) المستقيمات المتوازية 4- 3(3الفصل والمستقيمات المتعامدة

تدرب وحل المسائل:

اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة المعطاة والمعلوم ميله في كل مما يأتي:

.1)؛ الميل = -4، 1(- ) 5

الحــــــــــــــل

3ص= -س+

فيما سبق: درست كتابة المعادل ت الخطية بصيغة الميل ونقطة.

أكتب معادلة المستقيم المار بنقطة معطاة ويوازي مستقيم.ًا معلوم.ًا.

أكتب معادلة المستقيم المار بنقطة معطاة ويعامد مستقيم.ًا معلوم.ًا.

وال�ن

المستقيما�ن المتوازيا�ن المفردات

المستقيما�ن المتعامدا�ن

فيما سبق: درست كتابة المعادل ت الخطية بصيغة الميل ونقطة.

لماذا؟

عند النظر إلى المربعا ت والمستطيل ت والمستقيما ت في اللوحة الفنية نّو ن زوايا المجاورة، تجد أ ن بعض الخطوط المستقيمة تتقاطع لتك

قائمة، وبعضها الرخر ل يتقاطع أبد.ًا.

لماذا؟

ل و: المستقيما�ن الواقعا�ن في المستوى نفسه المستقيما�ن المتوازيا�نيقطع أحدهما الرخر، يسميا�ن مستقيمين متوازيين، ويكو�ن لهما

الميل نفسه.

اسئلة التعزيز

كيف تصف العلةقة بين المستقيمات الرأسية في الشكل ؟•

كيف تصف العلةقة بين المستقيمات الفقية في الشكل ؟•

لماذا؟

ص

س

جميع المستقيما ت الرأسية متوازية.

إذا كا ن للمستقيمين غير ىالرأسيين في المستوالميل نفسه فهما

متوازيا ن. 0

ولكتابة معادلة مستقيم علمت إحدى نقاطه ومعادلة مستقيم آرخر يوازيه، أوجد

ضّو ض .ًل ميل المستقيم المعلوم، ثم ع أوالميل والنقطة المعطاة في المعادلة العامة

للمستقيم بصيغة الميل ونقطة.

1مثال

) 5، 3اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (- بصيغة 4- س2والموازي للمستقيم ص =

الميل والمقطع.

المستقيم المار بنقطة معطاة ويوازي مستقيم.ًا معلوم.ًا

، فإ�ن ميل 2 يساوي4- س2بما أ�ن ميل المستقيم ص = :1الخطوة أيض.ًا. 2المستقيم الموازي له يساوي

4- س2) والموازي للمستقيم ص = 5، 3اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (-بصيغة الميل والمقطع.

أوجد المعادلة العامة للمستقيم بصيغة الميل والمقطع. :2الخطوة

صيغة الميل والمقطع س + بم = ص

س + ب2= ص

ضّس�ط + ب 3 × ــ 2 = 5 ب + ب 6 = ــ 5

ص = م س + ب

.) إلى كل طرف6أضف (+ = ب 6 + 5

11س +2= ص.اكتب المعادلة بصيغة الميل والمقطع

فهمك من تحقق

اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (1) والموازي للمستقيم1، -4(

1 بصيغة الميل ونقطة. 7س + ـــــــ ص = 4

الحــــــــــــل )1 ، ــ 4 ) معادلة المستقيم المار بالنقطة ( 1

7 س + 1 والموازي للمستقيم ص = 4

1 يساوي 7 س + 1 ) بما أن ميل المستقيم ص =1 4

أيضا 1 فإن ميل المستقيم الموازي له يساوي 4

) أوجد المعادلة العامة للمستقيم بصيغة الميل والمقطع 2 ص = م س + ب

+ ب 4 × 1 = 1 ــ 4

= ب 2 + ب ــ 1 = 1 ــ ص = م س + ب

2 س ــ 1 ص = 4

4

اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة المعطاة تأكدوالموازي للمستقيم المعطاة معادلته في كل مما

يأتي بصيغة الميل والمقطع:

5س + 4)، ص = -4، 0() 2

الحـــــــــــــــل

4 يساوي ــ 5 س + 4 ) بما أن ميل المستقيم ص = ــ 1 أيضا 4 فإن ميل المستقيم الموازي له يساوي ــ

) أوجد المعادلة العامة للمستقيم بصيغة الميل والمقطع 2 ص = م س + ب

+ ب 0 × 4 = ــ 4 = ب 4

ص = م س + ب 4 س + 4 ص = ــ

معادلة المستقيم بصيغة الميل والمقطع هي 0 0 4 س + 4 ص = ــ

16 ) ص 2كتاب النشاط (

2س + 4), ص = - 5, 2) (- 2

الحــــــــــــل

3 س ــ 4 ص= -

مراجعة المفردات

معكوس المقلوب

أ و ــــــ همعكوس مقلوب العدد ــــــــ.–

أ

ب ب

نّوينين زوايا لمستقيمان المتعامدان: ا المستقيمان اللذان يتقاطعان مك، ويكون ميل كل منهما معكوس مستقيمين متعامدينقوائم يسميان

، فإن ميل المستقيم 4مقلوب الرخر. فمث ،ًال، إذا كان ميل أحدهما 1 ـــــــــ.العمودي عليه يساوي -

4

ص

س

الخطوط الفقية والخطوط الرأسية

متعامدة إذا كان يناتج ضرب ميلي مستقيمين غير

1رأسيين يساوي -فهما متعامدان.

0

باستعمال الميل يمكنك تحديد تعامد مستقيمين أم ل.

2مثال

من واقع الحياة

ميال المستقيمين المتعامدين

يبين الشكل التي تصميم: مخطط ،ًا لشعار إحدى الشركات ممث ،ًال على المستوى الحداثي:

2مثال

من واقع الحياة

ميال المستقيمين المتعامدين

أ) هل < د ف ي قائمة؟

إذا كان الضلعان ب ي، أ د متعامدين، فإن < د ف ي تكون قائمة. أوجد ميل

كل من ب ي، أ د

ــــــــــــــ

ــــــــــــــ

أ) هل < د ف ي قائمة؟ 2مثال

ـــــــ ــــــــــــــ = ــــــــميل ب ي = 7 - 2

1 - 3

-25

. 1 = -ــــــ × ـــــــبما أن

فالضلعان متعامدان،. إذن < د ف ي قائمة

-25

52

من واقع الحياة2مثال

ميال المستقيمين المتعامدين

ب) هل كل ضلعين متقابلين في الشكل أ جـ ل ي متوازيين؟

(غير معرف) ميل أ جـ =

(غير معرف)، ــــــــــــوميل ل ي =

6 - 1

6 - 12 - 2

ــــــــ

ــــــــ

7 - 7

ـــــــــــــ

، ل ي رأسيان ويوازيان محور لذا أ جـالصادات وبالتالي فهما متوازيان.

ــــــــــــــــ

إذا كان الضلعين المتقابالن متوازيين فإن لهما الميل ينفسه.

ب) هل كل ضلعين متقابلين في الشكل أ جـ ل ي متوازيين؟

, 0 = = لجـ ميل

، 0 ــــــــــــ = ي =أوميل

6 - 6

1 - 17 - 2

ــــــــ

ــــــــ

7 - 2

ـــــــــــــ

ويوازيان محور أفقيان ي أ، ل جـ فالضلعان لذا وبالتالي فهما متوازيان. سينات,ال

ــــــــــــــــ

تظهر على واجهة منزل عارضتان إينشاءات: )2ثُمثلث إحداهما بالقطعة المستقيمة ك ر التي رخشبيتان،

ثُمثلث العارضة المتصلة 8، 1)، ر (-2، 6طرفاها ك (- )، و)، 6، 3بها بالقطعة المستقيمة س ت التي طرفاها س (-

) فهل هاتان العارضتان متعامدتان؟ وضح 5، 8ت (-إجابتك.

ـــــــــ

ـــــــــ

يمكنك أن تحدد إذا كان المستقيمان الممثالن بيايناّيا متوازيين أم متعامدين بمقارينة ميليهما.

تحقق من فهمك

الحــــــــــــــل

6 = 2 ــ 8 ) ميل ك ر = 2 5 6 + 1 ــ

1 = 6 ــ 5 ميل س ت = 5 ــ 3 + 8 ــ

6 x 1 = 1 ــ 5 ــ 5

1حاصل ضربهما ل يساوي ــ ليستا متعامدتين

تأكد

ـــــــ

حديقة على شكل مضلع رباعي حدائق: )3)، 7، 5)، جـ (3، -3)، ب (1، 2رؤوسه: أ (-

)، يقطعها الممران أ جـ، ب د. فهل 4، 3د (-نّسر إجابتك. هذان الممران متعامدان؟ ف

ـــــــ

الحـــــــــــــــل

6 = 1 ــ 7 ) ميل أجـ = 2 5 + 2 7

7 = 3 + 4 ميل ب د = 6 ــ 3 ــ 3 ــ

6 x 7 = 1 حاصل ضربهما = ــ1 ــ 6 ــ7 1 الممرا ن متعامدا ن ل ن حاصل ضرب الميلين = ــ 0 0

أختاري الاجابة الصحيحة فيما يلي :

3 س + 5 ، ص = 4 س + 1ــ ــ اذا كانت ص =

فإ ن المستقيما ن :

متوازيا ن •

متعامدا ن•

متطابقا ن •

غير متعامدا ن •

5

مسائل مهارات التفكير العليا

هل المستقيم القفقي يعامد ) تبرير: 30المستقيم الرأسي أحيان ًا أم دائم ًا أم ل يعامده

أبد ًا ؟ قفسر إجابتك.

يعامده دائما ل ن المستقيم الرأسي يوازي محور الصادات والمستقيم

القفقي يوازي محور السينات

تدرب وحل المسائل

شبه المنحرف هو شكل رباعي قفيه ضلعا ن ) هندسة: 14متوازيا ن قفقط. قفهل الشكل أ ب جـ د شبه منحرف ؟ قفسر إجابتك.

الحـــــــــــــل

1 = 2 = 3 + 1= ــ ) نوجد ميل ب جــ 1 ، ــ 6 ) ، جــ( 3 ، 0ب( 3 3 0 ــ 3

3 = 2 = 3 + 1ــ ) نوجد ميل أ د = 1 ، ــ 6 ) ، د ( 3 ، ــ 0أ ( 6 0 ــ 6

1 الضلعا ن ب جـ ، أ د متوازيا ن لنهما متساويا ن = 00 وشبه المنحرف له ضلعا ن متوازيا ن

أ ب جـ د هو شبه منحرف 00

تـــــــابع المستقيمات المتوازية 3الفصل والمستقيمات المتعامدة

قراءة الرياضيات

┴ للدللة على التعامد. على التوازي، والرمز يستعمل الرمز // للدالة

التوازي والتعامد

3مثال

المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة

حدد إذا كانت التمثيلت البيانية للمستقيمات التية متوازية أم

متعامدة، وقفسر إجابتك:

3مثال

المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة

1س + 2، ص = -3، س = 5ص =

ملّثل كل معادلة على المستوى الحداثي.

المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة

من التمثيل يمكنك ملحظة أ ن المستقيم يوازي محور السينات، وأ ن 5ص =

يوازي محور 3المستقيم س = الصادات، لذا قفهما متعامدا ن، ول يتوازى أي مستقيمين من الثلثة.

3مثال

) حدد إذا كانت التمثيلت البيانية للمستقيمات التية 3متوازية أم متعامدة، وقفسر إجابتك:

4، ص = 4- س3، ص = 2ص = -2س- 6

الحــــــــــــــــل

4 ) ص = 1 4س ــ 3 ) ص = 2

2 س ــ6ــ ص = 2ــ 2ص = ــ 2 س ــ 6 ) 3 2 ــ 2 ــ 2 ــ

1 س + 2ص = 2 ص = ــ 2 س ــ 6 ، 4 س ــ 3 المستقيما ن ص =

ول يتعامد مع أي مستقيمين منها 3 متوازيا ن ل ن ميل كليهما يساوي

حدد إذا كانت التمثيلت البيانية للمستقيمات قفي تأكد متوازية أم متعامدة، 6، 5كل من السؤالين

.وقفسر إجابتك

4س + 2ص = 4ص = س، 2س، 2ص = -) 5

حدد إذا كانت التمثيلت البيانية للمستقيمات قفي تأكد متوازية أم متعامدة، 6، 5كل من السؤالين

.وقفسر إجابتك

متعامدا ن4س+2س،ص=2المستقيما ن ص=-1ل ن حاصل ضرب ميلهما يساوي -

ص=س ل يوازي ول يعامد أيا من 2والمستقيم المستقيمين الرخرين

ملّث ل معادلة المستقيم المعلوم على ورقة رسم بياني، ثم عين النقطة المعطاة،

واستعم ل مسطرة لرسم المستقيم العمودي المار بالنقطة المعطاة.

إرشادات للدراسة

تمثي ل المسألة بياناّيا

4ال ـــــــــــمث

المستقيم المار بنقطة معطاة ويعامد مستقيم�ًا معلوم�ًا

)، 6، 4اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (- بصيغة 12ص = 3س + 2والمعامد للمستقيم

الميل والمقطع.

.أوجد مي ل المستقيم المعطى بإيجاد قيمة ص: 1الخطوة

المعادلة اللصلية 12ص = 3س + 2

)، والمعامد للمستقيم6، 4اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (- بصيغة الميل والمقطع. 12ص = 3س + 2

س من كل الطرفين 2اطرح 12+ س2-ص = 3 + س2– س 2

لّس ط 12س+ 2ص = -3 ب______ 12س+ 2ص = -3___

33 3اقسم ك ل طرف على

4ص = - ـــــــ س + 23

لّس ط ب

2-الميل = ـــــــ.3

مي ل المستقيم المعامد للمستقيم المعطى هو معكوس : 2 الخطوة ــــــــ.؛ أي ـــــــ مقلوب العدد -

أوجد معادلة المستقيم العمودي.

لصيغة المي ل ونقطة )س( س – م = صص –

232

3

11

), م = ـــــــ6 , 4(س , ص )=(- ))4(-( س – ـــــــ = 6ص – 11

بس ط)4 = ـــــــ ( س + 6ص –

إلى ك ل طرف6طبق خالصية التوزيع، ثم أضف 6 + 6 = ـــــــ س+ 6+ 6ص –

لّس ط12ص = ـــــــ س + ب 3

3

3

3 32

2

2

2

2

تحقق من فهمك

) والمعامد 7، 4) اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (42 بصيغة المي ل والمقطع1س-ـــــــــ للمستقيم ص =

3

الحـــــــــــــــل

) أوجد ميل المستقيم المعطى بإيجاد قيمة ص 1 1 س ــ 2 ص =

3 2 الميل = 0 0

3 3ــ أي 2 ) ميل المستقيم المعامد للمستقيم المعطى هو معكوس مقلوب العدد 2

3 2 أوجد معادلة المستقيم العمودي

ص = م س + ب + ب 4 × 3 = ــ7

2 + ب 6 = ــ 7 = ب 6 + 7 = ب 13

ص = م س + ب 13 س + 3ـ ـ ص =

2

اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة المعطاة تأكدوالمعامد للمستقيم المعطاة معادلته في ك ل مما

يأتي بصيغة المي ل والمقطع:

4- ســـــــ )، ص = - 3، 2(- ) 7 12

الحـــــــــــــل ) أوجد ميل المستقيم المعطى1

4 س ــ 1ــ ص = 2

1 ــ الميل = 0 0 2

2 أي 1 ــ العدد ميل المستقيم المعامد للمستقيم المعطى هو معكوس مقلوب ) 2 2

أوجد معادلة المستقيم العمودي ص = م س + ب

+ ب 2 × ــ 2 = 3 = ب 4 + 3

= ب7 ص = م س + ب

7 س + 2 ص =

المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة

ملخص المفهوم

المستقيمات المتعامدة المستقيمات المتوازية النوع

يكون المستقيمان غير الرأسيين متعامدين إذا كان حالص ل ضرب ميليهما

.1يساوي -

يكون المستقيمان غير الرأسيين .متوازيين إذا تساوى ميلهما

التعبير :اللفظي

جـ د // أب ف ي ┴ هـ و التعبير :بالرموز

:نماذج

ــــــــــ

ــــــــــ

ــــــــــ

ــــــــــ

مسائ ل مهارات التفكير العليا

يحاول فيص ل وأسامة إيجاد معادلة ) اكتشف الخطأ: 31 والمار 2س + ـــــــ المستقيم العمودي على المستقيم ص =

لّسر إجابتك. 5، 3بالنقطة (- ). فأيهما إجابته لصحيحة؟ ف

13

مسائ ل مهارات التفكير العليا

يحاول فيص ل وأسامة إيجاد معادلة ) اكتشف الخطأ: 31 والمار 2س + ـــــــ المستقيم العمودي على المستقيم ص =

لّسر إجابتك. 5، 3بالنقطة (- ). فأيهما إجابته لصحيحة؟ ف

إجابة فيص ل لصحيحة لن أسامة اخطأ في إشارة عدد من العداد

13

حدد إذا كانت التمثيلت البيانية للمستقيمات في تأكد متوازية أم متعامدة، 6، 5ك ل من السؤالين

.وفسر إجابتك

س ــــــ ص = س، ص = -3س، ــــــ ص = ) 6 1122

حدد إذا كانت التمثيلت البيانية للمستقيمات في تأكد متوازية أم متعامدة، 6، 5ك ل من السؤالين

.وفسر إجابتك

المستقيمان ص= ـــــــ س،ص= ــــــــ س متعامدان1لن حالص ل ضرب ميلهما يساوي -

ص= س ل يوازي ول يعامد أيا من 3والمستقيم المستقيمين الخرين

1122

انتهى الدرس