Дискретные структурыМФТИ, весна 2014

Александр Дайнякwww.dainiak.com

-пересекающиеся гиперграфы

Гиперграф — набор непустых подмножеств конечного множества.

Гиперграф -однородный, если мощность каждого ребра равна .

Гиперграф -пересекающийся, если каждые два ребра имеют не менее общих вершин.

Дегустационный пример

Пусть нужно сравнить сортов сыра.

Есть экспертов.

Чтобы эксперты не съели все запасы сыра, каждый сорт сыра дегустируют не все, а лишь группа из человек.

— Как сделать так, чтобы для каждой пары сортов сыра было не меньше экспертов, которые пробовали оба этих сорта?

— Построить -однородный -пересекающийся гиперграф на вершинах с рёбрами!

-пересекающиеся гиперграфы

-пересекающиеся гиперграфы — это те, в которых любая пара рёбер пересекается.Вопрос: сколько может быть рёбер в -однородном пересекающемся ‑гиперграфе на вершинах?• Если , то могут быть все рёбер.• Если , то, по крайней мере, есть конструкция с рёбрами.• То, что при больше рёбер взять не получится

— это теорема Э.—К.—Р.

Доказательство теоремы Эрдёша—Ко—РадоТеорема.

При число рёбер в -однородном пересекающемся гиперграфе на ‑ вершинах не превосходит .

Доказательство:

Будем считать, что множество вершин .

Пусть — множество рёбер -однородного -перескающегося гиперграфа.

Требуется доказать, что .

Доказательство теоремы Эрдёша—Ко—РадоРассмотрим для каждого множество

Допустим, что для некоторого .

Тогда среди остальных множеств

в могут входить только множества вида , где

ℤ𝑛𝐴𝑡

𝐴𝑢

Примечание. Здесь и далее суммирование по модулю .

Доказательство теоремы Эрдёша—Ко—РадоРассмотрим для каждого множество

Если какое-то , то вместе с ним в могут входить только такие множества , у которых

Такие множества разбиваются на пары

Из каждой такой пары в входит не более одного множества.

Значит, в не более таких .

Доказательство теоремы Эрдёша—Ко—РадоИтог предыдущих рассуждений мы вывели: всего в могут входить не более чем множеств вида

Эти соображения можно немного обобщить:

Пусть — фиксированная перестановка на .

Тогда из множеств вида

в может входить тоже не более штук.

Доказательство теоремы Эрдёша—Ко—РадоРассмотрим перестановку на и элемент .Рассмотрим множество

Пусть — любое фиксированное множество.

При фиксированном количество , таких, что , равно

Доказательство теоремы Эрдёша—Ко—Радо

Двумя способами посчитаем сумму

С одной стороны,

С другой стороны,

Доказательство теоремы Эрдёша—Ко—РадоИтак,

Отсюда

Теорема Альсведе—Хачатряна

Сколько (максимум) рёбер может быть в пересекающемся ‑однородном гиперграфе?‑

Пусть гиперграф на множестве .

«Очевидный претендент» на оптимальность:

— оказывается не всегда самым лучшим.

Возьмём и рассмотрим семейство

По принципу Дирихле, для любых имеем .

Теорема Альсведе—Хачатряна

Теорема. (Р. Альсведе, Л. Хачатрян ’1997)

Пусть таковы, что и .

Тогда число рёбер в любом пересекающемся однородном ‑ ‑гиперграфе не превосходит , где

Кроме того, любая оптимальная совокупность изоморфна (то есть существует изоморфизм гиперграфов, переводящий эту совокупность в ).

Неравенство Фишера

Теорема. (Р.А. Фишер ’1940)Пусть для некоторого в -вершинном (необязательно однородном) гиперграфе любая пара рёбер имеет ровно общих вершин.

Тогда

Доказательство неравенства Фишера: тривиальные случаиСлучай очевиден, так что далее предполагаем, что .

Сначала рассмотрим вырожденный случай, когда в гиперграфе есть ребро мощности .

Пусть — все рёбра гиперграфа.

Пусть для некоторого , тогда

и при .

Из этого сразу следует, что

Продолжение д-ва неравенства Фишера:идея линейно-алгебраического метода

• Пусть нам надо доказать, что некое множество объектов «невелико».

• Сопоставляем каждому элемент какого-то линейного пространства .

• Доказываем, что линейно независимы (используя информацию об объектах ).

• Выводим отсюда оценку

Нетривиальная задача: придумать, что такое и как задать .

Продолжение д-ва неравенства Фишера;применение линейно-алгебраического метода

Теперь рассмотрим случай для всех .

Гиперрёбрам можно однозначно сопоставить их характеристические векторы из :

По условию, для любых выполнено

Достаточно доказать, что векторы линейно независимы.

Допустим противное: пусть такие, что и не все равны нулю.

Завершение д-ва неравенства Фишера

Пусть вектор отвечает множеству .

Имеем

—противоречие.

Гипотеза Кнезера / теорема ЛовасаВ какое минимальное число цветов можно раскрасить все подмножества множества, так, чтобы любая пара одноцветных ‑ ‑

подмножеств пересекалась?• Если , то и одного цвета хватит — принцип Дирихле.• Если , то достаточно цветов.

Гипотеза Кнезера / теорема ЛовасаПусть наше множество .

Если , то достаточно цветов:

• Покрасим цветом «» все -подмножества, содержащие .

• Покрасим цветом «» все ещё не покрашенные подмножества, содержащие ‑ .

• Покрасим цветом «» все ещё не покрашенные подмножества, содержащие ‑ .

• …

• Покрасим в цвет все ещё не покрашенные подмножества, содержащие ‑ .

• Покрасим в цвет все до сих пор не покрашенные -подмножества.

Гипотеза Кнезера / теорема ЛовасаОказывается, по числу цветов рассмотренная выше конструкция оптимальна:

Теорема. (Ловас’1978 / гипотеза: Кнезер’1955)

Пусть . Тогда если все -подмножества -множества раскрасить не более чем цветами, то найдётся пара непересекающихся подмножеств одного цвета.

Гипотеза Кнезера / теорема ЛовасаТеорема Борсука—Улама. (Без док-ва.)

Пусть сфера в -мерном пространстве покрыта множествами, каждое из которых открыто либо замкнуто.

Тогда хотя бы одно из этих множеств содержит пару диаметрально противоположных точек сферы.

Доказательство гипотезы Кнезера(по версии Дж. Е. Грина)Пусть и пусть все -подмножества в раскрашены в цветов.

Покажем, что найдётся пара непересекающихся одноцветных подмножеств.

Положим .

Будем считать, что — точки на сфере в , и что никакие точек не лежат в одной гиперплоскости, проходящей через центр сферы (назовём это условием общего положения).

Доказательство гипотезы Кнезера, и — точки на сфере в , никакие точек не лежат в одной гиперплоскости, проходящей через центр сферы.

Покроем сферу множествами . Для каждого пусть• — это все такие точки сферы , что открытая полусфера

с эпицентром в содержит хотя бы одно подмножество покрашенное в цвет .

Во множество включим все точки, не попавшие ни в одно из предыдущих .

Доказательство гипотезы КнезераМожно проверить, что множества открытые, а замкнутое.

По теореме Борсука—Улама, одно из множеств содержит д.п. точки сферы.

Пусть в есть д.п. точки и .

Каждая из полусфер с эпицентрами в и содержит не больше точек из .

Тогда вне этих полусфер попадает не меньше

точек — противоречие с условием общего положения.

Доказательство гипотезы КнезераХотя бы одно из множеств содержит диаметрально противоположные точки сферы.Мы проверили, что это точно не множество .

Значит, для некоторого во множестве есть д.п. точки и .

Каждая из полусфер с эпицентрами в и содержит хотя бы по одному подмножеству вида цвета .

Осталось заметить, что эти подмножества не могут пересекаться (т.к. сами полусферы не пересекаются).