Νόμοι των Αερίων

Οι νόμοι και η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων

Στην παράγραφο αυτή θα αναφερθούμε στη μελέτη των ιδιοτήτων ενός αερίου

με μάζα m, που κατέχει όγκο V του δοχείου του, ενώ η πίεση είναι P και η

θερμοκρασία Τ. Θα βρούμε τη πολύ χρήσιμη σχέση που συνδέει τις παραπάνω

ποσότητες. Η εξίσωση που συνδέει τα παραπάνω μεγέθη λέγεται καταστατική

εξίσωση και στη γενική της μορφή είναι πολύ περίπλοκη. Εάν όμως διατηρήσουμε το

αέριο σε χαμηλή πίεση (ή χαμηλή πυκνότητα), μπορούμε να βρούμε πειραματικά μια

απλή καταστατική εξίσωση. Ένα τέτοιο αέριο σε χαμηλή πυκνότητα ονομάζεται

ιδανικό αέριο. Τα περισσότερα αέρια που βρίσκονται σε συνήθη θερμοκρασία

περιβάλλοντος και σε ατμοσφαιρική πίεση συμπεριφέρονται σαν ιδανικά αέρια.

Σχέση όγκου και πίεσης Νόμος του Boyle

Μια χαρακτηριστική ιδιότητα ενός αερίου είναι η

συμπιεστότητα του, η ικανότητα του να "στριμώχνεται"

σε μικρότερους όγκους με εφαρμογή

πίεσης. Συγκριτικά, τα υγρά και τα

στερεά είναι σχετικώς ασυμπίεστα. Η

συμπιεστότητα των αερίων

μελετήθηκε για πρώτη φορά από τον

Robert Boyle το 1661. Όταν ο Boyle

έριξε υδράργυρο από το ανοικτό άκρο

του κεκαμμένου σωλήνα, ο όγκος του

εγκλεισμένου αερίου ελαττώθηκε

(Σχήμα 1). Κάθε προσθήκη

υδραργύρου μεγάλωνε την πίεση πάνω

στο αέριο, ελαττώνοντας τον όγκο

του. Από τέτοια πειράματα ο Boyle,

διατύπωσε τον φερώνυμο νόμο.

Σύμφωνα με τον νόμο του Boyle, ο

όγκος μιας ποσότητας αερίου σε δεδομένη θερμοκρασία μεταβάλλεται

αντιστρόφως ανάλογα προς την εφαρμοζόμενη πίεση.

Σχ. 1 το πείραμα του Boyle,0 όγκος του αερίου σε κανονική ατμοσφαιρική πίεοη (760 mmHg είναι 100 mL. Όταν η πίεση διπλασιασθεί με προσθήκη 760 mI υδραργύρου, ο όγκος του αερίου γίνεται ο μισός (50 mL).

Γεώργιος Κατσικογιώργος Σελίδα 1

Νόμοι των Αερίων

Γεώργιος Κατσικογιώργος Σελίδα 2

Ισχύει δηλαδή 1VP

∞ ,

όπου V είναι ο όγκος, Ρ είναι η πίεση και ∞ σημαίνει "είναι ανάλογο προς".

Έτσι, αν η πίεση διπλασιάζεται, ο όγκος γίνεται ο μισός.

Ο νόμος του Boyle μπορεί να εκφρασθεί και υπό τη μορφή εξίσωσης. Θέτοντας

πίεση και όγκο στην ίδια πλευρά της εξίσωσης, γράφουμε

PV cons= t (για δεδομένη ποσότητα αερίου, υπό σταθερή θερμοκρασία)

Δηλαδή,

για μια

δεδομένη

ποσότητα

αερίου σε

καθορισμένη

θερμοκρασία,

η πίεση επί

τον όγκο είναι

μια σταθερά.

Παριστάνοντα

ς γραφικά τον

όγκο του

οξυγόνου σε

διαφορετικές πιέσεις (όπως φαίνεται στο Σχήμα 2, λαμβάνουμε ένα διάγραμμα που

δείχνει την αντίστροφη σχέση των Ρ και V.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε tον νόμο του Boyle για να υπολογίσουμε τον

όγκο που καταλαμβάνει ένα αέριο, όταν η πίεση μεταβάλλεται..

Σχήμα 2 α) To αέριο βρίσκεται μέσα σε ογκομετρικό δοχείο. Το δοχείο με το αέριο περιβάλλεται από λουτρό με νερό του οποίου η θερμοκρασία διατηρείται σταθερή. Στο δοχείο υπάρχει προσαρμοσμένο μανόμετρο για τη μέτρηση της πίεσης του αερίου. β) Στο διάγραμμα παριστάνεται γραφικά η πίεση του αερίου σε συνάρτηση με τον όγκο του, για θερμοκρασίες Τ1 και Τ2 για τις οποίες ισχύει Τ2 > Τ1.

Νόμοι των Αερίων

Σχέση όγκου και θερμοκρασίας Νόμος του Gay-Lussac Η θερμοκρασία επηρεάζει επίσης τον

όγκο ενός αερίου. Αν σε υγρό άζωτο (-

196°C), βυθίσουμε ένα φουσκωμένο με αέρα μπαλόνι, το μπαλόνι συρρικνώνεται

(Σχήμα 3). Μετά την έξοδο του από το

υγρό άζωτο, το μπαλόνι αποκτά το

αρχικό του μέγεθος. Τα αέρια

συστέλλονται όταν ψύχονται και

διαστέλλονται όταν θερμαίνονται.

Μια από τις πρώτες ποσοτικές

παρατηρήσεις αερίων σε διαφορετικές

θερμοκρασίες έγινε από τον Jacques

Alexandre Charles το 1787. Ο Charles

ήταν ένας Γάλλος φυσικός και

πρωτοπόρος στην πλήρωση μπαλονιών

(αεροστάτων) με θερμό αέρα ή υδρογόνο.

Αργότερα, οι John Dalton (1801) και Joseph

Louis Gay-Lussac (1801 συνέχισαν τα

πειράματα αυτού του είδους και απέδειξαν ότι

μια ποσότητα αερίου υπό σταθερή πίεση,

αυξάνεται σε όγκο γραμμικά με τη

θερμοκρασία. Με τον όρο "γραμμικά"

εννοούμε ότι, αν παραστήσουμε γραφικά τον

όγκο που καταλαμβάνει ένα δεδομένο δείγμα

αερίου σε διάφορες θερμοκρασίες,

λαμβάνουμε μια ευθεία (Σχήμα 4). Η

διατύπωση του νόμου του Gay Lussac είναι η

εξής :

Σχ.3 Ένα μπαλόνι βυθισμένο σε υγρό άζωτο συρρικνώνεται,

επειδή ο αέρας στο εσωτερικό του συστέλλεται. Όταν το μπαλόνι

απομακρυνθεί από το υγρό άζωτο, ο αέρας στο εσωτερικό του

θερμαίνεται και το μπαλόνι διαστέλλεται, αποκτώντας έτσι το

αρχικό του μέγεθος.

Σχ. 4 Σχέση όγκου και απόλυτης θερμοκρασίας

Για ορισμένη μάζα που κρατιέται σε σταθερή πίεση, ο όγκος είναι ανάλογος

με την απόλυτη θερμοκρασία του.

Η μαθηματική του διατύπωση είναι:

Γεώργιος Κατσικογιώργος Σελίδα 3

Νόμοι των Αερίων

V constT=

Όταν όμως κάνουμε το διάγραμμα του όγκου συναρτήσει της θερμοκρασίας σε

κλίμακα κελσίου,

όπως στο Σχήμα 5 και

προεκτείνουμε τις

ευθείες γραμμές από

το τελευταίο

πειραματικό σημείο

προς χαμηλότερες

θερμοκρασίες,

παρατηρούμε ότι όλες

οι ευθείες τέμνονται

στο ίδιο σημείο. Το

σημείο αυτό

βρίσκεται στη

θερμοκρασία -273,15 oC στην οποία, σύμφωνα με τη γραφική παράσταση, αντιστοιχεί όγκος μηδέν. Αυτό

φαινομενικά σημαίνει ότι, αν οι ουσίες παραμείνουν σε αέρια κατάσταση, οι όγκοι

που καταλαμβάνουν στους —273,15°C θα είναι μηδέν. Αυτό όμως δεν θα μπορούσε

να συμβεί, αφού όλα τα αέρια υγροποιούνται πριν φθάσουν σε αυτή τη θερμοκρασία

και αφού ο νόμος του Charles δεν εφαρμόζεται σε υγρά. Οι προεκτάσεις αυτές

δείχνουν ότι μπορούμε να εκφράσουμε τη μεταβολή του όγκου ενός αερίου με τη

θερμοκρασία, επιλέγοντας μια διαφορετική θερμομετρική κλίμακα.

Σχ.5 Γραμμική σχέση όγκου αερίου και θερμοκρασίας σε σταθερή πίεση. Το διάγραμμα δείχνει πώς μεταβάλλεται ο όγκος αερίου έναντι της θερμοκρασίας για δεδομένη μάζα αερίου σε πίεση 1,00 atm. Η γραμμική αυτή σχέση είναι ανεξάρτητη από την ποσότητα ή το είδος του αερίου. Παρατηρούμε ότι οι προεκτάσεις όλων των ευθειών τέμνονται σε θ=-273°C και V=0

Σχέση πίεσης - θερμοκρασίας

Όπως αναφέρθηκε και πιο πάνω ο Charles ήταν

απ’ τους πρώτους που μελέτησαν ποσοτικά τα αέρια για

διαφορετικές θερμοκρασίες. Στη βιβλιογραφία επειδή όμως τα πειράματα του Gay

Lussac ήταν αυτά που οδήγησαν σε συμπεράσματα δημιουργείται σύγχυση. Δηλαδή

άλλοτε οι δυο νόμοι θεωρούνται σαν συμπεράσματα του Charles (Ebbing Gammon)

και άλλοτε σαν αποτελέσματα του Gay Lussac (P.T.ATKINS). Σε πολλές

περιπτώσεις αναφέρεται μόνο ο ένας από τους δυο.

Νόμος του Charles

Γεώργιος Κατσικογιώργος Σελίδα 4

Νόμοι των Αερίων

Γεώργιος Κατσικογιώργος Σελίδα 5

Σημασία έχει ότι από τα πειράματα που έγιναν προέκυψε και σχέση της πίεσης

με τη θερμοκρασία για σταθερό όγκο. Η διατύπωση του νόμου του Charles είναι η

εξής :

Για ορισμένη μάζα αερίου που ο όγκος του κρατιέται σταθερός, η πίεση είναι

ανάλογη με την απόλυτη θερμοκρασία του.

Η μαθηματική του διατύπωση είναι:

P constT=

Στο διάγραμμα του Σχ. 6

παριστάνεται γραφικά η μεταβολή της

πίεσης σε συνάρτηση με την απόλυτη

θερμοκρασία, για δύο διαφορετικές τιμές

του όγκου V1 και V2 με V1<V2 Το

διακεκομμένο τμήμα της ευθείας

αντιστοιχεί σε θερμοκρασίες στις οποίες

τα αέρια δεν υπακούουν τον νόμο. Αν

θέλουμε να παραστήσουμε γραφικά την

πίεση σε σχέση με τη θερμοκρασία σε oC

τότε θα παρατηρήσουμε ότι η προέκταση

της γραμμής θα διέρχεται από ένα σημείο πάνω στον άξονα θερμοκρασιών. Το

σημείο αυτό βρίσκεται στη θερμοκρασία -273,15 oC στην οποία, σύμφωνα με τη

γραφική παράσταση, αντιστοιχεί πίεση μηδέν.

Η τελευταία περίπτωση που απομένει από

τους νόμους των αερίων, αφορά την επίδραση της

ποσότητας του αερίου. Ο Amedeo Avogadro

πρότεινε ότι : ίσοι όγκοι αερίων στην ίδια θερμοκρασία και πίεση περιέχουν τον ίδιο

αριθμό σωματιδίων. Επειδή ο αριθμός των σωματιδίων είναι ανάλογος του n, δηλαδή

της ποσότητας της ουσίας, συνεπάγεται ότι ο όγκος που καταλαμβάνει ένα αέριο σε

καθορισμένη θερμοκρασία και πίεση είναι ανάλογος του n.

V n∞

Σχ. 6 Σχέση πίεσης και απόλυτης θερμοκρασίας

Υπόθεση Avogadro

Νόμοι των Αερίων

Ένα mole οποιουδήποτε αερίου περιέχει τον ίδιο αριθμό μορίων (αριθμός

Avogadro, ΝΑ=6,022 1023) και κατά το νόμο του Avogadro πρέπει να καταλαμβάνει

τον ίδιο όγκο στην ίδια θερμοκρασία και πίεση. Αυτός ο όγκος του ενός mole

ονομάζεται και γραμμομοριακός όγκος αερίου Vm. Συχνά συγκρίνουμε τους όγκους

των αερίων σε συνθήκες πρότυπης θερμοκρασίας και πίεσης (STP). Σε συνθήκες STP

(θ=0οC, P=1atm) ο γραμμομοριακός όγκος αερίου βρίσκεται ότι είναι 22,4 lt.

Μπορούμε να συνδυάσουμε τους νόμους Boyle,

Charles και Gay-Lussac σε μια και μόνη σχέση.

Πραγματοποιούμε μια ισοβαρή μεταβολή, ξεκινώντας

από κάποιες γνωστές τιμές των συντεταγμένων ρ0, Vo,

To καταλήγουμε στις τιμές ρ0, V, Τ1. Με τις συντεταγμένες αυτές και μια σχεδόν

στατική μεταβολή μεταβάλλουμε την κατάσταση του αερίου ισόθερμα. Οι συντε-

ταγμένες στη νέα κατάσταση θα είναι ρ1,V1 και θα συνδέονται με τις προηγούμενες

με μια σχέση της μορφής

Νόμος των

ιδανικών αερίων

Γεώργιος Κατσικογιώργος Σελίδα 6

1 1 0p V p V =

Χρησιμοποιώντας τη σχέση αναλογίας όγκων – θερμοκρασιών για σταθερή

πίεση η προηγούμενη σχέση γράφεται

11 1 0 0

0

Tp V p VT

= οπότε 0 01 1

1 0

p Vp V constT T

= =

Η σχέση αυτή συνδέει τις τρεις συντεταγμένες P, V, Τ του αερίου σε

οποιαδήποτε κατάσταση του και κατασκευάστηκε κρατώντας τη μάζα m σταθερή. Η

γενική της μορφή είναι

pV nRT

=

όπου n είναι ο αριθμός των γραμμομορίων του αερίου και R μια σταθερή ανεξάρτητη

από τη φύση του αερίου, γνωστή ως παγκόσμια σταθερή των ιδανικών αερίων.

Οι τιμές που παίρνει η R εξαρτάται από το σύστημα των μονάδων. Στο (S.I) έχει

τιμή R=8.3145 J/mol K ενώ χρησιμοποιείται πολλές φορές και η τιμή R=0,082058

lt·atm/ mol K.

Έτσι λοιπόν η εξίσωση των ιδανικών αερίων γράφεται

pV nRT=

Αλλά όπως έχουμε παρατηρήσει και προηγουμένως δε μπορεί να περιγράψει την

κατάσταση όλων των αερίων.