Побудова перерізів
TRANSCRIPT
![Page 1: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/1.jpg)
Підготувала:Федюк Оксана Романівна, вчитель математики Сокальського ЗШ І-ІІІ ст. № 4 - ліцей, вища категорія;
![Page 2: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/2.jpg)
Мета: Мета: Повторити геометричні поняття і твердження; навчитися будувати перерізи різними способами; розвивати просторове уявлення та вміння логічно вибудовувати своє пояснення. Виховувати інтерес до технічних знань.
![Page 3: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/3.jpg)
• Геометричні поняття;
• Геометричні твердження;
• Методи побудови перерізів;
• Довідковий матеріал;
• Література;
• Основні поняття;
• Побудови перерізів;
![Page 4: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/4.jpg)
грань
ребро
вершина
• ПлощинаПлощина – – граньгрань
• Пряма – реброПряма – ребро
• Точка – Точка – вершинавершина
![Page 5: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/5.jpg)
МногогранникиМногогранники
• ТетраедрТетраедр
• ПаралелепіпедПаралелепіпед
![Page 6: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/6.jpg)
• Якщо дві точки прямої лежать на одній площині, то і вся пряма належить даній вся пряма належить даній площині.площині.
![Page 7: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/7.jpg)
• Якщо дві паралельних площини перетинаються третьою площиною, то лінії лінії їх перетину паралельні.їх перетину паралельні.
![Page 8: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/8.jpg)
Основні поняття.• Січною площиною многогранника Січною площиною многогранника називається така площина по обидві сторони від якої є точки даного многогранника.
• ПерерізомПерерізом многогранника називається фігура, яка складається з усіх точок, які є спільними для многогранника і січної площини
![Page 9: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/9.jpg)
Вид перерізу залежить від розміщення площини.
![Page 10: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/10.jpg)
Площину перерізу можна задати:
1. Трьома точками, що не лежать на одній прямій;2. Прямою і точкою, що не лежить на ній;3. Двома прямими, що перетинаються;4. Двома паралельними прямими;
![Page 11: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/11.jpg)
Січна площина перетинає грані многогранника по відрізкам, тому перерізом многогранника є многокутник, що лежить в січній площині. Очевидно, що кількість сторін цього многокутника не може перевищувати кількості граней даного многогранника. Наприклад: в чотирикутній призмі (всього 6 граней) в перерізі можемо отримати трикутник, чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник.
![Page 12: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/12.jpg)
Які многокутники отримаємо в перерізі п'ятикутної призми площиною?
![Page 13: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/13.jpg)
Які многокутники отримуються в перерізі паралелепіпеда?
![Page 14: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/14.jpg)
Скільки площин можна провести через виділені елементи?
![Page 15: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/15.jpg)
Що означає побудувати переріз?
Побудувати переріз многогранника площиною – означає: в площині кожної перетнутої грані вказати дві точки, що належать перерізу; з'єднати ці точки прямою; знайти точки перетину прямої з ребрами многогранника.
![Page 16: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/16.jpg)
1. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.
А
В
С
![Page 17: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/17.jpg)
А
В
С
2. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.
К
АВ || СК
![Page 18: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/18.jpg)
3. Через ребро АВ і точку М ребра СD тетраедра АВСD провести переріз.
М
А
В
С
D
![Page 19: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/19.jpg)
А
С
D
В
4. Побудувати переріз, що проходить через вершину C і точки М і N, що лежать на гранях ADC і АВС тетраедра АВCD
N
M
![Page 20: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/20.jpg)
5. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.
CB
А
![Page 21: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/21.jpg)
А
С
В
D
6. Побудувати переріз, що проходить через вершину D і точки М і N тетраедра АВС
NMперерізшуканийDMN
FDCMNABCN
ABCM
BCDDNBCDN
BCDD
ADCDMADCM
ADCD
−∆
⊂⇒
∈∈
⊂⇒
∈∈
⊂⇒
∈∈
)4
)3
)2
)1
![Page 22: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/22.jpg)
Методи побудови перерізів Методи побудови перерізів многогранників.многогранників.
Метод Метод слідів .слідів .Метод Метод внутрішнього внутрішнього проектування або проектування або метод допоміжних метод допоміжних перерізівперерізівКомбінований Комбінований методметод
![Page 23: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/23.jpg)
Якщо площина α перетинає площину β по прямій т, то пряму т називають слідом площини α на площину β.
α
β
т
![Page 24: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/24.jpg)
Метод слідів включає три важливих пункти: Будується лінія
перетину (слід) січної площини з площиною основи многогранника. знаходимо точки
перетину січної площини з ребром многогранника.
Будуємо і заштриховуємо переріз.
М
C
B
А
К
Р
![Page 25: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/25.jpg)
Задачі на побудову перерізів методом сліду.
Поетапна побудова перерізів;
По заданій побудові записати етапи;
Складні приклади перерізів;
![Page 26: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/26.jpg)
1. Побудувати переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.
А
С
В
![Page 27: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/27.jpg)
2. Побудуйте переріз піраміди АВСD площиною, що проходить через внутрішні точки M, N, P ребер AD, AB, DC відповідно, при умові, що MN
не паралельна DP.A
P
C
N
M
DB
![Page 28: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/28.jpg)
A
P
C
N
M
DB
ADCMPADCP
ADCM⊂⇒
∈∈
)1
OBDMN =)2
О
BCDOPBCDO
BCDP⊂⇒
∈∈
)3
К KBCPO =)4
ABCNKABCK
ABCN⊂⇒
∈∈
)5
6) Чотирикутник MNKP – шуканий переріз
![Page 29: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/29.jpg)
3. Побудуйте переріз піраміди АВСD площиною, що проходить через внутрішні точки M, N, P
ребер AD, DC відповідно, і площини АВС.
АN
М
Р
D
С
В
![Page 30: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/30.jpg)
АN
М
Р
D
С
В
ADCMNADCN
ADCM⊂⇒
∈∈
)1
K
ÊÀÑMN =)2
AÂÑÊÐAÂÑÐ
AÂÑÊ⊂⇒
∈∈
)3
H
G
ÍÀÂÊÐ =)5
GÂÑÊÐ =)4
ABDMH
BCDNG
⊂⊂
)7
)6
8) Чотирикутник MNGH – шуканий переріз.
![Page 31: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/31.jpg)
4. Побудувати переріз куба АВСDА1В1С1D1
площиною, що проходить через внутрішні точки M, N, K ребер BB1, CC1, A1D1 відповідно
А
C
B
D
А1
D1 C1
B1
K
N
M
![Page 32: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/32.jpg)
11
1)1 BCCMNBCCN
BCCM⊂⇒
∈∈
А
C
B
D
А1
D1 C1
B1
K
N
M
Е
ÅÑBMN =11)2
![Page 33: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/33.jpg)
111111
111)3 CBAKECBAE
CBAK⊂⇒
∈∈
FÑDKE =11)4
1111
11)5 CDDFNCDDN
CDDF⊂⇒
∈∈
А
C
B
D
А1
D1 C1
B1
K
N
M
ЕF
![Page 34: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/34.jpg)
GBAKF =11)6
11
1)7 ABBGMABBM
ABBG⊂⇒
∈∈
HAAGM =1)8
1111
11)9 DAAKHDAAK
DAAH⊂⇒
∈∈
А
C
B
D
А1
D1 C1
B1
K
N
M
ЕF
G
H
![Page 35: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/35.jpg)
А
C
B
D
А1
D1 C1
B1
K
N
M
ЕF
G
H
Многокутник KFNMHKFNMH – шуканий переріз.
![Page 36: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/36.jpg)
M
N
K
5. Побудуйте переріз чотирикутної піраміди, заданої точками М, N і К.
Прослідкуйте за ходом побудови перерізу і запишіть його
![Page 37: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/37.jpg)
M
N
K
6. Побудуйте переріз п'ятикутної призми, що проходить через точки M, N, K.
Прослідкуйте за ходом побудови перерізу і запишіть його.
![Page 38: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/38.jpg)
7. Побудувати переріз куба АВСDА1В1С1D1 площиною, що проходить через вершину В1 і точки Р і Q, що лежать на ребрах AD і DC відповідно
А Q
В
P D
С
А1
В1
D1
С1
![Page 39: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/39.jpg)
8. Побудувати переріз чотирикутної піраміди АВСDM в основі якої лежить трапеція. На ребрах МА і МВ, а також на грані МСD взяті відповідно точки Р, Q, R.
B
A
C
D
Q
M
R
P
![Page 40: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/40.jpg)
M
N
K
Розглянемо більш складні приклади.Розглянемо більш складні приклади.
![Page 41: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/41.jpg)
M
NK
Пам'ятаємо про те, що вершина піраміди – спільна точка для всіх бічних граней
Розглянемо більш складні приклади.Розглянемо більш складні приклади.
![Page 42: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/42.jpg)
K
M
N
Розглянемо більш складні приклади.Розглянемо більш складні приклади.
![Page 43: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/43.jpg)
M
Метод внутрішнього проектування
X
Y
A
A1
N
M1 N1
T
D1=T1
BC
DE
E1
C1
B1
Це метод використовується при побудові перерізів в тих випадках, коли незручно знаходити слід січної площини, наприклад, слід знаходиться дуже далеко від заданої фігури
![Page 44: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/44.jpg)
Побудова перерізу п'ятикутної призми площиною, що проходить через точки M, N, K, які належать відповідно граням АА1В1, ЕDD1, CDD1. A
CB
M
D
E
A1
C1B1
D1
E1 K
NM1
N1
K1
A2
![Page 45: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/45.jpg)
Комбінований метод.
При побудові перерізу цим методом на яких етапах побудови використовуються прийоми методі слідів або метода
внутрішнього проектування, а на інших етапах використовуються теореми вивченні в розділі “Паралельність прямих і площин!”
![Page 46: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/46.jpg)
Побудувати переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точку S паралельно площині PQR. P належить А1В1, Q належить(DCC1), R належить (АDD1)
Q
P
RB
А D
C
B1
А1
C1
D1
S
![Page 47: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/47.jpg)
B
А D
C
B1
А1
C1
D1
1. Через три точки P, Q, R проводимо площину α. Побудуємо цю площину використовуючи метод слідів.
Q
P
R
S
2. Використовуючи властивості і ознаки паралельності площин будуємо шуканий переріз.
V
T
U
3. Чотирикутник SUTV – шуканий переріз.
![Page 48: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/48.jpg)
Довідковий матеріал.Довідковий матеріал.• Аксіома 1. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій можна провести площину і до того ж тільки одну;• Аксіома 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то всі точки даної прямої належать площині;• Аксіома 3. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають спільну пряму на якій лежать спільні точки цих площин;• Наслідки з аксіом:1)Через пряму і точку, що не належить даній прямій можна провести площину і до того ж тільки одну;2)Через дві прямі, що перетинаються можна провести площину і до того ж тільки одну.•Теорема (ознака паралельності двох площин). Якщо дві прямі, що перетинаються однієї площини відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються іншої площини, то ці площини паралельні;•Теорема (властивість паралельних площин). Якщо дві паралельні площини перетнуто третьою, то лінії їх перетину паралельні;•Теорема (ознака паралельності прямої і площини). Якщо пряма, що не належить даній площині, паралельна будь-які прямій цієї площини, то вона паралельна і даній площині.
![Page 49: Побудова перерізів](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013118/55a2fbfc1a28ab3b748b46cd/html5/thumbnails/49.jpg)
Література.Література.
1. Е.К.Лейнартас “Математика. Перерізи многогранників”, Красноярск, 2006
2. http://www.freeware.ru/program_prog_id_1536.html (програма, для побудови перерізів основних просторових фігур)
3. http://mail.spb.fio.ru/archive/group14/c4wu5/tityl.html