i

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ ГЕОЛОГИИ И ГЕОФИЗИКИ

Препрuнm N!! 19

И. С. Чичинин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ

В ЖИДКОЙ СРЕДЕ БЛИЗКОРАСПОЛОЖЕННЫХ

СЕЙСМИЧЕСКИХ ИСТОЧНИКОВ ТИПА ПУЛЬСИРУЮЩЕГО

ГАЗОВОГО ШАРА

НОВОСИБИРСК 1988

УДК 550.8З4.53fi Чичинин И.С. Решение заnачи о !'заи�о�еР.стf.;ИИ в �идкоА сре-

1{е близкораСnОЛОJII:еннЪ1Х сер'смических !,fr'Т()Ч"I'!<ОR тИТ!а nУЛЬСirp\'1'­

тегО газового тара. - Новосибирск, 1988. 19 с. (Преnр./ИГwГ СО АН СССР; J,� 19).

Описан механизм t"ОРМИРОRания волm' цавления при ""rHO,.fO.,HOM осМБОJIЩенки сжатого газа в безграничной Fюrrной среце. Ноказа­

но, что при мал� &МnJlИТУnах колебани' им�ульснне м гармонwче­

ские "С'fочники , запОJlкеН/if,fе газом, могут рассма'fРИВ&'I'ЬСЯ с еци­

HЬ� nозmrиА, а при большом начажьном ц&Р.лении газа включается

eCTeCTBeHНI."p 1{eМТ1rГep, СОСТОяmий в том, что ел.иньrЙ газов,,'" пу­

зырь на стации повторного сжатия разбивается на множество мел­

ких nузwpеЙ. На основании исслецования свойств ОЦИНОЧНОГО источ·

ника прецложен способ реmения зацачи об излучении двух газОнаnо­

лненн!-� источников, а также ОЛНОГО источника, когца рЯДОм с НИМ

нахоцится ПУЗl>rрь, заrrОJlненm.rй газом.

Для гео�изиков. рабо'!'�тих в области морской сейсмо�,ве�-

ки И сnе'lиалИСТОЕ, занимаюmихся I'оnросами СОЗ'lания и nрименения

неI'ЗРьrвН!>� ИСТОЧНИКОR сейсмических БОЛН.

Препринт печатаетсп с авторского оригинала.

© Институт геологки. и геофизики СО АН СССР,

Ш38

В в е Д е н и е

Грynпирование источников, как известно, является испъ�анным средством повъ�ения интенсивности сейсмических_сигналов и гаше­

ния многих типов волн-помех. Сymествующая теория· группирования (или более общая -'rеория . интерФеренпионНЪJX систем)' исходит из

того ; что каждый отдельный источник излучает одно и.то же вол­новое лоле независимо QT того, работает он один или в группе.

То, что такое предположение не COB�M верно, Физически наиболее

нагляцно MOJl'HO ттре!l,ставить, когда используются источники Т1зр!>!в­

нога типа. И в самом целе, пусть при цействии, например, источ­

ника' Jf> 1 Образуется ттолость раlJ.иуса 1:{ (tJ , заполненная газом и разрушенными породами. F.слИ даже к моменту llейстния второго источника �Ta полость буцет находиться в'стации �ормирования,то

псе равно, волна, генерируемая ,и ::точником \;' 2, бунет У"'е не та,

как если бьт он работал при' отсутствии источника JF: 1, так как

изменилась окружаюmая cpe!Ia. При этом очевидно, что указанm'Й :'!1'teKT БУi,ет особенно omутИ-М, если полость нахоциться Н�!J,алеко

от источника � 2. Заметим, что ВОПРОС!,1,. затроиут}"е выше, возникают не только

при группировании источников, но и TOf'lJ.a. KOf'1a использvется оn.,иночm.!Й и�точник. rтомеmенный вблизи какой-либо pe�Kof1 грани­Т!Ы ра�'1ела. Особенно чаете 'ГаI':РР. граНИ:1ей Я:-!Iflет�я "1106(ЩНflЯ ("невная) ПОRеРХНGСТЬ. В �TaM (:лу'ще роль ИС'J'о·�rм}(а .\f ::: игРает

зеркальное отображение источника .\� Т. Теоретичесиое ИССЛ?'I1,О";<­ние взаИМОrtеР.с1'ВИЯ ист()чни!(ов в случае T;'epr<,Oi! ере,.!>' 'ЯRляе"!'('я

яесьма трупной заlJачеЙ .. И0�ТО"'у ПР�f1с"!'аf1ляе'!'ся r,1f�леСООбра.·н\"�.! начать его изучение с J!l:И!1ИОЙ сред,,', чт'о .М Гiрrщпринято "! ".анноЙ работе.

,R морскоУ. сейсморазве�ке� А HaCTo�ee Bpe�� повсеместно ис­

пользуются пневматиче�кие ист()чники [�. 5] • в которых сеисми-

1 .

ческая'волна возбуждается путем резкого или мгновенного осво­

бождеНИЯ'сжа'Т'ого воздуха. При работе таких источников путем не­сложного �ксперимента'МОЖНО увидеть, что после излучения перво­го ("полезного") импульса ис'Т'очник продолжает "жить", излучая.. повторные колебания или пу ЛЬСal\ИИ, являюmиеся' помехой щ,щелению

полеЗНОГО,сигнала. Кроме 'Т'ОГО, в направлении излучения полезно­го сигнала идут волны, oTp�eHныe от гранины "вода-воздух", и

волны, lIиркулируюmие меJ!'л,у· дном и поверхностью ЯОДh!, которые 'Т'о",е ЯВЛЯЮТСЯ помехой. Следует отметить, что подобного рода по­

мехи возбуждаются и другими _источниками, но они, особенно при

работах. на cynтe, оказываются более замаскИроваifньтми. Если бьт суммарный пропесс, состоящий из всех зтих помех, RКmJЧаютпих и "полезный" сигнал., имел достаточно раяномернрj;! (r.'Т't'лuа6раЭН!->lЙ)

_�нергетический спектр и мы бы его знали или могли узнагь, то �TaT прОl1есс можно БРло бы сжать.!? единыЙ кратко"ременн.ьТЙ им­

пулnс, используя Cnor.06H корреляr,ионного сжатия сигналОЯ, раз­

ЯИ'!'Ыi'! 11 l1ибраf!ИОННОЙ сейсморазнеnке, Пневматиt1еские.источники,

применяемые в морской сейсмОразведке, тем и привлекательнf,', что при Г�УППИРОRании таких источников, расположенн!->� на разнъ�

глубинах, в ПРИНllипе; мо)!(но обеспечить ге�ераrrию общего пропес­са, который обладал бы свойqтвом корреляr�ионной сжи�аемости. Знать или узнать этот пропесс тоже, в принттипе, можно, так как среn,а известна . . для зтого остается только хорошо изучить волны,

излучаемые оциночным пневмоисточником и группой таких источни­ков. IJель данной работы состоит также и в'том, чтобы способство­

вать развитию идей и разра�оток в указанном, очень перспеКТИR­ном, направлении.

1. Исходные формулы

При ведем кратко основные формулы и уравнения, используемые далее. Читатели, хорошо знакОмые с обсуждаемыми вопросами, мо­Г� рассматривать эти �ормулы просто как список используемых обозначений. Заметим, что в рассматриваемой задаче �рецелы изменения объема источника и давления внутри него очень веЛИl<и.;· амплитуда смещения частиц среды вблизи источника большая. ' По:,\­

тому мы здесь должны прежце всего_обосновать вопросы о том, на каком участке и при каких условиях можно использовать закон Гу­

ка, волновое уравнение и вытекаюmие из них следствия.

2

в жидкостях и газах роль закона Гука выполняет соотношение

oV �>f.VoP или av / V=xoP, (1.1)

где V - объем средь! (жидкости или газа), oV . - изменение объе­ма при изменении .Давления, JP - изменение давлеНИII, х. - сжи­маемОсть среды.

Сжкмаемость 'Хж ЖИ'1.КОС'1'еЙ. очень слабо зависит от давления и TeмrrepaTYpы. дли воды, например, ·nри атмосферном цавлении ра =

1 кГ/см": =IсРПа и Teмrre�T�e Т = '200с сжимаемость х-ж;" О,4'7'.10-9м2/Н = О,4 ? :,10-9мс /кг.

В газах сжкмаемость определяется из следующих положений. Rолновые пропессы nроисхоцят достаточно быстро и nO�TOмy можно счита't'ь, ЧТО,такие nроцессы ПРОИСХОдят по aJJ,иабатическому зако­

ну P{lJ[V{t)Y= l!опst, 0.2)

где v - коз!М1ипиент адиабатического расширении (для возд.уха при Т::: оОС'КО:oJ#ициент 'i' ::: 1,4; при БОООс - у ::: 1,345), V - мысленно вьщеленный малый объем, занятый некоторым fГик­

сиро ванным количеством чаСТИ!1 газа, Р (t) - давление в :oJTOM объеме.

ди<меренпируя выражение (1.2), получим

V�p + Р�V-.J-(dV = 0 , JV/V �-(Р'JТ�сlР. 0.3) Отсюда ви.г,но, что' сжимаемость газа определяется mормулой

, -( ХГ == (1JP) . 0.4)

Заметим, что знаки (пЛDС или минус) л nРИЕОДИМЫХ �ормулах запи­сят от условного направления отсчета. Поэтому, их i!елесообразно уточнять или оnрецелять на стадии записи окончательных расчетнъ� �Jрмул. Критерием эдесь является �изическая 'непротиворечивость получаемых следствий. Примеры такого уточнения знаков см. в ком­ментариях к_�ормулам (2.14, 3.?R).

В твердой среде закон Гука записывается обычно в виде

( 1.5 )

з

Желательно 'вь�ение (I.I) тоже вь�азить в поцобной Форме. Это можно сделать' следующим образом.

.

Пусть в жицкости перемеmивающие движения отсутствуют. ОБЬз­начим через Vo объем некоторого количества частиц среды,. ко'гца смещение частиu U (х., f/, z) ::: О . • При U:f. Q эти частиТ\ы займут объем V = vo + J V • При этом элемент d S поверхности So объе­ма Vo сместится от своего исходного положения.! . Обозначим через ип нормаль� к пов�рхности dS компоненту смещения zi то­чек поверхности SO . Очевидно, ч'l!О произвецение Ur,dS onpene­

�яет HeKoTopbrn сверхмалый объ�м. Если такие объемчики соберем по. всей поверхности So с учетом знака Цfl , то полученная. сумма и буцет равна ,5 V , Т.е.

.

. ' JV =jJUf/dS' =fl(UdS). . So So

Используя формулу OCTpoгpaДCKOГO� поверхностнь�. вь�аз ить через интеграл по �бъему

( I.б)

интеграл можем

f J с1} dS) =J/I di.v li d V ;, JV. 0.7)

so v;, Отсюца видно,_ЧТО если объем Vo выберем нае-только малым, что�ът ifУНКI!ИЯ d i. v U в пределах этого объема оставалась постоянной, то

д' V / Vo .::: d i..v iJ. Слелонательно, mормула (I.I) может быть записана в виде

еР = ра; ::: + х1н. divU(t).

( I.8)

0.9)

R случае газообразной срецы вместо �x следует поцставить 'Хг 110 формуле ( 1 . 4 ), .

Для количественного представления рассмотрим пример. Пусть 06neM V<'T nрецстаRляет' собой ciГepy' диаметром I м, заполненную

водой при �татическом давлеНии �7::: 2атм=2· I (i>ПQ .' Предположим '; что диаметр сферы каким-то образом уменьшился так, что давление

внутри ст�о р. ::: 200 атм :::' 2· I07ПQ·. (Давление порядка 200 атм

используется в существующих пневмоисточниках для морской�сейсмо­

разведки).Посмотрим, каково будет смещение U{-r) частипжидкciсти

внУтри b�epы (при отсутствии перемеmивающих движений в жицкости). В рассматриваемом примере р- Рст =. -�;: d.i v ц= еопst. Это мо­

жет быть TOJfbKO в ' �лучае, если и::: а. " , гце Q - некоторая

4

rrОС'1'ОflННая. Тогда d i v и", -j;z (J/J7;)(Z2. и) = 3а . rIОЦС'1'амяя внпе­

указаннь.е величиНЪ1, rrолучима= з-1'Jeх(Р-Рс,) == з-1.0,47 . 10-9 . ·1.98·107 =3.1·10-3. Таким образом, в пентре (т. '" О)' _смerцеН,ие

11= О, а в периrFери'и ('! = ?::о'" 0,5 м) смешение Сравно' (f = а '1::0:::: 3 / '

::: 1,5; 10- м. Как видим, величина и ?::,о относительного смet!lения

весьма мала. При таких смеmеНИflХ даже'в TBepць� телах закон' Гу­

ка вьmолняется удовлетворительно. ,

В случае газового пузыря при указанных'переrrацах �авления

объем газа будет, очевидно, меняться в значительнь� прецелах.

От'ени� это количественно.

, Пзст� , налример, вЬздух нахОДИТСfl Е баллоне с' объемом Vo = =7 ·JO- ц под давлением .% :: 200 атм. Выпуск этого воздуха б".л

осymествлен в воде под "колоколом" на 'глубине 10 м, 'где стати -

'ческое давление �r = 2 атм.

После установления перехоцных (волновь.�) Проt,ессов, которые

будем рассматривать в след�щем разделе, объем воздуха стал раВ-ным VCT Определить его можем по форму�е

, I/� р' v:V Pcrrcr = о О , 0. 10)

Подставляя указанные величины; получим V('� ", 189, 13· 10-3м3• Ра- '

диус 'tcr , определяемый из' Vcr � .14/3) д X�T ... ' Б УJ'l,ет равен

0,35БI м. Первоначальнь'й рали.Ус 6Ь'л 'l.o =(), Ilвб м , отношения

V /Vo -:;;:; г. r ц 'r:cr/'to'" 3, о. . "

,

При таких изменеНИflХ размеров газового пузьтря тормула типа

оР: t-)1рстаV!V,т =K;Jdivu .<1.I{)

для описания P{t) или ц(t) внутри пузыря не применима, так как

эта mормула получается следуюmим образом.

Обозначим объем '\.{, = Va -6'V, цамение Po"'Pcr't-ОР и поцста -

вим их В ( 1.10). Тогца ' '

(1+8 Р / Pcr)(f- clV / Va) �= { uirv- f + о Р/А,т '" (I-О'V/VcJ� . (Т. 12)

Если бы было аУ Iv..r < {, ТО можно было бы применить 1:<>РМj'ЛУ

тогца

I �(V+-()�' 1 2 " Р / РСТ =о у J V Vcr + 2 ! ( "V Уст) - .. ' ( 1. 13)

5

Отсюда вицно, ЧТО формулой (1.11) МОЖНО пользоваться, если вто -рой член разложения 0. 13) пренебрежимо мал по сравнению с пер­вым. А в рассматриваемых в-этой работе' зацв:чах это цалеко не так.

Забегая несколько вперец заметим, чТо удовлетворение закона Гука (Т.е. формул (1.9) и (1.11)) является' условием выпоЛнения волнового уравнения. Поэтому дальше мы не будем пытаТЬСlr описы­;вать 'mУНКlIИИ Р(О и и (t) внутри газового пузыря как решение волнового уравнения.

В газообразНь� и жидких средах вместо смещения и использу­ЮТ, обычно, скорость .7 '" ( tl/ tlf) i/ смещения. Это уцобно С тОй тоЧ­

ки зрения, что тогца не нацо прецполагать, что в' среце переме -шиванwе частии отсутствует. Формулу, связывающую скорость 7 с цаl'!лением р , получим из Р = Jгtliv{f, диdxbeренпируя по времени:

(f1 РО P(t.) = - Je=- .(di vJ. 0.14) Посмотрим, как вхоцит сжимаемость � в волнОвое уравнение. Сре­ца, заКJlЮченная мысленно в малом объеме V , может перемещать-:

ся как одно иелое'только в том случае, если разност� давлений, действующих на против_ оположных гранипах объема V 6удет отлич­

на от нуля, Т.е.

( 1. 15) Си.ча F р , возникшая за сч�т указанной разнипы давлений, идёт на ускорение массы'р V , Т.,е.

'р + 1т =0 О.15') ,где .р - плотность среды.

Интеграл Рр по поверхности S можно преобразовать в ин -те�рал по объему V , по формуле Гаусса-Острограл,ского.

/1 PdS =fJI9z;odp'dV. О V J"' V " бъем выбираем настолько малым, чтобы ФуНКlIИИ .р lf и �'rod Р

в пределах этого объема можно' б'ыло бы считать постоянными. Тогда вынОся эти -ФУНКlТии 'за знак интеграла и сок�тив величину V получ� знаменитое уравнение Эйлера:'

-

или Ц (t)=-'р�7:-аdР. 0.16)

6

Это ураRнение rюцстаRИМ' в (1.14), прецставив формулу (1. 14) в вк-це rr(t) =-�-fJivlJft). Тогца

' ,

р' ({) =х-! di v{ р-! �'(.,ad Р) :: (Jl.Рг'diV1",цd р = (х 'pT� I! (1.17)

или LI Р/t) = х р Pr-l) •

По �opMe этого волнового уравнения можно видеть, что скорость распространения волт! nавлр-ния равна

С'" (X]l< fжГ 'f (1.18)

в газовой среде, ИМР-Я в ВИЦУ а:: =N РГ' , см. (1.4), получим

(1. I9)

Как укаэъ!валось, основная задача у нас состоит в том, чтобы оnре­целить обmее поле давления, иэлучаемое группой источников. Что же нацо знать о кэ.ж:цом из этих источников, чтобы эта зацача бы­ла разрешимой?

Ответ'на этот вопрос �aeT так называемъ� интеграл Кирхгоma

[1] : ,( . f)-i� "l:./C ' tl li>-J/41:j"

P(x'�Jr,w) 4х �JI[f'j4)Yn({,J)-;Z- + Ps{"'��r jd-S,(UlО) (. S<, где P(J</�,Z,,,) -:- спектр Фурье цавления P(�/V,Z, t) , Si - I;1ЗЛУ­чаюmая поверхность i -го источника, � (w) -нормальная соста-

--вляюmая скорости :/ смеmения элемент'а d S , Ps ({,)) . - спектр �ьe цаВJlения, набmщаемого' на внешней стороне элемента d.f ,

t: - расстояние от точки 1(/ '1,1: набmoдения' до злр-мента dS ,Этот интеграл В,ъ!воцится 'на oCHoRe формулы Грина:

/11 (PJj'P,- Ч-'А Ч'){iV = /1 (Cf'9"C.ad<?- 'P9UJdjdSk 0. 2I)

v S Доказывается эта Формула очень просто:

Ч'jj 'Р = di у ('I'lj'(.,ad<f/) -17:. od ер {j'C.Od'l' . .

<ptJ Ч'=div(�')'(.,.оdЧ'J- '1т.аd (Р fj't.od<t •

При nодстановке этих mормул в (I.21)'.послецние слагаемые сокра­

Щ8llТСJII, дальше, на основании формулы OCTporpar:r,CKOrO (см. форму -лу 1.7), интеграл по объему заменяется интегралом по поверхно­

сти, ограничивanmей область V • Следует только иметь в виду,

7

что - '" нашем спучае область V буn?т пр?n,ставля'j'Ь собой ?ею сре­Т'..У. г nе нет ИС"'ОЧНИКОIJ RОЛН"' , а S - по?ерхнос'l'Ь ИСТОЧНИRа ИЛИ источнико!' , Т. е. если имее'1'СЯ "неСRОЛnRО ИС'1'ОЧНИК(Н', '1'0.5'= S( � $2 и,nраRал часть (I.21) преRра'l'И'l'СЯ в сумму интегралов гто поверх­HOC'!'1IM' Si . Области � , нахоnятпиеся внутри ИСТОЧКИRОR. м .. , зп?сь не рассмаТРИRаем.

Даш�е, что6ы получить rf1ормулу (Т. 20 \ I/r.:,пользуется BCГYOIJO­"t"У'f'льная (f"уНКТ1ия

0.22) наз"'�,!lема" "+ункпиеj;\ Грина". Центр этой rf\ункlТИИ пометают в точку набmo.r�еНИ1I I1(У., '1,%) , Т.е. в точку Х, ,:/,L , rn,e '2:: = О • Роль if\ункттии lf' Яl>'Т10ЛНl!ет cfтeKTp паl'Лf'НИ1l Р (�, f//L, "') • Очевиn,но, что Ар+кгр=о , K2.=(.V2;!cZ �o всех точках "POCTpa�CTBa V, Rкmoчан ТОЧХИ, расположенные на ПОRеРХНОСТ1IХ Si : ФУН1t!IИЯ .гри­на тоже y-п,оялеТFIOряет ураFН?НИЮ iJ fI'+K2f1' � О везд? • за Jlскmoчением ' точкм т.==,О .- Поэтому точку t:-= О nрецлагаеТСII ОКрyJl(ить сtерой с рапиусом 'l- � И область V ш , нахОД1!111УЮСII внутри З!l'Ого шара, v.СК}mчить израссмо'Г,ренI'!J'I. Тогда в области V -. VШ буцр-м иметь

<p�� - 'PtJ<jJ = у>(-к2ср)- 'P(-к2sP)=О, сле.rт.О'1Rтельно, �рмула 0.21) "?е06ретает вид

}/ (�!�04 fF -9' 97:-Qd'f'JdS+ J !(Ч'97:-0dЧJ- 'Pr-r;оd9JdS= О, s , _ SШ '

где SШ - по!3ерхность lI!apa с пентром в точке 'l: = О , имеющей КО­орлина'!'н 1:., у, Z;

После1!nv.Й Юfгеграл берется. И в сам'ОМf\f'ле, рsлиус '2::0 тара 'можем выбра'!'ъ нас'!'олько малнм, чтоб", ? пре.!!елах �'Т"oгo Шара. зна­чении' "'УНКf'ИЙ ер И j;;od f,P �еня.лись hp-зна:чи'I'СЛ!>НО.· ТОГ;lа

11 lflj"C-CLd4'dS' = <;'(х, IJ,X)' 'tX(jK"[.o -f)�il('Со:::.-Ij:i:. �(X,:;,x.) Sш

пр� �o -- О ; а слагаемое

-J1 'P'l�od f,PdS == -:;'2::Cld SШ .

Т7;рп �o = О ; fio�'I'o�y ,

1 ffl ' ( ' ' ':f(x, ,/,х) =. ;-;- [Yj?.C1 d (� eJl(r)_� eiKr. ;Jt:-С/d'f>]JS. 0.23)

. �А: S 8

" Как указывалось; <fJ{X,fI,X) = P(J('f/,X,CJ) • Формула 0.16) в спектральной области будет ВNГлкцеть схедующим образом

i'C-оdР-= +�U({V)=-j"'.f7("),ОчевIIДНО, что д'd$j=<�1dS- .Кроме того,

�Zad(� t:'iK'r;}d.S== i, (! �il<'r. )dS. . .

ПодстаВJllI1I эти Формулы в (Т. 23), получим Формулу О. 20) •

Из mорму.лът (1.20) видно: . ЧТО'бы определитр пОле давлеНИII Р (х/ fI, % I CJ) , нмо 'знать давление. ps {11) на nOBepXHOCTJIIX В, ис'":

точников и нормальную к поверхности Si каждого источника КОМ­поненту :7n( ш) скорости смemеНИII чаСТИIJ на этой поверхности или вместо � (t..J) ,МОЖ.ет бьrrь задана нормальнаll компонента гjщ-. " � диента давления, Т.е. использована формула9-r:аd P=-j�f'7(и1.

2. Оnиночнъ1Й ист()чник в безграничном водном· пространстве

Отдельные вопросы, касаюшиеС1\: теории генераl.ТИИ упругой вол-'ны в жидкой среде nри.цеЙсТвии сiN!рического источника, заполнен­ного газом, рассматривались'ВО многих·РаБОТах. Однако' при по. �

nЪ�Ke исnользоваНИ1\:'результаТОБ этих ра60Т дл� исследоваНИ1\:. 60-лее СЛОЖНЫХ пропессов, как нВ:nример, взаимодействие источников , nолучаеТС1\:/ так, чтО НМО, nОЯТОРlrГь или пересматривать исходнъrе предположения и ВI>IВОД многих mормул, nриведенных или 'no�eHНЫX !J тех или инътх работах. Поэтому в·св�зи с TeM� что в наСТО1UПее вре­M� нет обобЩЭJaшей работы, а потребность в зтом имеет'СЯ, в цанном разцеле сцелана nOnb�Ka излОжить теорию излучения газозаполнен -НI>ТХ источников в некотором систематизирОRанном Rице.

Источник nредставл�ем R вице nульсируюmего шара (пуз���) , заполненного в�зцухом (или JII)(')ЫМ газом). ПульсаПИJII тара (т.е.

'изменение его радиуса) может происходить за счет ост'ЮбомениJ'l сжатого газа или за счеТ.!lарообразования при мrновенном·вКJIЮ -чении MOI11Hqro нагревате;Льного элемента или же просто из-за ,взры­ва какой-либо ВЗРЬ1вчатой смеси. Хотя до взрыва 'или BьтrrycKa газа· "источник" прецстаR.irяет собой просто HeKqTopoe тверцое тело, тем не менее, следуя [8] , будем считать, что газ в источнике суте-

9

ствовал всегда, но,только до некоторого момента времени i =to

газ нах9ДИЛС!"В некотором сФерическом невесомом сосуде, пред

ставл�mим, например, тонкую резинонyIO жамеру с мозаичным кожу­

ХОм. Кожух "ПРИТJIIНУТ" к пентру мара невидимыми ,спипами.ОБЩaJII си­

на, приложеННaJII к спицам дли удержания газа в сжатом �стоянии, равна �x = F(} • Расширение газового пузыря представляем так, как будто бь' сила! Fs .. ум

'еньmается или

'вообще при i q to становится

равной НУJПO. 3аМетим, что этой Ж8-> моделью можно описывать истОчники типа

"флексишок", Т.е. источники, OCHOBaнньr8,

на схлопь,,�ании объема с вакуумом. В этом случае считаем, что газ в камере находится в ,очень разреженНом состОянии. Указанные спицы распирают камеру, в момент, t '= to распирающая сила мгновенно исчезает, и обо'лочка истоuника поц цействием внешнего, давления устремляется в еторо­нy,!1eH�pa. Но: чтобы не созцаl'jать неоnрецеленность в исхоцнь'Х �aHH-'X этот случай опишем отцельно, а здесь процолжим рассмо -

трение ИСТОЧНИКОВ, основаннь'Х на эmmекте расширения газо�ого nузьrpя. Пропесс всnлытяя газового ПУЗЫРJII на поверхность рассма­тривать здесь не будем, так как этот пропесс весьма медленный и

за BpeMJII формироваНИJII волны центр газового ПУЗЬ�JII практически oCTaHeTCJII на месте.

Таким образом" в рассматриваемой мод'ели система ( источнию OCTaeтCJII всегда оцной и той же, только в ней сила Fsx является �J"ией времени. Дл" nневмат�чеСJ(ИХ источников с очень малыМ временем открытия клапана, выnускаюmего воздух, сила � .. (t) может

ОПИСЫRаться

Оцнако дет, nе.РеЙТJI пеССОR, так бесконечное

ЧТО

в виде ступеньки:

F. t) =:; fi=o- при ,� � to 6.(; 20 прц t � to• (2.1)

при таком определении силы Fc .. (t.) потОм трудно бу­к спектральному представлеНIm рассматриваемых npo­

как спектр �"(,,,) такой силы на частоте ""= О имеет значение: Чтобы обойти эту трудность будем считать.

!Foe",,(t-to) a�ц/! f: t<y {, ,, (t) = Lo ' Пj>l/,t,}-tо. (2.2)

Спектр этой mункпии равен

(2.3)

10

Козd':ФИlТиент о<- може'!' быть величиной очень ммоЙ. Таким обра -зом, считаем, что сила �.(t) очень медленно ст�гивает оболочку источника к иентру (т.е. как бы "взводи'!''' источник) JI в момент t = [о "отпускает" ,его. оболочку.

Уравнение равновеси� сил будет выгл�еть следующим образом

fн. (с) -t- Fr (t) = fit{tJ, ( 2. 4)

где

FIf{l} == Sz{ptrr + Рн (t)J I 'St- =f//C"t-2(t), Iir-t-IJJt)- давяение, наб�даемое в жидкос'!'и на внешней стороне оболочки источника , �T - ста'!'ическое цавление на. месте установки источника, � (t) -

- сила, с которой внеш�� среда цавит на оболочку ИС'I'очника , Frrt.J =S"p"(f.) , р,. - цавление газа внутри камеры (Оболочки); FвJ((t)­- �K 'укаэывалось, �вл�етс� СИЛОЙ, дейс'!'вующей на оболочку JlС ­ТОЧНJIКа через "спицы".

у многих ис'!'очников, особенно источников пневматического типа, извес'!'НblМИ бывает .исходное цавление Рго В камере JI объем

Vro этЬй камеры. 'Дл� таких ИСТОЧНИКОв величину Fo , mигуриру­Ю"'У" в (2.1) - (2. 3), можно счита'l'Ь извес'!'ной:

F(J =- (Рго - f1.T}$ro, (2.5)

где Sro- поверхнос'!'ь объема Vro , представленного в ФОрме шара.

2.1. Gnyчай малых пульсаttий оболочки иq'!'очника

Исходным положением зцесь также RB�eTc� закон (1.2) ациа-батического расmирени�'Газов: /

Pr{t)V:{t) = Pro V/o = �rV:r'�- ( 2.6)

где VCT - объем камеры при статическом давлении Ч'Т •

Используем обозначени�:

P-rJt) = Рст + P;.(i) V"T ={4/3):JC?;!r I

В рассматриваемом сnyчае'

Vr (tj = Уа + Vr(t), (2.7)

Vr (с) == (.4jЗ)Jt-r:.3(t), -r,(t)= '[;ст+ {/(t)

'/Pr(t)1 Pc�{ �<. f I (Уг (Ц/ vc1 «! , IUI"(;�� « f . Уравнение (2.4) равновеси� сил. запишем в виде

/ II

Здесь

Поэтому

(2.9)

в ВИДУ малости де�ормаций в разложении (1.13) можем.ограниqитьс� линейИЬ1М членом

� -! _ -1 F}.(t)Pc-г - -JlVc.г Vr(t). (2 • .10)

ИЗ Обозна�ений (2.?) видно, что

V rt) = V; - Уа = (/.t /3) x[rtcг +щ3- -r,3j Z; Ir х т.�г {/щ. r . . ' Теперь уравнение равновеси� сил будет выгл�еть сле�уюmим обра­зом

(2.12)

где

� - Scr 'j) Рсг 2 _ _ \/ /t.1i.'l:..cr(./{t..}-KHU(�), КН - (2:гг-ст)}Ра• Уст _ При ?аКОй записи � (О можно пре.tJ,ставлlМ'Ь {{ак силу, КQТОрая иает' на СJ!'атие или раСТlIЖение газовой среЦЬ1, Т.е. некоторой "пру-)!'ины", с жесткость� К,., • Эта "пружина" при 'l: < 'l:.cт (т.е. при

U:i.-7:.сг<О) нахол,ится в ежатам состоянии, а при '!:.)'Z:"T в растя­нутом.

_ Изяестно (см.', наприМер, работу [81 ' спе�тр)!;; ((,.}) . силы Fff{t/ =:"S(TPH (-С) ся�зан. сО спектром Ун-(ЧJ) скорости (f (t) rтеремеще ния оболочки по maрмуле

1н(Cv) =Zн:tн(�) ZH=RH+j'(/f' (2.13) ( 'х ' /. 3' ({+ пг)-! R,., = /tт'С.::грCf.9?.(f+'92Г., j н = f(,oJ тн , тн = .. ХТ"г'Р -r ,

где '9:: (,,)·'С.а(!-I , .р - ПЛОТI-!ОСТЬ воды, Хн (t..J) - соrтротивление и· зЛУЧения. ФуНКIJИЮ m".(9) назы�aIoтT "rтрисоелиненно.й массоЙ".

испо.льзу� эти формулы, уравнение равно�еси� сил можем.заrти-­сать в виде

12

FG.(<v)=rRH +-;"<..)/77';+ 1(" ):/,.,(4)), JH((..J)=/CJ{/(W). jc.; Заметим, что величину I? н 'МОЖНО ИСПОЛЬЗ0ватf, таюrе rtJ!Я ни!! знака (плюс или минус) используемых !l':VН�I!ИЙ, так как вн�я моrnность излучения Qfтись'вается 1'<>рмулой

w = 2-1 R 1;/'/ н н tf ,

'l'!'очне­ак'Ги-

а активны мощность не может быть ОТРИ1Тательной RеЛИЧИНО;t. !{рuмг тог.о, в выражении

" слагаемые Ыl и шг д о.лж ю" �eTЬ раЗНI,'е знаки, так как ре�Онаl-/С

c.>;7"W2.=O массы т;{ на "пружине" К н имеет место на ?(>",е("т -венной частоте CJ =- (Кн/Пl,,)I/2 . Именно ,зти соображения F.ик'!'уют,

что В rl'ре1\nтдymей rгормуле перед силой � (t) цол�ен СтD,ять знак ми­нус.

Уравнение раJ?новесия сил теперь приобретаеТ,iЗИll:

�' r,.,(c.;)_ 'ZH(ЧJ)JHfc.J)_ Xt((4)) � (l<JJ, -- ( �, . Т", '," Р. (Ц) = -- - , - -f " , . , н , Scr' Scr ZIf(и;I-К,/jc.J) S<,I Сила KH;J,.=fR -иде'!' на' излучение упругой RОЛНn',а сила Fm=j4JmH7ff, трат�тся на переме:nеНИf! Т'\'!1а-("""и" Tj::;JI-IСО8'lИН,,?ННОЙ fl.accl.-' ГТ7н• Пр" зтОМ � +-r;" = S It . Отношение

F,; = R" = с' 92 ' = 9 , /Fml G<JГТ7н c..J'2::ct--

Rолна цавления, излучаемая пульсируюrцим шаром Б, ЛlfJ60v. точке ЖИ',--костного'пространства, опре1\еляется по фор�vле:

'2:: " P(R, (л)) = ;r Р..., (6)) tt-jcv(R-т'сr)с-f • (2.15)

Скорос,ть.:! переметения части!' жицкости опреr:,СЛИМ :.1з �ypll'He­ния Эйлера (I.I6):

Ur.t) == 7(t} " 7(О =-р-I 9Т,Qd P(R, t)

'J{w) =- (jc.JРГ g't.adP(R) =уц),РГ 1(c//tlR}P(R, t:cJ), Подставляя сюца (2.16), получим �

:r (ц)) = + (jlJ рГ {( � - �� "(;cr ) рн (�),,-i"'(R-"[;сг)('-� (2. H�� l'аким ОбразDМ, поставленная зf.tl!ача !1ЛЯ случая малых пульса-

13

пий решена полностью. Отметим, что в случае источника типа "mлексишок" и прецпо -

ложе нии /tfi/-r:.-;':/<<;{Bce Формульт (2.I)-U�.Iб) остаются в силе, величина F" по-прежнему опре�еЛЯI:!ТСЯ ttoрмулой . ( 2.5) , только е-о <: P.:r ц STQ > 5.:r. Перейдем к рассмотрению СЛУЧf?я больших пере­меmениЙ.

2.2. Об'llее Т!рецставление о пропессе r1\Ормиро Аания волим! цавления �ри вьтуске в воду сжатого газа

в книге [ 4 ] . ПРИRОЦЯТСЯ кинокаДРh! скоростей киносъемки про-Т!есса развития газового пузыря при ВЗРh!Rе небольulОГО заряца f'зррвчатого мтества (88) R воце. Для описания наблюдаемой rгои 31'Ом картины обозначим через l:o исхоцный радиус. газовой оболочки, через 'r:, - раllИУС газового пуэьтря· в момент времени, }{ОГllа ItaВЛЕ''-!ИА Р, газа, r.НV'1'.ри пузыря .равно внешнему ста'l'ичес -ROмy давлению �T , и через Z;z - максимальный ра'ц,иус пузыря. :ia зтих кинокадрах видно, что пузырь имеет почТи ИJl,�альную сфе-" . рическую торму; сначаларациус пузыря очень 6ыстро растет; цаль-те, 'Замедляясь Т!роходит расчетное 'значение 'z:, . И с, относительно малой скоростью достигает значения 1::г. • После зто·го ицет про ­песс обратного дsижения ( Т:;г.- 'l:.,.-?::o). В KOHrт� пути ( 7:..,- 'l:,, ) пузырь теряет сmерическую Форму и разбивается на мелкие части. На6людения показhlВают; что при использовании пневматических ис­тОчников OTpa60TaHHb� воздух всТ!лывает на Т!оверхностъ тоже в ви­де массы мелких ТУузьтрьков. Это говорит О том, что при работе Т!нев,:,оисточника воз:ц;утпный пузырь в JCOffire пути ( 7:., -- 7::" ) раз6ивается на мелкие части •

тоже

. С"ледует отметить, Ч'Т'о указанный зфflект раcmепления . Т!УЗЫР!'! !'!вляется'решающим Фактором, делающим nневмОИСТОЧНИКИ пригодными для исТ!рльзованиl'! их в сейсморазведке. дело в том, что система "газовьтй пузырь .;.. воцн8.1! среда" I'!!!Лl'!етсl'! ВЫСОJCОДО6ротной систе­мой. В ЭТОм легко можно убедиться; рассматривая спектр волны да­влении по формулам (2.I5) и (2;I6). Именно из-за того, что в конне rrути ( 'z:f - ·7:.0) возnymный пузырь разбиваетс!'! на \мелкие части, параметрьт вьтmеуказанной системы� "пузъ!рь-вода" резко ме­НЯЮ'l'ся, коле6ательнътй Т!ропесс как бы обрывается. Из-за такого

14

демnфировани� излучаема� волна давлени� оказывается достаточно широкополосной. ОбраЗо.вавшиеся пузырьки тоже

-колеБJlJDТС�. Но раз­

меры этих пузырьков не оцинаковы, резонансные частоты колебаний отдельных пузырьков расположены н очень высоких частотах. Bc� область, за�тая этими пузь�ьками, представляет собой менее дОб­ротную систему. Видимь� период колебаний, генерируемых ЭТОй ot­ласть�, несколько меньше длительности первого llикла движения оболочки по пути - 1!;о- '(.2- �o • Амплитуда давления этих коле ­бaHий в сейсмической области частОт в 5. � IO раз меньше, чем - -первые два импульса цавления, которые рождаются в начале движе-НИ!! ( "!- о'" -z: ) оболочки и в KOНIJe первого никла движения (t: - l::).

_ . ,4 4) Проnесс формирования мелких пузырьков ( их размеры, количество, взаимное расположение и·т.д.) связаны, . по-видимому, со случай­т1МИ Факторами, которые в настояmее время неизвестны и поэтому их математическое описание затруднено. Поэтому имея в виду, что волны-помехи, излуЧаемые указанной областыо' не очень интенсив-- . , . т!, далее сосредоточим внимани� на описание первого цикла дви-жения ( 't." - 't-z --:.. '1:.0 ) гранит! "газ-вода", пос;кольку' здесь рож­даются полезный сейсмический сигнал излучения ( первь� импульс давления) и главная помеха � второй импульс давления.

Известно, что давление �(�) пульсируюmего шара, заданное в точках R = Rf (т.е. на неподвижной сmерической оболочке Sf({= = 4:т<. R,z ) , дальше распространиеТС1! по закону

P(R,t):= :( Pllt(Z), z: = t - (,f- R1).C-". (2. I? )

Это является решением волнового уравнеНия .1 Р = c-z.( �it!f.2) Р , так как

_ tiZ г tl _ R{ (12· ) LI Р = d Rz Р + R' t7R Р = с R dZZ�.f (с 1

{ jJZ R.., (f2 ('2 ot2 р = c'R cl�:? PR1 (т:) •

В нашем случае оБОЛОЧ1<а S = 4 ох ?;г(о не явл�ется неподвижной, но в то же �ремя за оБОЛОЧКОЙ·(в воде) закон Ньютона (I.I6) и закон Гука ( Р = -ae.-'ct i-v и ) , лежащие в Основе - волнового уравнени� , вьmолняются удовлетворительно.

Следует отметить, что при взрывных пропессах возникают так назы'" .змые ударные волт!, КОТОРЬ$ описываются более сложными ура-

•

15

рнениями, ЧРМ '10ЛНОRРР. Ог.нако ЯRления, СRязанн},rе с 'Уl1.арными

Rолнами, с'Гановя'Гся зэ.t.<етными только ТОГllа, когца скорость ЦRИ -жения граниrп,I "газ-цоn.а" окаЗJ,ТRается сраRНИМОЙ со скОростью упру­гОй яоднн. Забегая несколько ,вперец укажем, что при давлени­ях IOO-200 атм, исrтользуемьтх в сейсмораз ведочньrx nневматичес ­ких истоuниках, скорость JH I1,RИ?l'ени

,Я указанной гранит ты не. nре­

'щпает 4% 'От скорости С � 1500 м/супругой ролны В Боде. По-. , э"'ому 'М},1 IJполне можем СtJитатъ , . что упарнъrе RОЛНы R рассматривае-

M!.,rx случаях не вОзникают или же они тtренебрежимо малы. О неко-

1'opf,ТX С'10ЙСтВах волн'" 1R.RлеНИ1!, возбужцаемой при использовании ЦЗРРRча'1'mt: ве"1естя, см. п,алъmе, R коюте Э'1'ого разд�'ла.

Случай источника с переменньrм радиусом nредлагается рассма­'!'РИРВ'!'Ь так, как

' бу�то бн действует не оцин, а ' много кратковре­

менньтх истОЧНИКОR r.,аRления, имеюmих ралиу�ьт '(:К, = '(: (1( L! t) " '� = 1.;;, • • . • �ти источники срабаты1аютT _nослецовательно. Каж-1ЫЙ источник излучает 1'Iолну

, .1'1 ) - т.к г> (У t) / ' . R- ;::�) , - � ( R ,t - R 'н ".1 'л I t -, (< fj t - -с- )

- (2.18)

,Т'718 7:,, ' И PH(KiJ О' - рациус 'и давление на оболочке R == z:,< ис­точника в момент t =К.1 t, П(l:) - узкий прЯМО'угольный импульс с Р1lИНИЧНОЙ Вf,'сотой, т.е. л(r}= f при-О�Т��t •

<!':vню�ия t�J R, t) при R.:} т.к УДОRлетворяет �волнопому уравне­HIOO, посколыtу -r.ормула (2.16)' ничем не отличает с!! 01'(2.17).

� точках R � 1:: (КIJt)"щ будет на6moпаться вОлна

Pr.(R,t)'='L PI<J8,t). (2.19) 1< ,

ijри "t- (К J l) < т.(( к + ПА t) импульс", В :;IТОЙ сумме будут несколько наклап.НР.ilТЬ(;Я дгуТ' на друга, а при r..(KA't)?"C- (( К+ ']А t) между ""mулм':iми uбраЗУ1!)ТСЯ "rтеJlIf". R цействителъности же никаких 11 на- '

кла�ок п- и ",!!слр(1" ,не б.удет, а про ('то � "ервом �лучае ам"литуца

!i (R, t.) бу�Р.т н,есколъко ' возрастать, а EO-ВТОром - соответствен-

но \rMP.I-!Ы'llет,�я . Rce зто тtроисходит rтpOCTO потому , что рас­,�т')яние О'!' �ЗЛVЧ'1!Мtе('\ "оперхнос"'и 's'( (С) rт,o точки набл�щения:,

'т.е. раСС'1'ояние 1- =R--c.(t) мР.няется . Если зто изменениР. paG-

СТО"РИ1! 6У!1.ет LlI- {,' )../1 • гце ;L - длина 80ЛЮ- Т, та ИСRажение вол­HP rЩ!'\Лf'!iИR Эil счР.т укаЗIJННf,ТХ накладок

' б:vцет маЛО'заметным. для

p�MЬН'.'X сейсмических ИСТО'�НИКОА А L < f м • При таких. размерах

16

указанные искажения не будут Поэтому в сейсморазведочном определить по moрмуле

заметными до чаСТОТ ПОРllдiщ 400 ГII. циап.аз Оне частОт давление можно

, ) _' R{ P(R, t - 7г 8 (1:) , ( 2. 20)

где R1 - раССТОlПiие от пентра ПУЗЫРIl д? некоторой <tиксирован ­нОй точки, относительно которой определяется давление ' для нсех расстояний R � R1 • ФуНКПИJ!' В ('t:) определяется при R = R 1 как ,

I ' В (t) = R; ?;(t)PH (t) . Пt>И подстановке этой if1oрмулЬ! в ( 2. 20) рас-стояние R f МОЖНО ' и сократить , оно сохранится только в , mуикnии 1: (t , R)' , тем не менее .введение точки R= R 1 обеспечивает d\и­

зическую наГЛIIДНОСТЬ определения Функции В ('t:) • из опРеделении

d'ункnии В (t.) видно , ttТO временем пробега волны от "r: до Rf , пренебрегается. Поэтому, чтобы не 'было большой ошибки, точку R1 пелесообразно выбирать 'как можно ближе к оболочке источника . На-пример, R1 = 'l: (t)mQХ,ИЛИ Rf == � {О . .

I

Таким образом, ната БJ!ИЖайшi:щ задача будет состоять в том, чтОбы определить d'ункпию В ('l:) с достаточно высокой точностью в пределах "ервого никла ("(;.0 .... "(;.2: 'r�) движения гранипы "газ-яода" и выя вить , что От чего зависит .

2 . 3 . ' Уравнение движения газовой оболочки

Ураянеh-ие .р ii + g'/:.QdP= О Эйлера и в цанном случае остается справе1'(ЛИВЬ'М, только ускорение U(t) частип ЖИДКО�'1'и ' надо по-нимать сле1'\уюmим образом. Через "С. (t) обозначаем п6-прежне� ра­диус оболочки газового пузыря, а через 'r.i (t) - расс�ояние от !!ентра пузЩJЯ до некоторой час'l'ИПЫ жицкости. 13 неrJQЗМ,V'1Тенноn во­Д е З'l'о раСС'I'ояние обоз начим через � . Очевицно . что !.i = �i t.i = i" .;:: .:{ и .::'с' = Ji (с ' . "с (О, 'Ri ) � Поэтому

ii = (rJ/tlt)�. (t; 'с ( t)) = ( ;;/tlt) 7;.' + [( d/ r1t.' :!J ({l/O'i)'C, (t) , ' но ( CJ/ cJt)-с. (t.) = (с( jdt)"l c e) :=:fн (с) - СКОрОСТЬ переМf!I!!ения гра ­иипн "газ-воnа" . Следовательно , '

(;: . 2 0 Имея � яиц,V, ttТ O � "С- u. dР(.RJ i) = (3/tlR)Р(R, t), уравнение ::1йлера заrrиmем R вице

I7

(;/rJt)� + Jh {() (tJjrl-t):/'" = : (!f/;N! � (R , t) JR = �< ' ( 2 . 22)

Дли частиц ЖИДКОСТИ , касаюmИХС1I границы "газ-вода" , очевидно , что . .7;: = 7н . •

из уравнеНИII ( 2 . 22) Иа.цо определить фУНКШIЮ :J,/t) ИЛJl � (t} •

При некоторых предположениях, о KOTOpь� речь пойдет дальше , ура-внение ( 2. 22 ) приводится к виду

.

Т- (t) . d2t: (t) + 2.. [ d7:. (t ) ] � .1 . . ( 2 . 23 ) d t 2. г. d t - .р Рн (О , где РI1 - избыточное даВJlение на гранине "газ.-вода" , Т . е .

у -)1 " рн = р,. - Рс.т = ?го Vro Vr (t) - �T = Р,.О (';'<>/z:::)3� fl.r ' Переход от ( 2. 22) к ( 2 . 23 ) осymеСТВJlЯете� обычно следующим ОбразОм .

Предполагается , что жидкость несжимаема, Т . е . diV:J,.: = 0 •

Отсюца

i { J - 2 tl diV �· (R) == R 2. ;JR ( R, �· )J = R !t +t1R �' = О, ( 2. 24 )

Дли -частиrт жидкости , касаюЩИХСII оболочки пузыря, считаеТСII, что

:f - :1. .d. :r. - cl ..., d p � . ( 2 25 ) i. - н , t1r. н -(JR .!H , cJ-r:. = ТR Р. •

Тогца di vJн = г -r:.-f.:!н + (О/t1т:):Jн = О J.! ураJ\нение ( 2 . 22) будет выгллцеть следуюmим образом

( d/tlt.):1H - z(z:::г 1-:;: = _ .; itl/dT) p. ( 2 . 26 )

Скорость :Jн ттрецлагаетси искать в форме J;,. == -z;-:;(t), где .! (t.) -- некоторая неизвестная функция. Тогда (djс?t)7н =: 7:.-г. j О) '" ( с} (clt}:JH - .: :1; = -fг. j.- �!1' ;2.= (djtl7:.)f { + г.1 '(.4 J2 ).

Подставляя это выражение в (;?. 2б ) , .получим . l ' I { .f + - ;2 = <> пн (-r:.) + с , - -;z 2. -cf .r Г. ( 2 . Z7)

Т . е . избавились от оттерапии t1jtl'! далее

, с - некоторая постоянная .

j = (;; r1f) f Щ := (rJ/rJt.)r·�.zrt.) JH (t) ] = г. z- :7: +- zZ.{t/jtlf} 1, ••

ПоцстаНОRка этой �6рмулы в ( 2 : 27 ) цает . . . . 5 & J "'(,. (tI /rJt;' 7н +- г: ;;;' = р рн ('С) - t.' ,

18

{ 2 . 28 )

( 2 . 29 )

Отсюда уже - нетрудно получить ( 2 . 23 ) . Следует заметить , что пред­положения и операuия , описываемые .�ормулами ( 2 . 24 ) - ( 2 . 28), не

- очень убедительны. Нелинейное уравнение ( 2 . 23 ) в ПРИНtJипе реша­ется . Но при зтом промежуточные форму� и окончательная форму -ла для 'l: (О оказываются очень громоздкими [ 3 ] и проследить пО ним физический смътсл исследуемых зависимостей цовольно затруд­нительно . Поэтому мы дальше , следуя �аботе [ 8 1 , изложим цругой метод .

В пропессе движения гранитl "газ-вода" от верmается работа 'l:

!l (7:0' 'L) = f F" (z/) dT/)

где 1:0 . ( 2. 30) ,

Напомним : через 1:0 у нас обозначен первоначальный радиус , ис­точника ( ДО Бъmуска сжатого воздуха ) , 't, - радиус газ ового пу ­зыpя в момент времени , когда давление . pr газа внутри пузыря равно lIHemHeHY статическому цавленито !/'т Сила F" идет на ИЗ Jlучение упругой волн},, И на перемещение "при­соединенной" массы т" , т . е . FIf = F� + Fm • В гармоническом ре­жиме ?тноmение rR / Fm = (.J "c' с-I , см . mормулу ( 2 . 15 ' ) . в сей­сморазведочном диапазоне частот и при реальных значениях � ве­личина t.I 'l: C- / .: < f . Кроме того , дальше будет показа:но , ЧТО КПД обычных пневматических ( имnульснътх) ИСТОЧНИКОв составляет не бо­лее 5%. Поэтому, пренебрегая энергией излучени" , считаем , что вся работа 1/ в интервале движеНЮI от '%:0 до 't. ( перехоцит Б кинетическУ1О энергию "присоединенной" Maccы тн , Т . е . ( -f/2)m"("С}:f,,Z(r.) '" fI . из ( 2 . 13) видно , что "присоециненна,,'" масса т" =о 4'x�p , - так как при реальных значениях 't: величина :z2= =:=[UJr.o':'JZ< !. Следовательно , - -

1:-:JH2.(�) � �(�) 11 = 2 (т" (�) Г 'f 4х т.2 ( R- - fl.r)dr/. ( 2 . 3 1 )

oz;o ОстаНОВИМСII- на одном JJЮ60ПЫТЯОМ оБСТОlIтельстве : проциdvЬеренпи­руем уравнение ( ! /z) т" (т-):J} -= 11 по переменной 'l: • Тогда

_ "(; JH (clltl�)7" + (З/2)J}- =;- ( f /p) (!>r - �T) ' ( 2 . 32)

ИЗ физических соображений представляется очевидным, что ско -

19

рость ::t,ч граНИtты "газ-вода" однозначно определяется значе -

нием 't: , т . е . . с.лепует записать так: :J" = :1" (,r, (t.))}

(iI/tY'tPf( =[(o!tlZ:) J,,](d/ot) = JH (o/clr):J". ( 2. 33 )

Используя зту dюрмулу в ( 2 . 3 2 ) , получим . СУ г. 2 = ' ( 'r..(Jt Jf( t- з<Jн р P - �r) . (?.34 )

Как видим, п�лученная формУла совпадает 'с ( 2 . 29 ) , хотя здесь не понадо6илось делать ряд не очень убедительных допущений.

Обратим внимание на то , что при з аписи roормулы . ( 2 . 21 ) для

' ускорения мы предполагали . что скорость � = JJt, "t Jt)) • Здесь же при записи ( 2. ЗЗ ) считаем, что скорость J" = J" (r. (t) • Почему

такая разнипа?

делQ.. в том, ЧТО tfJУНКI!И1) � МЬ! понимаем как скорость пере-метения частиu жидкости и только на гранине "газ-вода:' :{ "' :lH Скорость перемеmениЯ· чаСТИI1 так же, как давление, УХО!lИ� от ис­точника как волна:. если на некотором , расстоянии R( от источ­

чика имеет место )� (t) ::: 7, ( t) , то на расстоянии R будем наб­

JOOТ\атъ . ЗТОТ пропесс в виде '" J, (t - (R - R�) c.-:I) • Если ' даже R :::

-:о Rrt) , то tlce равно при выполнении ' операпии (t!/!lt) считается, что R:: сопsi • Поэтому ускоренИе части!! жи�кости мь' записали в

ви�е ( 2.21) . При записи же Формулы ( 2 . 33 ) мы имеем в виду, ЧТО скорость 7н грани1.Thl .газ""вода' не может "убежать" от нас, как

волна. П6зтому Ун зависит только от 'С (с) •

Эаметим , что If>ормулу (? �4) или ( 2 . 23 ) можно получить не

только и� закона сохранения энергии , но и через импульс силь'

или , ЧТО 1'0 же самое, через количество ·движения . И в самом �еле ,

импульс сил"" как известно , определяется следуюmим образом: , t:.z-'ot

О'а = fi:p ot = J F (t) dt. = О (m 'J ' , t-z-'ot ' гце F.:Pfl-'! - 'cpe!lHee 'эначение силы F {tJ в интервале t - ot /z � t + О t I Z , т - масса тела', на которое действует сила F (о � - СКОроСТЬ 1l)',ИJl'ения ,этого т·ела .

· Н нашем случае m = m"fc.({J) , .- .7 = :7f({'r..( tJ) • Поэтому �i'<'J1 (t) ::: '" ( Нm J)/ rJ t = iiiн (tjOJH /O't 1-. ун (t) Om" / O't, гТ!е П11( (О и Jf( (о - средние значения mн (t.) и J" (О в интер .­

вале f. -: t!t. /г. -':- t f-d't./z. '

20 '

Масса ' о m н гсриmла в движение в течение вр�мени Jt . В момент t -ot/2 .� не было или же она была в rтOKoe, а' в момент t +tft /2 масса отк имеет скорость .1" (t + (/t /2) : СлеlJ,ояате.ль­но , средняя , СКОРОСТЬ движения этой массы в указанном 'интервале времени будет равна 'Yн (t} = i I/Z)JH (t + Jt/Z) . Пре'n:rтолагаем , что о t " - интервал Очень м8.JIЫЙ. Поэтому т" а) == т н (t) Jtt (t -t- O't /2) :::: jH (t) .u F..pe4 '(t) = I71H(t)P'JH/tlt +- ( I/Z)3H (t)tJгn"jtlt •

, В нашем случае тн = ;; -9xz:.3(t). Поэтому JmH/Jt =8p.f.l7zZt7l:/tlt = = Зр4л. 'l:,2 Ун . Следовательно , '

, (Р'еА (t.) =: .е.1.х r;3J'Jff !Pt + ((/2) 3; 3 р4 7t -r,2. •

С другой СТОРОНы, очеяицно , что Fc.P""A (t) = 1xr;2(t)Pн(?;( t)) внивая эти силы друг к цругу, будем иметь

гс.(t-М7;f/tlt + ( J/ZJp:J'; == Pн(-c. ( t))) , '

я котором первое слагаемое пред ставимо Ta�e в вице

p� (t}{tl:JH/tl'C) t1r. /dt = р -с. 7н ilJHjiJr. = ({/2)РТ- (tl!tЗт:.):Т:.

Прира-

Таким образом, первое слагаемое в уравнении ( 2. 34 ' ) описы1-вает Обычную HЪTOHOBCK� силу n7Li , когда масса т неизменна, а' второе несколько необычное слагаемое �11ИСЪ1вает силу , которая затраЧИF!,ае'1'СЯ на 11еремеmение новь!Х 110Рrтий масс, ВОRлекаемь!Х в цвижение в rтропе-ссе расmирения радиуса -r.(t) .

в интервале от 't.( до 't2. работа 1!("C.f ; '! -) идет на "торМож� ние" инертной мас сн , т . е . в"lТtолняемая R �TOM интервале работа ЦОЛJ!'на иметь , отриrтательнь'Й знак 110 отн6mению к 11('С.о, 'Cf) Зто автоматически Y1fИТf.1вается d'ормулой ( 2 . 30) , так как ,в указанном интеряалеРr - Pcr < О • Поэтому В tf,ормулах ( ? ЗО) и ( 2 . 3 1 ) !'Тep�­менная -r, может rтробегать от t:.o n:o 't:2. • В момент KoГТla , ра ­диyc oz:. достига�т t:z ' , скорость

' .7,,= О и вся кинетическая эне­ргия ,4('(.O/ 't,) масс", тн оказь'вается rтреобразО'f'анной в ПО'1'еН!.1И­альную энергию , поскольку �нергией излучения rтренебр�гаем . ' з�

Интеграл ( 2 . 3 1 ) легко берется . ГIОТl�тавляя тупа P, =(z;/r.) , получим

- 2. 2. [ 1 -( JH (r..) = }р -J - I ( ""i? ( 2 . 35 )

2I

Зная <71( (1:'-) для каждого значения r. , можно вычислить время '1:- -

i (т.) :::J_I- d1:'- ( 2 .36 ) "'о JI((-r.)

� тем caмым определить функпии r- (t) и 'J,, (L) •

Таким образом, изложенный ме'1'ОД в отлиЧие от метода прямого реmения нелинейнОгО уравнения (2.23) состоит в предварительном определении mункuии :71( (т..) То , ЧТQ в данном случае для опре­деления , Функций т. (О и УI( (О наДо численными методами вычислить довольно прос'той интеграл (2.35 ) , не я'вляется особым нецостатком, так как в случае прЯМОI"О решения уравнения (2 . 23) получа�мьте moр­мулы, как указывалось , оказываются ТРУДНQобозримыми и они мало годятся для непосредственного про слеживания интересуюmих нас за­висимостей , т.е. для их использования все равно нужен машинный счет граФиков . Кроме того , функция Ун ('t-) сама по себе является важной "характеристикой источника.

2 . 4 . Основные" характеристики riневматического источника и методика их расчета ' '

в работах [ 1 ,8 J приводятся расчеты функций 7н ('С) , z: (t) и :71( (t) дли случаев , когда Vro= 7 и - 28 .литров, Рта =. tOОат", , СИЛа fsx задана в виде стyhеньки (2.1 ) , глубины погружении ис­тОчника равны Н = 10, 15 и 30 м, т.е. /�г � 2, 2 ,5 и 4 атм. Ре­зультаты �тих расчетов, несколько уточненные и цополненные, при­веденът в Т!iблиuе Та'бличное прецставление в данном случае.­удобнее граФиков , так ' как значения рассматриваемь� Функuий в не­KOTOPb� точках желательно знать с больmой точностью. При расче -тах цавления B {t) = Rr- fт. {t)Р,., (t) величина Rf выбрана равной 1 м. На указанных npимерах рассмотрим теоретически ожидаемьте ха­рактеристики пневмоисточНика, иллюстрируя параллельно методику их расчета. .

В момент ' времени t :: to=O радиус '2: (t) == '2:0 И пОэтому B(to)= Rf{'[.o (P,.I-�r) . Давление на. граниuе т. "' 'Со в это мгновение, оче!1ИЦНО , равно р,-о - fl:r Но поскольку наш "пункт регистра­пии" нахоцится на расстоянии R1 = 11'( , наблюдаемое давление ока­зывается сутественно меньшим величины ?ГО - Рст • дальше по мере роста <:: цавление быстро падает. При т. =,2 ,2:0 ве.личина В а) со-

22

ставляет менее 1/10 части 8 (со) и ПрИ 't: = т-" давлеJil�е 8(t) =" O так как 'при этом значении Pf( =. P,-(t) - А:т =-0. • При r. 7 7: f давление 8 �O , так как f}JtJ <. � r И по мере 'l: - z;.� цавление 8 (t) мо-

HO�OHHO уменьшается И достигает ми�а при � = �� . При этом естественно , что аБСОJlЮтное цавлениё Р,- а ) газа ВНУТРИ пузы­ря всегда больше Нуля .

В самом начале ра3 ВИТИfl газового пузьrpя первая точка отсче­

'!'а выбрана нами в момент · tH1 • когда 'l: = ( О/ОСо ' В связи с тем, что при 1; = -С" скорость J,, (-r:) = О . , интегpa.1l ' ( 2. 36) в проме ­жутке ?:-о -7- fOfz:o удобно ВЫЧИСЩlть слецyJ)ЩИМ образом.

В формуле ( 2. 35 ) произведем поцстановку .х. = {r 1j гце )( г -с/ос" O� � � о,о{ , и воспользуемся moРМУJlОЙ

( I + � ),- т z. f - m �. Тогца

( 2 . 37)

в инте!pa.1Iе (2 .36) произведем замену переменной интегрирования rio d>oрмуле r' = (lr 1j;)'ro • Тогда

. I Z: j!ё .i ?: .i ' и"С.) т Q ff - e. d� = Z ,2" � е. ( 2. 38)

jJO Q J""O Н .

В рассмаТРИ,ваемых примерах �,, = о. О{ • Начиная с z;. = (О!?:" ЦО '1:. � '1:.2.' интегрирова�е в ( 2 . 36 ) осУщест влялось по rnoрмуле примо -

УГОJlЬНИКОВ с шагом .1 -с =(J '()О п .о • · По tfoормулам ( 2 . 37 ) И ( 2 . 38) можно также оnpецелить ускорение .r: (с-) при- oz: ::t' -СО :

I . I dJH ("(.) ::: z - l}3o � : г: d� ., dt = 'Со;з;/'ff - g;d�.

Отсюца

,;: 't) = d· :7" /d t - ,�- ' .Q 2 - ( )-f( p )' ,, 1' п /' - с.. '1:.0.1"0 - "Со Р ГО - Рст • .

ДaJlee интересной IIBJflleTCII точка 'l:. = -Z:; m • гце скорость Ун ('%:) достигает своего макс�ального значения . э!у точку найцем из ура-внения (iJ�)J,,2(,r;) =0 • Поцставляя сюда С 2. 35 ) , полУчим

'Сm ' 'С;" = [y#ri+ BTI), $ = (р - t) - f РГU '�T- � ( 2. 39)

f = 1. 1; 72 = f. 32 3 .

23

точны' з н ачеиияд ляя �m ' �O' , а также величины .7H (-r.) и мо­менты Вр'емени ' tm цля . рассматриваемых примеров приведены в строках под номером б таблипы Здесь ' JmбопЪ1ТНО слецyюmее . Обычно скорость движения материального тела цостигает своего �a­ксимального "' з начеЩ1Я в момент преКp8.II!ения действия силы, прило­женной к зтому телу . - В нашем случае , как вицим, скорость JH достигает З�та" не в моме;' '

когда давление р" на среду ра­внО НYJm , а несколько раньше .

Точка '" = '& f ' rде павление 8ft) = О , легко определяется

по формуле pr - R-r = о , CM � строки Jf 9 таблица ' . Скорость JH при Z: > "Lm монотОнно уменьшается и при , � == '&2 функпия JH ("L (i)):O .

, Вблизи точки Х = 7:2 ,интеграл ( 2 . 36 ) Удобно вычислять таким же при­емом, как ( 2 . 38) , используя попстановку � = f+ �г-" j; , rne l+ �2 =

= ?;�/Z;o ' Тогца расчетная ttормула для интервала �a -:- �г выгляц'ит слецуюmим образом'

rn,e ( O, lft; J

j'.I/Z 1 + �2 [1 - ( { + �2 )H

( 2.401

Luz - время rтр�хожл;ения граниrТЪ1 " газ'-воца" от .Н'екоторой внбран -ной точки "L = 2:Q = 7:o( (-t-';o) до t;. =: _�o ( (.,..�2.) •

При расчетах , приводимых в таБЛИt}е разность �2. - �" вы--6иралась II преце)Iах О . ОЗ .. О . а5 . ИЗ Формулы ( 2. 40) ВИДНО , что ' ве­личину 7:г надо з нать с 60ЛЬШОЙ т�чностъю . Формулу ,цля опреде -ления 2:2 получим, приравнивая ( 2 . 35 ) к нулю . В результате rтo­лучим уравнение

z � ( { + � г '. ( 2 . 4 1 )

�TO уравнение легко решается методом послец�вательнь� при6лиже -ний , так как гру60е значение для Z найти нетрудно .

Заметим; что уравнение ( 2 . 4 1 ) можно также представлять в виде

( 2.42)

06ычно , Gtj/ < f , С » f Поэтому-можем считать

'1г 7' g, Z:z/ 1':.o Z 8 1/3 = (г ,5 р;о / I?:T)I/� ( 2 . 4З )

, 24

z\)

ел

-h �

Юм

.. Р"т

= г

а TI1

; .f =

1..024

Kr/H

3; El/

�"a ('1

,,) =2.

05".г.

� (03.4,

ж-/ Е

uзо (г

811) =

821.0

-{ОЗ 4

:ж.

'r-/t:.()

\ 'JH

/ н/с

1 2

3

1 1,

00 _

о-

2 1,

01

13,5

5 3

1,02

18

,78

4 1,

03

22,5

4 5

1,1

35,9

0 6

1,3

1489

43

,94

7 1,

"5 42

,03

8 2,

0 32

,17

9 2,

5381

-2

3,59

10

3,

5 12

,96

II

4,?4

2955

-о

'1t1

t /o

�i!>c.

--,

, 4

о 6,17

15

0,24

36

0,30

04

0,57

73

1,18

96

1;69

8 3,

307

5,64

8 12

,26

-40

,22

Z:O =0

,1186

688 м

в, Й

ТМ;

E&)O

�д_;

-3

t,

Ю <'

;

5 б

7

11,6

3 О

О II

,25

1,83

6 0,

2'723

10

,896

_

2,55

-8 0,

3867

10,5

5 3,

092

0,47

69

8;�fЮ

5,

158

0,91

64

4,62

9 -

7,25

6 1,

889

2,886

7,

825

2,695

0,

8166

8,

201

5,25

0 О

8,23

8 8,

965

-0,6

152

8,33

2 19

,470

-1

,044

10

,31

63,8

4

28/1 -

2:0 =0

, 188

3749

м

-

/3, а

/м:

8

18,4

6 17

,86

17,3

0 16

,75

13,4

7 7,

348

4,58

2 1,

296

О -0,9'7

66

-1,6

58

, -:3

Е" 10

д:>J<

9

О 7,35

2 10

,24

12,3

? 20

,64

29,0

3 31

,30

32,8

3 32

,96

33,3

3 41

,23

1/=15

,.,,-Ре)

:: 2,

5 аТI1

; .р

= 10г.

I(_кгj"'

З; t::

зо(1

)=f9

о,О

-lо

3.J..Х

j Е"

зо(Z

811)

=r6

0:0

-Ю.J.

.>'С

\ 1-

1,00

О

О 11

,57

О О

18;3

� О

2 1,

01

13,5

2 0,

1720

•

Л,1

9 '

1,82

3 '0

,2130

17

,77

7,29

3 3

1,02

18

,73

0,24

42

10,83

2,

539

0;38?

7 '1

7,20

*0

,16

• 4

1,03

22

,48

0,30

12

10,4

9 3,

(ю8

0,47

82

16,6

5 12

,21

1 2

3

5 1

,'1

35,7

9

6 1

,3Т2

72

43

74

7

I,5

41,7

5 8 -

2, О

31,

72

9

_ ,2,4

СЮ8

..

24,7

9 ТО

3

,5

-Н

,67

II 4

.379

637

О

,{ =

30 f1

/-Рст

;: 4a

r.f1;

N

СУ>,

1 1

,00

О 2

1,0

1 13

,-41

3 �

,02

18,5

8

4 1

,03

22

,29

5

1,1

35

,45

6 I

,ЗСЮ

268

4

3,0

9 7

1, 5

4

0,9

2

8,

2,0

3

0,3

5 9

2,"1

520

27

,38

IO

3,0

1

3,8

1 I

I

3,6

957

65

О

4 5

6

0,5

789

8,4

21

5,

IIЭ

1,1

80'

4,6

12

7,1

50

1,

704

5 '

2,7

J7

7,7

21

3,3

30

0

,698

0

В,СЮ

4 5

,029

, О

8,0

82

Т2,7

60

-

0,8

229

8

,14

8

3З,�

5 -

1,19

4 10

,3.1

7

О,,,Н

89

1,87

36

2,7

058

5

,287

7

,983

20

,256

5

3,2

56

----

--

,

/

Окон

чани

е та

6лиu

ы

8

9

13,3

7 20

,45

7,3

22

28

,60

4,4

403

30

,88

I,1

08

32

,26

О 3

2,3

3 -

1,13

Т 33

,15

-1

,895

4

Т,2

2

.f =

102

4;(/"/,.,

3 i 5</

:> 0 (-;t,,

) = (s

e, {-(

О .4ж.;

" [1/:>

0 (2,8

А) =

{;32?'

-10:3 д

ж

, О

II,3

9 О

О -

18,0

8

О 0

,17

33

ТI,

015

1,7

80

0,2

751

Т7,4

8

7,1

21

0,2

461

1

0",6

5 2

,47

8

0,3

90'1

16

,9Т

9,9

13

0,3

036

1

0,3

1

2,9

93

0,4

819

1б,3

6 II

,97

0,5

837

8

,225

4

,975

О

,92б

б 13

,05

19,9

0

1,1

785

4

,38

0

5,1

0 1

,885

7

,054

27,6

2

1,7

25

2,5

30

7

,40

8

2,7

393

4,0

16

29,6

3

3,4

04

0,3

420

7

,65

0

5,4

033

0

,54

29

3

0,6

0

4,0

22

О 7

,65

2

6,3

85

О 3

0,6

1

9,2

13

-1,

0'11

2

7,8

81

1

4,6

24

-1,7

00

-

31

,52

22

,88

-

1,57

3

10

,17

36

,32

-2

,497

4

0,6

8

Эта формула прИ!JQЦИТСЯ , например , в работе : 5 ] , НО !lЛЯ нас она слитком груба. _

,?nреn,еленное вышеописанным способом время t('l:.) ДЛЯ рассма ­триваемых примеров приведено в таблитте в строках А' 1 1 . Ве­личина Тц = Zt(r.) равна длительности первого tтикла движения гр-в. ­

НИШ,Т " газ-ВО1\fi" по пути l::o� 'l:z- 1:: o • _ Сле�ет отметить , что в ра­

ботах [ 2, б 1 ПРИROцится эмттирическая rfюрмула цля опрецеления цлительности этого никла:

т ::: V (Р V ) 1/3 ( 10 J + /,г S/6 'J f ,о го - , ( 2 . 44 )

где >'l глубина погружения источника в метрах , Рго и Vro -- исхdll.ное J"(авление и объем газ а в атм . и литрах . Коэtfit'ИI1иент t; опрецеляется :'JRспериментально . Так , в [21 'I{ = Q {45 , а в [6 J �' =

= � f3Z • ( По�идимому , в этих работах ИСПОЛЬз Овались пневмОИС -

точники разнои КОНСТРУЮJИИ ) . .длительность 7; , опрецеляемая из

( 2 . 44 ) , оказывается несколько бо"льше , чем Тц полvчаемая из опись�аемой теоретической модели . ' Это отмечается Ta�e в [ 3 ] . о причинах расхождения мОЖно пока целать лишь раз личные прецпо­ложения . Возможно из-за того , что . в эксперименте T� опрецеля­

ется в дальней зоне по максимуму cneKTna сигнала, в получаемое з начение Ti) вхопит также за'Т'ухани.е nолнн, из-за чего сигнал

с'Т'аНОRИТСЯ более низкочас'Т'отн�� . Q,теним коэrfфипиент полезного цействия rrневматического ис­

точника. КГЩ источника, очеJ3ИII.НО , слеn:ует оnрецеля'гь как ОТНО. -l!Jение

(2.45 ) гце· , Е G - энергия .полезноЙ сейсмической волны, -Ец - полная энергия' источника, освобожцаемая при вьmуске сжатого воздух� .

illихалиев n . A . , KOTOP�� занимался расчетами КПД пневматичес-ких источников , величину Е8 опреn,еляет как энергию волны цав-ления Р = R, /г'а (t) , которая излучае�с� при ЦRИжении грани­

пы'"газ -вода' от �o до t'z . При обратном движении этой гранины ( '1:". - z:.;) , а таJ<Же при послеnуюJТ1ИХ nулъсаттиях пузыря сейсмичес­

кая волна тоже излучается , 011,нако , , эта волна не MO)!reT считать­ся полезной , 'Т'ак как R настояm�е прР.мя она 1'ОЛЬКQ затрудняет

интерпретапию сейсмических материалов , т . е . ЯRляется помехой .

-Величину Еu о н опреnеляет как работу, совеpmаемую сжать!М гв:­з ом при изотермическом расmирении, 'I' . е .

27

. "ru.>o Ец = Ilцзо = J F d-r. ,

"'о где t= == (Р,. - Рст) �.x z:;J1 pr Vr :: Р,.О 11,-0 = R:.r Vцзо•

( 2 .46)

Vvзо = (.If/3)X'l:.!,�- оБЪем газа , занmrаеМЬJЙ им прИ и�отермическом расширении до стаТJfЧеСКОГQ давления �т- '

ПоцстаВJ!ЯЯ в эту формулу цавление Р,. :: 'I:.� А-о '1:.-3, получим

Ецзо= Рст Уго (а. irt а - а 1- {) , а. �Pгo/ �T. ( 2.47 )

Определим �нергию сейсмическОй волны. При распространении волны давления . р(с) на элементарную нормальную riOBepXHOCTb dS цействует сила dF= P(t)dS • Работа, соверпаемая .этой силой В еДИНИI� времени (т.е. мощность ) , будет равна произведению силы dF на скорость перемещения J(t) поверхности ' dS , Т . е. d W ==

:: J{t)РЩdS . Энергию волны получим, инТ.егрируя dW по времени

dEs = dS/ 3(f) P(t)clt . -В нашем случае mующии P(t) и :JLt) на всех плomадках dS по .,. верхности сферы - S =Erд. R2 . оцинаковьт и поэтому

Ев =:; S J Jft)P(tJdt, _ . r .

Интегрирование здесь произвоцится по всему интервалу времени, в котор9М npоизведение P(t)Y(t) для интересуюшей нас волны отлич­НО ОТ нуля . Волна давления у нас описывается формулой ( 2 . 20) . Обозначим через tB время вступления волнЬJ Р{/(, С) на расстоя-нии R , т . е . tg - (R - Rf)С-f= о • Волна давления, генериру­емая ИСТОЧНИКОМ в момент

' t2 , когда граниuа .газ-вода" достигает макаима.льногО радиуса Z:-Z . в точку R придет в момент време-, ни tc + t2 • Слецовательно ,

. "tJf + i.z ' . . '

Es = .sJ 7(t , R) P(t. , R)dt J S.== /r.x R e. ( 2 . . 48) � .

Скорость . :JrR, t) смещения опрецеляется по формуле ЭРлера 0 , 16) t t

.

. i(l� , i) =-; J dt ' �'l:.adP(R, t') = ; /dt{ :; 8('с') + :� B(Z:)]� B(-с) = (U'jtlТ;)8 (-r:) , 'C'= t '- (R- R,)C- '. .

Очевицно, что r

J�('l:1dt/== 8 (z:) , с = t - (R - R.,) c--f. Поэтому

7 (R, t.) = ptг;i'P{t) + R�(! $ (7:) , t

ip{tJ = jlJ (l: )dt'.

28

Поцставляя "J(R, t) в ( 2. 48) , получим , -(х R 2. t"1' + t" 2. t8 + С" ' Е6' =. --� J B2.(r:)dt + 'r.L R( ' J У (t)! U'c)dt '. ре ' , p R

Второй интеграл должен быть равен НУJlЮ , так как n� закону сохра­нения энергии веJfИчина Ее не цолжна зависеть от расстояния '''' ПО кажем , что зто действительно так.

Известно , что , , ' I OQ , .... !lfJ{(t) 'flz. (t)d-С = �.li. _l 'Pf (c.;) CP2. (w)dc.j , ( 2 . 4':1 )

где 'Pf и <7>2,* - спектры Фурье npoueCCOf! . "{ (с) И 'ii (t) . Если 'fz (t) является интегралом от Ч'j (!) , то �;(Ц» = _ (./(.VГfq>:(ИJ) .

Поэтому ер! q:;i =-(jwТ '1 Cf>(cv)/z • ФунКПИЯ /Ф (4) / является четной о�носительно переменной w • СлеДОf!ателъно , в ( 2 . 4 9 ) f!ОД интег­ралоМ стоит нечетная myнкпия из-за наличия поскольку интеГI?иро'вание производится по лам, этот интеграл равен НУJlЮ . Таким образом',

- 1 множителя (} L-V) , а симметричнь� I!реце -

1r.lL R ' t� ' . Es (tz) = .P�- -( J 82(t)dt) ( 2 . 50)

- . о . где , О 7- t 2. - интервал времени , 'в течение которого ' радиус обо лочки меняется от ' 'l:'D дО 'С.;[' 'с. (Отах . R таблине' ' при!!епеm' значения ' Ев (tR.) , 'а также .EG(t.i ) , гце ti - промежy'i'очные т.очки интервала ' О -i- Lz • ИЗ зтих расчеТОR видно , Ч'l'0 Ее (t z) почти не зависит , от глубины погружения I!невмоисточника. В интер­вале дI!ижения гранины "газ-водli' от 'to до 1 . 5 't о ВР1Р.ляет,СЯ бо� лее 7rл;, энергии ' Е8 (t2 ) • КоэlfФ.ипиенТ полезного действия � " '" '" 100у.Е8(С)/Е,/з0 для г {lYб ины1 h '" 1 0 м составляет 5 . 02%, цля Iz. :. Т5 м �= 5 , 4% и для � = ЗА м 2 = б . 4%. Величина lz несколь­ко ' возрастает с увеличенИем г лу6иньт "- главm� 06'раз ом за счет уменьшения энергии ВиЗО

Следует отметить , �o исхоцную энергию пнеВМОИСТОчника мож� но опр�делять и Tye).тtpyгoмy. и в самом пеле, R rr.ормулах ( 2 , 30) ' и ( 2 . 3 Т ) прецполагается, что я момент времени , когда "!:: ( О =; 'l:., ,

вся энергия, способная яьщелиться , Оказывается прео()ра;зованной в кинетическую энергиЮ Екин "rтрисоециненной" Maccf,' . т . е . Екцн=' 4(7:o, 'r,). По достижению рациуса 'l. максимальной величины 'l:z; RСЯ энергия переходит в потенТ!иальи:vю энергИю сп "растянутой пружиm,т" , 'Г- . е . �('l:f, 'l:l) = СП ' Очевидно " �-tто Е;.;vн = Еп . Г10Э-

29

тому энергию источника можем оrтpеделять либо по mормуле . для I 11 (Ч, 7::,) , либо по !I(� ( , z:.z) • . Эту энергию мы буцем называть "энер-

гией , способной въщелиться при адиабатическом расширении газа" . Итак, "" 'l; 3�

Eogu == 11(7::0 . "(,,) == J ( Рго "t:�Y - Ре, ) 1.li- '(.2d.", = ( 2 . 5Т.) � � .

< у . [..!!.- I -у J . =Ра!Щ � - fJdfl = PcTVг() 1- У ( Vf - f) - (f/, - f) , vo V · '

где ' а. = Рго / Ре, J fli = ""/�o == ( '(.{ I '(.01 -= Q. -1(';. из ( 2 . 4? ) и ( 2 . 5 I 1 можем видеть , что отноruение

/ . /- � ' f- у IП 1)]-.! EuJO EQAUa == ( а /nа. - а +- 0 _ 1-)1 ( а -т- () - (а. , -При r ::: 1 , 4 и а " 50; 40 и Z') это отношение равно 1 . 65 ; I .609 и 1 . 5 1 , Поэтому, если при определении ЮЩ вместо t и . о исполь ­зовали боТ (оАиа , то КГЩ источника был бы несколько больше . Но это БNЛО бы не очень логично , так как В7111УСК сжатого возцуха в воду, очевидно , является не единственнь'М способом воЗбуж.це -ния сейсмических волн; вполне могут бъ�ь 'ицеи , в KOTOpo� энер -ГИЯ, запасенная в баллоне со сжат� газом, преобразуется , на пример, в электрическую энергию , а последняя преобразуется в энергию водны каким-то более рапиональнъlМ споqобом ,

Слецует иметь в виду , что пневматические источники имеют большой реэерв повыrnения ЮЩ. Как указывалось в начале , при грyn-

, пировании пнев�атических истОчников И корреляuиомном сжатии сум­марного ,тrpoТ1ecca все повторные ПУJIьсаuии и волны , ицymме от "зеркального" источника ( т . е . , отрaJrенные от поверхности ВОЦы') , . уже не �y�yт помехами , и их энергия будет участвовать в созда­нии единого импульса,. Тогда КПД тrневмаТИЧf!СКИХ источников сутес­т венно возрастет .

В заключение этого раздела вернемся опять к рассмотрению i!1ункпии 8(t) =R'{T Ji)/,,., ft) , которая определяет ifюрму вОлны дa� ления на всех расстояниlIX R :> R ( " Выпе О'rмечалось , 'что боль­шая 'часть волновОй энергии выцеляется в интервале времени , в котором граниuа .. газ-воЛli' проходит от '1::0 до oz; = f- �a . из расчетов ,

nриведенных в таблиuе 1 , видно , что давление B(t) в этом ин -тервале можно ' описывать rnункuией

( 2. 52)

30

Спектр такой mункnии по модуЛn равен ,

I ВР( (,))/ = (c<.� + c.JZ Г (/28 (о) . ( 2 . 53 )

Верхняя граничная частота на уровне О , 70?'8{О) определяется ра ­BeHcTBoM «.2. = [U2. и.ли lл>гр = "" • Нa.rтpиме�, . в СJlYЧае Vro = 7/1 ,. ' Рго =

=100 атм, It = IO м величина 0( = 773 с-• ОТCfJДа '/"р=(2. х):1. = iZj Гц .

При уо = 28 л , f',.o= 190 a'l'M, � ;o IQ м эта величина "" = 482 с- и Jrp= 76 Гц ., Таким образом , первый импульс давления , генерируе -

мый этими источниками , по частЬтному- составу вполне своему назначению , 'Г . е . требованиям срецнечастотноЯ ведки'.

отвечает сеЯсмораз -

Второй импульс цавления , генерируемый при <у.' '* �O ' В ицеаль­ном случае (когда сФера в Koнne -z; - �o не разбивается на мелкие пузырьки ) , должен. быть в два раза шире первого импульса , а пи -ковое значение дав�ения - такое же , как у первого импульса. По эксnериментальным даиныМ, приведенным в книге [ 5 1 " второЙ им­пульс давления пневмоисточника даже HeCKO�KO , больше первого . Это , по-видимому, связано с тем, что острый пик первого импуль­са давления был несколько сглажен приемноЯ аппаратурой или Филь­труюшим действием среды, а второЯ имnу�с , имеющий более низ ко -частотный спектр , меньше п.оцв ергался сглажИВ8IDшему действию внешних Факторов .

Теоретические представления, описанные выше, являются общи­ми как . для пневм'а,тических источников, так и ДЛЯ пропессов, со ­про в ождаюmкх взрыв в воде при использоваюiи взръmчатых вешеств ( ВВ) . В кЩ!ге (5] приведен обстоятельный обзор эксперименталь­ных материалов , полученных при взръmе ВВ в море . Интересно ' там то , что при использовании бризантнъ� ВВ максимальное ( пиковое) значение первого имnул�са цавле�я npи6nизительно в 5 раз больше, чем у второго импульса, причем спектр первого импульса сущест ­BeHHo более вусокочастотен, чем это следует из расчетов по при­веденным выше· Формулам . Здесь дело СВЯЗ.ано с тем, что при вэры '"' ве в воде бризантнЫх ВВ в начальной стадии эначительная часть энергии ВВ ицет на испарение воды у граничь, " газ-вода". ' дальше , по мере движения этой граНИ!Thl пары воды Опять hревращаются в жид� . \ ' , кость , Т . е . меняется Ko�eCTBO частиц газа , участвуюmих в пропессе . ЭТО В, исходНЪ1Х уравнениях ,( 2 . 2 I) .. ( 2 .35 ) никак не учи -тътвается . Из-за указанных nревращений вода - Пl!-Р - вода исходное

3I

rtзвление Р,.." • 06раз о "аRfI'ееся в материале ВВ , па.цает с увели­

'!':!нием ?а,и�'с.'t � п;,';ч,'ря 60�лее НРУ'ГО , чем зто слецует �З а.циа -

ба'l'ическо!"() :'1 :l. ·: ; !i(;. - ( Z.,,/ z:;) lJ.o • Поэтому величина OL , фигу -рируюmая в ( 2 : �2) , оказ�Rается существенно больmе тОй оцен­

ки , которую можно получить из а.л,иа6атического закона . Таким образом . 1'еоретичесние расчеты на основе уравнений ( 2 . 2I ) + ( 2 . 35 ) I\ЛЯ ВЗР"ТRщ�тm( !'!ernес'!''' носят ' весьма приБЛИ'Кенньтй характер. По ­этому в 'иссле«ОFаниях , связан� � ЕВ, 'основной упор целается I�a rтол�rt!ение эмпирических .ЗЗС1и симостеЙ.

3 . О;1ИНОЧНj,ТZ источник С газов,,'М зarтолнением и rтосторонняя полна

. Пусть \{ ОJJ,иночному ИСТОЧНИКУ �� 1 , рассмотренному в прецьщу­тем разделе, ОТRуцз-то со стороны подхоцит волна давления .�(i) •

По,: ,v (t) мн понимаем "·чистую" волну, которая не искажена нали­

чием ИСТQЧНИК? }f> I . В rтРИСУТСТ RИИ источника ' I или какого-либо

тела вместо ;V и) 6у"ет на6Jmцать ся некоторая искаженная

пОлна (1 (С) ; которую УЦО6но преl ставля:ть в виде "суммы Q (() ::

= ,v(t) + mf (t) . ВолНу т{ (t) • исходящую из источника 'I за сче1' влияния нц него посторонней ROлны А/(О , на:зы'AIoтT rtиtра>,ирояанчо,; з()лно!l или волноi' рассеИIJания· [7] . в простеЙlПем ё'лучае 'J1Т, (t) - �олна, стражеН!i!iЯ ОТ_ nовеРХНQС'1'И источника IA 1. Обm�е поле rtарл(щия, Ha6;mnael.loe . за nрепелами оБОлочки источ -

ника '" 1 , т .• е . R точках R � '[, (t) • буn.ем преriставлять !'I виде

;[f\'t) ';:;: �г -1- Pf (t) Т )/(О -+ m1 (t) == Рст � 4(f/tJ, ' ( 3 . ! )

гn.<:! f1( ( О - I;jОЛНR . излуч:�еl,(ая С�ИМ источником 1f. .1 , я,r - вне -

шнее статическое цавление . р. �IlННОМ раз ;tеле 6;vrteM пре1rrолагатъ , что источник волНЪ!

,v(t) - "nрозрачнj,:Й " , т . е . полна Р{ (t) -t т1(t) • ИСХО�Яl'Jая от ис­точника If> 1 . "рохо!1.ИТ lIIе<''1'Оf10Jlсжение источника '" 2, ч.е "заме -чая" его'. (1'1'0 M()�eT 6,,";'ь только ТОГ1],а , когда тело , находяmееся р.нутри и�тОI{ника 1of., 2, имеет такие же упругие характеуистики , как ОКР,VЖImЩая 81"'.0 воца .

Координаты точки . рас"оложенной на оболочке Sf (t) ис�очни­ка " 1 , (jбоэначим "(: (t), -БJ1 , ':Р1 . Ураянение ( 2 . 4 ) равновесия СИЛ

32

теперь будет выглЯдеть следующим образом , ( ) ( 3 . 2) S-.f(t) F8х (О + P"' (-r::, 67, �, С ) о: 1 { ('r , {) , 'f'( , t J. дл. HeKo�opqro ynроrnения формул ор"енТируе� пожярную ось

((1 =- О) по нanравженmp прихода - ВОJlНN AI а) . Тогда ПОJlе Ifm не б1Д8'l' зависе't'Ь от долгот", ':f f � При 8'1'011 предп" .. аrае.. . что вол­на 11(0 .пи60 плоская. mt60 исходит от Сif'eрического - источника . ' имеютего ОС!>' симметрии по нanравлению В ! � О • Тогда _ уравнение -( 3 .2 ) запишется в виде

,г {(t)F&,,/t.j �Pr ('r , � , t )- РСТ =' �(1')("C. , (;11, t), ( 3 . 3 )

из этого уравнения nопытаемся определить BOJfнY т{ ( О _ . Изяестно , что JIЮбая функция J rt, X ,f/, Z) • заданная в точках

R{ � f С�PJческой nоверхнос�и . может быть однозначно npeдставле -на в виде p�a по пОлинОмам Лежанцра, Т . 8 . пО mарОВЬN функnиям

. Ш-,, (�оs (J.t) .!(t , R, Q() = ./" ШО + JfШ( � .fzШz. + - - - ,

/. JK = Z�+ { /f(t , R, r; )Шк('�)dУ; , � = ('OS � (

- - С{

ШО = 1 , Шt = co.s a ( , Шг == ft-f({+Зсоs t1) , . ­

Поэтому можем запи-сать

(3 .4 )

p�;)("t. (]. , t)' =f Cll« ('r:. t) Шк (�ОS (),f) , s- f(t)�Jt)+ Р" ('r., В . t ) -J 1 к=о J

- 00 .

Z,.:: + '1 -f - (О - f!: r =-foCJ<: (�, t) Ш", ('OS Gf) . Q", � �f � ("' � � , С)_ шк (�)d� - ( -

Gt< = z'; .Lj [S-(Fк)t) + Pr (-r. , � , t ) - Р,,] Ш".:r'f. )d'S . Шаровые mункпии ортогональны. т . е . ; {(2!( + 1г:fг. _f Шк ( �) ШJ�) d � о

при i =- 1( при . i. � к .

( 3 . 5 )

(3 .б ) ПоэтоМу, умножая левую и правую части уравнения ( 3 . 3 ) на ШJ'f) ­�-'-интегрируя , можем убедиться, что Q!( = S 1( . -Слецовательно , вмес­то O,�H6гo уравнения (, 3 . 3 ) име�м бесконечное множестяо уравнениЯ

Q,,,, ( 'C. , t) ;' - C� (-С , t) ; К = О , 1: 2 , _ _ ( 3 .7 )

Запишем tf1ункпии A/(r_, 9, i) и _ nU"t.., а, t) t dJИгУрирую!!!ис В (3 . I ц. + ( 3 . 3 ) , R виn,е

33

;//("(. , Q , t ) = z vk ('C- , t)Шк m('l.; tlf , t) = f mк("t: , Ош", ( 3 . 8) I(=-О "' = 0 ' t

При- использовании этих обоз начений коэctФициенты ' Q ", будут вы­глядеть следуюшим образом

' .

ao ( 't , t.) = Р, (t) + Yo (t) " то (t) , а( ('l. , t) := vf (t) -t- mf {t) , Cl.,t (�, t) � Vг Jt) т те. (t) . ( 3 . 9 )

дальше уеицим, что из уравнения цо = Со' можно, опредеJIИТЬ 'ко-эtfifJициент m о И т. д. • Искомую волну т , (t • R а,) 1'! точках . R � 'с! (t) предстаВJIяеМ R виде

'

l1'Yf (t, R, Q{) :=�o'7(f(K)(t , R-) ШК (f.'o.r Q,) , ( 3 . 10) (1() .

J1r, (t , R)��'C. :; ml( ( t , �) , Член !Тр'и К ::: О зтой суммы будем называть диФрагирО,ванн,ОЙ ВОJIНОй нулевого порядка, поскольку Она выражается через шаровую, функцию НУ,левого 'порядка - Ш" ' . Член ,при 1<.= 1 - дифрагированноЯ волны первого поряцка и Т . д .

�абегая несколько вперед отметим, что основные связи в рас­сматриваемой задаче дают первые два-три уравнения : ао = 80 , а( = 8( и Q:z "'82. ' Поэтому, еСJIИ МЬ! з цесь много места уцеJIИМ . рассмотрению этих уравнениЯ , '1'0 зто будет вполне оправпано .

3 . 1 . Дифрагиро ванная , волна нулевого порядка

Займемся уравнением йо '" 80 . Из ( 3 .4) - ( 3 . 9 ) имеем ,

{j/�{l) ):< )d� - { jX"U) ' " 1) . I ( 3 I I ) ао = г: � (r , ?, t .. - т /"r (""., I?o " L SLГ1 (J.Oai , • . -! _ о 1.

Легко видеть , что Qo (tJ препставжяет собой ocpeДHe� "о пло -шаци Чli. <.f радиаль� компоненту давления 1(1) иJlИ . Ц'1'О '1'0 же самое , величина F":=Etx"t.J.Cl.o ЯI\Jlие'l'СЯ СИJrОЙ. хоторая действует с внешней стороны cd'ePbl S'(.l '" Lrx. �Z в сторону равномерного " раCmи� рения или сжатия етой сферы, '1' . е . действует как истоuник

',тиtIа

ПУJIьсируюmий шар ( ИJIИ источник типа " центра расширения" ) . Функ-пия 8" (t) в соответствии с ( 3 . 5 ) равна

, ( 80(t) = S-f(tJ Fв,..(t) + 'J[Pr('r , 'f; , t) - l{rld�. (3 . 12)

34

ОчевМ,Цно , чТо 80 = 4х ..:2(tJCo (t) IIВJUlеТСII силой, которая дейст­вует с внутренней CTOPOНN оболочки в сторону равномерного рас -

mирения еР. радиуса "С. (с) , ' т . е . стреМИТСII увеличить объе .. V -= 1 ;1[ 'r,.$ (tJ !1УЗЫРII. Вполне еС'l'8ствеино, qтo ао = 80 '

Кроме 8ТОГО уравнеНИlI, мы - имеем ещё второе о,еВкциое ура -виение

( 3. 13) -{j(o) {j{o) где Q 11 8 ... емещеНИII частиц воды и газа на границе пуаЫРII

за счет деАствия .цав.tеюrЯ а.о и 80 Уравнение ао = СО можем записать В вМ,Це

• ( 3. 14)

Нам нацо определить то (t) • МЫ теперь знаем, Ч'!'о этот " источ- ' ник" работае'l' как riyльсирующий шар� т . е . излучаемая им волна в соответствии с ( 2. 17) описывается ФОрмулой

m(o)(t R) == -r: (1::) т (�) . . 'l: == t _ R- -с т. ( 3 . 15 ) J R о , ' (!

ЧтОбы 'оnpe.цМIIТЪ то (t) , npoдовим рассмотрение уравнеНIIЙ ( 3 . 13) и ( 3. 14) . полагая, что существуют только давлеНИII, кото­рые tfulгурирувт в уравнении ( 3. 14 ) ; о давлениях а-", и 8/( JI\ (: O) предлагается BpeMe�o забыть . Тогда, очевидно, оболочка !1УЗЫРЯ соверпает только рациальнъrе , д8нтрально-симметриtпiыe колебания.

Так же , как в предыдущем разделе , сначала рассмотрим случаЯ I '

ма.лых деmoрмаnий, когда рациус 'r. (t) газового !1УЗЫРЯ меюrеТСII незначИтельно относительно его рациуса �eT в ' этом случае уравнение аО =: 80 ,СОВ!1ацает с ( 2 . 12) , только pOJlh давления Рн (t) те!1ерь въmОЛНl!ет !ЬунКUИJl P' (t)+�o (t.) t- mo {t) .. Поэтому используя moрмулу ( 2. 12) , можем записать,

Fs� а) -- кн Ц�О)(t) = S'cJpf{f) + У" (t) + то (О 1 ( 3 . 16 )

Но и :0) -= u�o)

' в вкце ufO) = 1/ + {j (о) tj;fO)

" UP-f )1 + т , г"е {j Ц 10) И иМ - смешения ., Pf , � -т ' .зыря за счет действия давлениЯ Р, (t)

ветсТвенно. При отсутствии сторонней

35

( 3. 17)

частип ВОдьт на границе пу-, Уо и "'о (t) соот , -

вОЛНЫ [�o (t) = o , ",о щ = оj

будем' иметь ' .

�. (t) - KH Up� ( t) == Scг P., (t) . -ВЬJЧJrr&В IfЗ ( 3 . 16 ) уравнение ( 3. 18) , полymtМ

- к,Ju:о)щ � U!:J(t)}= srJvo {t) t-mo {t}l

( 3 . 18)

( 3 . 19)

3десь неиз!!естнымf являются _ то (О _� и:';) и U:О) . . ИскJIIOtПOI .. и (о) ) . ' (о) . неиз вестно.е rn (t • для это.го. вспо.мним, что. �ещеНJIе Ц", со. -

здается источником ' нулевого. по.рядка ( ПУЛЬСИРУЮЩИМ �apo.M) , давле­ние на оболочке кото.ро.го ·равно П70 (t) • Поэтому можем воспо.ль�о.­ваться формуло.й ( 2. 13 ) К записать

с S Z ) '7 (о) ) ..., (0) == . 1./ (0)/ -" то (ц)) ст = н (,<) JHrп (с.; • JII,,! - jCA> m , (,<)/ •

. Следо.вательно. .

L.I (о) ,, _ Jcr т · (И)/ - - z /. . , то (w) I ИJ Н ''''/

По.дставляя эту . ФОРМУЛУ в ( 3 . 19) , получим

-/ ( )[! -'- � ] - .1 l' . , ' . К" u{о) _, то C.J I • Z / ) --Уо , 4>/ - -s. � (tA)/ • j lAJ н'ц) с т

( 3 . 20)

( 3. 21 )

( 3;22) . . � -

Займемся теперь тункuией t./,J (c.J) • Вспомним , что через ,V (t) мы о.бозначили " чистое" ( т . е . неискаженное источником ); 1 ) давление , прихоцящее со CTOPOHЪ!� Следо.ватеJIЪ.НО , смещение tlJ"} (t) . в это.Й вол�е тоже "чистое" , Т . е . оно. сушествовмо. 6ы и при ' отсутствии �сто.чника � 1 • . При этом вода, нахопяmаяся внутри мыслимой сферы, сжималОСЬ бы, и измекение о.бъема зтой вопы за счет сжатия МОГml 61>! определИТЬ по формуле . ( I . 1 ) , Т . е .

где 4 3 V = T .I R(

Отсюда

- u;о)щ == :')еЖ i (t) При nодстановке этой формуль! В ( 3 . 22) учтем, что R, = СО:

к н lZ][;"(;�T r " ::. 3?' Ре_т --s;.;. = s т гс, �c..T ::' . с ,

36

3 7::ст de.r

( 3 . 23)

и

( 3 . 24 ) • ,

см. формужы ( I .4) и ( 2 . I2 ) . Поэтому

Отсюца то (4))[1 + j�HZH(4)) ]'=; ( � - -f Но (4)) '

' Ztt(CV) ( de. ,..;: ' . \ то ((,J) = Z ( ' -fк ' � - ITyo (Ц)/ , н Т :jCtJ) ;{ , r ( 3 . 25 )

То , что эта ФоРМУJIа не противоречит mизИt?ес'ким nредставлениllМ можнО nокаэать путем СJIедYl'ЩИХ рассуждений .

I . Если бы сжимаемость ' :к; газового пузыря ОJCазaJI/:I.Cb' раВ­

ной сжимаемости Je ж. ЖИДКОСТИ ( т . е . истОчник J I был бы "nроз ­рачным') , ' то диtрагированна� вОлна не должна рожцаться� Т . е . т � (с.» = о , что и nодтвержда�т ФоРМУJIа ( З � 25) •

, 2 . Когда ВНУТРИ "уЗь�я ничего нет ( вакуум ) , то жесткость кн= О , сжимаемость �г � ""a И поэтому д олжно быть то (&и)=-- v (CV)1

Т . е . цолжю,I наблюдать npопесс, подобный отраженИIO волны от СБО :о­бодной поверхности : Это и видно иэ moРМУЛЫ ( 3 . 25) .

3. Если рассматриваемьrn пузь�ь ' прецставляет собой несжима­емое тело (;J(!.r == 0) , то должно быть и1 + Ц,,=() и поэтому ц:::) = = - и..!oJ , т . е . МЬ' цолжю,. наблюдать неЧто , по�обное отражеНИlO вол­ны от абсолютно жесткой "ояерхности . Чтоб.,. убедиться , что rrop ­мула ( 3 . 25 ) дает такой' же ответ , запишем её в вице ,

_ jc.> ZH (c.J) , ( Х_ - Х, � ) ( 3 . 26) n1o {W) -J'(;J Z ""C<)' + -r.- f х- fзs х ' ) Yo I W , ",. tL � СТ Г r:r r

г'�e использовано ВJ,траж'ение Кн = ("tc� ' �rT{3Sa , см. ( 3 . 24 ) . При .,

стремлении N,. = О mормула ( 3 . 25) дает , iw ;(" (ц» , mo (CJ) ==- 3 '" - -f Jl!:ж !о (и» .

V�T "2::ст . r I 7 { ' (о/ . \ ,Отсюда, имея в , ВИДУ u::J= [/СА) Zff (W)j -то (4)) и Ц1 (lA>./ " � �"-T �ЖУО(С<)) , получим t.I;:;J(CV)=-U�D)(CV) , что и .треБОВaJIОСЬ доказать . Заметим также, · что d'oрмула ( 3 . 25) не противоречит ре­зультатам ,

"'оnиса)iНЫМ

' в [ 7 ] 'при рассмотрении

· пулъсаuионных кОле-

баний гибкой стеры под деЙС'I'Вием плоской з вуковой волны. _

Продолжим приведение урав!!ения ( 3 . 25 ) к рабочему виду. Пред­стаВJlJlется вполне естественным выразить

· >'0 (t) И.IИ vic..» череэ давление , к·оторое бы наБЛЮДaJIОСЬ' в Т9ЧJCе пентра источника � I , если бы этот источник отсутствовал. для этого вспомним , что

37

, - ,

N' (R{ О( t) == Z: v,Jt)Ш", (<'05 ().) И " К=-О , (

'10 ft) ;:. -i f ;V(R( , � , t:}d� , �= C'os Q. ., - / . ( см.фОРМУJ!Y, ( 3 . 5 ) ) .

виде Переходя к спектрам, посжецНDЮ фОрмуny- можем представить в

( Yo (CAJ) = -i I N'(R( , � , t:.'»)d� = ,v'(kJ, ff)CP,/O)(c.J, Rt), ( 3 . 2'7)

-, .

<pro)( ) == :1. ;1 ;V'(R-( , $ , cv) d�, . f си Z_f ;V'(.:.J, !I) •

н - раСС'!'ОJlние межцу uеН'!'рами ИСТОЧНИJ<Ов JII 1 JI " 2 , 1I(цJ, H) - ца­BJlemre , которое иаБJll)Ц8..l0СЬ бы в пеН'!'ре JlC'!'01lКJlК8. " 1 . Теперь , dЮРМУ.lа ( 3 . Z;) буцет BыI'ulцeтьь СJIецymllllМ образом:

( 3. 28)

Таимм Образо .. , Д8В.1екие на часто'!'е ц) в ДJlфраГМрОваннciЯ BOJIНe НYJIeBOrO порцка б�м пр" R ::,. R f :: 'ССТ опрецеJrЯТЪСJl форМу­JIОЙ

� (O)("", "С, (() == :-f то (Cv) @ +jw[t - (R-R,)(Г{J, . ( 3. 29)

в которой n7o (<.J) выражается формужой ( 3. 28) . В качестве приме-, (О) ра опредеяим фунJCUИЮ CPf /"-') дм плоской волям t1I(X,9', х, t)= Ntt-Z'Сj. ИМew1!Цей спектр Y(4J, х};: ,v(c.J)np(-j{JZС-;!. ОбоэН&ЧJIМ qeрезНрассто­янке О'!' '!'oqк. z' = о до nеН'!'ра ис'!'оtrЮrК8. " 1 . Тогда Toqкa [ R ( , ВJ , нахОДJIЩ8JlСII на поверхности сфеpьt S Д.( , буде т име ть

КООРДИН8'!'у 'Х, = H-R(l'ОS ()( • Позтому

лf(R1 , С)( ,'CcJ2 _ lJ i �с- IRf со! В(. IV(W, ff) :-:

СJlецоватеJlЪНО , �(O)(&-)) = � J�j9' !O d� = oI'i n lf(

2 -( '?( ( З . ЗО)

Перейдем теперь Jc рассмотреНИI! c� боJIыпх перемещеНИЙ. ФоРМУJIЬJ ( 3 . I I ) - ( З. 15) OC'!'8II'I'CJl в СJlJ!е JI в 8'1'01' CJ!yЧ8.е.

Давлеюrе газа РГ . , фкrypllp�ее 11 внpuеюrи ( З. 12) , '!'еперь кацо опре.ц8.uть непо.сре.цСТБеННО из ацllаб&'!'neскоrо захона О . 2). Т . е .

з8

( 3 . 3! )

Полагая, что .п,амеюrе pr (t) о'!.' yrJla (J не зависит , форму.ny (3 . 12) можем записать в ви.п,е

( ,3 . 32)

Уравнение 80f{)=О,,(t.)'!.'еперь буцет ,вЬП'ццеть 'следytllЦим образом

F8� + 'СБЕ" А n Гt ( ) + lI, (t) (t) ( 3 . 33) 4л: -r; (t) '(.зr(t) го - "а = '1 t D + m,; . Обозначиu через <-f ( е) радиус газового пузgpJl _ при ОТСУТСТВJlИ сторскней -воJlНЫ, Т .е . сЧитаем, что , м � :r; (t) ::::: "t.f (i) +J 7: (t) , 4 "t: (l) = U-; (t) + [J';'o а); ( 3 . 34)

г.це ujO} � (j::) - смещения ИJIИ переМе!ЦеНИI! рв.циуса оболо1П(И за счет ,.п,авлениЙ Yr> (t} JI mo(t) . Пре.п,nолагаем, что фyЮmИJl '(. 1 (О известна, т .в . ' она опредеJlена при помощи мето.п,ов, ОПJlСанных в раз.п,еJ.е 2.

ПРJl "тсутствки t'l'орокней воJnпi, очевидно, имеем

�.(t) [-L _ _ 1_ ]+р" ,!зrГ f _ 1 ]= y. (tJ+ m (t) 4д ",t(t) "Ct(t) Г() о l ".c'i'(t) 'СУт о о .

(3 .35)

(3 .36)

ДaJlьше довольно трудно про.п,винуться без упрощающих пре.п,положе -ниЙ. Поэтому будем считать, что

-/ .1 -с (t) 1 « "[( (О . Тог.п,а, используя разJlожение

_1 __ __ 1 _ ( { + .<1 'С )- m�� ( ( ! т .1 "'- ) ,= "'('" /.L).

-'с ( (с) , r-m(t) z.'j'(t) 'tf . .. "

" - -уравнение ( 3 .36) можем записать в виде

fб. (О .e Ll "t- _ р. ��r . , 3cJ.<1 '! = .Jo (t) +mo (t) ".IL ": (t) "'1 (t) го ?::�Y (t) "(;1 (t) Отсю.п,а получиМ формулу, аналогичную (3. 19) :

- �H[U;O)(t) + (f;'O)(tJ] =- [Уо (t) .f. то (t)] fЛ Z-7(t))

• 39

( 3 . 37')

- ( 3 . 38)

( 3 . 39)

� з r К н :о Fo ... (t) 'с (t) -j- {2. Jl. "С1 (tJr р,.о · �� ) . � <-7 (i

См.emение {j �)(t) можем выразить через давление Уо (О" по фор­муле

ll�)(t) =- r.{tJ • -кж ";о (t) ( З.40)

( см. выражение ( З. 23) . ) . Чт�БN в уравнении ( 3. 39) осталось только искомое давление " . " n )

mo (t) нацо ищuшчить неизвес:ткое смещение lI': (О ИJIИ наоборот . Воспользоваться здесь спектраль'ными moрмулами ( 2. 13) мы ке мо ­жeM' так как �yc �1 (t) оболочки может меняться в значительных пределах. Поэтому испl>льзуем lfюрмулу ( 2. З8' ) , записав её в виде .

. "(О) _ { . ( З 4 1 ) .Р tI т (tj. - "t 1(t) то (t) • •

Подставляя ( 3 . 40) и ( З . 4 1 ) в ( 3. 39) , получим

p f.lZ "t-.! (t) ii:;Jri) + KIiU:')=[�)'<. �f (t) K"-S1 (t)j�o (t) ; . ( 3 . 42)

Т б �...., I.Im(O)(t) аким о разом, искомая '' 'J'п"l1ИЯ является решением линейного неоцнородного циmmeренtщального уравнения второго по­ряцка. Т-акие уравнения обычно решаются численнъNи методами ,' pe�, лизуемNМИ на ЭВМ.

3. 2. Дифра�ированная волна первого,

поряцка

Займемся уравнением a1 (t) == G1 (t) , см. d"oo!»>'улу ( 3. 7 ) . ПО опрецелению ( 3 . 3 - 3.9) , '

3 { a1 ( t) = -z !4(·J(,(', � , t)�d� = V1 (t) -tm/t) , ( З , 4З ) - , - 1

так кА.к В ВЬ1ражении �(-() == P, (t)+II(t) +m�t) собственное поле I? (t) ИЗJIyч�ния источника � 1 . от угла hl не зависит; .

Покажем, что величина F (")� !j:1C.Rfa.f представляет собой си -ЛУ; которая действует так, m'обы c�py �,ff = fZ' R12. сдвину'l'Ь с ме -ста, ' не меняя объем этой стер"', Т . е . сила F (-f! яьmоJIНЯет mунк --t!ии источника типа ОСflИJI1!Ир:vnmего шара. . ЧТО,бы зто !10казать" вОзьмем ОСl1ИJIJIируюmий \fСТОtrНИК, у которого даВJIение на !10верхно-

АО

сти сtf'eРЬ1 заflано по закону ,4((}.) = l1t cos й!- • Сила" действу -юmая на злементарнУю поверхность d S я направлении оси х ( т . е . а '" о ) , равна

I1f t!os (J d5.

Об'11yIO силу , Fr наЙflем как

� , = J d� "" 4( JCOS2a.� dS. S/U 2. Имея 13 B"![lY, U'!'o' d S =: R! Si..nQ,dt2d<fJ , , и ИСПОЛЬЗУЯ обозначение

cos Qf =: � , пол�им ' , 2. f '1 ' 2. /i- = z .z Ilf 11, J � d!i = 3' X Rf IIt ,

- 1

что' и n;оказывает приведенное выше утвержцение . Посмотрим С! а) / из формулы ( 3 . 5 ) имеем

3 ! , С( Щ = 2 РГ (z., $ , t) � d � , - t - 1 поскольку прецполагается, Ч'!'о S- '(tJFsJtJ и Р.-т от угла Q. -1 не

заяися,Т . ИЗ вышесказанного следует , что величина F, :. -± х R:61 {t.) " 3 прецставляет собой силу, с которой газ сопротивляется смещению -объема VRf по' направлению , оси � • Но масса газа; содержamаяся внутри объема VR { , ' очень мала, и силой, затрачиваемой на ne­ремеmение зтой массы яверх-вниз , можем npенебреm. , Т . е . nОЛО -жить, trrO J'/{)= О • Следовательно , В( (с) = 0 • Но , поскольку Bf (t)=-af (t) ц Qf (t)=�f{t)-tm/t), поЛучается '

' Искомая нами ди�рагированная волна nr�1t, R) является излу­чением осUиллируюmего шара. Да�лениё на поверхности этого шара имеет ВИд m/t)cos а. • Если бы это давление бblJlО бы задано на поверхности сферы С , nостоянным радиусом ,R1 , то волна давле­ния такого истрчника на частоте ' <.> ' описывалась бы формулой из работы [ 8 ] :

, а ' m (/)r. ) - т1 (t..J) ( �f ' RI i'Л:; '" t, CJ, R - � -_-t ; 9f - ) е cos (). r ( 3 . 45 ) .1 т/ ТI, Rz R

t: = t - { R - Rf)С- f 9 =: VJ Rt C ( . При малых дефОрмаnиJQC ра;циус R{ , можно выбрать, равным среднему значению =if'(t) ,paц�yca' оболочки . Функuию m! (t..» uе'nеСО(lбраэно

41

прецставлить в moрме , подобной ( 3. 28) . В цанном слУчае m! ("') = -]11 ("1) и

_, 3 1,/ " -= (t) , УI ((,J) = г. ;- k(Nf ; � , Ы; .. d; = K(UJ, !IJ 'Р! (w , Rt}J � ( -

(:r) ' с- 1..; ,f'(R. �, c.» 1J d� ' ( 3.45') . � (с.> , R{) - Z_f !/(r.J, If) •

Ч'l'обы иметь представление о характере фильтра 9/�(c.J) , оп-ределим его вид в часТНОм случае , когда ,4/(I,I.j,Z,t) ямяется ПJlОС-кой волной давл�ния ,

.заданной в виде

.

A!(t. , 1, Z , t) = ЛI(t - � а- {} - ,4/(t..I, �} = N'(t.J)�-iQZ� - � ( 3. 46 ) �

По.ставr.яя Cl)да х = /f-Rf(!os{lt ' см. Bывдд фОРМУJ!N ( 3 . 30) , получим { . \

�Jd(c.J , Rf} = -l:fp i�� �d� = -j 3 Si.n9CqQ1COS 91 . ( 3.47) -{ (

П�и 9{ .... о функпия m (() 3 . . Т( - 2, / '$ с- n f>( - О ,

ОХ · п. ({) . " (7 а прк 9, "" 2' rnункuия . y�, = J f, w •

При боJIЬПI1IX 8.Мl"lJIИТУДах изменения рациуса � (t) пузыря мо­жно рассуждать слецуаmим образом.

Функmm .у! (t) можно опрецеJlИТЬ при .бом рациусе r- (t) по moрмуле {

У, (О "" 1: I JI{,,(t}�, t)ic/ � ' -1

( 3.48)

СледоВатеJIЬНО , давление fr1t (t) можнО ' счнтат," ИЗ !!еС'l'НЮ1 , так как Vf{t) : - m1 (t) . При U)т. (t)с-{« " сtUlтая � {t)f17QХ= R{ JlЛИ

;r: (t)= R( , знаменатеn выраже� ( 3 .45 ) можно положить .( ; + j 9(Г,f; :::; ( • Тогда cneK'l'p BOJlНЬi m. f{t.J, R) , как видно из ( 3 .45 ) , МОЖНО записать в вице

m(f)Cc.J , R') ,: [-Jr 1711 (r.v) r 3l uJj"'f(�Jlt'-i4> (R-R(Jfo; Q/ . ( з.49) . Rc? .

� . '

Но /11f {c.» - 171, (t) , jfA)tr!, (ц)) -- clf I17f (t) . • ,дцьmе. 'рассуждая так же, как при вывоце формулы ( 2. 29) , ПОJIymfМ � ({)(t , R) :::.[ Z;�'Z:2 mf ('С)+ tt:;&t::J, ft tn( (1:.}/!OS � , (3.50)

г

. С = t -[R - � ((.)JC - (;

42

3 . 3 . ДиdJрагированн� вОJlна второго порицИ8. r

ДКФрагкрова� �ЛНУ второго nop�Ka определяем по такоА­же метоД.ике, KO"op� описана вше, рассмаТРИNJr. уравнение a� = Gz. •

Сутественно '1'0 ,- tn"o . . сиJlЬТ, опредемемые этим уравнением, не .з­MeНJIIfJT объема газового пуэыр,' а тоЛько деdюpмJrpУ'ОТ его форму , деЙСТВУII, в сторону распираНИII. ИJIИ сrrJllOщиваНИII этого ПУЭНРII [ 8 ) •

СОПРОТИВJfение газа, противодеЙСТВУ1Ощее таким деформаuиllМ, 6удет НИ'IТожно _мо . Поэ'l.'ОМУ можно ПОJrОЖИТЬ, trГO gz. = O • СJfедоватеnно,

в соответствии с ( 3. 4 ) и ( 3 . 8) ,

5 f У� Щ = 2 Jv'('(., � , t) � (f)ds,

-1

( 3 .51 )

. {. , ...1. 2. /'1 ( З 52) Шz. (f) = т{ { + 3co.s2Q{J := 2. (j � - f) , f = C'oS bf- I ' ' •

Искомая волна m(Z�/R) ЯМllе'l'СII ИЗJIyЧением cjeрицеского источ­ника, на поверхности которого даВJfение распределено по закону mz(t)Ш?(tl.r) • ЕсJIИ бll З'l'О давление 611 .. 0 за,цаlfО на повеухности с!f\eры . с nocToIIHным ра,циу�ом R f , '1'0 . спектр BOJIНЫ та (t, R) ОПИСЫВМСII бы ФОРМУJfОА

m (Z)(<.> ,R)==,Юz '<Q) Zz. {R)UIz {Qf)e-jrv (R- �f)(!- ( • ( 3.53)

Необходимость УДОВJIетворени" BOJ1НOBOмy уравнеЮIID при R � R ( однозначно опредеХJlет фу.ю<цn :(.2. (,f) в 'СJfеДУ'О1I\etI вид� ' [8 J :

Хг (R) ::. (fj.2. х -I+ 39 к -3+ 3[ 3 ) { 'f2 .,. 3'1-' ''' зг l.. ( 3.54 )

х R- - ' n ' R (! - ! . = D ,. 9- = J T =- J <.<J t " �! . .

�сида при необходимости можно ПОJfYЧИть формужу 'l'иnа( 3 . 50) . Прецсor.авим· функmm mг т B'

lt<?�e, подобной (3. 28) и (3.45 ) . из выражения ( 3.52) имеем

. - mz Jl-J) = Yz (c..J) = N(t.>, HJ <p, {P.)(<.<J ; R(J, . f . ' .

l/J (2.) ( R ) :::' ..!. J II(R1' � , ,,-,) . ш. (�)d� . 1 _<AJ , f 2 _, Н(Ц), Н) Z . '

43 '

( 3. 55 )

Тах же, -RaK в' nредьщYllfиХ С.IyЧ&JIX, onpenemrм nu npимера !!ид (2) , функnии ер1 • когда !!ОJlна tV6,fI,%, t) -, nлоскм, заданная со-rJlacнo ( 3.46) . По.Цс'!'аВU1f ( 3.46) !! , ( 3 .55 ) , пожучим

, 1 <p/2)(&J , R1 ) ::. {J(;Ii'i't� . i (з �2. - 1) � . 5' 'у S ( 3 fz- f 6 � 6 /)1 = _ . {;I - - -;;z T � - - =

, 4 cj.. cj.. cr , СУ -1 S '

=:: 3 9i (Siп,9/ ..,. 9{ cos 91 ) - �1 .'Jiп 91 ' 91 == � : При ?, - о фyнкnия j �(S'17 9( - '21 C'os 91 ) - ?/Si.П9f 'P/гJ� О при �:",/г ФУюсrmя �&)X' O.8S • -

3.4 . HeKO'1'Opьre Обобntенкя

( 3 .56)

Поиому

Обо�начим через ЕI (t, R , а,) 'поле даВJJенкя, ИСХОД1fЩее от ИСТО�ИJ(а 1ft J и набmoдаемое в ,.очке [ � , а] . nPOCTpaHcorBa !( � R 1 •

Собиpal[ rtриведенные вы!п� фоРМУJIЬТ, можем ДJlЯ ' случая MaJIЬ1X цеiЮр­маnий записать фciрмулу ДJIJI cneKorpa ЭТОЙ во,ПНЫ в вiще

( 3.57)

Приве.ценньrе ФОРМУJJЫ COOTBe'!'C'fBywJ'l' C� � когда �иус I'a-зового пузырЯ ' незначн,.елъно меняеorся' оorносИ'!'елъно его 'значении 'CI!T , ' n,реОбреioаемого пузырем при статическом даВJJении Р.: r

44

Этот слyqaй важен в тОм смысле , �о исслелование характеристик ПИtГ'раrированной Болньт естеСТБенно наt!Инать с рассмотрения малых Jiеmормаrтий , коrп;а d)opМYJlbl относительно rтpOCTЬТ. Bыme говорилось ( см . �рмулу 2.52) , �o собственное излучение ( 2. 20) - исто�nика � 1 rтpоисхоп;ит в основном в на�але расширения газОВОГО пузыря и в коюте l1Икла. В промежутке межп;у ними рап;иус TJt.) относительно медленно меняеТСя в ' знаt!Ительнь� пределах . 'Если построенная ВОЛ-

'

на приходит в зтом , rтpомежутке времени в виnе кратковременного импульса, то велиt!Ину R{ можно выбрать равной среднему значе­нию TJt) Б интервале действия указанного импульса. В этом слу­чае велиmrny жесткости К'н ' ( см . формулу 2. 1 2) слеnует оrтpеnеля ть

ИЗ , БОлее обшей ФОРМУJlbl . ( 3 . 39) • '

4 . Взаимодействие двух источников при �алъ� ампЛИТУlI.ах , колебаний ,

Пусть на расстоянии Н от источника , 1 расположен вто-рой истоЧник , KOTOPЪ� тоже зап�лНен газом и является источником типа пульсирУющей с�рЫ. ' Среп;ниЙ рап;иус зтО го источника обозна­чим через Rz и полагаем, t.rro _газовая оболочка,' имеюшая .форму

у- (t, а) , пред ставлена в вице r:z(t.(lz)= Rz. rU{f, Q.z.) rтpичем/U/R�{« 1 . В сd-eрической системе коорnинат Iv" az , %. с nemPQM в точке rтeнтpa' истоЧника 1ft 2 ось ае. =0- направим так , t.rrобьт она rтpo -ходила через l1ентр, источника 1ft 1 . Тогда волновое поле ' не буцет зависеть от угла 'f';! • Обозначим через Е, поле 'давления . . исходяmее от источника � <' и наБJlЮп;аемое , в точке [f., , аг. ] про­странства L � R2 • Используя �ормулу ( 3. 57 ) в качестве аналога, можем зarтисать

Ег.(Ц),'Iv, (lz., 1:z.) =Ег.(v.J, L, Qe,)e-j""r:;z. ; 'l:z.'=( Iv - Rz.)()-f -, (02 { (о/ (Q) '({) (.{l ' E2,(r..>,L, (1z)= Z'z (Lj!'z(t..J)-t-Еf{w, Н) Zl. (.i-)I1" ("") т Х, (1v)Н;. rЦ))Шr{�) +

, (2.) (2.) ) ' } .,, (0)(. ) _ .!L ' + Хг. '(1v)f1z. lc.J)ШгJаz. -t . " -, .л.-г. Iv - 1..- , )

М 4 1\'2, R; f - { Х;!. (1:') = (fJ-z. у + Ivz. ) ( lj-e + ) ', "

tr!. =/92, = /c.>�C- { " ( 4 . I )

Здесь c�aeм, чТо пос�оронней по отноmению к источнику , 2

45

ЯВЛJlется волна давления E1{t, K, y/ :t:) , . Дав.иение . Е/c.J , If) , ко­торое кабmщanось бы в пентре ИСТОЧЮf1(а J 2, onpe.цeJIJIМ IfЗ ( 3 . 5? ) nоцс't'ав.иJlЯ туда R = f/ , а == О R имея в виду. t:rro шаровые тун -

пии об.иацаот СВОЙСТВОМ:

Тогда /0) . \ Ef (cJ , ffJ = :(.{ (I() p( {t<)/ + ,I"(w , H) .A., {C.J) ,

.J... { (и» � Z /o)r"1iJ,A1/<I}(cv) i- Z/?-Ii} #/f74.J) + z:2rfl)И/lw) + . .

( 4 . 2)

( 4 . 3)

Очевиnно , здесь po� nос't'оронней во.ины ЛI(cJ, Н} до.ижна иг -рать во.лна Ег. "

ИСХОI!,JIII!ая от источника ' 2. ЕА найцем из ( 3 .5?) , поnс't'аВЛJlЯ 't'уда L =- 11 , а == О :

. � ,1 - � ) ,v (c.J, Н) = Ez ((..J, Н) = Хг. (Н)Ii(� + c/ cc.J, If}A.iI. (С,.) ,

:t (о) (о) ({) {() (2) (2) Аг (С.,)) ::: Z (f/It1г. (Ц)) т Zz r/l)Мa (t.J) :T :tz (H)f1г. (Ц») Попс't'авляя эту mopмyпv в (4 . 3) , no�

lО) { (о) • Е! (c..J , Н) = Z / И}Р/ (t.J) + A./(4J) Хг. (Н)/?' (ц») + Е! (t.J,/f}i/.z. (ц;) .1. ��� . . �

Е( (cJ, r/) = (/ -l-{ fi.zT'lz;o}H)!} (ИJ) т -<- 1 (Ц))х!О!If)Pz (Ц;)), ..

( 4 . 4 )

( 4 . 5 )

Остается зто выражение поцставить 'в ( 4 . I ) . и мы , наконеп . попу -

чим волну павлеНИJl . l исходящ� от ис't'очкика J 2. АнаJlОГИЧНО

1/- (о) , (о) El!. (CJ, ff) -= ( ( -�/ .il.Т '- Zz (#)Рг. (Ц)) +, /l.z (4J) Zf (l()f! (w). (4.6)

Э't'О выражение JlСnOJIЬЗуем �. ( З . 5? ) · вместО ,.v(�, Н) и тем самым найдем AOJIНy давления . JlСХОЦяutyl! от ИСТОЧЮlJ(а J 1 .

Давление , наблодаемое р некоторой точке пространС�ва. име­ющей координаТN [К , Q(J , О't'считываеМf>Iе от пентра ист'очника !Н , И коорnинат!" [!., , Q..z.] при О't'счете их от uентра источника J 2, бу­пеТ ' равно

ЕЕ = Ef (w, R, Q , t:) f- Еz (c.J , .i.-; Q.z. , t:z.) , ( 4 . ? )

ПоставленнаЯ за.цача, в ПРИНlJипе , решена, хотя реЗУJlЬтат ре-

. 46

11'Р.НИЯ I'hlРaJlfается весьма r-ЛО)l(НОР topмyJIOV�. Слецует 06ра'!'ИТh рни­М&.НИР. на '!'о , что МНОJVИ'l'ель r i -jt� lt , .J R Вh'ражР.ниях ( 4 . '") ) и ( 4 . б ) аналОгичен по СМhlСЛУ поцобном,v ' множитеJOO .13 ,�ормулах, опи­

Сh'ЯaxJmих ВОлНОl'ое поле с уче'l'ОМ р'е"ер6ерю'ии 89ЛН .

При больших амПЛИ'l'у'щх изменения .рациуса газорого пуз!-'РЯ

получить реmение в ЯВНОМ Rи�е не у�ае'l'СЯ пре.де всего для �и­

�рагированноР яолн� нулевого поряцка . . для яОлн перяого , второго

и '1' . 11 . поря�ков эта заl1ача несколько облегчается тем , что :"Ра­

внение сил окаЗhlвается более I1pOCT!--!М : т� (t ) - � к (t ) , а mУНКIIИИ

VK (tJ могут 6,"l'!'b ОТJределен!-' или > ле�ко p\-,числеНh' по tf'ормулам ти­

па ( 3 . 45 ) и ( 3 . 5 2 ) и в тех случаях , когца параметр R, преЦС'l'а-

вляет собоР ФУНКI1И'Ю в-ремени, R i .: 'Z (t ) •

Литература

1 . Бабаев Д.Х • • Гамбаров Ю . Г. , illихаЛИР.R Ю . А . , Чичинин И . С . Тео­

ретическая моцель источника сейсмических АОЛН цЛИ морской

се�сморазвеТl.КИ и HeKoToph'e Рf'зультатр экспериментальн"IX ис­

слецований I/Геол. и гео�из . I 980 - � . - С. 100-1 17 . 2. БалaIПканu М . И . , ЛОВЛЯ С.А. Источники возбyJl'цения упругих

волн при сейсмораз вецке на акваториих .-М . : Нецра, 1977 . -128 с . '

\

3 . / ДубрО'вский В ; А . , КалаЧНИКОА А . А . , УСТЮЖИН л . р:. о спек'I'Раль­

нрх свойствах пульсирующего гаЗОЕОГО пу:l'.;':'Я I/Из р' . АН СССР.

Физика Земли. 1986 . - !fб . - С . 39-48.

4. Коул Р . ПОЦfЮ�Нhlе ВЭРЫВh1.-М . : Иност р . лит-ры, I950. - 494 с .

5 . Лаврентьев 3 . В . , Кузян О.И. ВЗРРВР Р M('tJe . -л. : Суцостроение , 1977 . - С. 20-51 .

6 . Неттрочнов Ю . П . Сейсмические исслецования р океане . - М . : Наука,

1976 . - 178 с .

7 . f'1Ifеl1КИН С . Н . Курс лекпий 11-0 теории э вука . - М . : МЗ Л-РО МГУ ,

1960. - 335 с . 8. ЧИЧИИИН И. С . Вибраттионное излучение сейсмических волн.-М . :

Неча , 1984 . - 220 с .

47

Утверждено к печати Институтом геологии н геофизики СО АН СССР

Технический редактор Н.Н. Александрова

Подписано к печати 2I . 09.88 . МН !}352I . Бумага 6Ox84/I6. Печ . л . 3 , О . Уч . -изд.л . 2 , 75 .

ТИраж 200. Заказ 350. Бесплатно .

Институт геологии и геофизики СО АН СССР Новоси6ИРСК , 90 : Ротапринт .