Μαθηματικά Β Γυμνασίου (Τεύχος Α) - με απαντήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑB΄ Γυµνασίου A΄ Tεύχος

ΠΑΙ∆ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

YΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ

Β΄ Γυμνασίου

Α΄ τεύχος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ

Μαθηματικά B΄ Γυμνασίου, Τεύχος Α΄

Συγγραφή:

Αθανασίου Ανδρέας

Αντωνιάδης Μάριος

Γιασουμής Νικόλας

Ματθαίου Κυριάκος

Μουσουλίδου Μαριλένα

Παπαγιάννης Κωνσταντίνος

Φιλίππου Ανδρέας

Συντονιστής:

Χρίστου Κωνσταντίνος, Καθηγητής Πανεπιστήμιο Κύπρου

Εποπτεία:

Θεοφίλου Στέλιος, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης

Κωστή Αντώνιος, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης

Παντελή Παντελής, Επιθεωρητής Μέσης Εκπαίδευσης

Παπαγιάννη Όλγα, Επιθεωρήτρια Μέσης Εκπαίδευσης

Σχεδιασμός εξωφύλλου:

Σιαμμάς Χρύσης, Λειτουργός Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραμμάτων

Συντονισμός έκδοσης: Παρπούνας Χρίστος, Συντονιστής Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραμμάτων

Έκδοση 2012 Εκτύπωση: Cassoulides Masterprinters Ltd © ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΥΠΡΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

ISBN: 978-9963-0-4612-6

Στο εξώφυλλο χρησιμοποιήθηκε ανακυκλωμένο χαρτί σε ποσοστό τουλάχιστον 50%, προερχόμενο από διαχείριση απορριμμάτων χαρτιού. Το υπόλοιπο ποσοστό προέρχεται από υπεύθυνη διαχείριση δασών.

ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΣΕΛΙΔΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΥΨΗ ΑΠΟ ΤΗΝ Α΄ ΤΑΞΗ 1 - 14

ENOTHTA 1: Σύνολα

- Ορισμός

- Σχέσεις Συνόλων

- Πράξεις με σύνολα

15 - 32

ENOTHTA 2: Αλγεβρικές Παραστάσεις - Ταυτότητες

- Απλοποίηση αλγεβρικής παράστασης

- Πρόσθεση – Αφαίρεση πολυωνύμων

- Πολλαπλασιασμός Πολυωνύμων

- Αξιοσημείωτες ταυτότητες

33 - 54

ENOTHTA 3: Εξισώσεις - Ανισώσεις

- Εξισώσεις με μία μεταβλητή

- Επίλυση τύπων

- Ανισώσεις

55 - 70

ENOTHTA 4: Γεωμετρία I

- Συμμετρία

- Δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου

- Χαρακτηριστικά σημεία τριγώνου

- Άθροισμα γωνιών τετραπλέυρου128

71 - 96

ENOTHTA 5: Πυθαγόρειο Θεώρημα - Πραγματικοί Αριθμοί

- Τετραγωνική και κυβική ρίζα πραγματικού αριθμού

- Ιδιότητες ριζών

- Πυθαγόρειο Θεώρημα

- Άρρητοι αριθμοί

97 - 128

Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επανάληψη από την Α΄ γυμνασίου

2 Επανάληψη από την Α΄ γυμνασίου.

Δραστηριότητες

1. Ο Γιάννης, ο Γιώργος και Κώστας τρέχουν σε έναν κυκλικό στίβο κατά την διάρκεια της προπόνησης τους. Ο Γιάννης μπορεί να κάνει το γύρο του στίβου σε λεπτά, ο Γιώργος σε λεπτά και ο Κώστας σε λεπτά. Αν ξεκινήσουν και οι τρεις ταυτόχρονα από το ίδιο σημείο, μετά από πόσα λεπτά θα βρεθούν στο ίδιο σημείο και πόσους γύρους θα έχει κάνει ο καθένας;

2. Να γράψετε τους αριθμούς και σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Στη συνέχεια να βρείτε το και το τους.

3. Να βρεθεί πόσα το πολύ όμοια δέματα μπορούμε να κάνουμε με τετράδια, βιβλία και μολύβια. Τι θα περιέχει το κάθε δέμα;

4. Να απαντήσετε στα πιο κάτω ερωτήματα:

α) Τι είναι η μεσοκάθετη ευθυγράμμου τμήματος;

β) Ποιες γωνίες ονομάζονται εφεξής;

γ) Τι είναι η διχοτόμος μιας γωνίας;

δ) Ποιες γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές;

5. Να γράψετε δίπλα από κάθε γωνία το είδος της (οξεία , αμβλεία , ορθή , ευθεία ,

πλήρης , μη κυρτή , μηδενική).

Μέτρο Γωνίας Είδος Γωνίας

98°

270ο

180ο

181ο

0ο

90ο

225ο

117ο

6. Να υπολογίσετε τον άγνωστο στις πιο κάτω περιπτώσεις :

α)

β)


γ)

δ)

ε)

στ)

7. Ποια γωνία είναι τετραπλάσια από τη συμπληρωματική της;

8. Να βρείτε τη γωνία που είναι οκταπλάσια από την παραπληρωματική της.

9. Τι είδους γωνία είναι:

α) Η συμπληρωματική μιας οξείας;

β) Η παραπληρωματική μιας οξείας;

γ) Η παραπληρωματική μιας ορθής;

10. Να συμπληρώσετε τον πίνακα βάζοντας στην κατάλληλη θέση.

Ευθ. Τμήμα

Ακτίνα Διάμετρος Χορδή

ΟΑ

ΟΒ

ΒΓ

ΑΒ

ΑΕ

ΕΓ


11. Στο πιο κάτω σχήμα . Να βρείτε: α) Δύο γωνίες εφεξής. β) Δύο κατακορυφήν γωνίες. γ) Μια ευθεία γωνία. δ) Δύο συμπληρωματικές γωνίες. ε) Δύο παραπληρωματικές γωνίες. στ) Τρεις διαδοχικές γωνίες.

12. Να υπολογίσετε την τιμή του , το μέτρο του τόξου και την επίκεντρη γωνία

13. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι ορθές και ποιες λανθασμένες; Αν μια πρόταση είναι λάθος, να αλλάξετε έναν από τους αριθμούς για να κάνετε την πρόταση ορθή.

14. Να απλοποιήσετε τα πιο κάτω:

15. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων, όταν και

16. Να κάνετε τις πράξεις και στη συνέχεια να επαληθεύεστε την απάντηση σας με τη

βοήθεια της υπολογιστικής μηχανής.

α) β) –

γ) δ)

(α) (β) (γ) | |

(δ) | | (ε) | | (στ) | |

(α) (β) (γ)

(δ) (ε) | | (στ)

(α) | | | | (β) (γ) | |

(δ) | | | | (ε) | | (στ) | |


ε)

)1).(42(

62

στ) (

)

ζ) 7)810(

1)34()2).(6(

η) (

)

θ)

)3

1(

2

1

)2

13).(

2

1(

ι)

2009

1

2009

12

3

1

6

12

3

1

2

12

ια) (

) √ (

)

17. Σε µια πόλη µετρήσαµε τη µεγαλύτερη ηµερήσια θερµοκρασία επί ηµέρες και

βρήκαµε (σε βαθµούς Κελσίου):

α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων.

β) Πόσες ηµέρες η θερµοκρασία ήταν: i) Μικρότερη από ° ; ii) Μεγαλύτερη από ° ; iii) Τουλάχιστον ° ;

18. Χρησιµοποιώντας το διπλανό πίνακα συχνοτήτων που δίνει τον αριθµό των παιδιών 50 οικογενειών, να βρείτε τον αριθµό και το ποσοστό των οικογενειών που έχουν:

α) τουλάχιστον 1 παιδί, β) πάνω από 3 παιδιά, γ) από 3 έως και 5 παιδιά, δ) το πολύ 5 παιδιά, ε) ακριβώς 5 παιδιά.

25 26 26 26 24 21 21 22 24 26

25 27 22 22 24 23 23 26 25 26

22 23 27 24 23 21 21 23 23 22

Αριθµός

παιδιών

Αριθµός

οικογενειών

0 5

1 10

2 15

3 8

4 5

5 4

6 3


19. To διπλανό ιστόγραμμα δίνει την ηλικία αυτοκινήτων που καταγράφηκαν σε μια πόλη.

α) Πόσα αυτοκίνητα είναι μεταξύ και χρόνων;

β) Ποιος ο λόγος των αυτοκινήτων με ηλικία

μικρότερη από χρόνια προς το συνολικό

αριθμό των αυτοκινήτων;

γ) Ποιο το ποσοστό των αυτοκινήτων που είναι

μεγαλύτερα από χρονών;

20. Ο Μουσικός Όμιλος του σχολείου έκανε μια έρευνα για το αγαπημένο είδος μουσικής των μαθητών. Αφού κατέγραψαν την προτίμηση του καθενός από τους μαθητές, παρουσίασαν το διπλανό κυκλικό διάγραμμα με τις προτιμήσεις τους. Να κατασκευάσετε τον αντίστοιχο πίνακα συχνοτήτων.

21. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται τα αποτελέσματα της εξέτασης μαθητών ενός

Λυκείου ως προς την ομάδα αίματος.

α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων.

β) Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα.

22. Ρίχνουμε ένα ζάρι μια φορά. Να υπολογίσετε τη πιθανότητα των πιο κάτω

ενδεχομένων: α) Α: να είναι η ένδειξη μικρότερη του β) Β: να είναι η ένδειξη άρτιος γ) Γ: να είναι η ένδειξη πρώτος αριθμός δ) Δ: να μην είναι η ένδειξη ο αριθμός


23. Από ένα τμήμα μαθητών/τριών επιλέγουμε στην τύχη ένα μαθητή. Αν η πιθανότητα να επιλέξουμε άριστο μαθητή είναι , πόσοι είναι οι άριστοι μαθητές του τμήματος; Ο Ανδρέας έχει σε ένα μεγάλο σακούλι μπάλες του μπιλιάρδου αριθμημένες από το μέχρι και το . Θα επιλέξει στη τύχη μια μπάλα από το σακούλι. Να υπολογίσετε την πιθανότητα:

Α: Ο αριθμός στην μπάλα να είναι ζυγός.

Β: Ο αριθμός στην μπάλα να είναι πολλαπλάσιο του .

Γ: Ο αριθμός στην μπάλα να είναι το ή το .

Δ: Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού στην μπάλα να είναι .

Ε: Ο αριθμός στην μπάλα να είναι μικρότερος του .

24. Από ένα τμήμα μαθητών/τριών επιλέγουμε στην τύχη ένα μαθητή. Αν η πιθανότητα να επιλέξουμε αγόρι είναι , να βρείτε πόσα είναι τα κορίτσια;

25. Να περιγράψετε ένα πείραμα τύχης ώστε η πιθανότητα επιτυχίας να είναι

26. Στην φωτογραφία βλέπετε τις πατημασιές κάποιου άνδρα. Η απόσταση από τη φτέρνα της μιας πατημασιάς μέχρι τη φτέρνα της άλλης αποτελεί το μήκος ενός βήματος, το οποίο ονομάζουμε Ρ.

Ο βηματισμός των ανδρών εκφράζεται από τον τύπο

.

Ο τύπος δείχνει κατά προσέγγιση την σχέση ανάμεσα στο και στο Ρ, όπου = το πλήθος των βημάτων που κάνει ένας άνδρας ανά λεπτό, και P = το μήκος σε μέτρα (m) του βήματος του άνδρα.

(α) Ο Γιάννης κάνει 70 βήματα ανά λεπτό. Ποιο είναι το μήκος του βήματός του; Υπολογίστε το, χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο. Να γράψετε τους υπολογισμούς σας στον χώρο που ακολουθεί.

(β) Το μήκος βήματος του Θανάση είναι 0,80 μέτρα. Να υπολογίσετε την ταχύτητα βαδίσματος του Θανάση, σε μέτρα ανά λεπτό και σε χιλιόμετρα ανά ώρα, χρησιμοποιώντας τον προηγούμενο τύπο. Να γράψετε τους υπολογισμούς σας στο χώρο που ακολουθεί.

(PISA 2003)


27. Ένας αγρότης θέλει να φυτέψει μηλιές σε σειρές και σε τετράγωνο σχήμα. Σκέφτεται να προστατέψει τις μηλιές από τον αέρα, περιφράζοντάς τις με κυπαρίσσια. Στα παρακάτω διαγράμματα βλέπουμε τη διάταξη των δέντρων, όπως τα φαντάζεται ο αγρότης. Κάθε διάγραμμα περιλαμβάνει διαφορετικές σειρές από μηλιές. (ν = σειρές από μηλιές).

(α) Συμπληρώστε τα στοιχεία που λείπουν στον παρακάτω πίνακα:

Πλήθος δέντρων μηλιάς Πλήθος κυπαρισσιών

(β) Οι τύποι που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε, για να υπολογίσετε το

πλήθος των δέντρων μηλιάς και το πλήθος των κυπαρισσιών στα παραπάνω διαγράμματα, είναι δύο:

Πλήθος δέντρων μηλιάς Πλήθος κυπαρισσιών όπου ν είναι ο αριθμός των σειρών που σχηματίζουν οι μηλιές.

Υπάρχει μια τιμή του , για την οποία το πλήθος των δέντρων μηλιάς ισούται με το πλήθος των κυπαρισσιών. Να βρείτε αυτήν την τιμή του και να περιγράψετε παρακάτω τον τρόπο, με τον οποίο την υπολογίσατε.

(γ) Ας υποθέσουμε ότι ο αγρότης μεγαλώνει συνέχεια το περιβόλι του

προσθέτοντας συνεχώς σειρές δέντρων. Ενώ ο αγρότης μεγαλώνει το περιβόλι του προσθέτοντας σειρές, θα χρειαστεί περισσότερες μηλιές ή κυπαρίσσια; Γράψτε παρακάτω τον τρόπο με τον οποίο βρήκατε την απάντησή σας.

(PISA 2003)


28. Ο Ερρίκος κάνει συχνά πατίνι. Επισκέφθηκε ένα κατάστημα που ονομάζεται ΤΟ ΠΑΤΙΝΙ για να εξετάσει τις τιμές. Στο κατάστημα αυτό, μπορείς να αγοράσεις ένα πατίνι με πλήρη

εξοπλισμό. Μπορείς επίσης να αγοράσεις ξεχωριστά μία σανίδα για πατίνι,

ένα σετ 4 τροχών, ένα σετ 2 αξόνων και ένα σετ εξαρτημάτων, για να

κατασκευάσεις το πατίνι μόνος σου.

Οι τιμές του καταστήματος για τα προϊόντα αυτά είναι οι παρακάτω:

Προϊόντα Τιμές σε ζεντ

Πατίνι με πλήρη εξοπλισμό

82 ή 84

Σανίδα για πατίνι

40 ή 60 ή 65

Σετ 4 τροχών

14 ή 36

Σετ 2 αξόνων

16

Σετ εξαρτημάτων (ρουλεμάν με μπίλιες,

λαστιχένια τακάκια, παξιμάδια και βίδες)

10 ή 20

(α) Ο Ερρίκος θέλει να φτιάξει μόνος του ένα πατίνι. Ποια είναι η ελάχιστη και ποια η μέγιστη τιμή που πρέπει να πληρώσει στο κατάστημα αυτό, για να κατασκευάσει μόνος του το πατίνι; (i) Ελάχιστη τιμή: ..................ζεντ. (ii) Μέγιστη τιμή: ....................ζεντ.

(β) Το κατάστημα προσφέρει τρία διαφορετικά είδη σανίδας για πατίνι, δύο

διαφορετικά σετ τροχών και δύο διαφορετικά σετ εξαρτημάτων. διαθέτει όμως μόνο ένα σετ αξόνων. Πόσα διαφορετικά πατίνια μπορεί να κατασκευάσει ο Ερρίκος; Κυκλώστε την απάντησή σας. Α. 6 Β. 8 Γ. 10 ∆. 12

(γ) Ο Ερρίκος διαθέτει 120 ζεντ και θέλει να αγοράσει με τα χρήματα αυτά το

ακριβότερο πατίνι που μπορεί. Πόσα χρήματα έχει τη δυνατότητα να ξοδέψει ο Ερρίκος για καθένα από τα 4 μέρη του πατινιού; Να γράψετε τις απαντήσεις σας στον πίνακα που ακολουθεί.


Μέρη του πατινιού Ποσό (σε ζεντ)

Σανίδα

Τροχοί

Άξονες

Εξαρτήματα

(PISA 2003)

29. Ένας μάστορας έχει στο μαγαζί του 32 μέτρα συρματόπλεγμα και θέλει να το

χρησιμοποιήσει, για να περιφράξει τον κήπο του. Σκέφτεται να εφαρμόσει ένα από τα παρακάτω σχέδια περίφραξης.

Ποια από τα παραπάνω σχέδια περίφραξης κήπου μπορούν να κατασκευαστούν με 32 μέτρα συρματόπλεγμα; Να κυκλώσετε το «Ναι» ή το «Όχι» για καθένα από τα σχέδια Α, Β, Γ, ∆ χωριστά.

Σχέδιο περίφραξης κήπου Μπορεί να κατασκευαστεί με 32 μέτρα συρματόπλεγμα;

Σχέδιο A Ναι / Όχι

Σχέδιο B Ναι / Όχι

Σχέδιο Γ Ναι / Όχι

Σχέδιο ∆ Ναι / Όχι

(PISA 2003) 30. Σας ζητούν να σχεδιάσετε μια καινούρια σειρά νομισμάτων. Όλα τα νομίσματα

της σειράς πρέπει να είναι κυκλικά, χρώματος ασημί αλλά με διαφορετική διάμετρο. Σας γνωρίζουμε επίσης, ότι η ιδανική σειρά νομισμάτων, σύμφωνα με ερευνητικές διαπιστώσεις, πρέπει να ανταποκρίνεται στις ακόλουθες προδιαγραφές:

• Η διάμετρος κάθε νομίσματος δεν πρέπει να είναι μικρότερη από 15 mm ούτε μεγαλύτερη από 45 mm.


• Αν πάρουμε στην τύχη ένα νόμισμα από τη σειρά, τότε η διάμετρος του αμέσως επόμενου νομίσματος πρέπει να είναι τουλάχιστον κατά 30% μεγαλύτερη. • Η μηχανή κοπής των νομισμάτων μπορεί να κόψει νομίσματα που έχουν διάμετρο μόνο ίση με έναν ακέραιο αριθμό χιλιοστομέτρων (mm) (π.χ. η μηχανή μπορεί να κόψει ένα νόμισμα διαμέτρου 17 mm, αλλά δεν μπορεί να κόψει νόμισμα διαμέτρου 17,3 mm).

Υπολογίστε τις διαμέτρους μιας σειράς νομισμάτων, ώστε να

ανταποκρίνονται στις παραπάνω προδιαγραφές, αρχίζοντας από ένα

νόμισμα διαμέτρου 15 mm. Η σειρά σας να περιλαμβάνει περισσότερα από

τρία νομίσματα. (PISA 2000)


Υπολογιστική Αριθμομηχανή

Ίσον (Βρίσκει την τιμή της παράστασης)

Υποδιαστολή

Εκθέτης δύναμης με βάση το 10

Επαναφορά τελευταίου αποτελέσματος

Δύναμη

Ποντίκι (Mouse)

Ενεργοποίηση της εντολής που βρίσκεται πάνω

από κάθε κουμπί

Επανεκκίνηση υπολογιστικής

Σβήσε το τελευταίο ψηφίο ή εντολή

Απόλυτη τιμή(μόνο σε μερικές υπολογιστικές)

Εισαγωγή Πρόσημου -

Κλάσμα

Το πάτημα του κουμπιού μας δίνει το αποτέλεσμα της πράξης

Επαναφορά προηγούμενου αποτελέσματος

Υποδιαστολή

Σύμβολα για τις 4 πράξεις

Μετατροπή κλάσμα Δεκαδικός

Κλάσματα

Τετραγωνική ρίζα

Εκθέτης Δύναμης

Παρενθέσεις

Εκθέτης δύναμης με βάση το 10

=

∙

ΕΧΡ 𝛸 𝜒

Ans

𝜒 𝜒𝑦 ^

SHIFT 2nd F

AC

DEL

Abs

(-)

a b/c


Μετατροπή Κλάσμα Δεκαδικός

Σβήσιμο μνήμης

Πρόσθεσε τον αριθμό στην μνήμη

Αφαίρεσε τον αριθμό από την μνήμη

Ανακάλεσε τον αριθμό της μνήμης

Πράξη Εντολές υπολογιστικής Στην οθόνη

3+4 3+4

7

2,34 – 1,1 2.34 – 1.1

1.24

3 ∙ 2 3X2

6

2^5 ή

32

5Ε3 ή 5Χ103

5000

ή

34

ή

2 3 4

√ √

2

SD a b/c

CLR Mcl

M+

M-

M

+ = 3 4

∙ – 2 3 4 1 ∙ 1 =

3 x 2 =

2 5 𝜒 =

5 ΕΧP 3 =

3 a b/c 4 =

3 a b/c 4 =

SHIFT

2 3 4 =

2 a b/c 3 a b/c 4 =

√ 4 =


25

2∙(7-3) 2Χ(7-3)

8

2∙(7-3) 2ΧΑns

8

2-(-3) 2-(-3)

5

| | | |

3

Αν 0,25 αποτέλεσμα

μιας πράξης

ή

9-6:2

Υπολογισμός και αποθηκευση

9 – 6 : 2 Μ+

6

Ανάκληση μνήμης

3∙(9-6:2) – 6:(9-6:2)

3 Χ Μ – 6 : Μ

17

5 X² =

= 3 – 7 ( x 2 )

x 2 = 3 – = 7 Ans

2 ( (-) 3 ) = –

= 3 (-) Abs

SD

a b/c SHIFT

Μ+ = 2 ÷ 6 – 9

3 Χ Μ – 6 ÷ Μ =

Ενότητα 1


Σύνολα

16 Ενότητα 1 : Σύνολα.

Διερεύνηση

Σε ένα μουσικό σχολείο οι μαθητές ρωτήθηκαν για το είδος της μουσικής που τους

αρέσει. Στο διπλανό διάγραμμα παρουσιάζονται τα αρχικά των ονομάτων των

μαθητών σύμφωνα με τις μουσικές

προτιμήσεις τους.

α) Σε ποιους μαθητές αρέσει η Πόπ

μουσική;

β) Σε ποιους μαθητές αρέσει η Κλασική

και η Ρόκ μουσική;

γ) Πόσοι είναι συνολικά οι μαθητές που

τους αρέσει η Ρόκ ή η Πόπ μουσική;

δ) Πόσοι είναι συνολικά οι μαθητές που πήραν μέρος στην έρευνα;

ε) Η Χαρά και η Τερψιθέα απουσίαζαν. Τους αρέσει μόνο η Κλασική μουσική. Να

τοποθετήσετε τα αρχικά των ονομάτων τους στο διάγραμμα.

Μαθαίνω

Σύνολο είναι μια καλώς ορισμένη συλλογή διαφορετικών μεταξύ τους αντικειμένων.

Δηλαδή ένα αντικείμενο (στοιχείο ) πρέπει να είναι ξεκάθαρο αν ανήκει ή όχι

στο σύνολο.

Τα αντικείμενα που αποτελούν ένα σύνολο λέγονται στοιχεία ή μέλη του

συνόλου.

Ένα σύνολο συμβολίζεται συνήθως με ένα κεφάλαιο γράμμα του αλφαβήτου,

π.χ.

Αν το στοιχείο ανήκει στο σύνολο γράφουμε Αν ένα στοιχείο 𝜅 δεν

ανήκει στο σύνολο τότε γράφουμε 𝜅 .

Κλασική

Ποπ

Ροκ

A

Β

Γ

Δ

Ε

ΖΗΘ

ΙΚ Λ

Μ

Ν


Τα σύνολα των αριθμών συμβολίζονται ως εξής:

: το σύνολο των φυσικών αριθμών,

: το σύνολο των ακέραιων αριθμών,

: το σύνολο των ρητών αριθμών.

Παράσταση συνόλου

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο, χρησιμοποιούμε έναν από τους παρακάτω

τρόπους:

Με αναγραφή των στοιχείων του.

Τα σύνολα τα παριστάνουμε παραθέτοντας όλα τα στοιχεία τους μέσα σε

άγκιστρα.

π.χ. , ,

, ,

|

Με περιγραφή των στοιχείων του.

Μέσα σε άγκιστρα βάζουμε μια μεταβλητή και περιγράφουμε τη χαρακτηριστική

ιδιότητα της μεταβλητής ή χωρίς άγκιστρα περιγράφουμε την χαρακτηριστική

ιδιότητα που έχουν τα στοιχεία του συνόλου.

π.χ.

𝜅 𝜅 ή

|

|

|

Με διάγραμμα (Βέννειο διάγραμμα).

Η εποπτική παρουσίαση ενός συνόλου γίνεται με το

διάγραμμα , όπου το σύνολο παριστάνεται με το

εσωτερικό μιας καμπύλης.

12

34 5

611 18

..

..

....

A


Πληθικός αριθμός συνόλου Α είναι το πλήθος των στοιχείων του και συμβολίζεται με

.

π.χ. αν τότε ή αν 𝜅

τότε .

Ειδικά σύνολα

Μονομελές είναι το σύνολο που έχει μόνο ένα στοιχείο,

π.χ. | και .

Κενό σύνολο είναι το σύνολο που δεν έχει στοιχεία.

Το κενό σύνολο συμβολίζεται με ή και .

π.χ. |

Απειροσύνολο είναι το σύνολο που έχει άπειρα στοιχεία ,

π.χ. και .

Πεπερασμένο είναι το σύνολο το οποίο δεν είναι απειροσύνολο.

π.χ. και .

Ίσα σύνολα λέγονται δύο μη κενά σύνολα και τα οποία έχουν ακριβώς τα ίδια

στοιχεία και γράφουμε για αυτά ή .

π.χ. τα σύνολα :Τα φωνήεντα της λέξης ‘οξύ’ και :Τα φωνήεντα της λέξης

‘υδρογόνο’ είναι ίσα γιατί με αναγραφή των στοιχείων τους είναι: και

, τα οποία έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία.

Ισοδύναμα λέγονται δύο σύνολα και τα οποία μπορούμε να αντιστοιχίσουμε τα

στοιχεία τους ένα προς ένα. Τα ισοδύναμα σύνολα έχουν ίσο πλήθος στοιχείων

δηλαδή έχουν ίσους πληθικούς αριθμούς και συμβολίζεται με ή .

π.χ. Τα σύνολα και

𝜅 είναι ισοδύναμα, δηλαδή .

Παράδειγμα

Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων του το σύνολο

𝜅 .

Λύση

Το είναι σύνολο των διατεταγμένων ζευγαριών , όπου οι αριθμοί είναι

φυσικοί αριθμοί και επιπλέον όταν τους προσθέσουμε έχουν άθροισμα . Τα

ζευγάρια αυτά είναι τα .

Άρα,



1. Να γράψετε με αναγραφή στοιχείων τα πιο κάτω σύνολα και να βρείτε τον

πληθικό τους αριθμό.

2. Να εξετάσετε κατά πόσο οι φράσεις ορίζουν κάποιο σύνολο:

α) Οι μήνες του χρόνου που αρχίζουν από το γράμμα

β) Τα ψηλά βουνά τη Κύπρου.

γ) Οι ψηλοί συμμαθητές μου.

δ) Οι ημέρες της εβδομάδας.

ε) Οι μήνες του χρόνου που αρχίζουν από το γράμμα

στ) Οι μεγάλοι αριθμοί.

3. Να γράψετε μια λέξη που τα γράμματά της να είναι τα στοιχεία του συνόλου

.

4. Θεωρούμε τα σύνολα , , .

Να χαρακτηρίσετε ορθή ή λανθασμένη καθεμία από τις πιο κάτω προτάσεις

α) β) γ) δ) ε) στ) ζ)

5. Να εξετάσετε κατά πόσο τα σύνολα και είναι ισοδύναμα.

𝜅

6. Να γράψετε τρία σύνολα που να είναι ισοδύναμα με το σύνολο

και να μην είναι ίσα μεταξύ τους.

7. Να γράψετε με περιγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα και

8. Θεωρούμε τα σύνολα


| 𝜅

| 𝜅 𝜅

| 𝜅 𝜅

| 𝜅

|

Να χαρακτηρίσετε τα πιο πάνω σύνολα ως πεπερασμένα σύνολα ή απειροσύνολα.

9. Να εξετάσετε ποια από τα παρακάτω σύνολα είναι ίσα και ποια είναι ισοδύναμα.

| 𝜅

10. Να συμπληρώσετε τα κενά έτσι ώστε τα σύνολα να είναι ίσα.

α) __ __ __

β) __ __ __

γ) _________ __________ _________ _______


Σχέσεις συνόλων

Διερεύνηση (1)

Ο Ανδρέας μαζί με φίλους του, τον Κυριάκο, τον Κωνσταντίνο, το Γιάννη, το

Σάββα, το Γρηγόρη και το Μάριο, θα συμμετάσχουν σε ένα τουρνουά

καλαθόσφαιρας. Η κάθε ομάδα καλαθόσφαιρας αποτελείται από παίκτες. Να

γράψετε διαφορετικές συνθέσεις της ομάδας που μπορούν να ξεκινήσουν ένα

αγώνα.


Πόσοι ακέραιοι από το έως το δεν είναι πολλαπλάσια του του και του

;

Μαθαίνω

Ένα σύνολο λέγεται υποσύνολο του συνόλου , αν όλα τα στοιχεία του είναι

στοιχεία και του , δηλαδή για κάθε το και συμβολίζεται

Ένα σύνολο θα λέμε ότι είναι γνήσιο υποσύνολο ενός

άλλου συνόλου και γράφεται , όταν και

(το περιέχει όλα τα στοιχεία του και ένα

τουλάχιστον παραπάνω).

π.χ. για τα σύνολα και

έχουμε ότι .

Κάθε σύνολο έχει δύο τετριμμένα υποσύνολα, τον εαυτό του και το κενό.

Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου , δηλαδή .

Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του, δηλαδή .

Ιδιότητες των υποσυνόλων

α) για κάθε σύνολο .

β) για κάθε σύνολο .

γ) και , τότε για κάθε (μεταβατική ιδιότητα).

δ) Αν και , τότε για κάθε .

A

B. 2 . 5

. 6

. 3

. 4

. 7



Αν , να γράψετε όλα τα

υποσύνολα του συνόλου που έχουν πληθικό αριθμό .

Λύση


1. Να εξετάσετε σε ποιες από πιο κάτω περιπτώσεις το σύνολο Α είναι υποσύνολο

του συνόλου Β.

α) , .

β) 𝜅 , | 𝜅 .

γ)

δ) | 𝜅

| 𝜅

2. Να βρείτε τα γνήσια υποσύνολα του συνόλου .

3. Να βρείτε δύο υποσύνολα του συνόλου .

4. Να παραστήσετε τα σύνολα στο ίδιο Βέννειο διάγραμμα και να τα

διατάξετε, χρησιμοποιώντας την έννοια του υποσυνόλου.


Πράξεις με σύνολα


Τα παρακάτω σχήματα να χωριστούν σε δύο σύνολα και .

Το σύνολο αποτελείται από τα σχήματα που έχουν ορθή γωνιά.

Το σύνολο αποτελείται από τα σχήματα που έχουν τέσσερις πλευρές.

ΑΒ

Γ Δ Ε

Ζ Η Θ Ι

α) Να τοποθετήσετε τα ονόματα των σχήματων στο παρακάτω διάγραμμα

.

X Ψ

β) Ποια σχήματα ανήκουν και στα δύο σύνολα;

γ) Ποια σχήματα ανήκουν στο σύνολο , αλλά δεν ανήκουν στο σύνολο

δ) Ποια από τα σχήματα δεν ανήκουν ούτε στο ούτε στο .


Μαθαίνω

Η τομή δύο συνόλων είναι το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων και και συμβολίζεται με .

π.χ. αν και , τότε

Η ένωση δύο συνόλων είναι το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία τα οποία ανήκουν είτε στο σύνολο είτε στο και συμβολίζεται με . π.χ. αν, και τότε

Δύο σύνολα που δεν έχουν κοινά στοιχεία λέγονται ξένα μεταξύ τους, π.χ. τα σύνολα και είναι ξένα μεταξύ τους. )

Σύνολο Αναφοράς λέγεται το υπερσύνολο του οποίου τα υποσύνολα εξετάζονται στο συγκεκριμένο πλαίσιο. Συνήθως συμβολίζεται με .

A B

. α . β

. γ . δ

. η

. θ . ι


Παραδείγματα

1. Δίνονται τα σύνολα

και

Να παρουσιάσετε αυτά τα σύνολα σε Διαγράμμα Venn.

Λύση:

Βήμα 1

Οι αριθμοί και ανήκουν και στα δύο σύνολα, έτσι πρέπει να τοποθετηθούν στο κοινό μέρος των δύο συνόλων.

A B

. 4

. 6

Βήμα 2

Για να συμπληρώσουμε το σύνολο , πρέπει να τοποθετήσουμε τους αριθμούς και στο μέρος που δεν τέμνεται με το .

A B

. 4

. 6

. 7

. 9

Βήμα 3

Όμοια για το , τοποθετούμε τους αριθμούς στο μέρος που δεν τέμνεται με το .

A B

. 4

. 6

. 7

. 9

. 1

. 2 . 3

. 5

Βήμα 4

Επειδή οι αριθμοί και δεν ανήκουν στα σύνολα και , τα τοποθετούμε έξω από αυτά, στο σύνολο αναφοράς .

A B

. 4

. 6

. 7

. 9

. 1

. 2 . 3

. 5

Ω

. 0

. 8

Συμπλήρωμα ή συμπληρωματικό του ως προς ένα Σύνολο Αναφορας Ω ( ) είναι ένα σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του που δεν ανήκουν στο .

π.χ. και τότε

Ω Α

. 1

. 3 . 2

. 4 . 5


2. Δίνονται τα σύνολα , και,

.

α) Να βρείτε τα σύνολα,

i.

ii.

iii.

iv.

β) Να εξετάσετε κατά πόσο ισχύει η σχέση .

Λύση:

α) Αρχικά τοποθετούμε τα στοιχεία των συνόλων σε ένα διάγραμμα Venn.

A BΩ

.1

.2.3

.4

.5

.6

.7.8

i.

ii.

iii.

iv.

β) Το σύνολο δεν είναι υποσύνολο του συνόλου , γιατί ο αριθμός ανήκει

στο και δεν ανήκει στο . Άρα δεν ισχύει η σχέση .

3. Να παρουσιάσετε τα σύνολα , και

σε διάγραμμα Venn.

Λύση:

B

A

Γ

. 1

. 2

. 3 . 5

. 7. 6

. 8


4. Η εξέταση σε ένα διαγωνισμό των Μαθηματικών περιλάμβανε δύο θέματα τα

οποία έπρεπε να απαντήσουν οι εξεταζόμενοι. Για να βαθμολογηθούν με άριστα

έπρεπε να απαντήσουν και στα δύο θέματα, ενώ για να περάσουν την εξέταση

έπρεπε να απαντήσουν σε ένα τουλάχιστον από τα δύο θέματα. Στο διαγωνισμό

εξετάσθηκαν μαθητές. Στο πρώτο θέμα απάντησαν σωστά μαθητές. Στο

δεύτερο θέμα απάντησαν σωστά μαθητές, ενώ και στα δύο θέματα απάντησαν

σωστά 3 μαθητές. Πόσοι μαθητές πέρασαν την εξέταση;

Λύση Έστω το σύνολο των μαθητών που απάντησαν σωστά στο πρώτο θέμα και το σύνολο των μαθητών που απάντησαν σωστά στο δεύτερο θέμα. Τότε, είναι το σύνολο των μαθητών που απάντησαν σωστά στο πρώτο ή στο δεύτερο θέμα, δηλαδή οι μαθητές που πέρασαν την εξέταση.

20 μαθητές

50-30=20 μαθητές

5 μαθητές0

3 μαθητές0

60-30=30 μαθητές

6 μαθητές0

Α Β

Ω

Η τομή περιλαμβάνει τους μαθητές που έλυσαν και τα δύο θέματα Άρα

από τους μαθητές που έλυσαν μόνο το , αλλά όχι το είναι – .

Από τους μαθητές που έλυσαν το πρόβλημα , μόνο – έλυσαν μόνο το , αλλά όχι το Α. Από τους 100 διαγωνιζόμενους μαθητές πέρασαν τη εξέταση μαθητές.



1. Οι ακέραιοι αριθμοί από το μέχρι το είναι τοποθετημένοι σε ένα διάγραμμα

Venn.

1 .A

B3 .

5 .7 .

8 .

4 .12 .

2 .

6 . 10 .

9 .

11 .Ω

α) Να γράψετε το σύνολο με αναγραφή των στοιχείων του.

β) Να γράψετε το σύνολο με αναγραφή των στοιχείων του.

γ) Να περιγράψετε λεκτικά τα δύο σύνολα.

δ) Ποιο είναι το συμπληρωματικό σύνολο του ;

2. Από τους φυσικούς αριθμούς από το μέχρι και το σχηματίζουμε δύο σύνολα

και . Το σύνολο περιλαμβάνει όλους τους περιττούς αριθμούς. Το σύνολο

περιλαμβάνει όλους τους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι από το .

α) Να συμπληρώσετε το παρακάτω διάγραμμα.

A B

Ω

β) Ποιά είναι η ένωση των συνόλων και ;

3. Δίνονται τα σύνολα και

α) Να συμπληρώσετε το διάγραμμα Venn. Να

συμπεριλάβετε όλους τους φυσικούς

αριθμούς από το μέχρι και το .

β) Ποια είναι η τομή των συνόλων και ;

A B

Ω


4. Ποιο από τα διαγράμματα του Venn μπορούν να περιγράψουν τα παρακάτω.

X XX

Ψ

Ψ Ψ

(Β)(A) (Γ)

Ψ Χ

(Δ)

Ω Ω Ω Ω

α) Χ είναι το σύνολο των τετραγώνων

Ψ είναι το σύνολο των ορθογωνίων

β) Χ είναι το σύνολο των τριγώνων

Ψ είναι το σύνολο των τετραγώνων

γ) Χ είναι το σύνολο των τετραπλεύρων σχημάτων

Ψ είναι το σύνολο των τριγώνων

δ) Χ είναι το σύνολο των επιπέδων σχημάτων που έχουν μια τουλάχιστον ορθή

γωνία.

Ψ είναι το σύνολο των τριγώνων.

5. Να συμπληρώσετε τα κενά έτσι ώστε να ισχύουν οι ισότητες:

α) __ __

β) __ __ __

γ) __ __

δ) __ __ __

6. Να χρησιμοποιήσετε το συμβολισμό των πράξεων των συνόλων, για περιγράψετε

τις σκιασμένες περιοχές των παρακάτω διαγραμμάτων.

α)

β)

γ)

δ)


7. Δίνονται τα σύνολα: , , και

. Να εξετάσετε την ορθότητα των παρακάτω προτάσεων.

α) β) γ) δ)

ε) στ) ζ)

8. Σε ένα διεθνές συνέδριο Μαθηματικών γνωρίζουμε ότι 150 σύνεδροι μιλούν

αγγλικά, 48 γαλλικά και 82 ρώσικα, καθώς και ότι 23 σύνεδροι μιλούν αγγλικά και

γαλλικά, 22 αγγλικά και ρώσικα, 25 γαλλικά και ρώσικα, και ότι 225 σύνεδροι

μιλούν τουλάχιστον µια από αυτές τις γλώσσες. Πόσοι από τους συνέδρους μιλούν

και τις 3 γλώσσες;


Δραστηριότητες Ενότητας

1. Θεωρούμε τα σύνολα , ,

.

Να χαρακτηρίσετε ορθή ή λανθασμένη καθεμία από τις πιο κάτω προτάσεις

α) β) γ) δ) ε) στ) ζ)

2. Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα πιο κάτω σύνολα και να βρείτε

τον πληθικό τους αριθμό,

α) των φωνηέντων,

β) των συμφώνων,

γ) των μηνών του Χειμώνα.

3. Να γράψετε δύο σύνολα που να είναι ισοδύναμα με το σύνολο

, τα οποία να μην είναι ίσα μεταξύ τους.

4. Να βρείτε δύο υποσύνολα του συνόλου τα οποία να είναι απειροσύνολα και

ξένα μεταξύ τους.

5. Να βάλετε στα τετραγωνάκια τα κατάλληλα στοιχεία ώστε να ισχύουν οι ισότητες

α)

β)

γ)

6. Να βρείτε τα στοιχεία του συνόλου , αν ,

και .


Δραστηριότητες Εμπλουτισμού

1. Να χαρακτηρίσετε ψευδείς ή αληθείς τις πιο κάτω προτάσεις

α) β) γ)

2. Δίνονται τα σύνολα:

: Οι μαθητές του σχολείου που έχουν βαθμό Άριστα στα Μαθηματικά.

: Οι μαθητές του σχολείου που παίζουν στην ομάδα πετόσφαιρας.

Να περιγράψετε με λόγια την έννοια των συνόλων:

α) β) γ) δ)

ε) στ) ζ) η)

3. Σε μια έρευνα που έγινε με δείγμα παιδιών ενός Λυκείου της Λευκωσίας με

θέμα τα μέσα που χρησιμοποιούν για τη μετάβαση τους στο σχολείο, είχαμε τα

ακόλουθα αποτελέσματα: παιδιά χρησιμοποιούν αστική συγκοινωνία, ταξί,

ιδιωτικό αυτοκίνητο και άλλο μεταφορικό μέσο. Δεκαπέντε παιδιά

χρησιμοποιούν αστική συγκοινωνία και ταξί, παιδιά ταξί και ιδιωτικό

αυτοκίνητο και αστικό λεωφορείο και ιδιωτικό αυτοκίνητο. Να βρείτε πόσα

παιδιά χρησιμοποιούν και τα τρία μέσα συγκοινωνίας.

Ενότητα 2


Αλγεβρικές παραστάσεις

34 Ενότητα 2: Αλγεβρικές Παραστάσεις .

Αλγεβρικές παραστάσεις

Απλοποίηση Αλγεβρικής Παράστασης


Πιο κάτω παρουσιάζεται ένα σύνολο αλγεβρικών πλακιδίων που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση αριθμών και μεταβλητών όπως φαίνεται στον πίνακα.

Πλακίδιο Αναπαριστά Πλακίδιο Αναπαριστά

τον αριθμό . τον αριθμό .

τη μεταβλητή

το αντίθετο της μεταβλητής .

το τετράγωνο της μεταβλητής .

το αντίθετο του τετράγωνου της μεταβλητής .

Τα ακόλουθα πλακίδια παρουσιάζουν την αλγεβρική παράσταση . Μετά την ανακατάταξη των πλακιδίων και την εξουδετέρωση των θετικών με τα αρνητικά πλακίδια αντίστοιχου μεγέθους η αλγεβρική παράσταση απλοποιείται στην .

α) Να περιγράψετε με περισσότερη λεπτομέρεια την πιο πάνω διαδικασία.

β) Αν το πάρει την τιμή 5 να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης και ακολούθως την αριθμητική τιμή της απλοποιημένης μορφής . Να συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας.

γ) Με βάση το μοντέλο με τα πλακίδια ή με άλλο τρόπο να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση .


Μαθαίνω

Μια μαθηματική έκφραση που περιλαμβάνει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές ονομάζεται αλγεβρική παράσταση.

Για παράδειγμα: ,

, , ,

Μια μαθηματική έκφραση που περιλαμβάνει πράξεις μόνο με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Για παράδειγμα:

Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικατασταθούν οι μεταβλητές με συγκεκριμένους αριθμούς και εκτελεστούν οι πράξεις, τότε το αποτέλεσμα ονομάζεται αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης.

Για παράδειγμα η αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης , για και , είναι

Μια αλγεβρική παράσταση που περιλαμβάνει μόνο την πράξη του πολλαπλασιασμού και οι μεταβλητές της έχουν εκθέτη μη αρνητικό ακέραιο ονομάζεται μονώνυμο.


, ,

, , -5

Σε ένα μονώνυμο ο αριθμητικός παράγοντας ονομάζεται συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο των μεταβλητών του ονομάζεται κύριο μέρος.

Τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος ονομάζονται όμοια μονώνυμα.

Πολυώνυμο ονομάζεται το άθροισμα μη όμοιων μονωνύμων και το κάθε μονώνυμο ονομάζεται όρος του πολυωνύμου.

π.χ. , οι όροι του πολυωνύμου είναι και .

Ένα πολυώνυμο με δύο όρους ονομάζεται διώνυμο και ένα πολυώνυμο με τρεις όρους

ονομάζεται τριώνυμο.

π.χ. διώνυμο:

τριώνυμο:

Μια αλγεβρική παράσταση απλοποιείται, αν κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων, δηλαδή αν υπολογίσουμε το άθροισμα των ομοίων όρων.

π.χ.



Δίνεται η αλγεβρική παράσταση . α) Ποιοι είναι όμοιοι όροι; β) Να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση. γ) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της αν και .

Λύση:

α) Όμοιοι όροι: , , , ,

β) .

γ) Η αλγεβρική παράσταση για , και έχει αριθμητική τιμή:

( ) ( ) . Σημείωση: Την ίδια αριθμητική τιμή θα βρούμε αν αντικαταστήσουμε στην αρχική μορφή της αλγεβρικής παράστασης.


1. Να σημειώστε « » στο κουτί δίπλα από κάθε μια από τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις

που είναι μονώνυμα.

2. Ποια από τα παρακάτω μονώνυμα είναι όμοια ;

Α. Β.

Γ. Δ.

Ε. ΣΤ. Ζ.

Η.


3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Μονώνυμο Συντελεστής Κύριο μέρος

4. Η αλγεβρική παράσταση είναι ίση με:

Α: Β: Γ: Δ:

5. Δίνεται η αλγεβρική παράσταση .

α) Να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση. β) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της αν και .

6. Να απλοποιήσετε τις ακόλουθες αλγεβρικές παραστάσεις και ακολούθως να βρείτε την

αριθμητική τους τιμή για και


Πρόσθεση – Αφαίρεση Πολυωνύμων

Διερεύνηση 1

Τα ακόλουθα πλακίδια παρουσιάζουν το άθροισμα των πολυωνύμων και .

Να περιγράψετε την πιο πάνω διαδικασία.

Διερεύνηση 2

Δύο μαθητές εργάστηκαν με τα μοντέλα των πλακιδίων ως εξής:

Μαθητής 1: Αφαίρεσε το πολυώνυμο από το πολυώνυμο .

Μαθητής 2: Πρόσθεσε το πολυώνυμο στο πολυώνυμο .

Να συγκρίνετε τις δύο διαδικασίες και τα αποτελέσματα τους. Τι παρατηρείτε;


Μαθαίνω

Για να ονομάσουμε ένα πολυώνυμο χρησιμοποιούμε συνήθως κεφαλαία γράμματα του

ελληνικού αλφαβήτου:


ή μικρά γράμματα του λατινικού αλφαβήτου και σε παρένθεση τις μεταβλητές που

περιλαμβάνει το πολυώνυμο.

( )

( )

Παρατήρηση: Με ( ) συμβολίζουμε την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου ( ) για

.

Δηλ. ( )

Η πρόσθεση και η αφαίρεση πολυωνύμων εκτελείται κάνοντας απαλοιφή παρενθέσεων

και αναγωγή των όμοιων όρων του πολυωνύμου που προκύπτει.


Δίνεται το τριώνυμο και το διώνυμο . Να υπολογίσετε:

α) β) γ)

Λύση:

α) ( ) ( )

β) ( )

γ) ( ) ( )



1. Ποιο από τα πιο κάτω πολυώνυμα είναι ίσο με ( ) ( ):

Κανένα από

τα προηγούμενα.

2. Να εξετάσετε την ορθότητα σε καθεμιά από τις παρακάτω πράξεις διαγράφοντας ότι δεν

ισχύει, στη διπλανή στήλη του πίνακα:

α) ( ) ( )

β)

γ) ( )

δ) ( ) ( )

ε) ( )

στ) ( ) ( )

3. Να κάνετε τις ακόλουθες πράξεις πολυωνύμων:

α) ( ) ( )

β) ( ) ( )

γ) ( ) ( )

δ) ( ) ( )

ε) ( ) ( )

στ) ( )

ζ) ( ) ( )

η) ( ) ( )

4. Δίνονται τα πολυώνυμα ( ) , ( ) και ( ) . Να

υπολογίσετε τα εξής:

α) ( ) ( )

β) ( ) ( )

γ) ( )

δ) ( )


5. Μια μηχανή κόβει σιδερένιες ράβδους σε διάφορα μεγέθη μήκους ρυθμίζοντας κάθε φορά την μεταβλητή . Επίσης χαράσσει τη ράβδο σε σημείο Β έτσι ώστε .

α) Να βρείτε το μήκος του ως συνάρτηση του .

β) Αν να βρείτε το μήκος του και του

.

6. Μια μηχανή κατασκευάζει διαφορετικού μεγέθους πλαστικά ορθογώνια με διαστάσεις και . Το μέγεθος μεταβάλλεται σύμφωνα με τη ρύθμιση της μεταβλητής . Στον περίγυρο του πλαστικού αυτού ορθογωνίου η μηχανή κολλάει μια πλαστική μεμβράνη.

α) Να βρείτε (συναρτήσει του ) το μήκος της μεμβράνης που χρειάζεται για κάθε

ένα τέτοιο πλαστικό ορθογώνιο.

β) Αν η μηχανή ρυθμιστεί ώστε το να πάρει την τιμή , ποιο το μήκος της

μεμβράνης που θα χρειαστεί για κάθε ένα ορθογώνιο;

γ) Αν ο επιστάτης ζητήσει να κατασκευαστούν ορθογώνια, αλλά με ,

πόσο είναι το μήκος της μεμβράνης που θα χρειαστεί;

𝑥 𝑥

𝑥


Πολλαπλασιασμός Πολυωνύμων


Στο μοντέλο πολλαπλασιασμού πολυωνύμων τα αλγεβρικά πλακίδια καλύπτουν επιφάνεια ως εξής:

Πλακίδιο

Καλύπτει

τετράγωνο με πλευρά μονάδα

ορθογώνιο με διαστάσεις

και μονάδες

τετράγωνο με πλευρά

μονάδες

Για την εύρεση του γινομένου ( ) χρησιμοποιήθηκε το μοντέλο με τα αλγεβρικά πλακίδια ως εξής:

Βήμα 1: Το γινόμενο ( ) αντιστοιχεί σε ορθογώνιο με διαστάσεις και ( ).

Βήμα 2: Καλύπτουμε την επιφάνεια του ορθογωνίου με τα αντίστοιχα πλακίδια.

Άρα ( ) .

α) Να εξηγήσετε γιατί καλύπτεται η επιφάνεια με τα συγκεκριμένα πλακίδια που φαίνονται στην εικόνα;

β) Ένας μαθητής εργάστηκε όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Να εξηγήσετε ποια ιδιότητα χρησιμοποίησε και πως αυτή αντιστοιχεί με το προηγούμενο μοντέλο.



Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο “ BEn2_PolPolyonimon.ggb ”.

Να μετακινήσετε τους δρομείς ώστε να πετύχετε τις διαστάσεις του ορθογωνίου που φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Ακολούθως να καλύψετε την επιφάνεια του ορθογωνίου με τα αντίστοιχα πλακίδια για να βρείτε το αποτέλεσμα του γινομένου των «διαστάσεων». Να συμπληρώσετε τον πίνακα.

Διάσταση 1 Διάσταση 2 Γινόμενο Αποτέλεσμα

( )

( )

( )( )

Να εκτελέσετε τους πιο πάνω πολλαπλασιασμούς χρησιμοποιώντας κατάλληλη ιδιότητα

των πράξεων και να εξηγήσετε την αντιστοιχία με το μοντέλο των πλακιδίων.

Μαθαίνω

Για τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμου με πολυώνυμο γίνεται χρήση των ιδιοτήτων των

πράξεων και των δυνάμεων.

BEn2_Efarmogidia/BEn2_PolPolyonimon.ggb



Να κάνετε τους πιο κάτω πολλαπλασιασμούς πολυωνύμων:

α) ( )

β)

γ)

δ) ( )

ε) ( )

στ) ( )

ζ) ( )( )

η) ( )( )

Λύση:

α) ( )

β)

γ)

δ) Επιμεριστική ιδιότητα

ε) ( )

στ) ( )

ζ)

αντίστοιχη διαδικασία με χρήση πίνακα:

η) ( )( )



1. Να εξετάσετε την ορθότητα σε καθεμιά από τις παρακάτω πράξεις διαγράφοντας ότι δεν ισχύει, στη διπλανή στήλη του πίνακα:

α) ( ) ( )

β)

γ) ( )

δ) ( )( )

ε) ( )

στ) ( )( )

2. Μια σωλήνα έχει μήκος μέτρα. Μια άλλη σωλήνα έχει μήκος φορές μακρύτερο. Ποιο το μήκος της σωλήνας Β; (Κυκλώστε το ορθό)

Α: μέτρα Β: μέτρα Γ:

μέτρα Δ:

μέτρα

3. Να κάνετε τους πιο κάτω πολλαπλασιασμούς πολυωνύμων:

α) β) γ) ( ) δ) ( ) ε) ( ) στ) ( ) ζ) ( )( ) η) ( )( )

5. Μια μηχανή κατασκευάζει διαφορετικού μεγέθους πλαστικά ορθογώνια με διαστάσεις και . Το μέγεθος μεταβάλλεται σύμφωνα με τη ρύθμιση της μεταβλητής . Στην άνω επιφάνεια αυτού του ορθογωνίου η μηχανή κολλάει μια έγχρωμη μεμβράνη. (α) Να βρείτε (συναρτήσει του ) το εμβαδό της μεμβράνης

που χρειάζεται για κάθε ένα τέτοιο πλαστικό ορθογώνιο.

(β) Να βρείτε το εμβαδό της μεμβράνης που χρειάζεται αν η μηχανή ρυθμιστεί ώστε το

να πάρει τιμές , και .


Αξιοσημείωτες ταυτότητες


Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο “ΒEn2_Dierevnisi.ggb”.

Ο κος Γιάννης έχει ένα οικόπεδο, σχήματος τετραγώνου πλευράς , το οποίο γειτνιάζει

στον αυτοκινητόδρομο Λευκωσίας – Λεμεσού. Λόγω της διαπλάτυνσης που έγινε στον

δρόμο η αρμόδια υπηρεσία του

πρότεινε να παραχωρήσει μια

λουρίδα πλάτους για και να πάρει

έναντι μια λουρίδα πλάτους από το

διπλανό κρατικό τεμάχιο.

α) Να μετακινήσετε τον δρομέα

και να

απαντήσετε τα πιο κάτω

ερωτήματα:

β) Να βρείτε το εμβαδόν του

τεμαχίου του κύριου Γιάννη,

πριν και μετά την διαπλάτυνση του δρόμου.

γ) Να συγκρίνετε τις διαστάσεις της λουρίδας που θα πάρει με τις διαστάσεις της

λουρίδας που θα παραχωρήσει;

δ) Με την ανταλλαγή το εμβαδόν του οικοπέδου αυξάνεται ή ελαττώνεται και

πόσο;

ε) Να εξετάσετε αν ισχύει η ισότητα: ( )( ), για την πιο

πάνω περίπτωση.

στ) H ισότητα ισχύει για κάθε τιμή των μεταβλητών και ;

Μαθαίνω

Ταυτότητα είναι κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές

των μεταβλητών αυτών.

Για παράδειγμα: ( )

Κάποιες από τις πιο αξιοσημείωτες ταυτότητες είναι:

Τετράγωνο αθροίσματος: Το τετράγωνο του αθροίσματος δύο όρων είναι ίσο με

το άθροισμα των τετραγώνων των δυο όρων αυξημένων κατά το διπλάσιο του

γινομένου αυτών. Δηλαδή:

( )

Το λέγεται ανάπτυγμα του ( ) .

BEn2_Efarmogidia/BEn2_Dierevnish.ggb


Τετράγωνο διαφοράς: Το τετράγωνο της διαφοράς δύο όρων είναι ίσο με το

άθροισμα των τετραγώνων των δυο όρων, μειωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο

αυτών. Δηλαδή:

( )

Το λέγεται ανάπτυγμα του ( )

Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά: Το γινόμενο του αθροίσματος δύο όρων επί

την διαφορά τους, είναι ίσο με την διαφορά των τετραγώνων των δύο όρων.

Δηλαδή:

( )( )

Το λέγεται ανάπτυγμα του ( )( ).

Απόδειξη για το τετράγωνο αθροίσματος: Ονομάζουμε το αριστερό μέλος της ισότητας ως «Α΄ μέλος» και το δεξιό μέλος της ισότητας ως «Β΄ μέλος». Θα κάνουμε τις πράξεις στο Α΄ μέλος και θα οδηγηθούμε με διαδοχικά βήματα στο Β΄ μέλος.

( ) ( )( )

Γεωμετρική ερμηνεία:

𝜶 𝜷

𝜶 𝜷

𝜷𝟐

𝜶 𝜷

𝜷

𝜷

𝜷

𝜷

𝜶

𝜶

𝜶

𝒂𝟐 𝜶

𝜶 𝜷

𝜶 𝜷

𝜷𝟐

𝜶 𝜷

𝜷

𝜷

𝜷

𝜶

𝛼 (𝛼 𝛽) 𝛼 𝛼𝛽 𝛽


Όταν έχουμε να αποδείξουμε μια

ταυτότητα μπορούμε να

ξεκινήσουμε από το ένα μέλος και

να καταλήξουμε στο άλλο.

Α= … =Β

Β= … =Α

Μπορούμε επίσης να

προχωρήσουμε και τα δύο μέλη

έως ένα σημείο και να

διαπιστώσουμε την ισότητα τους,

δηλαδή:

Α=Γ και Β=Γ τότε Α=Β


1. Nα υπολογίσετε τα αναπτύγματα:

α) ( )

β) ( )( )

γ) ( )

δ) (

) (

)

Λύση:

α) ( ) ( )

β) ( )( )

γ) ( ) ( ) ( )

δ) (

) (

) (

) (

) (

)

( )

2. Να αποδείξετε την ταυτότητα: ( ) ( )

Λύση: Α΄ τρόπος:

( ) ( ) ( )( )

ή

Β΄ τρόπος:

( ) ( ) ( )

Άρα,

3. Το γινόμενο δύο αριθμών είναι και το άθροισμα τους να βρείτε το άθροισμα

των τετραγώνων τους.

Λύση: Αν ονομάσουμε α και β τους δύο αριθμούς τότε: α β και αβ .


Το ζητούμενο είναι ο υπολογισμός της αριθμητικής τιμής της αλγεβρικής παράστασης α β . Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα: (α β) α αβ β (α β) α αβ β α β (α β) αβ α β ( ) ( ) α β α β


1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης , με ένα στοιχείο της στήλης .

Στήλη Α Στήλη Β

α. i. β. ii. γ. iii. δ. iv.

v. – vi.

2. Nα γράψετε τα αναπτύγματα στην πιο απλή μορφή:

α) ( )( )

β) ( )

γ) ( )

δ) ( )( )

ε) ( α )( α )

στ) (

)

3. Nα γράψετε τα αναπτύγματα στην πιο απλή μορφή:

α) ( ) ( )

β) (

) (

)

γ) ( )( )

δ) (

)

( )( )


4. Nα συμπληρώσετε τα τετράγωνα έτσι ώστε να ισχύουν οι πιο κάτω ταυτότητες.

α) ( )

β) ( )( )

γ) ( )

δ) ( )( √ )

5. Να αποδείξετε τις πιο κάτω ταυτότητες :

α) ( ) ( )

β) ( ) ( ) ( )

γ) ( ) ( )( ) ( )

6. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου

σχήματος, αν τετράγωνο πλευράς και

ορθογώνιο διαστάσεων και . H

απάντηση σας να δοθεί στην πιο απλή μορφή,

συναρτήσει του .

7. Αν και να βρείτε την αριθμητική τιμή των πιο κάτω αλγεβρικών

παραστάσεων:

i.

ii. ( ) ( )

8. Το γινόμενο δύο αριθμών είναι και η διαφορά τους . Να βρείτε το άθροισμα των

τετραγώνων τους.

9. Να υπολογίσετε τις πιο κάτω παραστάσεις: (α) (β) (γ)



1. Να κάνετε τις πράξεις:

α) ( ) ( )

β) ( ) ( )

γ) ( )

δ) ( )( )

ε) ( )( )

στ) ( )

ζ) ( ) ( )

η) ( )( )

2. Δίνονται τα πολυώνυμα ( ) , ( ) και ( ) .

Να υπολογίσετε:

α) ( ) ( ) ( )

β) ( ) ( )

γ) ( ) ( )

δ) ( )

3. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι . Να βρείτε τις διαστάσεις του και το

εμβαδόν του.


4. Ένα πρότυπο σχέδιο κήπου σχήματος ορθογωνίου έχει μια διάσταση ίση με μέτρα και την άλλη διάσταση διπλάσια αυξημένη κατά μέτρα. Να γράψετε μια αλγεβρική παράσταση που να εκφράζει το εμβαδόν και μια την περίμετρο του σχεδίου.

5. Να εξετάσετε κατά πόσο το διπλανό ορθογώνιο είναι τετράγωνο και να βρείτε το

εμβαδόν του.



1. Να βρείτε μια αλγεβρική παράσταση η οποία να εκφράζει το μήκος του σκιασμένου ορθογωνίου στο πιο κάτω σχήμα.

2. Ο κ. Πέτρος έχει ένα ορθογώνιο κήπο διαστάσεων επί . Θέλει να κατασκευάσει διάδρομο από μπετόν, ίσου πλάτους ( ) περιμετρικά από τον κήπο.

α) Κατασκευάστε ένα διάγραμμα του κήπου και του διαδρόμου.

β) Να γράψετε μια αλγεβρική παράσταση που να εκφράζει το εμβαδό του

διαδρόμου;

3. Μια εταιρεία πουλά ένα συγκεκριμένο ψυγείο αξίας και εκτιμά ότι σε ένα χρόνο θα πουλήσει 2000 ψυγεία. Αν αυξήσει την τιμή κατά ( ) , εκτιμάται ότι θα χάσει πελάτες. Να γράψετε την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει τις εισπράξεις της εταιρείας μετά την αύξηση της τιμής. Να υπολογίσετε τις εισπράξεις αν αυξήσει την τιμή κατά € ή €10 να σκεφτείτε αν συμφέρει η αύξηση ή όχι.

4. Τεχνολογία: Να ανοίξετε τo αρχείο: “ΒEn2_DrastEmpl4.ggb”.

Να μελετήσετε και να συζητήσετε την γεωμετρική ερμηνεία της ταυτότητας:

( ) , όπως αναπτύσσεται στο εφαρμογίδιο.

BEn2_Efarmogidia/BEn2_DrastEmpl4.ggb


5. Τεχνολογία: Να ανοίξετε τo αρχείο: “ΒEn2_DrastEmpl5.ggb”.

Να μελετήσετε και να συζητήσετε την γεωμετρική ερμηνεία της ταυτότητας: ( ) , όπως αναπτύσσεται στο εφαρμογίδιο.

6. Να αποδείξετε τις πιο κάτω ταυτότητες : α) ( )

β) ( )( )

γ) ( )

Υπόδειξη: Να μελετήσετε την απόδειξη της ταυτότητας: ( ) που δίνεται

στο «Τι πρέπει να ξέρετε» πιο πάνω.

7. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ( )

β)

γ)

BEn2_Efarmogidia/BEn2_DrastEmpl5.ggb

Ενότητα 3


Διερεύνηση εξίσωσης Α΄ βαθμού Μετασχηματισμός τύπου

Ανισώσεις

56 Ενότητα 3: Διερεύνηση Εξισώσεις α΄ βαθμού, Μετασχηματισμός τύπου, Ανισώσεις.

Εξισώσεις με μία μεταβλητή


Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων

που βρήκατε σε καθεμιά.

α)

β) ( ) ( )


Δίνεται το παραλληλόγραμμο με , – και .

Αν η περίμετρο του είναι , να υπολογίσετε την τιμή του ,

χρησιμοποιώντας εξίσωση.

Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο “ΒEn3_Exisoseis.ggb” και να διερευνήσετε

το πλήθος των λύσεων του πιο πάνω προβλήματος.

Τι πρέπει να ξέρετε

Κάθε εξίσωση της μορφής είναι εξίσωση μίας μεταβλητής.

Κάθε εξίσωση της μορφής με , έχει μία μοναδική λύση, τη

.

Μία εξίσωση που δεν έχει καμία λύση στο σύνολο των ρητών αριθμών λέγεται

αδύνατη εξίσωση στο σύνολο των ρητών αριθμών.

Όταν , η γραμμική εξίσωση παίρνει τη μορφή, με

και είναι αδύνατη.

Μία εξίσωση που έχει ως λύση κάθε ρητό αριθμό λέγεται αόριστη εξίσωση στο σύνολο

των ρητών αριθμών (άπειρες λύσεις).

Όταν και η γραμμική εξίσωση παίρνει τη μορφή

και είναι αόριστη.

BEn3_Efarmogidia/BEn3_Exisoseis.ggb



1. Nα λύσετε την εξίσωση:

Λύση:

Απαλοιφή παρονομαστών: κάνουμε ομώνυμα τα

κλάσματα και διαγράφουμε τους παρονομαστές.

( ) Κάνουμε τις πράξεις

Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και κάνουμε

αναγωγή ομοίων όρων.

Άρα η εξίσωση είναι αόριστη, δηλαδή έχει λύση οποιοδήποτε αριθμό.

Παρατήρηση Στην πιο πάνω περίπτωση δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το συντελεστή του αγνώστου διότι είναι μηδέν! Παρατηρούμε ότι η εξίσωση επαληθεύεται για όλες τις τιμές του . Άρα έχει άπειρες λύσεις. Για παράδειγμα:

( ) ( )

2. Να προσδιορίσετε τον αριθμό (παράμετρο) , έτσι ώστε η εξίσωση ( )

να είναι αδύνατη.

Λύση:

Όπως αναφέραμε, κάθε αδύνατη εξίσωση έχει τη μορφή με μεταβλητή και

.

( )

( )

Κάνουμε τις πράξεις εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα.

Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους.

Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων, εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα.

Άρα, θέτουμε το συντελεστή του στην εξίσωση ( ) ίσο με το μηδέν:

.

Παρατήρηση: Αν αντικαταστήσουμε το τότε η εξίσωση γίνεται και επαληθεύεται ότι είναι αδύνατη, δηλαδή δεν υπάρχει καμιά τιμή του που να επαληθεύει την εξίσωση.



1. Να εξετάσετε την ορθότητα σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις διαγράφοντας ότι

δεν ισχύει, στη διπλανή στήλη του πίνακα:

α) είναι αόριστη

β) έχει άπειρες λύσεις

γ) είναι αδύνατη

δ) έχει μια λύση

ε) – δεν έχει λύση

2. Να εξετάσετε αν οι πιο κάτω εξισώσεις έχουν μία λύση, καμία λύση ή άπειρες λύσεις:

α)

β) ( ) ( )

γ)

( )

δ)

3. Να προσδιορίσετε τον αριθμό έτσι ώστε η εξίσωση ( ) να είναι αόριστη.

4. Να προσδιορίσετε τον αριθμό και έτσι ώστε η εξίσωση να είναι

αόριστη.

5. Να προσδιορίσετε τον αριθμό έτσι ώστε η εξίσωση να είναι αδύνατη.


Επίλυση τύπων


Σε κάποιες χώρες για την μέτρηση της θερμοκρασίας χρησιμοποιούνται οι βαθμοί

στην κλίμακα Φαρενάιτ ( ) . Στις υπόλοιπες χώρες, όπως και στη Κύπρο,

χρησιμοποιούνται οι βαθμοί στη κλίμακα

κελσίου ( ). Η σχέση που συνδέει τους

με τους δίνεται από το τύπο:

.

α) Ένας Άγγλος που θέλει να ταξιδέψει

στη Κύπρο πληροφορείται πως η

θερμοκρασία στη Λεμεσό είναι .

Να τον βοηθήσετε να μετατρέψει την

θερμοκρασία σε .

β) Ένας Κύπριος που θα ταξιδέψει στη

Νέα Υόρκη (Αμερική) πληροφορείται

πως η θερμοκρασία εκεί είναι .

Να τον βοηθήσετε να μετατρέψει την θερμοκρασία σε .

γ) Να γράψετε έναν τύπο για να μπορείτε να υπολογίσετε την θερμοκρασία σε

όταν είναι γνωστή η θερμοκρασία σε .


Για να μετασχηματίσουμε ένα μαθηματικό τύπο, με τουλάχιστον δύο μεταβλητές,

χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των ισοτήτων έτσι ώστε να απομονώσουμε την μεταβλητή

που θέλουμε στο πρώτο μέρος με συντελεστή την μονάδα. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται

επίλυση τύπου.


Να υπολογίσετε τη βάση του παραλληλογράμμου που έχει περίμετρο και

την άλλη βάση του είναι ίση με: α) β) γ)


Λύση: Θα πρέπει να λύσουμε τρείς εξισώσεις για να λύσουμε την άσκηση! Αντί αυτού θα λύσουμε το τύπο που μας δίνει την περίμετρο του παραλληλογράμμου ( ) ως προς την μία βάση:

( )

Κάνουμε αντικατάσταση για και:

α)

β)

γ)


1. Να επιλύσετε τους πιο κάτω τύπους ως προς την μεταβλητή που σημειώνετε μέσα στη

παρένθεση.

α) ( ) β)

( )

γ) ( ) δ) ( )

( )

ε)

( ) στ)

( )

( )

2. Για ένα ιδεώδες αέριο σε κανονική πίεση, ο όγκος του σε θερμοκρασία θ δίνεται

από τον τύπο: (

) όπου ο όγκος στους .

α) Να λύσετε τον τύπο ως προς θ.

β) Στους ένα ιδεώδες αέριο έχει όγκο . Σε ποία θερμοκρασία έχει

όγκο 30 ;

3. Εμπειρικές μελέτες για τη χιονόπτωση στην Αγγλία κατέληξαν στο εξής συμπέρασμα: O

αριθμός των ημερών ενός έτους στη διάρκεια των οποίων πέφτει χιόνι, δίνεται κατά

προσέγγιση από τον τύπο όπου είναι το υψόμετρο ενός τόπου σε

μέτρα.

α) Σύμφωνα με αυτό τον τύπο , πόσες ημέρες χιονίζει σε έναν τόπο που είναι

παραθαλάσσιος ( );

β) Σε ποιο υψόμετρο χιονίζει μήνες το χρόνο ( ημέρες) και σε ποιο υψόμετρο

χιονίζει κάθε μέρα;


Ανισώσεις


Πιο κάτω φαίνονται τρείς πινακίδες:

(Στον Ζωολογικό Κήπο)

ΚΑΤΑΛΛΗΛΟ ΓΙΑ

ΑΤΟΜΑ ΑΝΩ ΤΩΝ 18

α) Αν ο Κώστας στάθμευσε λεπτά δίπλα από την 1η πινακίδα, είναι μέσα στον

επιτρεπόμενο χρόνο;

β) Αν ένας οδηγός τρέχει μέσα στην πόλη με ταχύτητα , ξεπερνά το πιο

πάνω όριο ταχύτητας ή όχι;

γ) Να δηλώσετε τρεις ηλικίες παιδιών που πρέπει να συνοδεύονται στον

ζωολογικό κήπο και τρεις ηλικίες παιδιών που δεν πρέπει να συνοδεύονται.

δ) Είναι κατάλληλο το πρόγραμμα με την πιο πάνω ένδειξη για δεκαπεντάχρονους

μαθητές της Μέσης Εκπαίδευσης;

ε) Να διατυπώστε μία μαθηματική πρόταση για την κάθε πινακίδα.


Ένας φωτογράφος εργάζεται σε ένα περιοδικό. Κάθε μήνα παίρνει βασικό μισθό

και για κάθε φωτογραφία που δημοσιεύεται στο περιοδικό, πληρώνεται

επιπλέον .

Πόσες φωτογραφίες πρέπει να δημοσιεύονται στο περιοδικό για να πάρει

μισθό μεγαλύτερο από ;



Στην καθημερινή ζωή πολλές φορές χρειάζεται να συγκρίνουμε δυο μεγέθη με μια

σχέση ισότητας ή ανισότητας, χρησιμοποιώντας τα σύμβολα .

Ιδιότητες Ανισοτήτων

Αν και στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει μια νέα ανισότητα με την ίδια φορά. Για παράδειγμα: και Προσθέτουμε και στα δύο μέλη Παρατηρούμε ότι και διατηρείται η φορά της ανισότητας. Γενικά: Αν ή Αν ή

Αν και τα δύο μέλη μιας ανισότητας πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει μια νέα ανισότητα με την ίδια φορά. Για παράδειγμα: και Πολλαπλασιάζουμε με και τα δύο μέλη Παρατηρούμε ότι και διατηρείται η φορά της ανισότητας. Γενικά:

Αν και και

Αν και και

Αν και τα δύο μέλη μιας ανισότητας πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει μια νέα ανισότητα με αντίθετη φορά. Για παράδειγμα: ( ) και ( ) Παρατηρούμε ότι άρα η νέα ανισότητα έχει αντίθετη φορά. Γενικά:

Αν και και

Αν και και

Η ανισότητα που περιέχει μεταβλητή ονομάζεται ανίσωση.

Για παράδειγμα:


Λύση της ανίσωσης είναι η τιμή της μεταβλητής που την επαληθεύει. Για κάθε ανίσωση ορίζεται ένα σύνολο λύσεων, του οποίου κάθε στοιχείο επαληθεύει την ανίσωση. Το σύνολο αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί με διάφορους τρόπους όπως πιο κάτω:

Συμβολικά Γραφικά Λεκτικά

Το μεγαλύτερο του .

Το μεγαλύτερο ή ίσο του

Το μικρότερο του .

To μικρότερο ή ίσο του


1. Να λυθεί η ανίσωση και να παρασταθεί γραφικά η λύση της.

Λύση

Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους

Αναγωγή ομοίων όρων

Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου όρου, δηλαδή το .

Ο συντελεστής είναι αρνητικός άρα θα προκύψει ανίσωση με

αντίθετη φορά.

Η ανίσωση είναι αληθής για κάθε τιμή της μεταβλητής που είναι μεγαλύτερη ή και ίση

με τον αριθμό

.

Επίλυση ανίσωσης i. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους.

ii. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. iii. Διαιρούμε το συντελεστή του αγνώστου όρου.

Αν ο συντελεστής είναι θετικός η ανισότητα δεν αλλάζει φορά,

ενώ αν είναι αρνητικός πρέπει να αλλάξουμε την φορά.


2. Να λυθεί η ανίσωση ( )

.

Λύση

( )

( )

( )

Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το

Ε.Κ.Π. δηλαδή τον αριθμό

( ) ( ) ( )

Κάνουμε τις πράξεις

Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους

Αναγωγή ομοίων όρων

Διαιρούμε με τον συντελεστή του άγνωστου

όρου

Η ανίσωση είναι αληθής για κάθε τιμή της μεταβλητής μικρότερη ή ίση από το .

3. Να λυθεί η ανίσωση Λύση: Παρατηρούμε ότι η ανίσωση δεν αληθεύει για καμία τιμή της μεταβλητής . Δηλαδή η ανίσωση είναι αδύνατη.

4. Να λυθεί η ανίσωση Λύση: Παρατηρούμε ότι η ανίσωση είναι αληθής για κάθε τιμή της μεταβλητής .


5. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: και

.

Λύση: Λύνουμε χωριστά τις δύο ανισώσεις:

Στην συνέχεια παριστάνουμε στην ίδια ευθεία των αριθμών τις παραστάσεις των λύσεων

των δύο αριθμών και σκιάζουμε την κοινή λύση:

Οι κοινές λύσεις των ανισώσεων είναι το σύνολο .

6. Η μηνιαία κάρτα διαδρομών με το λεωφορείο κοστίζει . Μία απλή διαδρομή χωρίς κάρτα κοστίζει Να βρείτε πόσες διαδρομές το μήνα πρέπει να κάνει κάποιος, για να τον συμφέρει οικονομικά η αγορά της κάρτας;

Λύση:

Θέτουμε τον αριθμό των απλών διαδρομών με το λεωφορείο τότε το γινόμενο 0

είναι το συνολικό κόστος που έχει κάποιος μηνιαία. Άρα για να συμφέρει η αγορά της

μηνιαίας κάρτας πρέπει να ισχύει η ανίσωση: 0

, άρα αν κάποιος κάνει με το λεωφορείο περισσότερο από

55 διαδρομές μηνιαίως, τότε τον συμφέρει η αγορά της μηνιαίας κάρτας.


Δραστηριότητες 1. Με βάση τις ιδιότητες, να συμπληρώσετε τα κενά:

α) Αν ………… β) Αν

…………

γ) Αν ………… δ) Αν

…………

ε) Αν ………… ε) Αν

……..…

στ) Αν ………… ζ) Αν

…………

2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις ως Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη).

α) Αν τότε .

β) Αν τότε .

γ) Αν τότε .

δ) Αν τότε

ε) Αν τότε

στ) Η ανίσωση έχει λύση τον αριθμό .

ζ) Η ανίσωση έχει λύση τους αριθμούς .

3. Δίνεται η ανίσωση

α) Να δώσετε πέντε αριθμούς που επαληθεύουν την πιο πάνω ανίσωση. β) Να δώσετε τις τρεις μικρότερες ακέραιες λύσεις της ανίσωσης. γ) Ο αριθμός είναι λύση της ανίσωσης ; δ) Πόσες λύσεις έχει η παραπάνω ανίσωση;

4. Δίνονται οι γραφικές λύσεις ανισώσεων. Να επιλέξετε τις αντίστοιχες αλγεβρικές τους

λύσεις:

I.

α) β) γ) δ)

II.

α) β) γ) δ)

III.

α) β) γ) δ)

IV.

α) β) γ) δ)


5. Δίνεται η ανίσωση α) Να λύσετε την ανίσωση.

β) Να δώσετε τρεις τιμές του που επαληθεύουν την ανίσωση.

6. Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε γραφικά τη λύση τους στην ευθεία των

πραγματικών αριθμών.

α) –

β) ( )

γ) ( )

δ) ( )

ε) ( ) ( )

7. Ποιος είναι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός που είναι λύση της ανίσωσης ;

8. Να βάλετε σε κύκλο τους αριθμούς που επαληθεύουν την ανίσωση :

9. Ο κύριος Λιμνιώτης διαθέτει μια δεξαμενή χωρητικότητας για αποθήκευση νερού. Η δεξαμενή ήταν κενή. Γεμίζει τη δεξαμενή με ρυθμό .

Να βρείτε:

α) Πόσο νερό θα υπάρχει στην δεξαμενή αν η παροχή νερού παραμείνει ανοικτή για ώρες.

β) Σε πόσες ώρες πρέπει να κλείσει την παροχή νερού ώστε η δεξαμενή να μην υπερχειλίσει.

10. Ένα οικόπεδο έχει σχήμα ορθογωνίου με μήκος , περίμετρο μικρότερη από

και εμβαδόν μεγαλύτερο από . Πόσα μέτρα μπορεί να είναι το πλάτος του;

11. Στο καθένα από τα πιο κάτω διαγράμματα, δίνονται οι γραφικές λύσεις δύο ανισώσεων. Να βρείτε τις κοινές λύσεις του καθενός από τα πιο κάτω ζεύγη ανισώσεων:

(α)

(β)


12. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: α)

β)

γ) ( ) ( )

δ) ( ) ( )

ε)


1. Να εξετάσετε αν οι πιο κάτω εξισώσεις έχουν μία λύση, καμία λύση ή άπειρες λύσεις:

α) ( )( ) β) ( )( )

2. Να λύσετε τις πιο κάτω ανισώσεις και να παραστήσετε γραφικά τη λύση τους στην

ευθεία των πραγματικών αριθμών.

α)

β)

γ)

δ)

ε)

στ) ( ) ( )

ζ)

3. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

α)

β)

γ) ( )

( )

4. Να βρείτε το μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό που το τριπλάσιο του μειωμένο κατά

είναι μικρότερο του αριθμού αυτού.


5. Ο νόμος της βαρύτητας του Νεύτωνα μπορεί να αποδοθεί από τον τύπο:

, όπου η βαρυτική δύναμη μεταξύ δύο

σωμάτων με μάζες και , είναι η παγκόσμια

βαρυτική σταθερά και η απόσταση των κέντρων των

δύο αντικειμένων. Να επιλύσετε τον πιο πάνω τύπο ως προς και ως προς .

6. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι ισοδυναμίες:

α) β)

γ) ( )

δ)

7. Ένας διανομέας εργάζεται σε μια επιχείρηση με προμήθεια. Κάθε μήνα παίρνει βασικό

μισθό και για κάθε προϊόν που πωλεί πληρώνεται επιπλέον το ένα. Πόσα

προϊόντα πρέπει να πωλήσει για να πάρει μισθό μεγαλύτερο από ;


1. Να γράψετε μια ανίσωση που να καθορίζει αν μια επίδοση στο άλμα εις ύψος δίνει σε έναν αθλητή το εισιτήριο για τους ολυμπιακούς αγώνες, αν είναι γνωστό ότι από τους πιο κάτω αθλητές το εισιτήριο πήραν μόνο οι αθλητές και .

Αθλητής Μέγιστη επίδοση

2. Nα βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ο αριθμός ( ) είναι αρνητικός

αριθμός.

3. Η αντοχή μιας γέφυρας είναι τόνοι. Ένα φορτηγό μπορεί να έχει μάζα (απόβαρο) τόνων και είναι φορτωμένο με βαρέλια που το καθένα ζυγίζει . Πόσα το πολύ βαρέλια μπορεί να μεταφέρει το φορτηγό, ώστε να περάσει με ασφάλεια τη γέφυρα.


4. Μια εταιρεία κινητής τηλεφωνίας προσφέρει στους πελάτες της δύο « »

συνδρομής:

Πακέτο Μηνιαίο πάγιο Χρέωση ανά λεπτό

Α 7,50 € 0,254 €

Β 15 € 0,204 €

Να εξετάσετε πότε συμφέρει να επιλέξει το « ».

5. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

( ) ( )

τ

Ενότητα 4

Β’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Γεωμετρία Ι Συμμετρία

Δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου

72 Ενότητα4: Συμμετρία - Δευτερεύοντα στοιχεία τρίγωνων

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ

Εξερεύνηση (1)

Δίπλα φαίνεται ένα σκίτσο ενός γλύπτη που θα τον

βοηθήσει να κατασκευάσει μια προτομή. Τι παρατηρείτε

για τα σημεία και ;


Να παρατηρήσετε το διπλανό σχήμα. Να φέρετε ευθεία

που να χωρίζει το σχήμα σε δύο μέρη, έτσι ώστε αν

διπλώσουμε το χαρτί στο οποίο είναι σχεδιασμένο κατά

μήκος της ευθείας ε, τα δυο μέρη αυτά θα ταυτιστούν.

Πόσες τέτοιες ευθείες μπορείτε να βρείτε;


Χρήση Τεχνολογίας:

I. Να ανοίξετε το εφαρμογίδιο «ΒEn4_Symetria1. ggb»

Να μετακινήστε το σημείο Α και να σχηματίσετε ένα τυχαίο σχήμα. Τι σχέση έχει το αρχικό σχήμα (χρώματος κόκκινου) με αυτό (χρώματος μπλε) που σχηματίζεται συγχρόνως;

II. Να ανοίξετε το εφαρμογίδιο

«ΒEn4_Symetria2. ggb»

Να επαναλάβετε τις προηγούμενες οδηγίες.


Μαθαίνω

Συμμετρικό του σημείου , ως προς σημείο Ο (κέντρο συμμετρίας), ονομάζεται το σημείο που ανήκει στην ευθεία με .

Όταν τα σημεία και είναι συμμετρικά ως προς κέντρο συμμετρίας , τότε το

κέντρο συμμετρίας είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος .

Συμμετρικό του σχήματος ως προς κέντρο συμμετρίας ονομάζεται το σχήμα που δημιουργείται από το σύνολο των συμμετρικών σημείων του , ως προς το .

Κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος είναι το σημείο, ως προς το οποίο όλα τα σημεία του σχήματος έχουν συμμετρικό σημείο πάνω στο ίδιο σχήμα.

Συμμετρικό του σημείου ως προς μια ευθεία (άξονας συμμετρίας ) ονομάζεται το σημείο όταν τα και ισαπέχουν από την ευθεία και .

Όταν τα σημεία και είναι συμμετρικά ως προς άξονα

συμμετρίας , τότε ο άξονας συμμετρίας είναι η μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος .

Συμμετρικό του σχήματος ως προς άξονα συμμετρίας ονομάζεται το σχήμα που δημιουργείται από το σύνολο των συμμετρικών σημείων του , ως προς τον .

Τα σχήματα και λέμε ότι

παρουσιάζουν αξονική συμμετρία.



1. Να δείξετε ότι κάθε σημείο του κύκλου είναι συμμετρικό ως προς ένα άλλο σημείο

του, με κέντρο συμμετρίας το κέντρο του κύκλου.

Λύση: Αρκεί να αποδείξουμε τον πιο πάνω ισχυρισμό για

ένα τυχαίο σημείο Α του κύκλου. Τότε θα μπορούμε να πούμε ότι ισχύει για κάθε σημείο του κύκλου.

Πράγματι, αν κατασκευάσουμε ένα κύκλο ( και πάρουμε ένα τυχαίο σημείο του , τότε η ευθεία που περνά από το και το , θα τέμνει τον κύκλο σε ένα άλλο σημείο .

Το είναι συμμετρικό του ως προς το κέντρο συμμετρίας το , αφού διάμετρος του κύκλου και .

2. Ένα από τα αμινοξέα ή σολανίνη (amino acid alanine) έχει δύο μορφές (laevo)

και (dextrο). Να εξετάσετε το είδος της συμμετρίας που παρουσιάζουν οι δύο μοριακές τους δομές όπως φαίνονται στο επίπεδο:

Σχ.1 Σχ.2

Λύση: Οι δύο μοριακές δομές παρουσιάζουν αξονική συμμετρία ως προς την ευθεία , αφού

κάθε σημείο του είναι συμμετρικό με ένα σημείο του ως προς την ευθεία .



1. Για κάθε ένα από τα πιο κάτω σχήματα να βρείτε ποίο είναι το κέντρο συμμετρίας

του.

α)

β)

γ)

2. Πάνω στον άξονα των ρητών αριθμών να τοποθετήσετε:

α) δυο αριθμούς και που να είναι συμμετρικοί ως προς τη θέση τους με κέντρο

συμμετρίας τη θέση του .

β) έναν αριθμό γ που να είναι συμμετρικός με τον με κέντρο συμμετρίας το .

γ) τη θέση του κέντρου συμμετρίας των αριθμών και .

3. Να βρείτε το κέντρο συμμετρίας

των θέσεων της πόλης της

Κερύνειας με την πόλη της

Αμμοχώστου, που φαίνονται

στον διπλανό χάρτη της Κύπρου.

4. Να κατασκευάσετε το συμμετρικό του τριγώνου με κέντρο συμμετρίας το

σημείο που βρίσκεται εκτός του τρίγωνου.


5. Πιο κάτω δίνονται διάφορες σημαίες κρατών. Να βρείτε, όπου υπάρχουν, άξονες συμμετρίας για την κάθε μια.

α) β) γ)

Μπαχάμες Ελλάδα Ελβετία

δ) ε) στ)

Παλαού Κύπρος Δανία 6. Να κατασκευάσετε τα συμμετρικά σχήματα των σκιασμένων σχημάτων για κάθε

περίπτωση ως προς τον άξονα συμμετρίας :

α) β) γ)


Δευτερεύοντα Στοιχεία Τριγώνου


Τεχνολογία: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το λογισμικό Geogebra ή Capri II για τις πιο κάτω δραστηριότητες. α) Να κατασκευάσετε τρίγωνο και να βρείτε το μέτρο των γωνιών του. β) Να κατασκευάσετε ευθεία που να περνά από τα σημεία και . γ) Να κατασκευάσετε ευθεία που να περνά από το σημείο και να είναι

κάθετη με την ευθεία . δ) Να φέρετε το ευθύγραμμο τμήμα , όπου Δ το σημείο τομής των ευθειών

και ε) Να αποκρύψετε την ευθεία στ) Να μετακινήσετε τις κορυφές του τριγώνου σε διάφορες θέσεις και να εξετάσετε

την θέση του ύψους σε σχέση με το είδος του τριγώνου.

Η υλοποίηση της πιο πάνω διερεύνησης υπάρχει στο αρχείο “Ben4_dierevnisiYpsos.ggb”.


Τεχνολογία: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το λογισμικό Geogebra ή Capri II plus για τις πιο κάτω δραστηριότητες:

α) Να κατασκευάστε τρίγωνο β) Να βρείτε το μήκος των πλευρών και το μέτρο των γωνιών του τριγώνου. γ) Να κατασκευάσετε διχοτόμο, ύψος και διάμεσο του τριγώνου που περνούν από την

ίδια κορυφή. δ) Να μετακινήσετε τις κορυφές του τριγώνου και να εξετάσετε για ποιο είδος

τριγώνου η διάμεσος το ύψος και η διχοτόμος συμπίπτουν.

Η υλοποίηση της πιο πάνω διερεύνησης υπάρχει στο αρχείο “Ben4_dierevnisiYpsDiamDix.ggb”.


Μαθαίνω

Διάμεσος τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς.

Π.χ. Στο τρίγωνο η είναι διάμεσος, γιατί το σημείο είναι κορυφή του τριγώνου και το είναι μέσο της απέναντι πλευράς

Ύψος τριγώνου ονομάζεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που φέρεται από μια κορυφή του τριγώνου προς την ευθεία που περιέχει την απέναντι πλευρά του. Η πλευρά αυτή ονομάζεται βάση του τριγώνου ως προς το συγκεκριμένο ύψος.

Π.χ. Στο τρίγωνο το είναι ύψος του τριγώνου γιατί το σημείο είναι κορυφή του τριγώνου και

Διχοτόμος τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που διχοτομεί μια γωνιά του τριγώνου, ξεκινά από μια κορυφή του και καταλήγει στην απέναντι πλευρά.

Π.χ. Στο τρίγωνο η είναι διχοτόμος

γιατί χωρίζει την γωνία σε δύο ίσα μέρη,

. Το σημείο είναι κορυφή του τριγώνου και το είναι σημείο της απέναντι πλευράς .

Σε ισοσκελές τρίγωνο το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση είναι και διχοτόμος και διάμεσος.

Π.χ. Στο ισοσκελές τρίγωνο το ύψος που φέρουμε στην ΒΓ είναι διχοτόμος και διάμεσος του τριγώνου.



1. Να κατασκευάσετε τα ύψη στα πιο κάτω τρίγωνα α)

β)

γ)

Λύση:

α)

β)

γ)

ΑΔ: ύψος από την κορυφή Α στην πλευρά ΒΓ

ΒΖ: ύψος από την κορυφή Β στην πλευρά ΑΓ

ΓΕ: ύψος από την κορυφή Γ στην πλευρά ΑΒ

ΑΔ: ύψος από την κορυφή Α στην πλευρά ΒΓ


ΓΕ: ύψος από την κορυφή Γ στην πλευρά ΑΒ

ΑΒ: ύψος από την κορυφή Α στην πλευρά ΒΓ


ΒΓ: ύψος από την κορυφή Γ στην πλευρά ΑΒ


2. Σε τρίγωνο , . Αν η είναι διάμεσος του τριγώνου να υπολογίσετε το μήκος των και

Λύση:

3. Να υπολογίσετε την τιμή του , αν η είναι διάμεσος του τριγώνου .

Λύση: διάμεσος

– –


4. Στο διπλανό σχήμα να κατασκευάσετε το ευθύγραμμο τμήμα , ώστε να είναι συμμετρικό του τμήματος ως προς την ευθεία .

α) Να κατασκευάσετε το ευθύγραμμο τμήμα και να

ονομάσετε Μ το σημείο τομής της με την ευθεία .

β) Τι είδους τρίγωνο είναι το ;

γ) Ποια είναι η θέση του σημείου Μ σε σχέση με τα σημεία

και και τι στοιχείο του τριγώνου είναι το τμήμα

;

δ) Ποιο είναι το μέτρο της γωνίας και τι στοιχείο του τρίγωνου είναι το

τμήμα ;

ε) Να εξετάσετε αν η είναι διχοτόμος του τριγώνου .

Λύση α)

β) Το είναι συμμετρικό του άρα και το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

γ) Το είναι το μέσο του άρα η είναι η διάμεσος του τριγώνου. δ) άρα ΑΜ ύψος του τριγώνου.

ε)

διχοτόμος της γωνίας .



1. Τρίγωνο έχει πλευρές Αν και είναι διάμεσοι του τριγώνου, να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων .

2. Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου, αν η είναι διάμεσος του τριγώνου.

3. Να υπολογίσετε τις τιμές των και .

4. Να κατασκευάσετε τυχαίο τρίγωνο και να φέρετε το ύψος τη διάμεσο και τη διχοτόμο .

5. Στο πιο κάτω σχήμα να υπολογίσετε την τιμή του και το μέτρο της


6. Στο πιο κάτω σχήμα είναι διχοτόμος της και Να υπολογίσετε τις γωνίες που αναγράφονται με μικρά γράμματα. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

7. Στο πιο κάτω σχήμα , .

Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθύγραμμο τμήμα της στήλης με μια πρόταση της στήλης .

Στήλη Α Στήλη Β 1) α) Μεσοκάθετος της πλευράς 2) β) Διχοτόμος της 3) γ) Ύψος του τριγώνου

4) δ) Διχοτόμος γωνίας ε) Διάμεσος του τριγώνου


Χαρακτηριστικά σημεία τριγώνου


Η Σοφία αγόρασε από ένα κατάστημα μία τριγωνική πλάκα τραπεζιού και ένα μεταλλικό πόδι. Θέλει να τοποθετήσει το πόδι έτσι ώστε το τραπέζι να έχει την καλύτερη δυνατή ισορροπία. Μπορείς να την βοηθήσεις να βρει το κατάλληλο σημείο ;


Η Κυπριακή Δημοκρατία θέλει να τοποθετήσει στην Κύπρο ένα ραντάρ που να καλύπτει τη Λευκωσία τη Λεμεσό και τη Λάρνακα. Το κόστος του ραντάρ αυξάνεται καθώς αυξάνεται η ακτίνα εμβέλειας. Να βρείτε σε ποια θέση πρέπει να τοποθετηθεί το ραντάρ, για να έχουμε το ελάχιστο δυνατό κόστος.


Τεχνολογία: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το λογισμικό Geogebra ή Capri II plus για

τις πιο κάτω δραστηριότητες: α) Να κατασκευάσετε τρίγωνο β) Να βρείτε το μέτρο των γωνιών του τριγώνου. γ) Να βρείτε το σημείο τομής των μεσοκαθέτων του τριγώνου. δ) Να μετακινήσετε τις κορυφές του τριγώνου και να εξετάσετε σε ποιο είδος

τριγώνου το σημείο βρίσκεται: i) εντός τριγώνου, ii) εκτός τριγώνου, iii) στις πλευρές του τρίγωνου.

ε) Να κατασκευάσετε κύκλο με κέντρο το σημείο που να διέρχεται από την κορυφή . Τι παρατηρείτε;

Η υλοποίηση της πιο πάνω διερεύνησης υπάρχει στο αρχείο “Ben4_dierevnisi1Perikentro.ggb”.




α) Να κατασκευάσετε τρίγωνο . β) Να βρείτε το μέτρο των γωνιών του. γ) Να βρείτε το σημείο τομής των υψών του τριγώνου. δ) Να μετακινήσετε τις κορυφές του τριγώνου και να εξετάσετε για ποιο είδος

τριγώνου το σημείο βρίσκεται: i. εντός τριγώνου,

ii. εκτός τριγώνου, iii. στις πλευρές του τρίγωνου.

Η υλοποίηση της πιο πάνω διερεύνησης υπάρχει στο αρχείο “Ben4_dierevnisi2Orthokentro.ggb”.


Τεχνολογία: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το λογισμικό Geogebra ή Capri II plus για τις πιο κάτω δραστηριότητες: α) Να κατασκευάσετε τρίγωνο β) Να φέρετε τις διαμέσους , και του τριγώνου . γ) Να βρείτε το σημείο τομής των διαμέσων του τριγώνου . δ) Να βρείτε το μήκος της διαμέσου και του ευθύγραμμου τμήματος . ε) Να μεταβάλετε τις κορυφές του τριγώνου και να βρείτε την σχέση που

συνδέει τα μήκη και . στ) Να εξετάσετε αν η σχέση ισχύει για όλες τις διαμέσους.

Η υλοποίηση της πιο πάνω διερεύνησης υπάρχει στο αρχείο “Ben4_dierevnisi3KB.ggb”.



α) Να κατασκευάστε τρίγωνο β) Να βρείτε το μήκος των πλευρών και το μέτρο των γωνιών του τριγώνου. γ) Να κατασκευάσετε το ορθόκεντρο, το έγκεντρο, το κέντρο βάρους και το

περίκεντρο του τριγώνου. δ) Να μετακινήσετε τις κορυφές του τριγώνου και να εξετάσετε για ποιο είδος

τριγώνου συμπίπτουν τα πιο πάνω σημεία.

Η υλοποίηση της πιο πάνω διερεύνησης υπάρχει στο αρχείο “Ben4_dierevnisi4Kentra.ggb”.


Μαθαίνω

Κέντρο βάρους ή Βαρύκεντρο ενός τριγώνου είναι το σημείο τομής των διαμέσων του. Η απόσταση του κέντρου βάρους από το μέσο μιας πλευράς είναι ίση με το

του μήκους της διαμέσου.

Π.χ. Το σημείο Κ είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου .

Περίκεντρο είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών ενός τριγώνου. Το περίκεντρο ισαπέχει από όλες τις κορυφές του τριγώνου.

Είναι το κέντρο του κύκλου που περνά από τις κορυφές του τριγώνου (περιγεγραμμένος κύκλος).

Π.χ. Στο τρίγωνο η ευθεία είναι μεσοκάθετη της πλευράς , η ευθεία μεσοκάθετη της πλευράς και μεσοκάθετη της πλευράς . Ο περιγεγραμμένος κύκλος έχει κέντρο το σημείο και ακτίνα το ευθύγραμμο τμήμα

Έγκεντρο είναι το σημείο τομής των διχοτόμων ενός τριγώνου. Ισαπέχει από όλες τις πλευρές του τριγώνου. Είναι το κέντρο του κύκλου που εφάπτεται στις πλευρές του τριγώνου

(εγγεγραμμένος κύκλος).

Π.χ. Στο τρίγωνο τα ευθύγραμμα τμήματα είναι οι διχοτόμοι του τριγώνου . Ο εγγεγραμμένος κύκλος έχει κέντρο το σημείο και ακτίνα το ευθύγραμμο τμήμα


Ορθόκεντρο είναι το σημείο τομής των υψών του τριγώνου.

Π.χ. Στο τρίγωνο τα ευθύγραμμα τμήματα είναι τα ύψη του τριγώνου . Το σημείο είναι το ορθόκεντρο.

Σε ισόπλευρο τρίγωνο το ορθόκεντρο, το έγκεντρο, το κέντρο βάρους και το περίκεντρο συμπίπτουν.

Π.χ. Στο ισόπλευρο τρίγωνο τα , και είναι ύψος, διχοτόμος και διάμεσος του τριγώνου. Το σημείο είναι το ορθόκεντρο, το έγκεντρο, το κέντρο βάρους και το περίκεντρο του τριγώνου.


Να σχεδιάσετε τρίγωνο με , και . Στη συνέχεια να σχεδιάσετε τις διαμέσους και του τριγώνου και να βρείτε το ορθόκεντρο του τριγώνου .

Λύση:

Το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι το σημείο τομής των υψών του τριγώνου. Αρκεί να φέρουμε δύο από τα τρία ύψη και να βρούμε το σημείο τομής τους.

Το ορθόκεντρο είναι το σημείο .



1. Να συμπληρώστε Ορθό / Λάθος δίπλα από κάθε πρόταση ανάλογα τι ισχύει:

Πρόταση Ορθό/Λάθος

α) Διάμεσος τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που χωρίζει μια γωνία του σε δύο ίσα μέρη.

β) Σε ισόπλευρο τρίγωνο το ύψος είναι και άξονας συμμετρίας του τριγώνου.

γ) Το κέντρο βάρους βρίσκεται στο μέσο κάθε διαμέσου.

δ) Οι μεσοκαθέτοι ενός τριγώνου μπορεί να τέμνονται σε μια από τις κορυφές του τριγώνου.

ε) Το ορθόκεντρο μπορεί να συμπίπτει με μια από τις κορυφές του τριγώνου.

στ) Το σημείο τομής των διαμέσων βρίσκεται πάντοτε εντός του τριγώνου.

2. Να σχεδιάσετε τις διαμέσους των παρακάτω τριγώνων.

α)

β)

3. Να σχεδιάσετε τις διχοτόμους των παρακάτω τριγώνων. α)

β)


4. Να σχεδιάσετε τα ύψη των παρακάτω τριγώνων. α)

β)

γ)

δ)

5. Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τρίγωνο με και . Στη συνέχεια να σχεδιάσετε τα ύψη και και να τα συγκρίνεται με τη βοήθεια του διαβήτη.

6. Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο. Αν και η είναι διχοτόμος του τριγώνου να υπολογίσετε το

μέτρο των γωνιών και .


Άθροισμα γωνιών τετραπλεύρου

Εξερεύνηση

Τεχνολογία: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το λογισμικό Geogebra ή Capri II plus για τις πιο κάτω δραστηριότητες: α) Να κατασκευάσετε ένα τετράπλευρο β) Να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών του τετραπλεύρου με διάφορους

τρόπους. Η υλοποίηση της πιο πάνω εξερεύνησης υπάρχει στο αρχείο: “Ben4_exerevnisiTetraplevro.ggb”.


Το άθροισμα των γωνιών κάθε τετραπλεύρου είναι ίσο με . Απόδειξη:

γωνίες του τριγώνου

γωνίες του τριγώνου


Στο τετράπλευρο δίνετε . Να βρείτε τη γωνία

.

Λύση:

.


Δραστηριότητα

Σε καθένα από τα πιο κάτω σχήματα να υπολογίσετε την τιμή του . α)

β)


1. Να αντιστοιχίσετε κάθε πρόταση της Στήλης Α με μια πρόταση της Στήλης Β:

Α Στήλη Β Στήλη

i. Διχοτόμος τριγώνου α) το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς.

ii. Ύψος τρίγωνου β) το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που φέρεται από μια κορυφή του τριγώνου προς την ευθεία που περιέχει την απέναντι πλευρά του.

iii. Διάμεσος τριγώνου γ) το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που φέρεται από μια κορυφή του τριγώνου προς την ευθεία που περιέχει την απέναντι πλευρά του

2. Να κατασκευάσετε τρίγωνο του οποίου το ορθόκεντρο να βρίσκεται έξω από το

τρίγωνο.

3. Να δώσετε ένα αντιπαράδειγμα, για να δικαιολογήσετε ότι η πρόταση «Η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου είναι πάντοτε και ύψος του τριγώνου» , δεν ισχύει πάντοτε.


4. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές και Να τοποθετήσετε τα σημεία σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και στην συνέχεια να φέρετε τη διάμεσο και τη διχοτόμο του τριγώνου

5. Να κατασκευάσετε ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά με χάρακα και διαβήτη.

(Πρόταση Ι.1, Ευκλείδη)

Οι πιο κάτω ασκήσεις να γίνουν με τη βοήθεια του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας.

6. Να κατασκευάσετε ευθύγραμμο τμήμα . α) Να βρείτε το μέσο του . β) Να φέρετε την μεσοκάθετο του . γ) Να τοποθετήσετε σημείο στη μεσοκάθετο και να σχεδιάσετε το τρίγωνο . δ) Να μετρήσετε το μήκος των πλευρών του τριγώνου.

ε) Να βρείτε το μέτρο των και . στ) Να μετακινήσετε το σημείο στη μεσοκάθετο. ζ) Τι είδος τριγώνου είναι το ;

η) Ποια είναι η σχέση των και ; 7. Να κατασκευάσετε τυχαίο τρίγωνο .

α) Να φέρετε το ύψος . β) Να φέρετε τη διχοτόμο . γ) Να φέρετε τη διάμεσο . δ) Να μετακινήσετε τις κορυφές και και να απαντήσετε στα πιο κάτω

ερωτήματα: i. Σε ποιο είδος τριγώνου τα τρία τμήματα , και συμπίπτουν;

ii. Σε ποιο είδος τριγώνου το ύψος του μπορεί να βρίσκεται εκτός τριγώνου; iii. Να εξετάσετε τη θέση των υψών ενός ορθογωνίου τριγώνου σε σχέση με τις

πλευρές του;

8. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις.

α) Δυο σημεία και είναι συμμετρικά ως προς κέντρο αν το ανήκει στην μεσοκάθετη του .

ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

β) Το κέντρο συμμετρίας του τετραγώνου είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του.


γ) Η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι ο μοναδικός άξονας συμμετρίας.


δ) Αν δυο σχήματα είναι συμμετρικά ως προς άξονα τότε κάθε σημείο τους είναι συμμετρικό ως προς τον ίδιο άξονα.


ε) Ο κύκλος έχει μόνο δύο άξονες συμμετρίας . ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

9. Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με το σημείο τομής των

διαγωνίων του και . Να αναφέρετε τα συμμετρικά σημεία των κορυφών

και με κέντρο συμμετρίας το .


10. Να βρείτε το κέντρο συμμετρίας, οπού υπάρχει για τα πιο κάτω σχήματα:

α)

β)

γ)

11. Να κατασκευάσετε το συμμετρικό σχήμα ως προς τον άξονα συμμετρίας , σε κάθε

περίπτωση.

α)

β)

γ)

12. Αν η ευθεία είναι η μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος να δικαιολογήστε

γιατί τα σημεία και είναι συμμετρικά ως προς την .

13. Να κατασκευάσετε το συμμετρικό σχήμα του παραλληλόγραμμου ως προς τον

άξονα , όπως φαίνεται στο σχήμα.

14. Να φέρετε ένα άξονα συμμετρίας για κάθε ένα από τα πιο κάτω σχήματα.


15. Να βρείτε τον άξονα συμμετρίας για τα πιο κάτω συμμετρικά σχήματα :

16. Να δώσετε ένα παράδειγμα σχήματος που έχει μόνο ένα άξονα συμμετρίας και ένα

παράδειγμα σχήματος που να έχει περισσότερους από ένα άξονες συμμετρίας.

17. Τα σημεία και βρίσκονται πάνω σε μία ευθεία έτσι ώστε να ισχύουν όλες οι

πιο κάτω συνθήκες:

α) Το σημείο είναι συμμετρικό ως προς το με κέντρο συμμετρίας το .

β) Το και το είναι συμμετρικά με κέντρο συμμετρίας το .

γ) Το είναι το κέντρο συμμετρίας των και .

18. Ποιά από τις πιο κάτω προτάσεις είναι ορθή και γιατί;

Α. Τα και είναι συμμετρικά με

κέντρο συμμετρίας το .

Β. Τα και είναι συμμετρικά με κέντρο συμμετρίας το .

Γ. Το είναι κέντρο συμμετρίας για τα

και . Δ. Δεν ισχύει κανένα από τα προηγούμενα.


1. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να τοποθετήσετε τρίγωνο με κορυφές και . Να φέρετε την διάμεσο του τριγώνου .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου .

β) Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου .

γ) Να εξετάσετε κατά πόσο το ευθύγραμμο τμήμα είναι ύψος του τριγώνου.

2. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( με . Να κατασκευάσετε, α) Το συμμετρικό του τριγώνου με άξονα συμμετρίας την ευθεία

και να βρείτε το είδος του τριγώνου


β) Το συμμετρικό του τριγώνου με άξονα συμμετρίας την ευθεία

και να βρείτε το είδος του τριγώνου

3. Ένας τερματοφύλακας κινείται πάντα κάθετα προς την τροχιά της μπάλας για να την

αποκρούσει. Αν είναι διχοτόμος του τριγώνου, σε ποια πλευρά ( ) θα πρέπει ο ποδοσφαιριστής να κτυπήσει την μπάλα ώστε να αναγκάσει τον τερματοφύλακα να διανύσει τη μεγαλύτερη απόσταση για να την αποκρούσει. Να εξηγήσετε.

4. Με βάση το σχήμα να εντοπίσετε το λάθος στoν ισχυρισμό:

«η διέρχεται από το σημείο »,.

5. Στο διπλανό σύστημα αξόνων να

τοποθετήσετε τα σημεία

και

α) Να κατασκευάσετε το

συμμετρικό σχήμα του

τριγώνου ως προς την

ευθεία .

β) Να κατασκευάσετε το

συμμετρικό σχήμα Ζ του

τριγώνου ως προς ως

προς το σημείο .

γ) Να εξετάσετε αν τα τρίγωνα

και συμμετρικά;


6. Ο Γιώργος εφαρμόζει διαδοχικά συμμετρία ως προς σημείο και ως προς άξονα για το

τρίγωνο στην και τελικά προκύπτει το

τρίγωνο στην , όπως φαίνεται στο πιο

κάτω σχήμα.

Να βρείτε πόσες φορές εφάρμοσε, ο Γιώργος,

τη συμμετρία ως προς σημείο ή άξονα και με

ποιά σειρά για να πάει το αρχικό σχήμα από τη

στη .

7. Χρήση Τεχνολογίας: Να ανοίξετε το εφαρμογίδιο «BEn4_Symetria3. ggb»

Να μελετήσετε το σχήμα κατά την περιστροφή του. α) Ποια είναι η σχέση της θέσης του αρχικού

σχήματος με την τελική του θέση.

β) Να εξετάσετε αν το σχήμα παρουσιάζει

συμμετρία ως προς το .

8. Χρήση Τεχνολογίας: Να ανοίξετε το

εφαρμογίδιο «Ben4_Symetria4. ggb»

Να μετακινήσετε τον δρομέα .

α) Να παρατηρήσετε τις διάφορες θέσεις

του σε σχέση με το .

Ενότητα 5


Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα

98 Ενότητα 5: Πραγματικοί αριθμοί – Πυθαγόρειο Θεώρημα

Τετραγωνική και κυβική ρίζα πραγματικού αριθμού


Η οικογένεια Αντωνίου έχει έναν κήπο στο πίσω μέρος του σπιτιού και θέλει να τον επεκτείνει. Ο κήπος που έχει σήμερα η οικογένεια είναι σχήματος ορθογωνίου με μήκος και πλάτος . Θέλει ο νέος κήπος που θα κατασκευάσει να έχει εμβαδόν και να έχει σχήμα τετράγωνο ή ορθογώνιο με πλευρές ακέραιους αριθμούς μικρότερους από το μήκος του σπιτιού.

Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του νέου κήπου και τι σχήμα θα έχει;

Μαθαίνω

Τετραγωνική ρίζα μη αρνητικού αριθμού , λέγεται ο μη αρνητικός αριθμός, ο οποίος,

όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό . Η τετραγωνική ρίζα του

συμβολίζεται με √ .

Επειδή, , ορίζουμε ως √ .

Π.χ. √ γιατί

√

γιατί (

)

√ γιατί ( )

H ρίζα αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται, γιατί δεν υπάρχει αριθμός που το τετράγωνό

του να είναι αρνητικός.


Π.χ. η √ δεν έχει νόημα, γιατί κανένας αριθμός, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει αποτέλεσμα .

√ | | και √( ) | |

Γενικά έχουμε √ | |.

Από τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας έχουμε:

√ .

Προσοχή! ( ) , αλλά √

(√ )

Κυβική ή τρίτη ρίζα ενός μη αρνητικού πραγματικού αριθμού , λέγεται ο μη αρνητικός

πραγματικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στην τρίτη δύναμη, δίνει τον αριθμό . Η

κυβική ρίζα του συμβολίζεται με √

.

Από τον ορισμό της κυβικής ρίζας έχουμε:

√

.

(√ )

Επειδή, , ορίζουμε ως √

.

π.χ.

√

γιατί

√

γιατί (

)

√ γιατί ( )


1. Να υπολογίσετε τους αριθμούς: √ , √ , √

, √

. Λύση:

√ γιατί

√ γιατί

√

γιατί

√

γιατί


2. Να υπολογίσετε τους αριθμούς: √ √ , √ , √

. Λύση:

√ γιατί

√ γιατί

√ γιατί

√ γιατί

3. Να εξετάσετε την ορθότητα σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

α) √ β) √ γ) √

δ) √

ε) √

στ) √

Λύση:

α) √ Λάθος, γιατί .

β) √ Σωστό, γιατί και

γ) √ Λάθος, γιατί η ισότητα δεν ισχύει για οποιονδήποτε πραγματικό

αριθμό (O αριθμός μπορεί να είναι αρνητικός).

δ) √

Λάθος, γιατί ( ) .

ε) √

Σωστό, γιατί (

)

στ) √ Λάθος, γιατί .


1. Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

√

2. Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

9

√


3. Να υπολογίσετε τους αριθμούς:

√ , √ , √ √

, √

4. Να υπολογίσετε τους αριθμούς: (√ ) , √ , √

, (√

)

5. Να υπολογίσετε τους αριθμούς:

α) √ β) √ γ) √ √

δ) √

ε) √

στ) √

√ √

6. Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα:

√ √ √ √ √

Τι συμπεραίνετε;

7. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων:

α) √ √

β) √ γ) (√

)

δ) √

ε) √

√

√ στ) √( ) √( )

ζ) √ √ η) √ √ √

θ) √ √ √ √

8. Αν και , να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

√ √ √ √ ,

√ √ √ √


ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΡΙΖΩΝ


Να συμπληρώσετε τον πίνακα.

α) Να παρατηρήσετε τα αποτελέσματα των στηλών √ √ και √ .

Να γράψετε τη σχέση που ισχύει λεκτικά και συμβολικά.

β) Να παρατηρήσετε τα αποτελέσματα των στηλών √

√ και √

.

Να γράψετε τη σχέση που ισχύει λεκτικά και συμβολικά.


Να εξετάσετε αν ισχύουν οι πιο κάτω σχέσεις, για κάθε τιμή των αριθμών και .

α) √ √

√

β) √

√ √

√

√

√ √

√

√

√ √


Μαθαίνω

Ιδιότητες Ριζών

Τετραγωνική ρίζα

i. √ √ √ ,

ii. √

√

√ ,

Κυβική ρίζα

iii. √ √

√

iv. √

√

√

Απόδειξη ιδιότητας ( )

Παίρνουμε το κάθε μέλος της ( ) και το υψώνουμε στο τετράγωνο.

(√ ) , .

(√ √ ) (√ )

(√ )

, .

Άρα έχουμε ότι √ √ √ .

Απόδειξη ιδιότητας ( )

Παίρνουμε το κάθε μέλος της ( ) και το υψώνουμε στο τετράγωνο.

(√

)

,

(√

√ )

(√ )

(√ )

,

Άρα έχουμε ότι √

√ √

.

Σημείωση:

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε τις ιδιότητες ( ) και ( ).



1. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις :

α) √

β) √ √

Λύση:

Για να υπολογίσουμε την ρίζα του γινομένου δυο μη αρνητικών αριθμών, πολλαπλασιάζουμε τις τετραγωνικές ρίζες των δύο αριθμών (ιδιότητα ). Δηλ.

α) √ √ √ .

β) √ √ √ √ .


α) √

β) √

√

Λύση:

Για να υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα του πηλίκου δυο θετικών αριθμών (ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι ), διαιρούμε τις ρίζες των δυο αριθμών (ιδιότητα ii). Δηλ.

α) √

√

√

.

β) √

√ =√

√ .


α) √ √

β) √

√

Λύση:

α) √ √

√

√

β) √

√

√

√ √

√


4. Να αντιστοιχίσετε τους αριθμούς της πρώτης στήλης με ένα αριθμό της δεύτερης και

ένα της τρίτης στήλης.

1. √ Α. √ i. √

2. √ Β. √

ii.

√

3. √

Γ. √ iii. √

4. √

Δ. √

iv. √

Λύση:

1Γi, 2Aiii, 3Δii, 4Βiv


1. Να χαρακτηρίσετε με ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον

αντίστοιχο χαρακτηρισμό.

α) √ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

β) √ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

γ) √


δ) √ √ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

ε) √ √ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ

2. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες

των ριζών: √ √

√ .


Πυθαγόρειο Θεώρημα

Εξερεύνηση

Στο διπλανή εικόνα φαίνεται το γραμματόσημο της Ελληνικής Δημοκρατίας που εκδόθηκε στις Αυγούστου του με την ευκαιρία του συνεδρίου για τον Πυθαγόρα. Σε αυτό απεικονίζεται ένα τρίγωνο και τρία τετράγωνα. Να εξετάσετε τη σχέση μεταξύ των εμβαδών των τριών τετραγώνων.


Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο «Ben5_Diereunisi1.ggb», όπως φαίνεται στην πιο κάτω εικόνα. α) Να μετακινήσετε τα σημεία που φαίνονται με μπλε, κόκκινο και πράσινο, για να

αλλάξετε τις διαστάσεις του σχήματος. β) Πόσα σχήματα παρατηρείτε και ποιες οι διαστάσεις τους. γ) Να υπολογίστε τα εμβαδά: , συναρτήσει των ,

και . δ) Να βρείτε ίσα εμβαδά. ε) Να βρείτε μια σχέση που συνδέει τα εμβαδά: , συναρτήσει των , και .

στ) Να βρείτε την σχέση που συνδέει τα εμβαδά: , συναρτήσει των , και .

BEn5_Efarmogidia/BEn5_%20Diereunisi1.ggb




α) Να κατασκευάσετε δύο κάθετες ευθείες και που να τέμνονται σε

σημείο .

β) Να κατασκευάσετε τρίγωνο με το

σημείο στην και το σημείο στην

. (Όπως φαίνεται στο διπλανό

σχήμα)

γ) Να αποκρύψετε τις ευθείες και

δ) Να βρείτε το μήκος των πλευρών του

τριγώνου . ε) Να κατασκευάσετε τρία τετράγωνα,

έξω από το τρίγωνο, με πλευρές τις

, και αντίστοιχα.

στ) Να βρείτε το εμβαδόν των

τετραγώνων.

ζ) Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πινάκα, για διάφορες τιμές των πλευρών:

η) Να βρείτε μια σχέση που συνδέει τα τρία εμβαδά.

θ) Να μετακινήσετε τις κορυφές του τριγώνου , για να διαπιστώσετε

κατά πόσο η σχέση που έχετε ανακαλύψει εξακολουθεί να ισχύει.


Μαθαίνω

Πυθαγόρειο Θεώρημα (Π.Θ.)

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ( ) με υποτείνουσα την και κάθετες πλευρές τις και ισχύει:

Επίσης ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή αν σε τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Πυθαγόρεια τριάδα είναι μια τριάδα φυσικών αριθμών ( ) που συνδέονται με την σχέση .

Οι αριθμοί και αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα όταν φυσικοί

αριθμοί με και .

π.χ. αν , έχουμε ότι: , , . Οι αριθμοί αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα.


1. Να βρεθεί το μήκος σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις.

α)

β)

Λύση: α) Πυθαγόρειο θεώρημα:

√


β) Πυθαγόρειο θεώρημα:

√

2. Να εξετάσετε ποιες από τις πιο κάτω τριάδες αριθμών είναι πυθαγόρειες.

α) 3, 4, 5 ) γ)

Λύση: α) Οι αριθμοί είναι φυσικοί αριθμοί. Άρα, θα πρέπει να ελέγξουμε κατά πόσο

ικανοποιείται η ζητούμενη σχέση.

και και . Άρα, ικανοποιείται η ζητούμενη σχέση δηλαδή οι αριθμοί αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα.

β) Οι αριθμοί δεν είναι φυσικοί και επομένως δεν αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα.

γ) Οι αριθμοί είναι φυσικοί αριθμοί. Άρα, θα πρέπει να ελέγξουμε, αν ικανοποιείται η ζητούμενη σχέση.

και και Άρα, δεν ικανοποιείται η ζητούμενη σχέση δηλαδή οι αριθμοί δεν αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα.

3. Να εξετάσετε κατά πόσο το τρίγωνο με πλευρές , και

είναι ορθογώνιο.

Λύση: Για να είναι ορθογώνιο θα πρέπει να εξεταστεί κατά πόσο ικανοποιείται το Π.Θ. με υποτείνουσα τη μεγαλύτερη πλευρά.

Άρα ισχύει .Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και η ορθή γωνία είναι αυτή που βρίσκεται απέναντι από την υποτείνουσα .


4. Να εξετάσετε κατά πόσο το τρίγωνο με πλευρές , ΒΓ και

είναι ορθογώνιο. Λύση: Για να είναι ορθογώνιο, θα πρέπει να εξεταστεί κατά πόσο ικανοποιείται το Π.Θ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


1. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τετραγώνου στα πιο κάτω σχήματα

α)

β)

2. Η Έλενα και ο Χρίστος εξέτασαν κατά πόσο το τρίγωνο με πλευρές 5, 12, 13 είναι

ορθογώνιο και έδωσαν τις πιο κάτω απαντήσεις. Ποια απάντηση νομίζετε ότι είναι

ορθή; Να εξηγήσετε.


3. Να υπολογίσετε το μήκος σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις.

α)

β)

γ)

4. Να υπολογίσετε το μήκος του σχοινιού που χρησιμοποιεί ο Ανδρέας, για να πετάξει

το χαρταετό του.

5. Να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων τα σημεία και να

εξετάσετε κατά πόσο το τρίγωνο είναι ορθογώνιο σε καθεμιά από τις πιο κάτω

περιπτώσεις.

(α) ( ) ( ) ( )

(β) ( ) ( ) ( )

6. Να υπολογίσετε το εμβαδόν και την περίμετρο των πιο κάτω σχημάτων:

α)

β)


7. Ο Κύριος Τάσος τοποθέτησε τη σκάλα του μήκους σε απόσταση από τη

βάση του τοίχου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογίσετε το ύψος που έχει η

κορυφή της σκάλας από το έδαφος.

8. Στη διπλανή φωτογραφία φαίνεται η γέφυρα που ενώνει το Ρίο με το Αντίρριο και η οποία στηρίζεται σε πυλώνες. Από την κορυφή κάθε πυλώνα ξεκινούν καλώδια που καταλήγουν στο κατάστρωμα της γέφυρας. Το ύψος του πυλώνα είναι και το πιο μεγάλο καλώδιο καταλήγει σε απόσταση από τη βάση του πυλώνα (σημείο ). Να υπολογίσετε το μήκος του καλωδίου.

9. Ένας οικοδόμος, για να σχηματίσει ορθή γωνία, κόβει τρία ξύλα μήκους ,

και . Στη συνέχεια με αυτά σχηματίζει ένα τρίγωνο. Να εξηγήσετε γιατί είναι

σίγουρος ότι έχει σχηματίσει ορθή γωνία.

10. Να εξετάσετε κατά πόσο το τρίγωνο είναι ορθογώνιο σε καθεμιά από τις πιο

κάτω περιπτώσεις. Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, να εντοπίσετε την ορθή γωνία.

α) . β) . γ) .


11. Να αποδείξετε ότι ο περίφημος πύργος της Πίζας που έχει ύψος , δεν είναι

τοποθετημένος σε όρθια θέση.

12. Να βρείτε τρεις διαφορετικές πυθαγόρειες τριάδες, χρησιμοποιώντας τους

τύπους και όπου ,

και

13. Οι Αιγύπτιοι από το ονόμαζαν «Αρπεδόνη» ένα απλό εργαλείο που το

χρησιμοποιούσαν για να σημαδεύουν πάνω στη γη ορθές γωνίες και

«αρπεδονάπτες»

λέγονταν αυτοί

που το

χρησιμοποιούσαν

και είχαν τον ρόλο

του τοπογράφου

της εποχής. Το εργαλείο τους ήταν ένα σχοινί με δώδεκα δεμένους κόμπους και

τέσσερα καρφιά. Οι κόμποι μεταξύ τους σχημάτιζαν ίσα ευθύγραμμα τμήματα και

ήταν τοποθετημένα στα σημεία και , όπως φαίνεται στο Σχήμα1.

Κάρφωναν τα δύο πρώτα καρφιά στις θέσεις και

ώστε το σχοινί να είναι τεντωμένο,

μετακινούσαν το ώστε να ταυτιστεί με το και στη

συνέχεια μετακινούσαν το ώστε να τεντώσουν τα

τμήματα και (όπως φαίνεται στο Σχήμα 2).

Να εξηγήσετε γιατί το τρίγωνο που κατασκεύαζαν με

τον τρόπο αυτό είναι ορθογώνιο, με ορθή τη γωνία

στην κορυφή .

Σχήμα1

Σχήμα2


Άρρητοι Αριθμοί


Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο «BΕn5ArritoiDiereynhsh.ggb» και να απαντήσετε στα πιο κάτω ερωτήματα.

α) Ποιο είναι το είδος του

τριγώνου , ως προς τις γωνίες και τις πλευρές του;

β) Να υπολογίσετε το μήκος της υποτείνουσας του τριγώνου.

γ) Να μετακινήσετε προς τα δεξιά το δρομέα «ΒΗΜΑΤΑ», έτσι ώστε να μεταφέρετε την υποτείνουσα του τριγώνου στην ευθεία των πραγματικών αριθμών.

δ) Mε τη βοήθεια του εργαλείου «Μεγέθυνση», να βρείτε την τετμημένη του σημείου (μήκος του ).

ε) Ποια είναι η σχέση του με την τετμημένη του σημείου . στ) Να εξετάσετε κατά πόσο τα μήκη των πλευρών του τριγώνου επαληθεύουν το

πυθαγόρειο θεώρημα. (Η επαλήθευση να γίνει με τη χρήση υπολογιστικής μηχανής).


Δίνεται ο διπλανός πίνακας με την τιμή του αριθμού στην πρώτη στήλη και την αντίστοιχη τιμή του στη δεύτερη στήλη. α) Να συμπληρώσετε την πρώτη στήλη του πίνακα. Αν δεν μπορείτε

να βρείτε ακριβώς την απάντηση, να βρείτε μια προσέγγιση της απάντησής σας, με ακρίβεια ενός δεκαδικού ψηφίου.

β) Να εξηγήσετε πώς υπολογίσατε την ακριβή απάντηση στις τέσσερις πρώτες τιμές του .

γ) Να εξηγήσετε πώς υπολογίσατε την προσέγγιση στην απάντησή σας στις τέσσερις τελευταίες τιμές του .

x x2

25

49

196

225

8

12

65

110

BEn5_Efarmogidia/BEn5_ArritoiDierevnisi.ggb


Μαθαίνω

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, ονομάζεται άρρητος αριθμός.

Ένας άρρητος αριθμός είναι ένας αριθμός ο οποίος δεν μπορεί να γραφεί ως λόγος

,

όπου και είναι ακέραιοι και ο .

π.χ. √ , √

Για να προσεγγίσουμε τον αριθμό √ , παρατηρούμε διαδοχικά ότι:

……………..

Η τετραγωνική ρίζα κάθε θετικού πραγματικού αριθμού υπολογίζεται με τη χρήση

υπολογιστικής μηχανής, χρησιμοποιώντας το πλήκτρο:

Π.χ. Για τον υπολογισμό της √ πατούμε διαδοχικά τα πλήκτρα:

Στην οθόνη θα εμφανιστεί η απάντηση: (εδώ με ακρίβεια 12 δεκαδικών ψηφίων)


Το σύνολο των ρητών αριθμών και το σύνολο των άρρητων αριθμών μαζί, σχηματίζουν

το σύνολο των πραγματικών αριθμών που συμβολίζεται με .

( )


1. Να υπολογίσετε την √ με ακρίβεια ακέραιας μονάδας.

Λύση:

Ο μεγαλύτερος τετράγωνος αριθμός μικρότερος από το 23,5 είναι το 16.

(√ ).

Ο μικρότερος τετράγωνος αριθμός μεγαλύτερος από το είναι το 25.

(√ ).

( )

( )

√ √ √ ( )

√

Άρα, η τετραγωνική ρίζα είναι ανάμεσα στο και στο Ο είναι πιο κοντά στο

παρά στο άρα η προσέγγιση σε ακέραια μονάδα είναι το .

𝛷𝜐𝜎𝜄𝜅𝜊 𝛼𝜌𝜄𝜃𝜇𝜊 ( )

𝛢𝜌𝜌𝜂𝜏𝜊 𝛼𝜌𝜄𝜃𝜇𝜊 ( ℚ)

𝛲𝜂𝜏𝜊 𝛼𝜌𝜄𝜃𝜇𝜊 (ℚ)

𝛢𝜅έ𝜌𝛼𝜄𝜊𝜄 𝛼𝜌𝜄𝜃𝜇𝜊 (ℤ)


2. Το χρυσό ορθογώνιο εμφανίζεται συνέχεια στην κατασκευή του Παρθενώνα. Το μήκος

της μεγαλύτερης πλευράς του διαιρούμενο με το μήκος της μικρότερης πλευράς του

είναι ίσο με √

. Να υπολογίσετε την τιμή αυτή.

Λύση:

Αρχικά θα υπολογίσουμε την √ .

( έ )

( )

√ √ √ ( )

√

( )

√ √ √ ( )

√

√

έ √


1. Να υπολογίσετε στην πλησιέστερη ακέραια μονάδα τους αριθμούς:

α) √ β) √ γ) √

δ) √ ε) √ στ) √


2. Η ακτίνα ενός κυκλικού ταψιού πίτσας με εμβαδόν είναι περίπου ίση με √

. Αν μια

πίτσα έχει εμβαδόν περίπου τετραγωνικά εκατοστά, να υπολογίσετε κατά

προσέγγιση ακεραίας μονάδας την ακτίνα της.

3. Να τοποθετήσετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς:

α) 7, 9, √ , √

β) √ , 7, 5, √

γ) √ , 6, √ , 8

4. Να βάλετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς , , , , , , √ .

5. Να βρείτε δύο αριθμούς οι οποίοι έχουν τετραγωνικές ρίζες ανάμεσα στο και το . Ο

ένας αριθμός έχει τετραγωνική ρίζα πιο κοντά στο , ενώ ο άλλος έχει τετραγωνική ρίζα

πιο κοντά στο . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

6. Να τοποθετήσετε στην ευθεία των πραγματικών αριθμών τους πιο κάτω αριθμούς:

√ √ √ √

7. Να αντικαταστήσετε το με ένα από τα σύμβολα για να δημιουργηθούν

αληθείς προτάσεις.

α) √

β) √ γ) √

δ) √ ε) √

στ)

8. Να υπολογίσετε τους πιο κάτω αριθμούς με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων,

χρησιμοποιώντας υπολογιστική μηχανή.

α) √ β) √ γ) √

δ) √ ε) √

9. Να εξετάσετε σε ποια σύνολα αριθμών ( ℤ ℚ ℚ) ανήκει ο καθένας από

τους πιο κάτω αριθμούς:

α) β) γ)

δ) √

ε) √ στ)

ζ) η) √


10. Να εξετάσετε κατά πόσο η πρόταση “Όλες οι τετραγωνικές ρίζες είναι άρρητοι αριθμοί”

είναι αληθής και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

11. Ποιος από τους αριθμούς √ √ √ √ θα μπορούσε να

αντιπροσωπεύει το σημείο που είναι σημειωμένο στην ευθεία των πραγματικών

αριθμών;

12. Να διορθώσετε το λάθος που έγινε στον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας στις πιο

κάτω περιπτώσεις. Να περιγράψετε τον τρόπο που εργαστήκατε.

α) √

β) √

13. Η διπλανή τηλεόραση (LCD) έχει μήκος 2 ίντσες* και

πλάτος 12 ίντσες*. Να βρείτε τη διαγώνιο .

Χρήσιμη πληροφορία: Όταν μια τηλεόραση

χαρακτηρίζεται π.χ. 40 ιντσών εννοείται ότι ο αριθμός αυτός

δηλώνει το μήκος της διαγωνίου της και όχι το μήκος της

πλευράς της!

(*η ίντσα είναι μία άλλη μονάδα μέτρησης και μία ίντσα

αντιστοιχεί με 2,51 cm)

14. Να υπολογίσετε το ύψος του δένδρου.

15. Πόση είναι η απόσταση του αεροπλάνου από το πλοίο στο σχήμα;


16. Την καλοκαιρινή περίοδο το μικρό νησάκι που φαίνεται στην εικόνα συνδέεται

ατμοπλοϊκά με τα λιμάνια , και . Να υπολογίσετε την απόσταση του νησιού από το

κάθε λιμάνι.

17. Στον άξονα των πραγματικών αριθμών έχουμε τοποθετήσει τα σημεία και .

Στις πιο κάτω περιπτώσεις να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση.

α) Ο αριθμός √ , στην ευθεία των πραγματικών αριθμών, βρίσκεται κοντά στο

σημείο:

β) Ο αριθμός √ βρίσκεται κοντά στο σημείο:

γ) Ο αριθμός √ βρίσκεται κοντά στο σημείο:

δ) Ο αριθμός √ βρίσκεται κοντά στο σημείο:


Δραστηριότητες ενότητας

1. Να υπολογίσετε τις ρίζες:

2. Στις πιο κάτω προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση, αν χ είναι θετικός

αριθμός.

Α Β Γ Δ Ε α) Αν √ , τότε Τίποτα από τα

προηγούμενα

β) Αν √ , τότε Τίποτα από τα προηγούμενα

γ) Αν √ , τότε Τίποτα από τα προηγούμενα

δ) Αν √ , τότε Τίποτα από τα προηγούμενα

3. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων:

α) (√ ) (√ )

β) (√ ) (√ )

(√ )

γ) √ √

4. Να δείξετε ότι:

α) √ √ √ √ β) √ √ √

γ) √ √ √ √ δ) √√

√

α) √ β) √

γ) √ δ) √( )

ε) √

στ) √

ζ) √ √

η) √


5. Να υπολογίσετε το στο σχήμα:

6. α) Να ενώσετε τέσσερις κουκκίδες, για να σχηματίσετε ένα τετράγωνο με εμβαδόν:

i. ii. .

β) Να κατασκευάσετε ένα τετράγωνο με διαγώνιο .

7. Να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα του αριθμού √ με ακρίβεια δεκαδικών

ψηφίων.

8. Να συγκρίνετε τους πιο κάτω αριθμούς, χρησιμοποιώντας τα σύμβολα .

√ √ √ √ √ √

9. Να τοποθετήσετε σε αριθμητική γραμμή τους πιο κάτω αριθμούς από το μικρότερο

στο μεγαλύτερο.

√


10. Να υπολογίσετε τη τιμή του σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις:

(α)

(β)

(γ)

11. Να υπολογίσετε τις τιμές των και σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις:

(α)

(β)

(γ)

(δ)

12. Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ισόπλευρου τριγώνου που έχει πλευρά .

13. Με τη βοήθεια του πιο κάτω σχήματος να υπολογίσετε την απόσταση που έχουν

μεταξύ τους οι δύο βάρκες που βρίσκονται στις θέσεις και .



1. Να αποδείξετε τις πιο κάτω ιδιότητες που αφορούν την κυβική ρίζα:

i. √ √

√

ii. √

√

√

2. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου χρησιμοποιούμε τον

τύπο √

, όπου είναι το μήκος της πλευράς του τριγώνου. Να υπολογίσετε

την πλευρά ισόπλευρου τριγώνου, αν το εμβαδόν του είναι ίσο με √ .

3. Να κατασκευάσετε γεωμετρικά τις τετραγωνικές ρίζες των αριθμών .

4. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα χάρτινο κιβώτιο με μήκος , πλάτος και ύψος . Να υπολογίσετε τη διαγώνιο .

5. Οι μηχανικοί θέλουν να υπολογίσουν το μήκος μίας υπόγειας σήραγγας που περνά μέσα από ένα βουνό, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα (υψομετρικό σχέδιο). Έχουν μετρήσει από ένα σημείο την απόσταση της εισόδου ( ) και την απόσταση της εξόδου ( ) Αν , να υπολογίσετε με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων το μήκος της σήραγγας ( )


6. Το ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές , και , χρησιμοποιείται, για να κατασκευαστούν τα σχήματα και . Να επεξηγήσετε γιατί τα σχήματα και αποτελούν οπτικές αναπαραστάσεις της απόδειξης του πυθαγόρειου θεωρήματος.

α

β γ

N

M

Σχήμα 1 Σχήμα 2

7. Να υπολογίσετε τις τετραγωνικές ρίζες των αριθμών: 6 , ,

και . Τι παρατηρείτε; Να περιγράψετε έναν τρόπο, χρησιμοποιώντας ένα μοτίβο, για να βρείτε την τετραγωνική ριζά του .

8. Να υπολογίσετε πόσο μεγαλύτερη είναι η περίμετρος ενός τετραγώνου με εμβαδόν από ένα τετράγωνο με εμβαδόν .

9. Ομαδική εργασία: Ξετυλίγοντας την Σπείρα των Ριζών μπορούμε να κατασκευάσουμε τη γραφική παράσταση μιας απλής εξίσωσης στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Διαδικασία:

i. Να κόψετε προσεκτικά κάθε τρίγωνο από τη Σπείρα των Ριζών που δίνεται

πιο κάτω.


i. Να τοποθετήσετε σε σειρά τα τρίγωνα, σε ορθογώνιο σύστημα

συντεταγμένων, έτσι ώστε η πλευρά με μήκος να είναι πάνω στον άξονα

των και η υποτείνουσα στα αριστερά, όπως φαίνεται στο σχήμα που

δίνεται πιο κάτω.

ii. Να σημειώσετε στο σύστημα των συντεταγμένων ένα σημείο στην πάνω

κορυφή κάθε τριγώνου και να ενώσετε τα σημεία αυτά με μια ομαλή

καμπύλη.

iii. Να σημειώσετε ένα σημείο πάνω στην καμπύλη που έχει τετμημένη

.

iv. Να βρείτε την τεταγμένη του σημείου .

v. Ποια είναι η σχέση που συνδέει τις συντεταγμένες του σημείου ;

10. Εργασία Έρευνας : Σύνδεση του συνεχούς κλάσματος, της σειράς και του χρυσού ορθογώνιου.

Συνεχές Κλάσμα

Η ακολουθία

Το Χρυσό Ορθογώνιο

Ο λόγος των πλευρών του «χρυσού ορθογωνίου»

είναι: (1+√5)/2

Βήμα 1

Οι τρεις τελείες στο συνεχές κλάσμα δείχνουν ότι το μοτίβο συνεχίζεται

απεριόριστα. Για να καταλάβουμε καλύτερα ποιον αριθμό προσεγγίζει το συνεχές

κλάσμα, μπορούμε να ξεκινήσουμε με τους πρώτους όρους της παράστασης.

Να γράψετε τις πιο κάτω παραστάσεις στην πιο απλή μορφή κλάσματος:


Βήμα 2

Να συγκρίνετε τις απαντήσεις από τις κλασματικές παραστάσεις στο προηγούμενο

βήμα με τη σειρά . Με βάση την παρατήρησή σας, να απλοποιήσετε την

επόμενη παράσταση χωρίς να κάνετε πράξεις.

Βήμα 3

Να συνεχίσετε την ακολουθία των κλασμάτων που γράψατε στα βήματα και

μέχρι τον ένατο όρο. Να μετατρέψετε καθένα από τους αριθμούς αυτούς σε

δεκαδικό με ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων.

Βήμα

Να υπολογίσετε μια δεκαδική προσέγγιση, με χρήση υπολογιστικής μηχανής, του

Χρυσού Λόγου √

, με ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων.

Βήμα 5

Να συγκρίνετε τα αποτελέσματα στα βήματα και και να κάνετε μια πρόβλεψη

του αριθμού που προσεγγίζει το συνεχές κλάσμα.

11. Να μελετήστε την πιο κάτω απόδειξη και ακολούθως να αποδείξετε ότι ο αριθμός √ είναι άρρητος αριθμός

Απόδειξη ότι ο αριθμός √ είναι άρρητος αριθμός. Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο απόδειξης που είναι γνωστή ως μέθοδος της «εις

άτοπον απαγωγής». (Αρχικά υποθέτουμε ότι η αντίθετη της πρότασης είναι αληθής

και με λογικές συνεπαγωγές οδηγούμαστε σε ένα άτοπο αποτέλεσμα).

Θεωρούμε ότι ο αριθμός √ είναι ρητός, δηλαδή μπορεί να γραφεί στη μορφή

ρητού αριθμού √

ℤ και ( ) . Επομένως √

√ . Υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη έχουμε ότι:


(√ ) , δηλαδή έχουμε ότι ( )

Επειδή οι είναι πρώτοι μεταξύ τους συμπεράνουμε ότι το | , που μας δίνει

, όπου ℤ. Αντικαθιστώντας στην ( ) έχουμε ότι ( )

( ). Από την ( ) έχουμε ότι | .

Αποδείξαμε δηλαδή, ότι | και | το οποίο είναι άτοπο επειδή ο μέγιστος

κοινός διαιρέτης του είναι το 1.

Από αυτό συμπεραίνουμε ότι η αρχική υπόθεση είναι λάθος, δηλαδή ο αριθμός √

δεν είναι ρητό. Άρα, είναι άρρητος.

Απαντήσεις Ασκήσεων Β΄ γυμνασίου

A΄ τεύχους

2 Απαντήσεις ασκήσεων Α΄ τεύχους Β΄ γυμνασίου.

Δραστηριότητες σελ. 2-11

1) Θα συναντηθούν σε 12 λεπτά. Ο Γιάννης θα έχει κάνει 4 γύρους, ο Γιώργος 2 γύρους και ο Κώστας 3 γύρους.

2) , , ,

,

3) Μπορούν να γίνουν το πολύ 18 όμοια δέματα με 6 τετράδια, 1 βιβλίο και 3 μολύβια.

4) …

5) αμβλεία μηδενική

μη κυρτή ορθή

ευθεία μη κυρτή

μη κυρτή αμβλεία

6) α) β) γ)

δ) ε) στ)

7) Γωνία με μέτρο

8) Γωνία με μέτρο

9) α) οξεία β) αμβλεία γ) ορθή

10) Ευθ. Τμήμα Ακτίνα Διάμετρος Χορδή

ΟΑ

ΟΒ

ΒΓ

ΑΒ

ΑΕ

ΕΓ

11) α) , β) γ)

δ) , ε) στ)

12)

13) a) Λάθος β) Ορθό γ) Ορθό

δ) Λάθος ε) Ορθό στ) Λάθος

14) a) +2 β) +7 γ) +20

δ) -10 ε) +30 στ) +40

15) a) 15 β) 15 γ) 15

δ) 11 ε) -13 στ) -2

16) a) 104 β) 7 γ) 3 δ) 11 ε) -2 στ)

ζ) -2 η) 4,25 θ)

ι) 2 ια) 7


17)

α) Θερμοκρασία Αριθμός Ημερών

4

5

6

4

3

6

2

β)

i. 9 ii. 11

iii. 15

18) a) 45 β) 12 γ) 17 δ) 47 ε) 4

19) a) 600 β)

γ) 14%

20) Είδος Μουσικής Αριθμός Μαθητών

ποπ 100

ροκ 200

λαϊκό 150

έντεχνο 100

άλλο 50

21) Ομάδα Αίματος

Αριθμός Μαθητών

Α 15

Β 12

ΑΒ 10

8

5

22) α) ( )

β) ( )

γ) ( )

δ) ( )

23)

23) 5 άριστοι

(λόγω τυπογραφικού λάθους δύο ασκήσεις έχουν γραφεί σε μία)

α) ( )

β) ( )

γ) ( )

δ) ( ) ε) ( )

24) Τα κορίτσια είναι 18.

25) …

26) α) β) Η ταχύτητά του είναι 89,6 μέτρα ανά λεπτό.


27) α) ν Πλήθος

δέντρων μηλιάς

Πλήθος

κυπαρισσιών

1 1 8

2 4 16

3 9 24

4 16 32

5 25 40

β) γ) Μηλιές

28) α) Η ελάχιστη 80 και η μέγιστη 137. β) Δ. 12 γ) 65 ζεντ για τη σανίδα, 14 για τους τροχούς, 16 για τους άξονες και 20 για τα

εξαρτήματα.

29) Σχέδιο Α: Ναι, Σχέδιο Β: Όχι Σχέδιο Γ: Ναι, Σχέδιο Δ: Ναι

30) 15 - 20 - 26 - 34 – 45


1)

( ) ( ) ( )

, και

2) α) ΝΑΙ β) ΟΧΙ γ) ΟΧΙ

δ) ΝΑΙ ε) ΝΑΙ στ) ΟΧΙ

3) «ΕΛΛΑΔΑ»

4) α) ΟΡΘΟ β) ΛΑΘΟΣ γ) ΟΡΘΟ δ) ΟΡΘΟ

ε) ΛΑΘΟΣ στ) ΟΡΘΟ ζ) ΛΑΘΟΣ

5) Τα σύνολα και είναι ισοδύναμα.

7) οι μήνες του καλοκαιριού τα φωνήεντα της λέξης «Δανιήλ» .

8) Πεπερασμένα: και . Απειροσύνολα: και .

9) Τα σύνολα και είναι ισοδύναμα. Τα σύνολα και είναι ισοδύναμα.

Τα σύνολα και είναι ίσα.

10) α) β)

γ)

Δραστηριότητες σελ. 22

1) α) β) γ) δ)

2)


, .

4)


1) , , .

2) α)

β)

3) α)

β)

4) α) Δ β) Β γ) Β δ) Α

5) α) β)

γ) δ)

6) α) β) γ) δ) ( )

7) α) ΟΡΘΟ β) ΛΑΘΟΣ

γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΛΑΘΟΣ

ε) ΟΡΘΟ στ) ΟΡΘΟ

ζ) ΛΑΘΟΣ

8) Μιλούν και τις τρείς γλώσσες 15 άτομα.

Δραστηριότητες Ενότητας σελ.31

1) α) ΟΡΘΟ β) ΛΑΘΟΣ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΛΑΘΟΣ

ε) ΛΑΘΟΣ στ) ΟΡΘΟ ζ) ΛΑΘΟΣ

2) α) 7 β) 17 γ) 3

5) α) β) γ)

Α Β Ω

.1 .5 .7 .6 .10

.3 .9 .8

Α Β Ω

.1 .4 .2 .10 .7 .8 .6

.9 .5 .3


6)

Δραστηριότητες Εμπλουτισμού σελ.32

1) α) ΑΛΗΘΕΙΣ β) ΑΛΗΘΕΙΣ γ) ΑΛΗΘΕΙΣ

3) Χρησιμοποιούσαν 10 παιδία και τα τρία μέσα συγκοινωνίας.

Δραστηριότητες σελ.36-37

1) Μονώνυμα είναι οι αλγεβρικές παραστάσεις:

, , ,

.

2) Το με το το με το και το με το

3) Μονώνυμο Συντελεστής Κύριο μέρος

4)

5) α) β)

6) , για

, για

, για

Δραστηριότητες σελ.40

1) A

2) α) ΛΑΘΟΣ β) ΛΑΘΟΣ γ) ΛΑΘΟΣ

δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ στ) ΣΩΣΤΟ

3) α) β) γ)

δ) ε) στ)

ζ) η)

4) α) β)

γ) δ)


*στο βιβλίο αναφέρεται σαν άσκηση 5.

5) α) β)

6) α) β) γ)


1) α) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΣΩΣΤΟ

δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΛΑΘΟΣ στ) ΣΩΣΤΟ

2) Β

3) α) β) γ)

δ) ε) στ)

ζ) η)

4) * α) β) , 135


1)

2) α) β) γ)

δ) ε) στ)

3) α) 1 β)

γ) δ)

4) α) ( ) β) ( )( ) γ) ( )

δ) ( √ )( √ )

6) ( )

7) i. ii.

8)

9) α) β) γ)

Δραστηριότητες Ενότητας σελ. 51-52

1) α) β) γ)

δ) ε) στ)

ζ) η)

2) α) β)

γ) δ)


3)

4) .

5) Είναι τετράγωνο.

Δραστηριότητες Εμπλουτισμού σελ.53-54

1)

2) β)

3) Εισπράξεις –

Η αύξηση της τιμής κατά θα αυξήσει τις εισπράξεις.

Εισπράξεις:

Η αύξηση της τιμής κατά θα μειώσει τις εισπράξεις.

Εισπράξεις:

7) α) β) γ)


1) α) ΣΩΣΤΟ β) ΛΑΘΟΣ γ) ΛΑΘΟΣ

δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ

2) α) β) γ) δ)

3)

4)

5)


1) α)

β)

γ)

δ)

ε)

στ)

2) α) ( )

β)

3) α) β) Χιονίζει 6 μήνες (D=180) το χρόνο σε υψόμετρο

Χιονίζει κάθε μέρα (D=360) σε υψόμετρο .


Δραστηριότητες σελ.66-68

1) α) Αν β) Αν

γ) Αν δ) Αν

ε) Αν ε) Αν

στ) Αν ζ) Αν

2) α) ΣΩΣΤΟ β) ΛΑΘΟΣ γ) ΣΩΣΤΟ δ) ΣΩΣΤΟ

ε) ΛΑΘΟΣ στ) ΛΑΘΟΣ ζ) ΛΑΘΟΣ

3)

α)

β) γ) Όχι δ) Άπειρες

4) α) β) γ) δ)

5) α) β) Π.χ.:

6) α) β) γ) δ) ε) α

7)

8) Λύσεις:

9) α) 48 γιατί θα υπερχειλείσει β) Πριν τις

10)

11) α) β)

12) α) β) γ)

δ) . ε) Δεν υπάρχουν κοινές λύσεις.

Δραστηριότητες ενότητας σελ.68-69

1) α) β)

2) α) β) γ)

δ)

ε) στ) ζ)

3) α) β) γ)

4)

5) α)

β) √


6) α) β) γ) δ)

7) αριθμός προϊόντων

Δραστηριότητες Εμπλουτισμούς σελ.69-70

1)

2)

3) Το πολύ βαρέλια.

4) Το “πακέτο Β” συμφέρει αν ο χρόνος ομιλίας υπερβαίνει τις .

5)


1) α) Ο β) Ο γ) Ο

2) α) Π.χ. β) γ) +3

5) Υπάρχουν άξονες συμμετρίας στις σημαίες των Μπαχάμων, της Ελβετίας, του Παλαού, και της Δανίας.


1)

2)

3)

5)

6)

7) ) ) ) )


1) α) λάθος β) ορθό γ) λάθος δ) λάθος ε) ορθό στ) ορθό

6)


Δραστηριότητα σελ. 91

α)

β)


1) ( ) δεν υπάρχει ! ( ) ( ) ( ) ( )

8) α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Λάθος

16) Ένα άξονα συμμετρίας: Ισοσκελές τρίγωνο

Περισσότερους άξονες συμμετρίας: Ορθογώνιο

17)

Δραστηριότητες Εμπλουτισμού σελ. 91-93

1) α) ( ) β) 5 γ) δεν είναι ύψος

2) α) ισόπλευρο β) ισοσκελές

3) Ίση απόσταση θα διανύσει και προς τις δύο πλευρές

6) Μια φορά ως προς άξονα και μια ως προς κέντρο


1) 0 1 49 81 400 2500

√ 0 1 7 9 20 50

2) 0 1 27 125 729 1000

√

0 1 3 5 9 10

3)

4) 16 13 9 10

5) α) 10 β) 26 γ) 19 δ) 2 ε) 8 στ) 7


6) √ √ √ √ √

3 4 7 5

8 6 14 10

7) α) 5 β) 3 γ) 5/3 δ) 5/6 ε) 3 στ) 12 ζ) -4 η) 2 θ) 4

8)

Δραστηριότητες σελ. 105

1) α) ΣΩΣΤΟ β) ΛΑΘΟΣ γ) ΛΑΘΟΣ

δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ

2) 9


1) α) β)

2) Του Χρίστου.

3) α) β) γ)

4) 5) α) Ναι β) Ναι

6) α) , β)

7)

8)

10) α) Είναι με ορθή την β) α) Είναι με ορθή την

12) Π.χ.

i. για και η πυθαγόρεια τριάδα είναι η ii. για και η πυθαγόρεια τριάδα είναι η

iii. για και η πυθαγόρεια τριάδα είναι η


1) α) β) γ) δ) ε) στ)


2) Ακτίνα

3) α) √ √ β) √ √ γ) √ √

4) √

5) Π.χ. 50 και 63 (√ √ )

6)

7) α) √

β) √ γ) √

δ) √ ε) √

8) α) √ β) √ γ) √

0,63

δ) √ ε) √

9) Στο ανήκουν οι αριθμοί:

Στο ανήκουν οι αριθμοί:

√

Στο ανήκουν οι αριθμοί:

√

Στο ανήκουν οι αριθμοί: √ √

Στο ανήκουν οι αριθμοί: όλοι

10) Λάθος

11) √

12) α) √

β) √

13) √

14) √

15) √

16) √ √ √

17) α) Δ β) Ε γ) Γ δ) Β


1) α) β)

γ) δ)

ε) 5 στ) ζ) η)

2) α) β) γ) δ)

3) α) β) γ)


5)

7) √

8) √ √ √ √ √ √

9)

10) α) √ β) √ γ) √

11) α) √ β) √

γ) √ √ δ) √ √

12) √

13)

Δραστηριότητες Εμπλουτισμού σελ. 124-128

2)

4) √

5) √

8) H περίμετρος του μεγαλύτερου τετραγώνου είναι κατά √ μεγαλύτερη από την περίμετρο του μικρότερου τετράγωνου.

Μαθηματικά Β Γυμνασίου (Τεύχος Α) - με απαντήσεις

Documents