үг зохиоё .Үүнд x i1нь x1 , x2 , ... .. xnтэмдгийналь нэгнь юм .Цаашид x i∗x j=x j∗x i гэжтооцъё .Өөрөөр хэлбэл x1 , x2 ,. ... . xnтэмдэг бүгд

хоорондоо байрсольдогюм гэжтооцъё . Энэбайдлыгбодолцож (1 )илэрхийллийг ямагт

x1m1∗x2

m2 . .. xnmn (2 )

гэж бичижболно .Үүндm1 сөрөгбишбүхэлтооi=1,2, . . .n , x imi нь x iтэмдэгmi удаабайна гэснийг харуулна.

Илэрхийлэл (2 )−ыг нэг гишүүнтгэжнэрлэдэгФталбараас коэффиценттэй (2 )

хэлбэрийнилэрхийллийнтөгсгөлөг тооныформальнийлбэрийг x1 , x2 , ... .. xn

гэсэн nүл мэдэгдэгчтэй олон гишүүнт хэмээннэрлээд f (x¿¿1 , x2 , ... .. xn)гэжтэмдэглэдэг .¿

Тодорхойлолтёсоор f (x1 , x2 ,. ... . xn )=∑ α (m1 ,m2 ,. .mn ) x1m1∗x2

m2. . . xnmn (3 )

m1 ,m2 , .. .mnбүгдтэгээсбагагүй (ө . хmi≥0 )бүхэлтооболно. Гэхдээ (3 )−т

төсөөтэй гишүүнбайхгүй байхааройлгоно .Товч ярихад (3 )бичиглэлд оролцсон (2 )нэг гишүүнт

бүртнэг утгатай харгалзах(m¿¿1 ,m2 , . ..mn)векторбие биеэсээ ялгаатай байнагэсэн хэрэгюм .¿

(m¿¿1 ,m2 , . ..mn)−ыннийлбэр∑(¿)

m

miбүхэлтоог (2 )нэгэнгишүүнтийн зэрэг гэж ¿

нэрлэдэг . (3 )бичиглэлд оролцсонбүх тэгбус коэффиценттэйнэг гишүүнтийн зэргийн хамгийн

ихийг f (x1 . . . xn )олон гишүүнтйн зэрэг гэжнэрлэдэг ., , , , , , ,, , , , , , ,, , , , , , ,, , , , , , ,, , , , , , ,, , , , , , ,, , , , , , ,, , , , , , ,, , , , , , ,, , , , , , ,, , , , , , ,, , , , , , ,,

Жишээнь : f (x1 , x2, x3 )=x12 x2

3 x3+12x1 x2

4 x32+2 x1 x2 x3

4+x1 x2−x1 x3−4 x2 ,

Qталбардээрх x1 , x2 , x3үл мэдэгдэгчдийнолон гишүүнтболно .Үүнд : x12 x2

3 x3нэг

гишүүнт6 зэрэгтэй x1 x24 x3

2нь7 , x1 x2 x34нь 6 , x1 x2ба x1 x3нь2 , x2нь1 зэрэгтэйбайна .

x1 x2нэггишүүнтэд x3оролцоогүйбайгаагтүүний зэрэг0байнагэж ойлгоно .Мөнтүүнчлэн

сүүлчийн нэг гишүүнтэд харгалзах вектор (0,1,0 )байна . Нэгүгээр хэлэхэдтус нэг гишүүнт

x10 x2 x2

0 гэсэнүгюм .

f (x1 , , , xn ) , g ( x1 , , , xn ) хоёролон гишүүнтийгтөсөөгүй нэггишүүнтгүй бөгөөдтөсөөтэй нэг

гишүүнтийн коэффицент харгалзантэнцүү болтэднийгтэнцүү гэжнэрлэнэ . Нэг хувьсагчийг

олон гишүүнтийн адилаар о−олон гишүүнтталбарын элементбөгөөд зэрэгнь

тодорхойгүй байна .Олон хувьсагчийнолон гишүүнтийн хооронд нэг хувьсагчийнолон

гишүүнтийн адилаар нэмэх үржүүлэх үйлдэлтодорхойлъё . Мөнцаашдаа ямарнэг нэггишүүнт

f ¿

гишүүнтийн бичиглэлдбайхгүй байжболно .Энэүедтус нэг гишүүнтийг g (x1, , , xn) олон

гишүүнтийн бичиглэлдтэг коэффиценттэй оролцсон байнагэжсэтгэж болно.Энэ утгаар хоёрөөр

олон гишүүнтийг ягижилтооны нэмэгдэхүүнтэй гэжтооцожболно .Нэг гишүүнтийхнь

коэффицентүүд f , g олон гишүүнтийн харгалзах гишүүнтийн коэффицентүүдийннийлбэртэй

тэнцэх олон гишүүнтийг f , g хоёролон гишүүнтийн нийлбэр гэжнэрлэнэ .

Тийнхүү : f=f (x1, , , xn )=∑ α (m1 ,m2 ,. .mn ) x1m1∗x2

m2 . . . xnmn

g=g (x1 , , , xn )=∑ β(m1 ,m2 , .. mn) x1m1∗x2

m2. . . xnm n

болf (x1 , , , xn )+g (x1 , , , xn )=∑ [α (m1 ,, ..mn )+β (m1 , ,.. mn) ] x1m1∗. . . xnm n (4 )

байна . Коэффиценттэй хоёрнэг гишүүнтийнүржвэрийг :

(a x1m1∗x2

m2. . . xnm n) (b x1

k1∗x2k2 .. . xn

kn )=ab x1m1+k1 .. . xn

mn+kn(5)

дүрмээртодорхойлъё . Цаашнь хоёролон гишүүнтийнүржвэр гэжтус хоёролон гишүүнтийн

нэг гишүүнтийг (5 ) ёсоор гишүүнчлэн үржүүлжтөсөөтэй гишүүнийг (4 )−ээр

эмхэтгэснийдүнд гарах олон гишүүнтийгнэрлэнэ .Нэмэх баүржүүлэх үйлдлийн хувьд nүл

мэдэгчтэй олон гишүүнтйин олонлогцагираг үүсгэнэ .Үнэхээр олон гишүүнтийн нэмэх үйлдэл

ассоциатив байх нь уг үйлдэл зөвхөн харгалзах нэг гишүүнтийн коэффицентийг нэмэх аргаар

тодорхойлсноос мөрдөн гарч байна .Тэг элементийн үүргийг о−олон гишүүнт

гүйцэтгэх ньилт. Нэг гишүүнтийг (5 )дүрмээрүржүүлэхэд зэргүүдийн үүсгэх векторын

харгалзах компонентүүдийг нэмэгдэх баүндсэнталбарФассоциатив учирнэг гишүүнтийн

үржвэр ассоциативболно . Иймээс хоёр олон гишүүнтийг гишүүнчлэн үржүүлэх дүрэм ёсоор

энэүржвэр мөнассоциативбайна . Хаалт задлах хуульбиелэх нь үржихүйлдлийг тодорхойлсон

дүрмээсшууд мөрдөнгарна .ЭнэцагирагийгФталбардээрхnүл мэдэгдэгчийнолон гишүүнтийн

цагираг гэжнэрлэжФ [x1 , x2 , ... .. xn ] гэжтэмдэглэе .

Ф [ x1 , x2 ,. ... . xn ]цагирагийн элемент f −олон гишүнтийн бүхнэг гишүүнтадилхан

зэрэгтэйболтүүнийг нэгэнтөрлийнолон гишүүнтгэж хэрлэдэг .Жишээнь :

f (x1 , , , xn )=x12 x2

2+x12 x3

2+. . .+x12 x1

2+. ..+xn−12 xn

2нь 4 зэргийн нэгэнтөрлийн

олон гишүүнтбайна . f (x1, , , xn ) гэсэндурын олон гишүүнтийгнэгэнтөрлийн олон гишүүнтийн

нийлбэр хэлбэрээр нэг утгатайбичижболно.

Теорем1 .R факториалцагирагбол R [x ] мөнфакториалцагираг байна .Өөрөөр хэлбэл R [ x ]−ийнэлементбүр нь эсвэлүл задрах ( энгийн )олон гишүүнт ,эсвэл үл задрах олон гишүүнтийн

үржвэр болжнэгжийн хуваагчийннарийвчлалтайгаар нэг утгатай задарна .Ф [ x1 ]факториал

цагираг байхыгүзүүлсэн .Иймд (Ф [x1 ] ) [ x2 ]=Ф [ x1 x2 ]мөн фоктариалцагираг байна гэх мэт .

Мөрдлөгөө.Ф [ (x1 , , , xn ) ]цагирагфоктариалцагираг байна .

ХИЕХ

f , g∈F [x ] ,max ¿¿

байг .∀ (q|f , g )−ийн хувьд (q|d )гэж гардагбол d−г f , g−ийн ХИЕХ гээдd=(f , g )

гэжтэмдэглэдэг . Бүхэлтоонуудын хувьд авчүзсэн Евклидийн алгоритмийгталбар дээрхолон

гишүүнтүүдийн ХИЕХ оршинбайхыг харуулжболно .

Тэндээс мөн∃∪ ,ʋ∈F [x ] , d ( x )= ( f , g )=f∪+gʋ∈F [ x ] (1 )

байх ньч гарна .m ,n∈−ийнхувьд (m,n ) , [m ,n ]−гMKI−дтодорхойлсны

адилаар f =a (x−α i )k i , g=b (x−α i )

li k i ,li≥0 , α i∈ E Fбол

( f , g )=(x−α i )pi , [ f , g ]=ab (x−α i )

qi , pi=min {k i ,li } , q i=max {k i , li }гэж

тодорхойлжбоохнь ч ойлгомжтой.Тэгвэл fg=( f , g ) [ f , g ] байхнь илэрхий .

Эвклидийн лемм.

p ( x )∈P (F|x|)байг p ( x )|fgбол P|f эсвэл ( p|g )байна .ө . х P (F|x|) P' (F|x|)

Өгүүлбэр 1

f ( x )∈❑p [ x ]үл задрах давхар язгууртай олон гишүүнтбол∃g∈❑p [x ] үл задрах олон гишүүнт f (x )=g (x p ) гэжбатал.

⟤ (f , f '¿|f )ба ( f , f ' )∈❑p [x ]байхтул ( f , f ' )=fv ( f , f ' )=q∈❑p , a0болно.

( f , f ' )=f f '=0∃g ( x )=❑p [ x ] үлзадрах олон гишүүнт , f ( x )=g (x p )

( f , f ' )=a∈❑p , a≠0 f , f' ХАОГ f давхар язгуургүй . f '=0бол f (α )=0байх

α бүр нь f ( x )−ийндавхар язгуурболж чадна учирнь f (α )=0 f ' (α )=0биелнэ.∎

Бодлого1

f ( x )баg (x )олон гишүүнтийн ХИЕХ−г ол. f ( x )=xm−1g ( x )=xn−1

Бодолт : d=(m ,n )>0 ,m=m,d ;n=n ,dбайг . f ( x )ба g ( x )−ийг−дээр

үржигдэхүүнд задлах :

f ( x )=¿;

g ( x )=¿

g ( x )ба f (x )−ийн задаргаануудаар хоёрүржигдэхүүн зөвхөн=буюу

kn=lmбайхүед лдавхацна .Гэтэл (m ,n )=1тул энэнь зөвхөн

k=0 ,m .2m ,. . . (d−1 )mбайхад лболомжтой .l−ийн энэ утгуудад

¿=¿

( f (x ) , g (x ) )=¿ xd−1болно .

Ашигласан ном: “Алгебр тооны онолын бодлогын хураамж” Ц.Маам ,Ц.Цэндаюуш ,Л.Чойжоованчиг,Б.Чулуундорж

“Дэд алгебрийн күрс” Ү.Санжмятав А.Мекей