Основы математической логики

Основные операции Таблицы истинности Законы логики

Математическая логика

11 февраля 2013 г.



Три основные логические операции

Название Обозначение Альт. Соответствие Знач.Конъюнкция & ∧ умножение иДизъюнкция ∨ сложение илиОтрицание ¬ отрицание не

Полезно запомнить соответствия — это помогаетопределить порядок выполнения операций: отрицание,конъюнкция, дизъюнкция.



&



¬



∨



A ∨ ¬B&CКакой порядок выполнения?



¬A&¬B ∨ C&(¬D ∨ E )Какой порядок выполнения?



Таблицы истинности



Таблица истинности для конъюнкции

Рассмотрим, чему может быть равно высказывание A & B:

A B A & BИ И ИИ Л ЛЛ И ЛЛ Л Л



Таблица истинности для дизъюнкции

Рассмотрим, чему может быть равно высказывание A ∨ B :

A B A ∨ B

И И ИИ Л ИЛ И ИЛ Л Л



Таблица истинности для отрицания

Рассмотрим, чему может быть равно высказывание ¬A:

A ¬AИ ЛЛ И



Правила для запоминания / понимания

Конъюнкция требует, чтобы оба условия были истинны: ито, и другое.Дизъюнкции достаточно, чтобы одно из условийвыполнялось: или первое, или второе (или оба вместе).Отрицание меняет значение на противоположное.



Пример построения таблицы истинности

Построим таблицу истинности для высказыванияA & B ∨ ¬C .Построение заключается в переборе всех возможныхвариантов.

A B C ИтогИ И ИИ И ЛИ Л ИЛ И ИИ Л ЛЛ И ЛЛ Л ИЛ Л Л




Посчитаем первую строку, подставив значения A, B, C:A&B ∨ ¬C = И&И∨¬И = И&И∨Л = И ∨ Л = И

A B C ИтогИ И И ИИ И ЛИ Л ИЛ И ИИ Л ЛЛ И ЛЛ Л ИЛ Л Л




Аналогично рассчитываем для каждой оставшейся строки.

A B C ИтогИ И И ИИ И Л ИИ Л И ЛЛ И И ЛИ Л Л ИЛ И Л ИЛ Л И ЛЛ Л Л И



Задачи

Построить таблицу истинности для следующихвысказываний:

1 A ¬ B ∨ ¬¬A2 ¬(A&¬B)&C3 A ¬A4 A ∨ ¬A



Законы логики



Основные законы логики

Как и в математике, в логике есть свои законы.Во многом, они похожи на математические.Название ЗаконПереместительный A&B = B&A

A∨B = B∨AСочетательный A&(B&C) = A&(B&C)

A∨(B∨C) = A∨(B∨C)Распределительный A&(B∨C) = (A&B)∨(A&C)

A∨(B&C) = (A∨B)&(A∨C)Правила де Моргана ¬(A&B) = ¬A∨¬B

¬(A∨B) = ¬A&¬B



В логике можно доказывать законы

Но как?



Доказательство правила де Моргана

В логике два высказывания называются равными, еслисовпадают их таблицы истинности.Для доказательства одного из правил де Морганапостроим таблицы истинности для левых и правых частейравенства.Если таблицы совпадут, значит, формула верна:A B ¬(A&B)И И ЛИ Л ИЛ И ИЛ Л И

A B ¬A∨¬BИ И ЛИ Л ИЛ И ИЛ Л И



Задачи

Докажите переместительный закон для конъюнкции.Докажите распределительный закон конъюнкцииотносительно дизъюнкции (первый).



Остальные законы

Название ЗаконДвойного отрицания ¬¬A = AПротиворечия A&¬A = Л

A∨¬A = ИПовторения A&A = A

A∨A = AПросто закон A&И = A

A∨И = ИПросто закон 2 A&Л = Л

A∨Л = A



Задачи

Пример с раскрытием скобок:A&¬(B∨C) = A&(¬B&¬C) = A&¬B&¬CРаскрыть скобки у следующих выражений:

1 ¬(A&¬B)&C2 ¬(¬(¬¬A&¬B)&C )


Основы математической логики

Documents