Βασικες γνωσεις μαθηματικων απο το Γυμνασιο
DESCRIPTION
Ιδιοτητες αριθμων και παραστασεων απο τα μαθηματικα ΓυμνασιουTRANSCRIPT
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Αποστόλου Γεώργιος
Μαθηµατικός
ΙΩΑΝΝΙΝΑ
12 ∆εκεµβρίου 2013
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 1 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Βασικές Γνώσεις
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 2 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Περιεχόµενα
1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 2 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Για την πρόσθεση
www.study4maths.gr
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 3 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ερώτηση 1η
Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 4 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες της πρόσθεσης
α + β = β + α αντιµεταθετική ιδιότητα
π.χ.
2 + 3 = 3 + 2 = 5
α + (β + γ) = (α + β) + γ προσεταιριστική ιδιότητα
π.χ.
2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 = 9
α + 0 = 0 + α = α το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.
π.χ.
2 + 0 = 0 + 2 = 2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 5 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες της πρόσθεσης
α + β = β + α αντιµεταθετική ιδιότητα
π.χ.
2 + 3 = 3 + 2 = 5
α + (β + γ) = (α + β) + γ προσεταιριστική ιδιότητα
π.χ.
2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 = 9
α + 0 = 0 + α = α το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.
π.χ.
2 + 0 = 0 + 2 = 2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 5 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες της πρόσθεσης
α + β = β + α αντιµεταθετική ιδιότητα
π.χ.
2 + 3 = 3 + 2 = 5
α + (β + γ) = (α + β) + γ προσεταιριστική ιδιότητα
π.χ.
2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 = 9
α + 0 = 0 + α = α το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.
π.χ.
2 + 0 = 0 + 2 = 2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 5 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες της πρόσθεσης
α + β = β + α αντιµεταθετική ιδιότητα
π.χ.
2 + 3 = 3 + 2 = 5
α + (β + γ) = (α + β) + γ προσεταιριστική ιδιότητα
π.χ.
2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 = 9
α + 0 = 0 + α = α το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.
π.χ.
2 + 0 = 0 + 2 = 2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 5 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες της πρόσθεσης
α + (−β) = α − β αφαίρεση.
π.χ.
3 + (−2) = 3 − 2
α − α = −α + α = 0 αντίθετοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν άθροισµα 0.
π.χ.
2 − 2 = −2 + 2 = 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 6 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες της πρόσθεσης
α + (−β) = α − β αφαίρεση.
π.χ.
3 + (−2) = 3 − 2
α − α = −α + α = 0 αντίθετοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν άθροισµα 0.
π.χ.
2 − 2 = −2 + 2 = 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 6 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες της πρόσθεσης
α + (−β) = α − β αφαίρεση.
π.χ.
3 + (−2) = 3 − 2
α − α = −α + α = 0 αντίθετοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν άθροισµα 0.
π.χ.
2 − 2 = −2 + 2 = 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 6 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ερώτηση 2η
Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασµού;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 7 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες πολλαπλασιασµού
Αντιµεταθετική ιδιότητα α ⋅ β = β ⋅ απ.χ.
2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 = 6
Προσεταιριστική ιδιότητα α ⋅ (β ⋅ γ) = (α ⋅ β) ⋅ γπ.χ.
2 ⋅ (3 ⋅ 4) = (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 24
α ⋅ 0 = 0 ⋅ α = 0
π.χ.
2 ⋅ 0 = 0 ⋅ 2 = 0
Το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού α ⋅ 1 = 1 ⋅ α = απ.χ.
2 ⋅ 1 = 1 ⋅ 2 = 2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 8 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες πολλαπλασιασµού
Αντιµεταθετική ιδιότητα α ⋅ β = β ⋅ απ.χ.
2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 = 6
Προσεταιριστική ιδιότητα α ⋅ (β ⋅ γ) = (α ⋅ β) ⋅ γπ.χ.
2 ⋅ (3 ⋅ 4) = (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 24
α ⋅ 0 = 0 ⋅ α = 0
π.χ.
2 ⋅ 0 = 0 ⋅ 2 = 0
Το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού α ⋅ 1 = 1 ⋅ α = απ.χ.
2 ⋅ 1 = 1 ⋅ 2 = 2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 8 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες πολλαπλασιασµού
Αντιµεταθετική ιδιότητα α ⋅ β = β ⋅ απ.χ.
2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 = 6
Προσεταιριστική ιδιότητα α ⋅ (β ⋅ γ) = (α ⋅ β) ⋅ γπ.χ.
2 ⋅ (3 ⋅ 4) = (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 24
α ⋅ 0 = 0 ⋅ α = 0
π.χ.
2 ⋅ 0 = 0 ⋅ 2 = 0
Το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού α ⋅ 1 = 1 ⋅ α = απ.χ.
2 ⋅ 1 = 1 ⋅ 2 = 2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 8 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες πολλαπλασιασµού
Αντιµεταθετική ιδιότητα α ⋅ β = β ⋅ απ.χ.
2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 = 6
Προσεταιριστική ιδιότητα α ⋅ (β ⋅ γ) = (α ⋅ β) ⋅ γπ.χ.
2 ⋅ (3 ⋅ 4) = (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 24
α ⋅ 0 = 0 ⋅ α = 0
π.χ.
2 ⋅ 0 = 0 ⋅ 2 = 0
Το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού α ⋅ 1 = 1 ⋅ α = απ.χ.
2 ⋅ 1 = 1 ⋅ 2 = 2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 8 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες πολλαπλασιασµού
Αντιµεταθετική ιδιότητα α ⋅ β = β ⋅ απ.χ.
2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 = 6
Προσεταιριστική ιδιότητα α ⋅ (β ⋅ γ) = (α ⋅ β) ⋅ γπ.χ.
2 ⋅ (3 ⋅ 4) = (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 24
α ⋅ 0 = 0 ⋅ α = 0
π.χ.
2 ⋅ 0 = 0 ⋅ 2 = 0
Το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού α ⋅ 1 = 1 ⋅ α = απ.χ.
2 ⋅ 1 = 1 ⋅ 2 = 2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 8 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες πολλαπλασιασµού
∆ιαίρεση α ⋅ ( 1
β) = α
β.
π.χ.
2 ⋅ (1
3) = 2
3
α ⋅ 1
α= 1
α⋅ α = 1 αντίστροφοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν γινόµενο 1.
π.χ
2 ⋅ 1
2= 1
2⋅ 2 = 1
Επιµεριστική ιδιότητα
α ⋅ (β + γ) = α ⋅ β + α ⋅ γ
(α + β)(γ + δ) = α ⋅ γ + α ⋅ δ + β ⋅ γ + β ⋅ δ
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 9 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες πολλαπλασιασµού
∆ιαίρεση α ⋅ ( 1
β) = α
β.
π.χ.
2 ⋅ (1
3) = 2
3
α ⋅ 1
α= 1
α⋅ α = 1 αντίστροφοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν γινόµενο 1.
π.χ
2 ⋅ 1
2= 1
2⋅ 2 = 1
Επιµεριστική ιδιότητα
α ⋅ (β + γ) = α ⋅ β + α ⋅ γ
(α + β)(γ + δ) = α ⋅ γ + α ⋅ δ + β ⋅ γ + β ⋅ δ
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 9 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες πολλαπλασιασµού
∆ιαίρεση α ⋅ ( 1
β) = α
β.
π.χ.
2 ⋅ (1
3) = 2
3
α ⋅ 1
α= 1
α⋅ α = 1 αντίστροφοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν γινόµενο 1.
π.χ
2 ⋅ 1
2= 1
2⋅ 2 = 1
Επιµεριστική ιδιότητα
α ⋅ (β + γ) = α ⋅ β + α ⋅ γ
(α + β)(γ + δ) = α ⋅ γ + α ⋅ δ + β ⋅ γ + β ⋅ δ
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 9 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες πολλαπλασιασµού
∆ιαίρεση α ⋅ ( 1
β) = α
β.
π.χ.
2 ⋅ (1
3) = 2
3
α ⋅ 1
α= 1
α⋅ α = 1 αντίστροφοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν γινόµενο 1.
π.χ
2 ⋅ 1
2= 1
2⋅ 2 = 1
Επιµεριστική ιδιότητα
α ⋅ (β + γ) = α ⋅ β + α ⋅ γ
(α + β)(γ + δ) = α ⋅ γ + α ⋅ δ + β ⋅ γ + β ⋅ δ
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 9 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ερώτηση 3η
Ποιοι είναι οι κανόνες των προσήµων στην πρόσθεση και τον
πολλαπλασιασµό;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 10 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Πρόσηµα στην Πρόσθεση
Για να προσθέσουµε 2 πραγµατικούς αριθµούς διακρίνουµε τις περιπτώσεις :
Αν είναι οµόσηµοι, ϐάζουµε το κοινό πρόσηµο και τους προσθέτουµε
π.χ.
2 + 3 = 5 − 2 − 3 = −5
Αν είναι ετερόσηµοι, ϐάζουµε το πρόσηµο του µεγαλυτέρου και τους
αφαιρούµε
π.χ.
−2 + 3 = 1 2 − 3 = −1
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 11 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Πρόσηµα στην Πρόσθεση
Για να προσθέσουµε 2 πραγµατικούς αριθµούς διακρίνουµε τις περιπτώσεις :
Αν είναι οµόσηµοι, ϐάζουµε το κοινό πρόσηµο και τους προσθέτουµε
π.χ.
2 + 3 = 5 − 2 − 3 = −5
Αν είναι ετερόσηµοι, ϐάζουµε το πρόσηµο του µεγαλυτέρου και τους
αφαιρούµε
π.χ.
−2 + 3 = 1 2 − 3 = −1
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 11 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Πρόσηµα στην Πρόσθεση
Για να προσθέσουµε 2 πραγµατικούς αριθµούς διακρίνουµε τις περιπτώσεις :
Αν είναι οµόσηµοι, ϐάζουµε το κοινό πρόσηµο και τους προσθέτουµε
π.χ.
2 + 3 = 5 − 2 − 3 = −5
Αν είναι ετερόσηµοι, ϐάζουµε το πρόσηµο του µεγαλυτέρου και τους
αφαιρούµε
π.χ.
−2 + 3 = 1 2 − 3 = −1
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 11 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Πρόσηµα στην Πρόσθεση
Για να προσθέσουµε 2 πραγµατικούς αριθµούς διακρίνουµε τις περιπτώσεις :
Αν είναι οµόσηµοι, ϐάζουµε το κοινό πρόσηµο και τους προσθέτουµε
π.χ.
2 + 3 = 5 − 2 − 3 = −5
Αν είναι ετερόσηµοι, ϐάζουµε το πρόσηµο του µεγαλυτέρου και τους
αφαιρούµε
π.χ.
−2 + 3 = 1 2 − 3 = −1
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 11 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Πρόσηµα στον πολλαπλασιασµό
Για να πολλαπλασιάσουµε 2 πραγµατικούς αριθµούς διακρίνουµε τις
περιπτώσεις :
Αν είναι οµόσηµοι, ϐάζουµε πρόσηµο + και τους πολλαπλασιάζουµε
π.χ.
2 ⋅ 3 = 6 (−2) ⋅ (−3) = 6
Αν είναι ετερόσηµοι, ϐάζουµε πρόσηµο - και τους πολλαπλασιάζουµε
π.χ.
(−2) ⋅ 3 = −6 (2) ⋅ (−3) = −6
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 12 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Πρόσηµα στον πολλαπλασιασµό
Για να πολλαπλασιάσουµε 2 πραγµατικούς αριθµούς διακρίνουµε τις
περιπτώσεις :
Αν είναι οµόσηµοι, ϐάζουµε πρόσηµο + και τους πολλαπλασιάζουµε
π.χ.
2 ⋅ 3 = 6 (−2) ⋅ (−3) = 6
Αν είναι ετερόσηµοι, ϐάζουµε πρόσηµο - και τους πολλαπλασιάζουµε
π.χ.
(−2) ⋅ 3 = −6 (2) ⋅ (−3) = −6
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 12 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Πρόσηµα στον πολλαπλασιασµό
Για να πολλαπλασιάσουµε 2 πραγµατικούς αριθµούς διακρίνουµε τις
περιπτώσεις :
Αν είναι οµόσηµοι, ϐάζουµε πρόσηµο + και τους πολλαπλασιάζουµε
π.χ.
2 ⋅ 3 = 6 (−2) ⋅ (−3) = 6
Αν είναι ετερόσηµοι, ϐάζουµε πρόσηµο - και τους πολλαπλασιάζουµε
π.χ.
(−2) ⋅ 3 = −6 (2) ⋅ (−3) = −6
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 12 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Πρόσηµα στον πολλαπλασιασµό
Για να πολλαπλασιάσουµε 2 πραγµατικούς αριθµούς διακρίνουµε τις
περιπτώσεις :
Αν είναι οµόσηµοι, ϐάζουµε πρόσηµο + και τους πολλαπλασιάζουµε
π.χ.
2 ⋅ 3 = 6 (−2) ⋅ (−3) = 6
Αν είναι ετερόσηµοι, ϐάζουµε πρόσηµο - και τους πολλαπλασιάζουµε
π.χ.
(−2) ⋅ 3 = −6 (2) ⋅ (−3) = −6
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 12 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ερωτηση 4η
Πως ορίζεται η δύναµη ενός αριθµού ;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 13 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ορισµός των δυνάµεων
Η δύναµη αν µε το α που ονοµάζεται ϐάση και είναι πραγµατικός αριθµός και
µε το ν που ονοµάζεται εκθέτης και είναι ϕυσικός αριθµός µε ν ≥ 2 είναι το
γινόµενο που αποτελείται από ν παράγοντες του α
αν = α ⋅ α ⋅⋯ ⋅α´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ν, παράγοντες
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 14 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ορισµός των δυνάµεων
Η δύναµη αν µε το α που ονοµάζεται ϐάση και είναι πραγµατικός αριθµός και
µε το ν που ονοµάζεται εκθέτης και είναι ϕυσικός αριθµός µε ν ≥ 2 είναι το
γινόµενο που αποτελείται από ν παράγοντες του α
αν = α ⋅ α ⋅⋯ ⋅α´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ν, παράγοντες
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 14 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ορισµός των δυνάµεων
Η δύναµη αν µε το α που ονοµάζεται ϐάση και είναι πραγµατικός αριθµός και
µε το ν που ονοµάζεται εκθέτης και είναι ϕυσικός αριθµός µε ν ≥ 2 είναι το
γινόµενο που αποτελείται από ν παράγοντες του α
αν = α ⋅ α ⋅⋯ ⋅α´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ν, παράγοντες
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 14 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ορισµός των δυνάµεων
Επίσης ορίζουµε :
α1 = α
α0 = 1, α ≠ 0
α−ν = 1
αν, α ≠ 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 15 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ορισµός των δυνάµεων
Επίσης ορίζουµε :
α1 = α
α0 = 1, α ≠ 0
α−ν = 1
αν, α ≠ 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 15 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ορισµός των δυνάµεων
Επίσης ορίζουµε :
α1 = α
α0 = 1, α ≠ 0
α−ν = 1
αν, α ≠ 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 15 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ερώτηση 5η
Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάµεων;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 16 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες των δυνάµεων
1. αµ ⋅ αν = αµ+ν 4. αν ⋅ βν = (α ⋅ β)ν
2.αµ
αν= αµ−ν 5.
αν
βν= (α
β)ν
3. αµ⋅ν = (αµ)ν 6. (αβ)ν
= (βα)−ν
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 17 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ιδιότητες των δυνάµεων
1. αµ ⋅ αν = αµ+ν 4. αν ⋅ βν = (α ⋅ β)ν
2.αµ
αν= αµ−ν 5.
αν
βν= (α
β)ν
3. αµ⋅ν = (αµ)ν 6. (αβ)ν
= (βα)−ν
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 17 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Παράδειγµα 1ο
Να γίνουν οι πράξεις
3−5 ⋅ 37 =1
35⋅ 37 = (ιδιότητα α−ν = 1
αν)
37
35=
37−5 = (ιδιότητα
αµ
αν= αµ−ν)
32 =9.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 18 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Παράδειγµα 1ο
Να γίνουν οι πράξεις
3−5 ⋅ 37 =1
35⋅ 37 = (ιδιότητα α−ν = 1
αν)
37
35=
37−5 = (ιδιότητα
αµ
αν= αµ−ν)
32 =9.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 18 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Παράδειγµα 1ο
Να γίνουν οι πράξεις
3−5 ⋅ 37 =1
35⋅ 37 = (ιδιότητα α−ν = 1
αν)
37
35=
37−5 = (ιδιότητα
αµ
αν= αµ−ν)
32 =9.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 18 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Παράδειγµα 1ο ϐ τρόπος
3−5 ⋅ 37 =3−5+7 = (ιδιότητα αµ ⋅ αν = αµ+ν)
32 =9.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 19 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Παράδειγµα 1ο ϐ τρόπος
3−5 ⋅ 37 =3−5+7 = (ιδιότητα αµ ⋅ αν = αµ+ν)
32 =9.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 19 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Παράδειγµα 2ο
Να γίνουν οι πράξεις
25 ⋅ (5
2)−2
⋅ (2−3)−1 =
25 ⋅ (2
5)
2
⋅ (2−3)−1 = (ιδιότητα (α
β)−ν
= (βα)ν
)
25 ⋅ (2
5)
2
⋅ 2(−3)⋅(−1) = (ιδιότητα αµ⋅ν = (αµ)ν )
25 ⋅ (2
5)
2
⋅ 23 =
25 ⋅ 22
52⋅ 23 = (ιδιότητα (α
β)ν
= αν
βν)
52 ⋅ 2
2
52⋅ 23 = 2
3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 20 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Παράδειγµα 2ο
Να γίνουν οι πράξεις
25 ⋅ (5
2)−2
⋅ (2−3)−1 =
25 ⋅ (2
5)
2
⋅ (2−3)−1 = (ιδιότητα (α
β)−ν
= (βα)ν
)
25 ⋅ (2
5)
2
⋅ 2(−3)⋅(−1) = (ιδιότητα αµ⋅ν = (αµ)ν )
25 ⋅ (2
5)
2
⋅ 23 =
25 ⋅ 22
52⋅ 23 = (ιδιότητα (α
β)ν
= αν
βν)
52 ⋅ 2
2
52⋅ 23 = 2
3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 20 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Παράδειγµα 2ο
Να γίνουν οι πράξεις
25 ⋅ (5
2)−2
⋅ (2−3)−1 =
25 ⋅ (2
5)
2
⋅ (2−3)−1 = (ιδιότητα (α
β)−ν
= (βα)ν
)
25 ⋅ (2
5)
2
⋅ 2(−3)⋅(−1) = (ιδιότητα αµ⋅ν = (αµ)ν )
25 ⋅ (2
5)
2
⋅ 23 =
25 ⋅ 22
52⋅ 23 = (ιδιότητα (α
β)ν
= αν
βν)
52 ⋅ 2
2
52⋅ 23 = 2
3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 20 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ερώτηση 6η
Τι ονοµάζουµε τετραγωνική ρίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 21 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Τετραγωνική ϱίζα
Τετραγωνική ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α συµβολίζεται µε√α και είναι ο
µη αρνητικός αριθµός, που αν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.
΄Αρα µπορούµε να πούµε ότι :
Αν α ≥ 0, η√α παριστάνει τη µη αρνητική λύση της εξίσωσης x
2 = α.π.χ.
√25 = 5 γιατί 5
2 = 25
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 22 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Τετραγωνική ϱίζα
Τετραγωνική ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α συµβολίζεται µε√α και είναι ο
µη αρνητικός αριθµός, που αν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.
΄Αρα µπορούµε να πούµε ότι :
Αν α ≥ 0, η√α παριστάνει τη µη αρνητική λύση της εξίσωσης x
2 = α.π.χ.
√25 = 5 γιατί 5
2 = 25
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 22 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Τετραγωνική ϱίζα
Τετραγωνική ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α συµβολίζεται µε√α και είναι ο
µη αρνητικός αριθµός, που αν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.
΄Αρα µπορούµε να πούµε ότι :
Αν α ≥ 0, η√α παριστάνει τη µη αρνητική λύση της εξίσωσης x
2 = α.
π.χ.√
25 = 5 γιατί 52 = 25
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 22 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Τετραγωνική ϱίζα
Τετραγωνική ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α συµβολίζεται µε√α και είναι ο
µη αρνητικός αριθµός, που αν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.
΄Αρα µπορούµε να πούµε ότι :
Αν α ≥ 0, η√α παριστάνει τη µη αρνητική λύση της εξίσωσης x
2 = α.π.χ.
√25 = 5 γιατί 5
2 = 25
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 22 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ερώτηση 7η
Ποιες είναι οι ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 23 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Τετραγωνική ϱίζα
√α2 = ∣α∣, α ∈ R
√α
2 = α,α ≥ 0
√α√β = √
αβ,α, β ≥ 0
√α√β=√
α
β,α ≥ 0, β > 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 24 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Τετραγωνική ϱίζα
√α2 = ∣α∣, α ∈ R
√α
2 = α,α ≥ 0
√α√β = √
αβ,α, β ≥ 0
√α√β=√
α
β,α ≥ 0, β > 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 24 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Τετραγωνική ϱίζα
√α2 = ∣α∣, α ∈ R
√α
2 = α,α ≥ 0
√α√β = √
αβ,α, β ≥ 0
√α√β=√
α
β,α ≥ 0, β > 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 24 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Τετραγωνική ϱίζα
√α2 = ∣α∣, α ∈ R
√α
2 = α,α ≥ 0
√α√β = √
αβ,α, β ≥ 0
√α√β=√
α
β,α ≥ 0, β > 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 24 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Τετραγωνική ϱίζα
√α2 = ∣α∣, α ∈ R
√α
2 = α,α ≥ 0
√α√β = √
αβ,α, β ≥ 0
√α√β=√
α
β,α ≥ 0, β > 0
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 24 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ερώτηση 8η
Πως γίνεται η απαλοιφή παρενθέσεων ;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 25 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Απαλοιφή παρενθέσεων
΄Οταν έχουµε µια παράσταση µέσα σε παρενθέσεις και ϑέλω να απαλλαγώ
από την παρουσία τους, για να συνεχίσω τις πράξεις, τότε εξετάζω να δω σε
ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις ϐρίσκοµαι :
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω +, τότε διώχνω το + και την παρένθεση και
τα γράφω όλα µε το πρόσηµό τους όπως είναι.
π.χ. 2 + (3 − 4 + 5) = 2 + 3 − 4 + 5
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω -, τότε διώχνω το - και την παρένθεση και
τα γράφω όλα µε αλλαγµένο πρόσηµο.
π.χ. 2 − (3 − 4 + 5) = 2 − 3 + 4 − 5
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω πολλαπλασιασµό, τότε κάνω
επιµεριστική ιδιότητα.
π.χ. 2 ⋅ (3 − 4 + 5) = 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 26 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Απαλοιφή παρενθέσεων
΄Οταν έχουµε µια παράσταση µέσα σε παρενθέσεις και ϑέλω να απαλλαγώ
από την παρουσία τους, για να συνεχίσω τις πράξεις, τότε εξετάζω να δω σε
ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις ϐρίσκοµαι :
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω +, τότε διώχνω το + και την παρένθεση και
τα γράφω όλα µε το πρόσηµό τους όπως είναι.
π.χ. 2 + (3 − 4 + 5) = 2 + 3 − 4 + 5
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω -, τότε διώχνω το - και την παρένθεση και
τα γράφω όλα µε αλλαγµένο πρόσηµο.
π.χ. 2 − (3 − 4 + 5) = 2 − 3 + 4 − 5
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω πολλαπλασιασµό, τότε κάνω
επιµεριστική ιδιότητα.
π.χ. 2 ⋅ (3 − 4 + 5) = 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 26 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Απαλοιφή παρενθέσεων
΄Οταν έχουµε µια παράσταση µέσα σε παρενθέσεις και ϑέλω να απαλλαγώ
από την παρουσία τους, για να συνεχίσω τις πράξεις, τότε εξετάζω να δω σε
ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις ϐρίσκοµαι :
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω +, τότε διώχνω το + και την παρένθεση και
τα γράφω όλα µε το πρόσηµό τους όπως είναι.
π.χ. 2 + (3 − 4 + 5) = 2 + 3 − 4 + 5
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω -, τότε διώχνω το - και την παρένθεση και
τα γράφω όλα µε αλλαγµένο πρόσηµο.
π.χ. 2 − (3 − 4 + 5) = 2 − 3 + 4 − 5
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω πολλαπλασιασµό, τότε κάνω
επιµεριστική ιδιότητα.
π.χ. 2 ⋅ (3 − 4 + 5) = 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 26 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Απαλοιφή παρενθέσεων
΄Οταν έχουµε µια παράσταση µέσα σε παρενθέσεις και ϑέλω να απαλλαγώ
από την παρουσία τους, για να συνεχίσω τις πράξεις, τότε εξετάζω να δω σε
ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις ϐρίσκοµαι :
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω +, τότε διώχνω το + και την παρένθεση και
τα γράφω όλα µε το πρόσηµό τους όπως είναι.
π.χ. 2 + (3 − 4 + 5) = 2 + 3 − 4 + 5
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω -, τότε διώχνω το - και την παρένθεση και
τα γράφω όλα µε αλλαγµένο πρόσηµο.
π.χ. 2 − (3 − 4 + 5) = 2 − 3 + 4 − 5
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω πολλαπλασιασµό, τότε κάνω
επιµεριστική ιδιότητα.
π.χ. 2 ⋅ (3 − 4 + 5) = 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 26 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Απαλοιφή παρενθέσεων
΄Οταν έχουµε µια παράσταση µέσα σε παρενθέσεις και ϑέλω να απαλλαγώ
από την παρουσία τους, για να συνεχίσω τις πράξεις, τότε εξετάζω να δω σε
ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις ϐρίσκοµαι :
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω +, τότε διώχνω το + και την παρένθεση και
τα γράφω όλα µε το πρόσηµό τους όπως είναι.
π.χ. 2 + (3 − 4 + 5) = 2 + 3 − 4 + 5
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω -, τότε διώχνω το - και την παρένθεση και
τα γράφω όλα µε αλλαγµένο πρόσηµο.
π.χ. 2 − (3 − 4 + 5) = 2 − 3 + 4 − 5
Αν µπροστά από την παρένθεση έχω πολλαπλασιασµό, τότε κάνω
επιµεριστική ιδιότητα.
π.χ. 2 ⋅ (3 − 4 + 5) = 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 26 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Ερώτηση 9η
Με ποια σειρά εκτελούνται οι πράξεις ;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 27 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Προτεραιότητα των πράξεων
Για τον υπολογισµό της τιµής µιας αριθµητικής παράστασης κάνουµε τις πράξεις
µε τη σειρά που ϐλέπουµε παρακάτω :
Κάνουµε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις
Κάνουµε τις δυνάµεις
Κάνουµε πολλαπλασιασµούς και διαιρέσεις
Στο τέλος κάνουµε προσθέσεις και αφαιρέσεις
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 28 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Προτεραιότητα των πράξεων
Για τον υπολογισµό της τιµής µιας αριθµητικής παράστασης κάνουµε τις πράξεις
µε τη σειρά που ϐλέπουµε παρακάτω :
Κάνουµε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις
Κάνουµε τις δυνάµεις
Κάνουµε πολλαπλασιασµούς και διαιρέσεις
Στο τέλος κάνουµε προσθέσεις και αφαιρέσεις
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 28 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Προτεραιότητα των πράξεων
Για τον υπολογισµό της τιµής µιας αριθµητικής παράστασης κάνουµε τις πράξεις
µε τη σειρά που ϐλέπουµε παρακάτω :
Κάνουµε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις
Κάνουµε τις δυνάµεις
Κάνουµε πολλαπλασιασµούς και διαιρέσεις
Στο τέλος κάνουµε προσθέσεις και αφαιρέσεις
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 28 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Προτεραιότητα των πράξεων
Για τον υπολογισµό της τιµής µιας αριθµητικής παράστασης κάνουµε τις πράξεις
µε τη σειρά που ϐλέπουµε παρακάτω :
Κάνουµε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις
Κάνουµε τις δυνάµεις
Κάνουµε πολλαπλασιασµούς και διαιρέσεις
Στο τέλος κάνουµε προσθέσεις και αφαιρέσεις
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 28 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Προτεραιότητα των πράξεων
Για τον υπολογισµό της τιµής µιας αριθµητικής παράστασης κάνουµε τις πράξεις
µε τη σειρά που ϐλέπουµε παρακάτω :
Κάνουµε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις
Κάνουµε τις δυνάµεις
Κάνουµε πολλαπλασιασµούς και διαιρέσεις
Στο τέλος κάνουµε προσθέσεις και αφαιρέσεις
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 28 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Προτεραιότητα των πράξεων
Για τον υπολογισµό της τιµής µιας αριθµητικής παράστασης κάνουµε τις πράξεις
µε τη σειρά που ϐλέπουµε παρακάτω :
Κάνουµε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις
Κάνουµε τις δυνάµεις
Κάνουµε πολλαπλασιασµούς και διαιρέσεις
Στο τέλος κάνουµε προσθέσεις και αφαιρέσεις
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 28 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ερώτηση 10η
Τι είναι η αλγεβρική παράσταση;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 29 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Αλγεβρική παράσταση
Είναι µια µαθηµατική σχέση µεταξύ µεταβλητών και αριθµών, που συνδέονται
µεταξύ τους µε τις 4 πράξεις.
π.χ. x3 + 1, 2xy ,
√2x + y
2 + 6
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 30 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Αλγεβρική παράσταση
Είναι µια µαθηµατική σχέση µεταξύ µεταβλητών και αριθµών, που συνδέονται
µεταξύ τους µε τις 4 πράξεις.
π.χ. x3 + 1, 2xy ,
√2x + y
2 + 6
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 30 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Αλγεβρική παράσταση
Είναι µια µαθηµατική σχέση µεταξύ µεταβλητών και αριθµών, που συνδέονται
µεταξύ τους µε τις 4 πράξεις.
π.χ. x3 + 1, 2xy ,
√2x + y
2 + 6
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 30 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ερώτηση 11η
Τι ονοµάζουµε αριθµητική τιµή της αλγεβρικής παράστασης;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 31 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Αριθµητική τιµή
Αν σε µια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουµε τις µεταβλητές µε αριθµούς
και κάνουµε τις πράξεις, τότε ο αριθµός που προκύπτει λέγεται, αριθµητική τιµή
της αλγεβρικής παράστασης.
π.χ. 2x + 3y2 + 1 για x = 0 και y = 1 είναι : 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 12 + 1 = 4
Προσοχή!!! Μια αλγεβρική παράσταση, δεν ορίζεται πάντα για όλες τις τιµές
των µεταβλητών
π.χ. η παράστασηx
y − 2δεν ορίζεται για y = 2 γιατί αυτή η τιµή µηδενίζει
τον παρονοµαστή.
π.χ. η παράσταση√
x − 1 δεν ορίζεται για x = 0 γιατί αυτή η τιµή δίνει
αρνητικό υπόριζο.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 32 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Αριθµητική τιµή
Αν σε µια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουµε τις µεταβλητές µε αριθµούς
και κάνουµε τις πράξεις, τότε ο αριθµός που προκύπτει λέγεται, αριθµητική τιµή
της αλγεβρικής παράστασης.
π.χ. 2x + 3y2 + 1 για x = 0 και y = 1 είναι : 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 12 + 1 = 4
Προσοχή!!! Μια αλγεβρική παράσταση, δεν ορίζεται πάντα για όλες τις τιµές
των µεταβλητών
π.χ. η παράστασηx
y − 2δεν ορίζεται για y = 2 γιατί αυτή η τιµή µηδενίζει
τον παρονοµαστή.
π.χ. η παράσταση√
x − 1 δεν ορίζεται για x = 0 γιατί αυτή η τιµή δίνει
αρνητικό υπόριζο.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 32 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Αριθµητική τιµή
Αν σε µια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουµε τις µεταβλητές µε αριθµούς
και κάνουµε τις πράξεις, τότε ο αριθµός που προκύπτει λέγεται, αριθµητική τιµή
της αλγεβρικής παράστασης.
π.χ. 2x + 3y2 + 1 για x = 0 και y = 1 είναι : 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 12 + 1 = 4
Προσοχή!!! Μια αλγεβρική παράσταση, δεν ορίζεται πάντα για όλες τις τιµές
των µεταβλητών
π.χ. η παράστασηx
y − 2δεν ορίζεται για y = 2 γιατί αυτή η τιµή µηδενίζει
τον παρονοµαστή.
π.χ. η παράσταση√
x − 1 δεν ορίζεται για x = 0 γιατί αυτή η τιµή δίνει
αρνητικό υπόριζο.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 32 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Αριθµητική τιµή
Αν σε µια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουµε τις µεταβλητές µε αριθµούς
και κάνουµε τις πράξεις, τότε ο αριθµός που προκύπτει λέγεται, αριθµητική τιµή
της αλγεβρικής παράστασης.
π.χ. 2x + 3y2 + 1 για x = 0 και y = 1 είναι : 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 12 + 1 = 4
Προσοχή!!! Μια αλγεβρική παράσταση, δεν ορίζεται πάντα για όλες τις τιµές
των µεταβλητών
π.χ. η παράστασηx
y − 2δεν ορίζεται για y = 2 γιατί αυτή η τιµή µηδενίζει
τον παρονοµαστή.
π.χ. η παράσταση√
x − 1 δεν ορίζεται για x = 0 γιατί αυτή η τιµή δίνει
αρνητικό υπόριζο.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 32 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ερώτηση 12η
Ποια είδη αλγεβρικών παραστάσεων έχουµε;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 33 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Είδη αλγεβρικών παραστάσεων
΄Αρρητη αλγεβρική παράσταση, είναι αυτή, που τουλάχιστον µια µεταβλητή
είναι κάτω από ϱίζα.
π.χ. 2√
x − 1 + y2 − 9, x ≥ 1
Ρητή αλγεβρική παράσταση, είναι αυτή, που καµιά µεταβλητή δεν είναι κάτω
από ϱίζα.
π.χ.2x
y − 3+ 2x − y
2, y ≠ 3
π.χ. 2xy + x3 + y − 2
Κλασµατική, είναι η ϱητή αλγεβρική παράσταση, που τουλάχιστον µια
µεταβλητή είναι στον παρονοµαστή.
π.χ.2x
y − 3+ 2x − y
2, y ≠ 3
Ακέραια, είναι η ϱητή αλγεβρική παράσταση, που δεν είναι κλασµατική.
π.χ. 2xy + x2 + y − 2.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 34 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Είδη αλγεβρικών παραστάσεων
΄Αρρητη αλγεβρική παράσταση, είναι αυτή, που τουλάχιστον µια µεταβλητή
είναι κάτω από ϱίζα.
π.χ. 2√
x − 1 + y2 − 9, x ≥ 1
Ρητή αλγεβρική παράσταση, είναι αυτή, που καµιά µεταβλητή δεν είναι κάτω
από ϱίζα.
π.χ.2x
y − 3+ 2x − y
2, y ≠ 3
π.χ. 2xy + x3 + y − 2
Κλασµατική, είναι η ϱητή αλγεβρική παράσταση, που τουλάχιστον µια
µεταβλητή είναι στον παρονοµαστή.
π.χ.2x
y − 3+ 2x − y
2, y ≠ 3
Ακέραια, είναι η ϱητή αλγεβρική παράσταση, που δεν είναι κλασµατική.
π.χ. 2xy + x2 + y − 2.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 34 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Είδη αλγεβρικών παραστάσεων
΄Αρρητη αλγεβρική παράσταση, είναι αυτή, που τουλάχιστον µια µεταβλητή
είναι κάτω από ϱίζα.
π.χ. 2√
x − 1 + y2 − 9, x ≥ 1
Ρητή αλγεβρική παράσταση, είναι αυτή, που καµιά µεταβλητή δεν είναι κάτω
από ϱίζα.
π.χ.2x
y − 3+ 2x − y
2, y ≠ 3
π.χ. 2xy + x3 + y − 2
Κλασµατική, είναι η ϱητή αλγεβρική παράσταση, που τουλάχιστον µια
µεταβλητή είναι στον παρονοµαστή.
π.χ.2x
y − 3+ 2x − y
2, y ≠ 3
Ακέραια, είναι η ϱητή αλγεβρική παράσταση, που δεν είναι κλασµατική.
π.χ. 2xy + x2 + y − 2.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 34 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Είδη αλγεβρικών παραστάσεων
΄Αρρητη αλγεβρική παράσταση, είναι αυτή, που τουλάχιστον µια µεταβλητή
είναι κάτω από ϱίζα.
π.χ. 2√
x − 1 + y2 − 9, x ≥ 1
Ρητή αλγεβρική παράσταση, είναι αυτή, που καµιά µεταβλητή δεν είναι κάτω
από ϱίζα.
π.χ.2x
y − 3+ 2x − y
2, y ≠ 3
π.χ. 2xy + x3 + y − 2
Κλασµατική, είναι η ϱητή αλγεβρική παράσταση, που τουλάχιστον µια
µεταβλητή είναι στον παρονοµαστή.
π.χ.2x
y − 3+ 2x − y
2, y ≠ 3
Ακέραια, είναι η ϱητή αλγεβρική παράσταση, που δεν είναι κλασµατική.
π.χ. 2xy + x2 + y − 2.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 34 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Είδη αλγεβρικών παραστάσεων
΄Αρρητη αλγεβρική παράσταση, είναι αυτή, που τουλάχιστον µια µεταβλητή
είναι κάτω από ϱίζα.
π.χ. 2√
x − 1 + y2 − 9, x ≥ 1
Ρητή αλγεβρική παράσταση, είναι αυτή, που καµιά µεταβλητή δεν είναι κάτω
από ϱίζα.
π.χ.2x
y − 3+ 2x − y
2, y ≠ 3
π.χ. 2xy + x3 + y − 2
Κλασµατική, είναι η ϱητή αλγεβρική παράσταση, που τουλάχιστον µια
µεταβλητή είναι στον παρονοµαστή.
π.χ.2x
y − 3+ 2x − y
2, y ≠ 3
Ακέραια, είναι η ϱητή αλγεβρική παράσταση, που δεν είναι κλασµατική.
π.χ. 2xy + x2 + y − 2.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 34 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ερώτηση 13η
Τι είναι το µονώνυµο;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 35 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Μονώνυµο
Είναι µια ακέραια αλγεβρική παράσταση, στην οποία σηµειώνονται µόνο
πολλαπλασιασµοί µεταξύ των αριθµών και των µεταβλητών.
π.χ. 3x2y,−1
2xyz,
√2xy
3.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 36 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Μονώνυµο
Είναι µια ακέραια αλγεβρική παράσταση, στην οποία σηµειώνονται µόνο
πολλαπλασιασµοί µεταξύ των αριθµών και των µεταβλητών.
π.χ. 3x2y,−1
2xyz,
√2xy
3.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 36 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Μονώνυµο
Είναι µια ακέραια αλγεβρική παράσταση, στην οποία σηµειώνονται µόνο
πολλαπλασιασµοί µεταξύ των αριθµών και των µεταβλητών.
π.χ. 3x2y,−1
2xyz,
√2xy
3.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 36 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ερώτηση 14η
Τι είναι το πολυώνυµο;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 37 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Πολυώνυµο
Είναι κάθε αλγεβρική παράσταση, που είναι άθροισµα µη όµοιων µονωνύµων.
π.χ. x2 − 3x − 9
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 38 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Πολυώνυµο
Είναι κάθε αλγεβρική παράσταση, που είναι άθροισµα µη όµοιων µονωνύµων.
π.χ. x2 − 3x − 9
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 38 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Πολυώνυµο
Είναι κάθε αλγεβρική παράσταση, που είναι άθροισµα µη όµοιων µονωνύµων.
π.χ. x2 − 3x − 9
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 38 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ερώτηση 15η
Τι είναι ταυτότητες;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 39 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ταυτότητες
Είναι ισότητες που περιέχουν µεταβλητές και επαληθεύονται για όλες τις τιµές
των µεταβλητών.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 40 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ταυτότητες
Είναι ισότητες που περιέχουν µεταβλητές και επαληθεύονται για όλες τις τιµές
των µεταβλητών.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 40 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ερώτηση 16η
Ποιες είναι οι βασικές ταυτότητες;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 41 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Βασικές ταυτότητες
(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2
(α − β)(α + β) = α2 − β2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 42 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Βασικές ταυτότητες
(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2
(α − β)(α + β) = α2 − β2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 42 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Βασικές ταυτότητες
(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2
(α − β)(α + β) = α2 − β2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 42 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Βασικές ταυτότητες
(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2
(α − β)(α + β) = α2 − β2
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 42 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Βασικές ταυτότητες
α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2) α3 − β3 = (α − β)(α + αβ + β2) (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 43 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Βασικές ταυτότητες
α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2)
α3 − β3 = (α − β)(α + αβ + β2) (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 43 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Βασικές ταυτότητες
α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2) α3 − β3 = (α − β)(α + αβ + β2)
(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 43 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Βασικές ταυτότητες
α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2) α3 − β3 = (α − β)(α + αβ + β2) (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 43 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Βασικές ταυτότητες
α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2) α3 − β3 = (α − β)(α + αβ + β2) (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 43 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ερώτηση 17η
Τι είναι η παραγοντοποίηση;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 44 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Βασικές ταυτότητες
Είναι η διαδικασία µε την οποία µια παράσταση που είναι άθροισµα,
µετατρέπεται σε γινόµενο παραγόντων λέγεται παραγοντοποίηση.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 45 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Βασικές ταυτότητες
Είναι η διαδικασία µε την οποία µια παράσταση που είναι άθροισµα,
µετατρέπεται σε γινόµενο παραγόντων λέγεται παραγοντοποίηση.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 45 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ερώτηση 18η
Με ποιους τρόπους γίνεται η παραγοντοποίηση;
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 46 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Κοινός παράγοντας
Κοινός παράγοντας
΄Οταν όλοι οι όροι µιας αλγεβρικής παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε
αυτή µετατρέπεται σε γινόµενο µε τη ϐοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας.
Ισχύει ότι : αβ + αγ = α(β + γ)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 47 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Κοινός παράγοντας
Κοινός παράγοντας
΄Οταν όλοι οι όροι µιας αλγεβρικής παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε
αυτή µετατρέπεται σε γινόµενο µε τη ϐοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας.
Ισχύει ότι : αβ + αγ = α(β + γ)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 47 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Κοινός παράγοντας
Η εύρεση του κοινού παράγοντα γίνεται ως εξής :
Βρίσκουµε τον Μ.Κ.∆. των συντελεστών κάθε όρου
Βρίσκουµε τον µικρότερο εκθέτη της µεταβλητής ή µεταβλητών που είναι
κοινές σε κάθε όρο.
Ο κοινός παράγοντας είναι το γινόµενο των δύο παραπάνω όρων.
Παράδειγµα : Να παραγοντοποίησετε την παράσταση :
2x5 + 4x
4y + 6x
2
Ο Μ.Κ.∆. των συντελεστών των όρων 2, 4, 6 είναι ο αριθµός 2.
Η κοινή µεταβλητή είναι το x και ο µικρότερος εκθέτης που συναντάται είναι ο 2.
΄Αρα η παραγοντοποίηση είναι η εξής :
2x5 + 4x
4y + 6x
2 = 2x2(x
3 + 2x2y + 3)
.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 48 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Κοινός παράγοντας
Η εύρεση του κοινού παράγοντα γίνεται ως εξής :
Βρίσκουµε τον Μ.Κ.∆. των συντελεστών κάθε όρου
Βρίσκουµε τον µικρότερο εκθέτη της µεταβλητής ή µεταβλητών που είναι
κοινές σε κάθε όρο.
Ο κοινός παράγοντας είναι το γινόµενο των δύο παραπάνω όρων.
Παράδειγµα : Να παραγοντοποίησετε την παράσταση :
2x5 + 4x
4y + 6x
2
Ο Μ.Κ.∆. των συντελεστών των όρων 2, 4, 6 είναι ο αριθµός 2.
Η κοινή µεταβλητή είναι το x και ο µικρότερος εκθέτης που συναντάται είναι ο 2.
΄Αρα η παραγοντοποίηση είναι η εξής :
2x5 + 4x
4y + 6x
2 = 2x2(x
3 + 2x2y + 3)
.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 48 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Κοινός παράγοντας
Η εύρεση του κοινού παράγοντα γίνεται ως εξής :
Βρίσκουµε τον Μ.Κ.∆. των συντελεστών κάθε όρου
Βρίσκουµε τον µικρότερο εκθέτη της µεταβλητής ή µεταβλητών που είναι
κοινές σε κάθε όρο.
Ο κοινός παράγοντας είναι το γινόµενο των δύο παραπάνω όρων.
Παράδειγµα : Να παραγοντοποίησετε την παράσταση :
2x5 + 4x
4y + 6x
2
Ο Μ.Κ.∆. των συντελεστών των όρων 2, 4, 6 είναι ο αριθµός 2.
Η κοινή µεταβλητή είναι το x και ο µικρότερος εκθέτης που συναντάται είναι ο 2.
΄Αρα η παραγοντοποίηση είναι η εξής :
2x5 + 4x
4y + 6x
2 = 2x2(x
3 + 2x2y + 3)
.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 48 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Κοινός παράγοντας κατά οµάδες
Κοινός παράγοντας κατά οµάδες
΄Οταν οι όροι µια παράστασης δεν έχουν κοινό παράγοντα, τότε τους χωρίζουµε
σε οµάδες, ϕροντίζοντας ώστε :
Κάθε οµάδα που δηµιουργούµε να έχει κοινό παράγοντα
Οι παραστάσεις που µένουν µετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα να είναι
οι ίδιες
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 49 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Κοινός παράγοντας κατά οµάδες
Κοινός παράγοντας κατά οµάδες
΄Οταν οι όροι µια παράστασης δεν έχουν κοινό παράγοντα, τότε τους χωρίζουµε
σε οµάδες, ϕροντίζοντας ώστε :
Κάθε οµάδα που δηµιουργούµε να έχει κοινό παράγοντα
Οι παραστάσεις που µένουν µετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα να είναι
οι ίδιες
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 49 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Κοινός παράγοντας κατά οµάδες
Παράδειγµα : Να παραγοντοποίησετε την παράσταση :
3x + αx + 3y + αy
1ος τρόπος: 3x + αx + 3y + αy = 3(x + y) + α(x + y) = (x + y)(3 + α)2ος τρόπος: 3x + αx + 3y + αy = x(3 + α) + y(3 + α) = (3 + α)(x + y)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 50 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Κοινός παράγοντας κατά οµάδες
Παράδειγµα : Να παραγοντοποίησετε την παράσταση :
3x + αx + 3y + αy
1ος τρόπος: 3x + αx + 3y + αy = 3(x + y) + α(x + y) = (x + y)(3 + α)
2ος τρόπος: 3x + αx + 3y + αy = x(3 + α) + y(3 + α) = (3 + α)(x + y)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 50 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Κοινός παράγοντας κατά οµάδες
Παράδειγµα : Να παραγοντοποίησετε την παράσταση :
3x + αx + 3y + αy
1ος τρόπος: 3x + αx + 3y + αy = 3(x + y) + α(x + y) = (x + y)(3 + α)2ος τρόπος: 3x + αx + 3y + αy = x(3 + α) + y(3 + α) = (3 + α)(x + y)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 50 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ταυτότητες
Ταυτότητες
Με τη βοήθεια ταυτοτήτων
Χρησιµοποιούµε από το 2ο προς το 1ο µέλος τις ταυτότητες :
(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2
(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 51 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ταυτότητες
Ταυτότητες
Με τη βοήθεια ταυτοτήτων
Χρησιµοποιούµε από το 2ο προς το 1ο µέλος τις ταυτότητες :
(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2
(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 51 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ταυτότητες
Ταυτότητες
Με τη βοήθεια ταυτοτήτων
Χρησιµοποιούµε από το 2ο προς το 1ο µέλος τις ταυτότητες :
(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2
(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 51 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ταυτότητες
Ταυτότητες
Με τη βοήθεια ταυτοτήτων
Χρησιµοποιούµε από το 2ο προς το 1ο µέλος τις ταυτότητες :
(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2
(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 51 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ταυτότητες
Ταυτότητες
Με τη βοήθεια ταυτοτήτων
Χρησιµοποιούµε από το 2ο προς το 1ο µέλος τις ταυτότητες :
(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2
(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 51 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ταυτότητες
Ταυτότητες
Με τη βοήθεια ταυτοτήτων
Χρησιµοποιούµε από το 2ο προς το 1ο µέλος τις ταυτότητες :
(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2
(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 51 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ταυτότητες
Ταυτότητες
Με τη βοήθεια ταυτοτήτων
Χρησιµοποιούµε από το 2ο προς το 1ο µέλος τις ταυτότητες :
(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2
(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 51 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ταυτότητες
Παραδείγµατα
Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :
x2 − 6x + 9 = x
2 − 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32 = (x − 3)2
(x − 1)3 − 3(x − 1)2y + 3(x − 1)y
2 + y3 = (x − 1 + y)3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 52 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ταυτότητες
Παραδείγµατα
Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :
x2 − 6x + 9 = x
2 − 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32 = (x − 3)2
(x − 1)3 − 3(x − 1)2y + 3(x − 1)y
2 + y3 = (x − 1 + y)3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 52 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ταυτότητες
Παραδείγµατα
Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :
x2 − 6x + 9 = x
2 − 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32 = (x − 3)2
(x − 1)3 − 3(x − 1)2y + 3(x − 1)y
2 + y3 = (x − 1 + y)3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 52 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ταυτότητες
Παραδείγµατα
Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :
x2 − 6x + 9 = x
2 − 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32 = (x − 3)2
(x − 1)3 − 3(x − 1)2y + 3(x − 1)y
2 + y3 = (x − 1 + y)3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 52 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Ταυτότητες
Παραδείγµατα
Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :
x2 − 6x + 9 = x
2 − 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32 = (x − 3)2
(x − 1)3 − 3(x − 1)2y + 3(x − 1)y
2 + y3 = (x − 1 + y)3
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 52 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
∆ιαφορά τετραγώνων
α2 − β2 = (α − β)(α + β)Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες :
(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2
εµφανίζω διάφορα τετραγώνων.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 53 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
∆ιαφορά τετραγώνων
α2 − β2 = (α − β)(α + β)
Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες :
(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2
εµφανίζω διάφορα τετραγώνων.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 53 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
∆ιαφορά τετραγώνων
α2 − β2 = (α − β)(α + β)Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες :
(α + β)2 = α2 + 2αβ + β2,
(α − β)2 = α2 − 2αβ + β2
εµφανίζω διάφορα τετραγώνων.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 53 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
∆ιαφορά τετραγώνων
Παραδείγµατα
Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :
25 − x2 = 5
2 − x2 = (5 − x)(5 + x)
x2 − 4 = x
2 − 22 = (x − 2)(x + 2)
x2y
2 − 81z4 = (xy)2 − (9z
2) = (xy + 9z)(xy − 9z)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 54 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
∆ιαφορά τετραγώνων
Παραδείγµατα
Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :
25 − x2 = 5
2 − x2 = (5 − x)(5 + x)
x2 − 4 = x
2 − 22 = (x − 2)(x + 2)
x2y
2 − 81z4 = (xy)2 − (9z
2) = (xy + 9z)(xy − 9z)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 54 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
∆ιαφορά τετραγώνων
Παραδείγµατα
Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :
25 − x2 = 5
2 − x2 = (5 − x)(5 + x)
x2 − 4 = x
2 − 22 = (x − 2)(x + 2)
x2y
2 − 81z4 = (xy)2 − (9z
2) = (xy + 9z)(xy − 9z)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 54 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
∆ιαφορά τετραγώνων
Παραδείγµατα
Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :
25 − x2 = 5
2 − x2 = (5 − x)(5 + x)
x2 − 4 = x
2 − 22 = (x − 2)(x + 2)
x2y
2 − 81z4 = (xy)2 − (9z
2) = (xy + 9z)(xy − 9z)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 54 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
∆ιαφορά τετραγώνων
Παραδείγµατα
Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :
25 − x2 = 5
2 − x2 = (5 − x)(5 + x)
x2 − 4 = x
2 − 22 = (x − 2)(x + 2)
x2y
2 − 81z4 = (xy)2 − (9z
2) = (xy + 9z)(xy − 9z)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 54 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
∆ιαφορά τετραγώνων
Παραδείγµατα
Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :
25 − x2 = 5
2 − x2 = (5 − x)(5 + x)
x2 − 4 = x
2 − 22 = (x − 2)(x + 2)
x2y
2 − 81z4 = (xy)2 − (9z
2) = (xy + 9z)(xy − 9z)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 54 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
΄Αθροισµα ή διαφορά κύβων
α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2), α3 − β3 = (α − β)(α + αβ + β2)Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες :
(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
εµφανίζω άθροισµα ή διαφορά κύβων.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 55 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
΄Αθροισµα ή διαφορά κύβων
α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2),
α3 − β3 = (α − β)(α + αβ + β2)Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες :
(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
εµφανίζω άθροισµα ή διαφορά κύβων.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 55 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
΄Αθροισµα ή διαφορά κύβων
α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2), α3 − β3 = (α − β)(α + αβ + β2)
Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες :
(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
εµφανίζω άθροισµα ή διαφορά κύβων.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 55 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
΄Αθροισµα ή διαφορά κύβων
α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2), α3 − β3 = (α − β)(α + αβ + β2)Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες :
(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
εµφανίζω άθροισµα ή διαφορά κύβων.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 55 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
΄Αθροισµα ή διαφορά κύβων
α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2), α3 − β3 = (α − β)(α + αβ + β2)Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες :
(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
εµφανίζω άθροισµα ή διαφορά κύβων.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 55 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
΄Αθροισµα ή διαφορά κύβων
α3 + β3 = (α + β)(α2 − αβ + β2), α3 − β3 = (α − β)(α + αβ + β2)Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες :
(α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3,
(α − β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3
εµφανίζω άθροισµα ή διαφορά κύβων.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 55 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
΄Αθροισµα ή διαφορά κύβων
Παραδείγµατα
Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :
x3 + 8 = x
3 + 23 = (x − +2)(x
2 − 2x + 22) = (x + 2)(x
2 − 2x + 4)
(x + 1)3 − 125y3 = (x + 1)3 − (5y)3
= (x + 1 − 5)[(x + 1)2 + (x + 1)5y + (5y)2]= (x − 4)(x
2 + 2x + 1 + 5xy + 5y + 25y2)
= (x − 4)(x2 + +25y
2 + 2x + 1 + 5xy + 5y)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 56 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
΄Αθροισµα ή διαφορά κύβων
Παραδείγµατα
Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :
x3 + 8 = x
3 + 23 = (x − +2)(x
2 − 2x + 22) = (x + 2)(x
2 − 2x + 4)
(x + 1)3 − 125y3 = (x + 1)3 − (5y)3
= (x + 1 − 5)[(x + 1)2 + (x + 1)5y + (5y)2]= (x − 4)(x
2 + 2x + 1 + 5xy + 5y + 25y2)
= (x − 4)(x2 + +25y
2 + 2x + 1 + 5xy + 5y)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 56 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
΄Αθροισµα ή διαφορά κύβων
Παραδείγµατα
Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :
x3 + 8 = x
3 + 23 = (x − +2)(x
2 − 2x + 22) = (x + 2)(x
2 − 2x + 4)
(x + 1)3 − 125y3 = (x + 1)3 − (5y)3
= (x + 1 − 5)[(x + 1)2 + (x + 1)5y + (5y)2]= (x − 4)(x
2 + 2x + 1 + 5xy + 5y + 25y2)
= (x − 4)(x2 + +25y
2 + 2x + 1 + 5xy + 5y)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 56 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
΄Αθροισµα ή διαφορά κύβων
Παραδείγµατα
Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :
x3 + 8 = x
3 + 23 = (x − +2)(x
2 − 2x + 22) = (x + 2)(x
2 − 2x + 4)
(x + 1)3 − 125y3 = (x + 1)3 − (5y)3
= (x + 1 − 5)[(x + 1)2 + (x + 1)5y + (5y)2]= (x − 4)(x
2 + 2x + 1 + 5xy + 5y + 25y2)
= (x − 4)(x2 + +25y
2 + 2x + 1 + 5xy + 5y)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 56 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
΄Αθροισµα ή διαφορά κύβων
Παραδείγµατα
Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις :
x3 + 8 = x
3 + 23 = (x − +2)(x
2 − 2x + 22) = (x + 2)(x
2 − 2x + 4)
(x + 1)3 − 125y3 = (x + 1)3 − (5y)3
= (x + 1 − 5)[(x + 1)2 + (x + 1)5y + (5y)2]= (x − 4)(x
2 + 2x + 1 + 5xy + 5y + 25y2)
= (x − 4)(x2 + +25y
2 + 2x + 1 + 5xy + 5y)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 56 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Τριώνυµο
Τριώνυµο της µορφής αx2 − βx + γ
Για να παραγοντοποιήσουµε ένα τριώνυµο ϐρίσκουµε τη διακρίνουσα
∆ = β2 − 4αγ. Αν :
∆ > 0, τότε αx2 − βx + γ = α(x − x1)(x − x2) όπου x1,2 = −β + −√∆
2α
∆ = 0, τότε αx2 − βx + γ = α(x − x1)2
µε x1 = −β2α
∆ < 0, τότε το τριώνυµο δεν παραγοντοποιείται.
Ειδική περίπτωση :
x2 − (α + β)x + α ⋅ β = (x − α)(x − β)
x2 + (α + β)x + α ⋅ β = (x + α)(x + β)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 57 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Τριώνυµο
Τριώνυµο της µορφής αx2 − βx + γ
Για να παραγοντοποιήσουµε ένα τριώνυµο ϐρίσκουµε τη διακρίνουσα
∆ = β2 − 4αγ. Αν :
∆ > 0, τότε αx2 − βx + γ = α(x − x1)(x − x2) όπου x1,2 = −β + −√∆
2α
∆ = 0, τότε αx2 − βx + γ = α(x − x1)2
µε x1 = −β2α
∆ < 0, τότε το τριώνυµο δεν παραγοντοποιείται.
Ειδική περίπτωση :
x2 − (α + β)x + α ⋅ β = (x − α)(x − β)
x2 + (α + β)x + α ⋅ β = (x + α)(x + β)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 57 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Τριώνυµο
Τριώνυµο της µορφής αx2 − βx + γ
Για να παραγοντοποιήσουµε ένα τριώνυµο ϐρίσκουµε τη διακρίνουσα
∆ = β2 − 4αγ. Αν :
∆ > 0, τότε αx2 − βx + γ = α(x − x1)(x − x2) όπου x1,2 = −β + −√∆
2α
∆ = 0, τότε αx2 − βx + γ = α(x − x1)2
µε x1 = −β2α
∆ < 0, τότε το τριώνυµο δεν παραγοντοποιείται.
Ειδική περίπτωση :
x2 − (α + β)x + α ⋅ β = (x − α)(x − β)
x2 + (α + β)x + α ⋅ β = (x + α)(x + β)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 57 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Τριώνυµο
Ειδική περίπτωση :
x2 − (α + β)x + α ⋅ β = (x − α)(x − β)
x2 + (α + β)x + α ⋅ β = (x + α)(x + β)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 58 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Τριώνυµο
Ειδική περίπτωση :
x2 − (α + β)x + α ⋅ β = (x − α)(x − β)
x2 + (α + β)x + α ⋅ β = (x + α)(x + β)
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 58 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Τριώνυµο
Παράδειγµα 1ο
Να παραγοντοποίησετε τη παράσταση x2 − 5x + 6.
Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα ∆ = β2 − 4αγ = (−5)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 25 − 24 = 1 > 0.
΄Αρα ϐρίσκουµε ότι :
x1 = −β +√∆
2α= −(−5) +√
1
2 ⋅ 1 = 5 + 1
2= 6
2= 3
x1 = −β −√∆
2α= −(−5) −√
1
2 ⋅ 1 = 5 − 1
2= 4
2= 2
οπότε
x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 59 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Τριώνυµο
Παράδειγµα 1ο
Να παραγοντοποίησετε τη παράσταση x2 − 5x + 6.
Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα ∆ = β2 − 4αγ = (−5)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 25 − 24 = 1 > 0.
΄Αρα ϐρίσκουµε ότι :
x1 = −β +√∆
2α= −(−5) +√
1
2 ⋅ 1 = 5 + 1
2= 6
2= 3
x1 = −β −√∆
2α= −(−5) −√
1
2 ⋅ 1 = 5 − 1
2= 4
2= 2
οπότε
x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 59 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Τριώνυµο
Παράδειγµα 1ο
Να παραγοντοποίησετε τη παράσταση x2 − 5x + 6.
Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα ∆ = β2 − 4αγ = (−5)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 25 − 24 = 1 > 0.
΄Αρα ϐρίσκουµε ότι :
x1 = −β +√∆
2α= −(−5) +√
1
2 ⋅ 1 = 5 + 1
2= 6
2= 3
x1 = −β −√∆
2α= −(−5) −√
1
2 ⋅ 1 = 5 − 1
2= 4
2= 2
οπότε
x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 59 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Τριώνυµο
Παράδειγµα 1ο
Να παραγοντοποίησετε τη παράσταση x2 − 5x + 6.
Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα ∆ = β2 − 4αγ = (−5)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 25 − 24 = 1 > 0.
΄Αρα ϐρίσκουµε ότι :
x1 = −β +√∆
2α= −(−5) +√
1
2 ⋅ 1 = 5 + 1
2= 6
2= 3
x1 = −β −√∆
2α= −(−5) −√
1
2 ⋅ 1 = 5 − 1
2= 4
2= 2
οπότε
x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 59 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Τριώνυµο
Παράδειγµα 2ο
Να παραγοντοποίησετε τη παράσταση x2 − 6x + 9.
Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα ∆ = β2 − 4αγ = (−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 36 − 36 = 0,
άρα x1 = −β2α
= −(−6)2 ⋅ 1 = 6
2= 3.
οπότε
x2 − 6x + 9 = (x − 3)2.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 60 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Τριώνυµο
Παράδειγµα 2ο
Να παραγοντοποίησετε τη παράσταση x2 − 6x + 9.
Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα ∆ = β2 − 4αγ = (−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 36 − 36 = 0,
άρα x1 = −β2α
= −(−6)2 ⋅ 1 = 6
2= 3.
οπότε
x2 − 6x + 9 = (x − 3)2.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 60 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Τριώνυµο
Παράδειγµα 2ο
Να παραγοντοποίησετε τη παράσταση x2 − 6x + 9.
Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα ∆ = β2 − 4αγ = (−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 36 − 36 = 0,
άρα x1 = −β2α
= −(−6)2 ⋅ 1 = 6
2= 3.
οπότε
x2 − 6x + 9 = (x − 3)2.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 60 / 59
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Τριώνυµο
Παράδειγµα 2ο
Να παραγοντοποίησετε τη παράσταση x2 − 6x + 9.
Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα ∆ = β2 − 4αγ = (−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 36 − 36 = 0,
άρα x1 = −β2α
= −(−6)2 ⋅ 1 = 6
2= 3.
οπότε
x2 − 6x + 9 = (x − 3)2.
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός [email protected]ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 ∆εκεµβρίου 2013 60 / 59